Este documento explica el símbolo de la sumatoria y sus elementos. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se expresa como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Se usa para calcular áreas mediante la suma inferior y superior, que aproximan el área total dividiendo un intervalo en subintervalos. La integral definida establece el límite de la suma de Riemann para representar el área bajo una curva.

1. Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades
La Sumatoria es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos
sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( Σ ), y se define como :
S=
Donde:
 S es la magnitud resultante de la suma
 m es el límite inferior (es el número inicial de donde comienza la sumatoria)
 n es el límite superior (es el numero hasta donde llegara la sumatoria)
 La variable i es el índice de la suma, que varía entre m y n
 x es el valor de la magnitud objeto de suma en el punto i
Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"
Necesariamente debe cumplirse que: m, n sean números enteros y m ≤ n
Propiedades de la sumatoria:
Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y superior
Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la
base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del
producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de
triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el
seno del ángulo que forman dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en
triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se
ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos

2. de rectas. Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el
que vamos a estudiar a continuación.
Sea f: [a, b] → IR una función continua y no negativa. Considérese una región en el plano cartesiano como
muestra la figura 1 acotada por el eje x, las restas x=a y x=b y la curva de la función y = F(x).
Deseamos hallar la medida del área de la región R. para tal efecto, podemos proceder de dos maneras:
1). Suma Inferior. De tal manera dividimos el intervalo cerrado [a,b] en n-subintervalos iguales de
longitud Δx. Donde Δx=(b-a)/n. denotaremos los puntos extremos de estos subintervalos por
x0,x1,x2,x3,….,xn-1,xn; Donde x0=a, x1=a+Δx,…., xi=a+iΔx,…., xn-1=a+(n-1)Δx, xn=b
Así mismo denótese el i-ésimo intervalo por [xi-1, xi]. Como f es continua en [a,b], f es continua en cada
subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo sabemos que existe un numero en cada
subintervalo para el cual f tiene un valor mínimo absoluto. Sea mi este numero en el i-esimo subintervalo,
de tal modo que f(mi) es el valor mínimo absoluto de f en [xi-1, xi]. construios el rectángulo ri de base el
subintervalo [xi-1, xi] y de altura f(mi). El área de este rectángulo es
Área de ri = f(mi)(xi-xi-1) = f(mi)∆x
Este proceso se hace para cada i = 1,2,3,….,n, y se obtienen n rectángulos inscritos en la región R. las
figuras Nº 2 ilustran este proceso para los casos n = 2 y n = 4
Si es la suma de las áreas de los n rectángulos inscritos, entonces

3. Ó, con la notación sigma,
Donde la expresión anterior tomara el nombre de suma inferior. Si A(R) es el area de la región R,
tenemos que:
≤ A(R)
Si duplicamos el numero n, entonces se duplicara el numero de rectángulos, los que tendrán la mitad de
ancho; sin embargo, la suma de la áreas de los nuevos rectángulos aproximara mejor a A(R) que la suma
anterior. Si seguimos el proceso de duplicar el número n, cada vez obtendremos mejores aproximaciones
para el área A(R). Se prueba en los cursos de calculo avanzado que los números , cuando
, tiene un límite que es, precisamente, A(R). o sea
2). Área con rectángulos circunscritos
Procedemos como en el caso anterior, con la variante de que cada subintervalo [xi-1, xi], en lugar de tomar
el mínimo absoluto de f, tomamos el máximo absoluto. Esto es, en [xi-1, xi] hay un punto Mi tal que f(Mi)
es el máximo absoluto de f en [xi-1, xi]. Construimos el rectángulo Ri con base [xi-1, xi] y Altura f(Mi).
figura 3
Área de Ri = f(Mi)( xi-1, xi) = f(Mi)Δx
Si nes la suma de las áreas d los n rectángulo, entonces
A la expresión anterior la llamaremos suma superior. Se cumple:
A(R) ≤
Al igual que en la suma superior. Se prueba en los cursos de cálculo avanzado que los números ,

4. cuando , tiene un límite que es, precisamente, A(R). En otras palabras:
Asi de (1) y (2) tenemos que:
Establecer la integral definida de una función estableciendo como límite de la suma de Riemann
Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas geométricamente
1. Si a = b y f está definida en a, entonces
Demostración:
2. Si
Demostración:
3. Si
Demostración: Sea P cualquier partición de [a,b] con una selección {ci}
Como es la integral definida de la función constante
La suma de Riemann de esta función constante es:
Luego,

5. Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales
Teorema de Valor Medio para Integrales
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces existe en ´ste un punto α tal que se
e
verifique la siguiente igualdad:
Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una fusión f tal que f(x) ≥
0, para todos los valores de x en el intervalo [a, b].
Entonces es el ´rea de la región limitada por la curva con ecuación
á , el eje x y
las rectas con ecuaciones x = a, x = b
Debido a la propiedad que establece que existe numero α en [ a,b] tal que el área del rectángulo a Q
S b, cuya altura es f(α) y que tiene ancho de (b − a) unidades, es igual al ´rea de la región a P
á
R b. El valor de α no es necesariamente único
Determinar el valor de α:

6. Calculemos primero asi:
Luego
dende
y por ultimo
Gráficamente se tiene:
Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y
cambios de variables.