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MAGNITUDES Y
 VECTORES
MAGNITUDES

 MAGNITUD ESCALAR: es aquella
 magnitud que queda perfectamente
 definida por un número y sus unidades.

   Masa: 5 Kg
   Temperatura: 273 K
   Energía: 80 J
MAGNITUDES
 MAGNITUD VECTORIAL: es aquella
 magnitud que precisa, para ser definida,
 de módulo, dirección, sentido y punto de
 aplicación

   Posición
   Velocidad


        ¡¡¡Necesitamos un vector!!!
VECTORES
 LONGITUD: módulo.

 LÍNEA SOBRE LA QUE SE APOYA:
 dirección.

 VÉRTICE DE LA FLECHA: sentido.

 ORIGEN DEL VECTOR: punto de
 aplicación.
DESCOMPOSICIÓN DE
    VECTORES




                 ������ = ������������ + ������������ + ������������

         ������ = ������������ · ������ + ������������ · ������ + ������������ · ������
EJEMPLO

             ������ = 3������ − 2������ + 4������
                ������ = 2������ + 2������

������ + ������ = 3 + 0 ������ + −2 + 2 ������ + 4 + 2 ������

      ������ + ������ = 3������ + 6������ → ������������������������������ ������������
PROYECCIÓN SEGÚN
  LOS ÁNGULOS


              ������������ = ������ · cos ������
              ������������ = ������ · sin ������

      ������ = ������ · cos ������ ������ + ������ · sin ������ ������
MULTIPLICACIÓN
      DE
  VECTORES
PRODUCTO ESCALAR
Es una operación entre vectores que da como resultado
un número.

Se calcula multiplicando los módulos de los vectores por
el coseno del ángulo que forman.

              ������ · ������ = ������ · ������ · cos ������
PE Máximo: cuando los vectores ������ y ������ tienen la misma
dirección.
PE Nulo: cuando los vectores ������ y ������ son perpendiculares
(cos 90º = 0)
PRODUCTO ESCALAR
 En función de las componentes

           ������ = ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������
           ������ = ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������

  ������ · ������ = ������������ · ������������ + ������������ · ������������ + ������������ · ������������
PRODUCTO ESCALAR
   Ángulo que forman los vectores


������ · ������ · cos ������ = ������������ · ������������ + ������������ · ������������ + ������������ · ������������


               ������������ · ������������ + ������������ · ������������ + ������������ · ������������
  cos ������ =
                              ������ · ������
EJEMPLO
������ = 2������ − ������ + 3������           ������ = 4 + 1 + 9 = 14
������ = ������ + 3������ − 2������           ������ = 1 + 9 + 4 = 14

������ · ������ = 2 − 3 − 6 = −7 Valor de producto escalar
de los vectores a y b

             ������������                   −7       −7   1
cos ������ =              ;    cos ������ =        =    =− ;
           ������ · ������                  14 · 14 14    2

                ������ = cos −1 −1 2 = 120������
PRODUCTO VECTORIAL
 Es una operación entre vectores

 El resultado es otro vector

 El módulo del vector resultante es el
 producto de los módulos iniciales
 multiplicado por el seno del ángulo que
 forman dichos vectores.
PRODUCTO VECTORIAL

DIRECCIÓN: perpendicular al
plano que forman los dos
vectores originales.

