1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Cabudare-Lara
Nombre: Luis Álvarez
Sección: Saia A
Prof: Domingo Méndez
Barquisimeto 12 de Septiembre del 2013
Trabajo de la
Unidad 1

2. Sumatoria o Notación Sigma
La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una
operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos
o infinitos sumandos.
La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma
mayúscula Σ, y se representa así:
Expresión que se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores
desde 1 hasta n".
i es el valor inicial, llamado límite inferior.
n es el valor final, llamado límite superior.
Pero necesariamente debe cumplirse que:
i ≤ n
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se
anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:
Ahora, veamos un ejemplo:
Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números
naturales se puede hacer de esta forma:
Pero también hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido.
Una anécdota aclaratoria
La historia relata que cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años
su profesor de matemática le impuso al curso, como una forma de
mantenerlos ocupados por largo rato, el siguiente ejercicio:

3. Sumar todos los números desde el 1 hasta el 100, de este modo:
1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ……………….+ 98 + 99 + 100 =
Confiado en que los niños estarían ocupados durante mucho rato, el
profesor se enfrascó en sus tareas de estudio, pero a los cinco
minutos, el pequeño Gauss le entregó el resultado: 5.050.
Sorprendido, el profesor le pidió a Gauss que le explicara cómo lo
hizo:
El pequeño se dio cuenta de que la suma del primer número con el
último (1 + 100 = 101) da un resultado que se repite sumando todos
los simétricos: 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; 4 +
97 = 101; etc., logrando establecer 50 sumas cuyo resultado es
101.
Entonces, hizo: 50 veces 101 es igual a 50 x 101 = 5.050
Este procedimiento nos conduce a la fórmula de la sumatoria
de n números consecutivos:
Si aplicamos la fórmula al problema anterior, tendremos:
Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no
tiene mucho sentido sumar número por número, si se puede usar la
fórmula:

4. Algunas fórmulas de la operación sumatoria
Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5
……+ n); que acabamos de ver arriba.
Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números
consecutivos (12
+ 22
+ 32
+ 42
+ 52
+ 62
+ ……….+ n2
) :
Fórmula para la sumatoria de los cubos de n números consecutivos
(13
+ 23
+ 33
+ 43
+ 53
+ 63
+ 73
……..+ n3
):

5. Áreas
Para calcular el área de una
figura plana es necesario
conocer algunas de sus
características particulares.
Por ejemplo, cuando se dice
que el área de un triángulo es
igual a :
es necesario conocer el
significado de las
palabras 'base' y 'altura'.
Por ejemplo, en el
triángulo de la figura,
cualquier lado puede tomarse
como base, y en relación a la
base escogida, hay una altura,
que es la perpendicular a la
base, trazada desde el vértice
opuesto:
Esto significa que muchos triángulos
distintos a este triángulo
tienen igual área, por ejemplo, todos
los que se generan en la figura de la
izquierda.
Paralelogramos:
Los rectángulos, así como los
cuadrados, los rombos y
romboides, son figuras
geométricas que tienen cuatro
lados (son cuadriláteros) y
tienen sus lados paralelos dos
a dos. Por eso, todos ellos se
llaman paralelogramos.
Cada una de las estas figuras es un
paralelogramo con características
particulares. Se llaman diagonales de

6. un paralelogramo a los segmentos de
recta que unen dos vértices no
consecutivos.(Ver figura de la
izquierda) y son las
diagonales del rectángulo.
Algunas características de los distintos tipos de paralelogramos:
Rectángulo:
4 ángulos rectos y diagonales
iguales, no necesariamente
perpendiculares entre sí.
Lados iguales dos a dos.
Cuadrado: 4 ángulos rectos y
diagonales iguales y perpendiculares
entre sí. 4 lados iguales.
Rombo: ángulos opuestos
iguales, diagonales
perpendiculares y no
necesariamente iguales. 4
lados iguales.
Romboide: ángulos opuestos iguales,
diagonales desiguales, no
perpendiculares. Lados iguales dos a
dos.

7. Sabiendo calcular el área de un triángulo cualquiera, se puede
calcular el área de un paralelogramo cualquiera, pues al trazar una
de las diagonales, su área queda dividida en dos triángulos
congruentes.
Rectángulo: es
congruente a . Por lo
tanto:
área área
área área área área
Como área entonces,
área así,
área
En otras palabras, el área de un rectángulo es igual al producto de
su lado menor por su lado mayor.
Cuadrado: es congruente a

8. Propiedades de la Integral Definida
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las
integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante,
entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
(Se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces 0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditivita del
intervalo: si f es integrable en los
dos intervalos cerrados definidos por
a, b y c
entonces

9. Demostrando…
Conservación de Desigualdades
* Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b]
entonces
Demostración: Si f(x) 0 entonces representa el área bajo
la curva de f de modo que la interpretación geométrica de esta
propiedad es sencillamente el área. (También se deduce
directamente de la definición porque todas las cantidades son
positivas).
* Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] con
f(x) g(x) para todo x en [a, b] entonces
Demostración: Si f(x) g(x) podemos asegurar que f(x)  g(x) 0
y le podemos aplicar la propiedad anterior y por lo tanto
. De aquí  0 y de esta manera
.
Supongamos que m y M son constantes tales que m f(x) M para
a x b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo
por m, la gráfica queda entre la recta y = m y la recta y =
M. Podemos enunciar el siguiente teorema:
* Si f es integrable y m f(x) M para a x b
entonces m (b  a)  M (b  a).

10. (La gráfica ilustra la propiedad cuando f(x) 0)
Si y f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos
de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad
indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área
del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con
altura M.
En general dado que m f(x) M podemos asegurar, por la
propiedad anterior que
.

11. Teorema del Valor Medio
El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un
punto c (a, b) tal que:
La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos
dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la
secante.

12. Teorema del Valor Medio para Integrales
Este teorema es importante porque asegura que una función continua
en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un
punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un
número c en este intervalo tal que
f(c)(b - a) =
Demostración:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado
es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como
el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que
m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de
desigualdades. Aplicando propiedades:
m(b - a) M(b - a) entonces m
M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que
f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto
permite deducir que debe alcanzar el valor en algún
punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c
tal que f(c) = .

13. Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:
rectángulo inscripto (área menor
que la de la región)
rectángulo del valor medio (área
igual que la de la región)
rectángulo circunscripto (área
mayor que la de la región)
El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no
especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de
algún número c en el intervalo. Permite una interpretación
interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En
este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El
teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está
asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de
longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la
región.
A =
= f(c)(b - a)

14. El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para
integrales coincide con el valor promedio o medio de una función
por eso a f(c) = se lo llama valor medio de f en el
intervalo [a, b].
Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x2
- 2x en el intervalo
[1, 4].
Calculamos:
fprom = = = = (64 - 16 -1
+ 1) = 16
Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo
cuya altura es el valor promedio. Se puede observar gráficamente.

15. Método de integración por cambio de variables
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la
integración. Permite expresar la integral inicial mediante un
nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente
a la primera. Para integrales simples de una sola variable si es
la variable original y es una función invertible, se tiene:
Sustitución trigonométrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una función
cuando el integrando presenta expresiones de la forma:
Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica
pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones
trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente
tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:
Expresión en el
integrando
Sustitución
trigonométrica