Generación y verificación de numeros aleatorios

1. Para generar una simulación se requiere
numeros aleatorios en el intervalo de [0,1]
Generación de números pseudo
aleatorios

2. Generación de numeros pseudo
aleatorios
ci
ni
si
si
ei
ei
ei
Ci = variables exogenas
• Algunas de las variables de entrada son de tipo aleatorio por lo que se
tendrán que generar valores que simulen dichas entradas.
• Para generar variables aleatorias que sigan determinadas funciones de
probabilidad necesitamos partir de series de números que cumplan la
aleatoriedad.

3. Propiedades deseadas de buenos
generadores
 El método más común es generar el siguiente
número a partir de los últimos números generados
 Una de estas funciones es:
 Si comenzamos con xo = 5, los primeros 32 números
generados son: 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9,
14, 7, 4, 5, 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7,
4, 5

4. Propiedades deseadas de buenos
generadores
 Los números generados: 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12,
13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5, 10, 3, 0, 1, 6, 15,
12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5

5. Algoritmos de cuadrados medios
Algoritmo no congruencial, propuesto por Von Neumann y
Metropolis.
1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dígitos (D>3)
2. Sea Yo= resultado de elevar Xo al cuadrado, sea X1= los D
dígitos del centro, y sea ri=0.D dígitos del centro.
3. Sea Yi=resultado de elevar Xi al cuadrado; sea Xi+1=los D
dígitos del centro, y sea ri=0.D dígitos del centro para toda
i=1,2,3,…n.
4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números ri, deseados.
Ejemplo: Generar los primeros 5 números ri, a partir de una semilla
Xo=5735, de donde se puede observar que D=4 dígitos

6. Algoritmos de productos medios
1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dígitos (D>3)
2. Seleccionar una semilla (X1) con D dígitos (D>3)
3. Sea Yo= Xo * X1,sea X2= los D dígitos del centro, y sea ri=0.D
dígitos del centro.
4. Sea Yi= Xi * Xi+1; sea Xi+2=los D dígitos del centro, y sea ri+1 =
0.D dígitos del centro para toda i=1,2,3,…n.
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri, deseados.
Ejemplo: Generar los primeros 5 números ri, a partir de una semilla
Xo=5015 y X1=5734; observe que ambas semillas tienen D=4
dígitos.

7. Algoritmo de multiplicador constante
1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dígitos (D>3)
2. Seleccionar una constante (a) con D dígitos (D>3)
3. Sea Yo= a * X0, sea X1= los D dígitos del centro, y
sea ri=0.D dígitos del centro.
4. Sea Yi= a *Xi; sea Xi+1 = los D dígitos del centro, y
sea ri+1 = 0.D dígitos del centro para toda i=1,2,3,…n.
5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri,
deseados.
Ejemplo: Generar los primeros 5 números ri, a partir de
una semilla Xo = 9803 y con la constante a = 6915.

8. Algoritmo lineal
Algoritmo congruencial propuesto por D.H. Lehmer en 1951.
 Xi+1=(aXi + c) mod (m) i=0,1,2,3,….,n.
 ri = Xi+1 / (m-1) i=0,1,2,3,…,n.
Ejemplo: Generar 5 números entre 0 y 1 con los siguientes
parámetros: Xo=37, a=19, c=33 y m=100.
Donde:
Xo= semilla
a= constante multiplicativa
c= constante aditiva
m = modulo

9. Algoritmo lineal
Para lograr un máximo periodo de vida “n”. Banks,Carson, Nelson
y Nicol sugiere:
 m=2^g
 a = 1+4k
Donde:
 k y g debe ser entero
 C relativamente primo a m.
Bajo estas condiciones el periodo de vida máximo: N = m = 2^g
Ejemplo: Generar números entre 0 y 1 con los parámetros Xo=6,
k=3, g=3 y c=7, hasta encontrar el periodo máximo (N)
 a= 1+4(3)=13 y m = 2^3=8

10. Algoritmo lineal
a= 1+4(3)=13 y m=2^3=8
Xo=6
X1=(13*6 +7)mod 8 = 5 r1=5/7=0.714
X2=(13*5 +7)mod 8 = 0 r2=0/7=0.000
X3=(13*0 +7)mod 8 = 7 r3=7/7=1.000
X4=(13*7 +7)mod 8 = 2 r4=2/7=0.285
X5=(13*2 +7)mod 8 = 1 r5=1/7=0.142
X6=(13*1 +7)mod 8 = 4 r6=4/7=0.571
X7=(13*4 +7)mod 8 = 3 r7=3/7=0.428
X8=(13*3 +7)mod 8 = 6 r8=6/7=0.857
Xi+1=(a *Xi + c)mod(m) i=0,1,2,3,….,n.
ri=Xi/m-1 i=0,1,2,3,…,n.

11. Algoritmo congruencial multiplicativo
 Surge del algoritmo congruencial lineal cuando c=0. entonces la
ecuación recursiva es:
 Xi+1=(aXi) mod (m) i=0,1,2,3,….,n.
 ri=Xi/(m-1)
 De acuerdo con Banks,Carson, Nelson y Nicol sugieren lo
siguiente:
 m = 2^g
 a = 3+8k ó a=5+8k
 A partir de estas condiciones se logra un periodo de vida
máximo N = m/4 = 2^(g-2)
K=0,1,2,3,….
Xo debe ser impar
g debe ser entero

12. Algoritmo congruencial multiplicativo
Ejemplo: Generar los suficientes números entre 0 y 1
con los siguientes parámetros: Xo=17, k=2 y g=5,
hasta encontrar el periodo o ciclo de vida.
Xi+1=(aXi)mod(m) i=0,1,2,3,….,n.
ri=Xi/(m-1)
N=m/4=2^(g-2)
m=2^g
a = 3+8k ó a=5+8k

13. Algoritmo congruencial aditivo
 Este algoritmo requiere una secuencia previa de “n”
números enteros X1, X2,…,Xn para generar una
nueva secuencia de números enteros que empieza
en Xn+1, Xn+2,…..
Su ecuación recursiva es:
 Xi=(Xi-1 + Xi-n) mod (m) i=n+1, n+2, n+3,…., N
 Los números ri = Xi / (m-1)

14. Algoritmo congruencial aditivo
Ejemplo: Generar 7 números pseudo aleatorios entre
cero y uno a partir de la siguiente secuencia de
números enteros: 65, 89, 98, 03, 69. m=100
Xi=(Xi-1 + Xi-n) mod (m) i=n+1, n+2, n+3,…., N

15. Algoritmo congruencial cuadrático
 Xi+1=(a*(Xi)^2 + b*Xi +c) mod (m) i=0,1,2,…,N
 ri=Xi/(m-1)
 De acuerdo con L’Ecuyer las condiciones que
debe cumplir los parámetros m,a,b y c para
alcanzar un periodo máximo de N=m son:
 m=2^g
Donde:
a= debe ser numero par
c= debe ser numero impar
g debe ser entero
(b-1)mod 4 = 1

16. Algoritmo congruencial cuadratico
Ejemplo: Generar, a partir del algoritmo
congruencial cuadrático, suficientes números
enteros hasta alcanzar el periodo de vida,
considerando los parámetros Xo=13, m=8, a=26,
b=27 y c=27
Xi+1=(a*(Xi)^2 + b*Xi +c) mod(m)
i=0,1,2,…,N
ri=Xi/(m-1)