MÓDULO:

     ������ × ������ = ������ · ������ · sin ������

SENTIDO: se puede calcular
mediante la regla del
sacacorchos.
PRODUCTO VECTORIAL
                                 ������������                ������������
                            ������ = ������������        ������ ������ = ������������
                                 ������������                ������������


            ������        ������     ������
 ������ × ������ = ������������      ������������   ������������ = ������������ · ������������ · ������ + ������������ · ������������ · ������ + ������������ · ������������ · ������ −
           ������������      ������������   ������������    −������������ · ������������ · ������ − ������������ · ������������ · ������ − ������������ · ������������ · ������


          ������������ · ������������ − ������������ · ������������
������ × ������ = ������������ · ������������ − ������������ · ������������                NOTA: ������ × ������ = − ������ × ������
          ������������ · ������������ − ������������ · ������������
DERIVADA
  DE UN
 VECTOR
DERIVADA DE UN VECTOR

                  ������������       ������
                       = lim                 ������1 ; ������2 = ������ ������
                  ������������ ∆������→0 Δ������

                    ������1 ⇒ ������1 = ������������1 ������ + ������������1 ������ + ������������1 ������
                    ������2 ⇒ ������2 = ������������2 ������ + ������������2 ������ + ������������2 ������

∆������ = ������2 − ������1 = ������������2 − ������������1 ������ + ������������2 − ������������1 ������ + ������������2 − ������������1 ������

∆������ = ������2 − ������1
∆������   ������������2 − ������������1      ������������2 − ������������1      ������������2 − ������������1
        =               ������ +               ������ +               ������
    ∆������     ������2 − ������1          ������2 − ������1          ������2 − ������1
                     ∆������������      ∆������������      ∆������������
                   =       ������ +       ������ +       ������
                     ∆������        ∆������        ∆������

           Δ������        ∆������������           ∆������������            ∆������������
     lim       = lim        ������ + lim        ������ + lim         ������
     ∆������→0 Δ������   ∆������→0 ∆������       ∆������→0 ∆������       ∆������→0 ∆������


                 ������������ ������������������      ������������������      ������������������
                      =      ������ +        ������ +        ������
                 ������������   ������������       ������������        ������������
Este resultado es importantísimo ya que nos muestra
que, para derivar un vector podemos derivar componente
a componente.
EJEMPLO

������ = 4������ 2 ������ − 7������������ + 3������               ������ = ������ ������
                  ������������
������ =   ������ ′   =          = 8������������ − 7������
                  ������������

Y ya si nos ponemos…                      ������ = 8������

                                                ������������
                    Velocidad:           ������ =
                                                ������������
                                                ������������       ������ 2 ������
                    Aceleración:         ������ =          =
                                                ������������       ������������ 2

