curso métodos numéricos

1. Método del Trapecio

2. Historia Método del Trapecio
La integración es un concepto muy aplicado en las matemáticas
avanzadas, en campos como el cálculo y el análisis numérico. En el
cálculo integral que es una de las ramas de las matemáticas, el proceso
de integración o anti derivación es muy común en las ingenierías y se
utiliza principalmente para el cálculo de áreas, volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.
Asimismo, su uso se remonta desde los inicios de la humanidad con el
cálculo de las áreas de los terrenos para el cultivo de los granos.
Arquímedes fue uno de los primeros matemáticos en demostrar que el
área de un círculo era menor que el área del polígono circunscrito y
mayor que el área del polígono inscrito, utilizando el método de
exhaución (método de agotamiento) propuesto por Eudoro. El
matemático determinó que cuando el número de lados del polígono de
igual radio era un número muy grande, las áreas de ambos polígonos
eran prácticamente iguales. Arquímedes también utilizó este método de
los polígonos crecientes y decrecientes para demostrar que π era menor
que 317 y mayor que 31071.

3. El Método
En los cursos de Cálculo Integral aprendemos a calcular una integral
definida de una función continua haciendo uso del Teorema Fundamental
del Cálculo que dice que si f(x) es una función continua en un intervalo [a, b]
y F(x) es una anti derivada de f(x) entonces:
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)
El problema en la práctica se presenta, cuando se nos hace imposible
mediante métodos analíticos determinar la antiderivada requerida, aun
cuando se trate de integrales aparentemente sencillas como ∫21x31+x√dx,
que son imposibles de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.
En estos casos, debemos de recurrir a la integración numérica que permite
obtener aproximaciones bastantes exactas y que se pueden resolver con el
uso de asistentes matemáticos como Maxima, Derive, Mathematica, entre
otros.
En este módulo nos referiremos a la regla del trapecio y a la regla de
Simpson.

4. La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada
de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación
es de primer orden.
Tal que:
Entonces, el resultado de la integración es lo que se denomina regla
trapezoidal, resumida en la siguiente ecuación;



 







  2
)()(
)()()(
)()(
)(
bfaf
abdxxfIdxax
ab
afbf
af
b
a
b
a

5. Pero…
QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?
Fig. 1
Geométricamente, la regla del trapecio es
equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la
línea recta que conecta a f(a) y f(b) como se muestra
en Fig. 1.

6. Recuerde, que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura
por el promedio de las bases, tal y como se muestra en la Fig. 2.
En la Fig. 2 se muestra la fórmula para calcular el área de un trapezoide
(altura por el promedio de las bases).
En la Fig. 3 para la regla trapezoidal el concepto es el mismo pero ahora
el trapezoide está sobre su lado
Fig. 2 Fig. 3

7. APLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL
TRAPECIO
La Regla del Trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en
n subintervalos, todos de la misma longitud
Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión.
Usando las propiedades de la integral, tenemos que:
Aplicando la Regla del Trapecio a cada una de las integrales, obtenemos:

8. Sustituyendo el valor de h y haciendo uso de la notación sigma (sumatoria),
tenemos finalmente:
Esta es la regla del trapecio para n subintervalos.
Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la
aproximación a la integral.
Ahora bien, ya que los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos
que:

9. Ilustración de la Regla Trapezoidal de aplicación múltiple: a) dos segmentos,
b) tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos
Como podemos ver mientras mas intervalos , hay mayor precisión en la integración.

10. Error de la regla del Trapecio
 Una estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de
la regla trapezoidal es:
donde  está en algún lugar en el intervalo entre a y b. La anterior ecuación
indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio
será exacta.
 Para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior, puede
ocurrir algún error
7

11. Error de la regla del trapecio.
8

12. Problemas de aplicación
• HALLE LA INTEGRAL
F(x)= 1+e^(-x)*sen(4x) [0,2]
para 4 subintervalos de igual espesor “h”
P= X0 X1 …Xn
entonces h=b-a/n
X=a+i(h) [a,b]=[0,2] i=0,1,2,3,4

13. Haciendo uso de algunos Asistentes Matemáticos (por ejemplo,
Maple, Matlab, TOOLKIT, entre otros de software privativo, y las
herramientas Scilab, Octave y SIPI, entre otras (bajo software libre)
es posible discernir sobre las cualidades y defectos de cada uno de
los métodos de integración numérica.
Los cursantes de esta Unidad Curricular (como futuros
profesionales del área de informática con conocimientos
matemáticos) deberán indagar autodidácticamente algunos de
estas herramientas computarizadas y contrarrestar su uso con lo
aprendido en el aula.
Seleccione un asistente matemático, explórelo, indague sobre su
uso en los métodos de integración numérica.
Seleccione una integral de las ofrecidas en la Guía Instruccional y
aproxime su valor haciendo uso del asistente matemático
seleccionado para ello los métodos de integración numérica
estudiados en clase.
Programación del método del trapecio

14. APLICACIONES:
 Ingeniería Civil
 Ingeniería Química
 Ingeniería Petroquímica
 Termodinámica
 Física
Otros

15. | Ingeniería Civil

16. | FÍSICA

17. | Termodinámica

18. | ING. QUÍMICA Y
PETROQUÍMICA

19. • integracion metodo del trapecio1.xlsx