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0. Magnitudes y vectores

  • 2. MAGNITUDES  MAGNITUD ESCALAR: es aquella magnitud que queda perfectamente definida por un número y sus unidades.  Masa: 5 Kg  Temperatura: 273 K  Energía: 80 J
  • 3. MAGNITUDES  MAGNITUD VECTORIAL: es aquella magnitud que precisa, para ser definida, de módulo, dirección, sentido y punto de aplicación  Posición  Velocidad ¡¡¡Necesitamos un vector!!!
  • 4. VECTORES  LONGITUD: módulo.  LÍNEA SOBRE LA QUE SE APOYA: dirección.  VÉRTICE DE LA FLECHA: sentido.  ORIGEN DEL VECTOR: punto de aplicación.
  • 5. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES ������ = ������������ + ������������ + ������������ ������ = ������������ · ������ + ������������ · ������ + ������������ · ������
  • 6. EJEMPLO ������ = 3������ − 2������ + 4������ ������ = 2������ + 2������ ������ + ������ = 3 + 0 ������ + −2 + 2 ������ + 4 + 2 ������ ������ + ������ = 3������ + 6������ → ������������������������������ ������������
  • 7. PROYECCIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS ������������ = ������ · cos ������ ������������ = ������ · sin ������ ������ = ������ · cos ������ ������ + ������ · sin ������ ������
  • 8. MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
  • 9. PRODUCTO ESCALAR Es una operación entre vectores que da como resultado un número. Se calcula multiplicando los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman. ������ · ������ = ������ · ������ · cos ������ PE Máximo: cuando los vectores ������ y ������ tienen la misma dirección. PE Nulo: cuando los vectores ������ y ������ son perpendiculares (cos 90º = 0)
  • 10. PRODUCTO ESCALAR  En función de las componentes ������ = ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������ ������ = ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������ ������ · ������ = ������������ · ������������ + ������������ · ������������ + ������������ · ������������
  • 11. PRODUCTO ESCALAR  Ángulo que forman los vectores ������ · ������ · cos ������ = ������������ · ������������ + ������������ · ������������ + ������������ · ������������ ������������ · ������������ + ������������ · ������������ + ������������ · ������������ cos ������ = ������ · ������
  • 12. EJEMPLO ������ = 2������ − ������ + 3������ ������ = 4 + 1 + 9 = 14 ������ = ������ + 3������ − 2������ ������ = 1 + 9 + 4 = 14 ������ · ������ = 2 − 3 − 6 = −7 Valor de producto escalar de los vectores a y b ������������ −7 −7 1 cos ������ = ; cos ������ = = =− ; ������ · ������ 14 · 14 14 2 ������ = cos −1 −1 2 = 120������
  • 13. PRODUCTO VECTORIAL  Es una operación entre vectores  El resultado es otro vector  El módulo del vector resultante es el producto de los módulos iniciales multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos vectores.
  • 14. PRODUCTO VECTORIAL DIRECCIÓN: perpendicular al plano que forman los dos vectores originales. MÓDULO: ������ × ������ = ������ · ������ · sin ������ SENTIDO: se puede calcular mediante la regla del sacacorchos.
  • 15. PRODUCTO VECTORIAL ������������ ������������ ������ = ������������ ������ ������ = ������������ ������������ ������������ ������ ������ ������ ������ × ������ = ������������ ������������ ������������ = ������������ · ������������ · ������ + ������������ · ������������ · ������ + ������������ · ������������ · ������ − ������������ ������������ ������������ −������������ · ������������ · ������ − ������������ · ������������ · ������ − ������������ · ������������ · ������ ������������ · ������������ − ������������ · ������������ ������ × ������ = ������������ · ������������ − ������������ · ������������ NOTA: ������ × ������ = − ������ × ������ ������������ · ������������ − ������������ · ������������
  • 16. DERIVADA DE UN VECTOR
  • 17. DERIVADA DE UN VECTOR ������������ Δ������ = lim ������1 ; ������2 = ������ ������ ������������ ∆������→0 Δ������ ������1 ⇒ ������1 = ������������1 ������ + ������������1 ������ + ������������1 ������ ������2 ⇒ ������2 = ������������2 ������ + ������������2 ������ + ������������2 ������ ∆������ = ������2 − ������1 = ������������2 − ������������1 ������ + ������������2 − ������������1 ������ + ������������2 − ������������1 ������ ∆������ = ������2 − ������1
  • 18. ∆������ ������������2 − ������������1 ������������2 − ������������1 ������������2 − ������������1 = ������ + ������ + ������ ∆������ ������2 − ������1 ������2 − ������1 ������2 − ������1 ∆������������ ∆������������ ∆������������ = ������ + ������ + ������ ∆������ ∆������ ∆������ Δ������ ∆������������ ∆������������ ∆������������ lim = lim ������ + lim ������ + lim ������ ∆������→0 Δ������ ∆������→0 ∆������ ∆������→0 ∆������ ∆������→0 ∆������ ������������ ������������������ ������������������ ������������������ = ������ + ������ + ������ ������������ ������������ ������������ ������������ Este resultado es importantísimo ya que nos muestra que, para derivar un vector podemos derivar componente a componente.
  • 19. EJEMPLO ������ = 4������ 2 ������ − 7������������ + 3������ ������ = ������ ������ ������������ ������ = ������ ′ = = 8������������ − 7������ ������������ Y ya si nos ponemos… ������ = 8������ ������������ Velocidad: ������ = ������������ ������������ ������ 2 ������ Aceleración: ������ = = ������������ ������������ 2