1. CALCULO
• CLASE NRO 9
Integral Definida
Propiedades
Teorema Fundamental del Cálculo
(primero y segundo)
Integración por sustitución.

2. Integral Definida
Entre los principales teoremas que nos ayudan a fundamentar
nuestro conocimientos sobre las integrales definidas tenemos:
• “La continuidad implica Integrabilidad” , lo que implica que para
que se pueda integrar una función en un intervalo cerrado, ésta
función necesariamente tiene que ser continua en ése intervalo.
• “La integral definida como área de una región” , en el que
manifiesta que cuando una función además de ser continua es
positiva, entonces el resultado de la integral de la función se
puede definir como el área de una región limitada por un
intervalo cerrado entre a y b cualquiera.

3. Integral Definida
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS:
En la página 276 y 277 del texto base, tenemos los siguientes
teoremas:
 Integrales definidas especiales.
 Propiedad aditiva de intervalos.
 Propiedades de las integrales definidas.
 Conservación de desigualdades.
Con base en los teoremas indicados estamos en capacidad de aplicar
el primer y segundo teorema fundamental del cálculo.

4. PRIMER TEOREMAFUNDAMENTAL DEL
CÁCULO
Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una
antiderivada de f en el intervalo [a,b], entonces:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
El cual se basa en que la derivación y la integración son dos
operaciones inversas.

5. SEGUNDO TEOREMAFUNDAMENTAL DEL
CÁCULO
Si f es continua en el intervalo abierto I que contiene a a, entonces ,
para todo x en el intervalo tenemos:
𝑑
𝑑𝑥 𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡) = 𝑓 𝑥
En donde al dejar como límite superior de la integral definida la
variable x, dejamos abierta esa variable dando lugar a varios valores
que podría tomar, y , siendo la integral una forma de obtener áreas,
resultaría el tener la función con un límite superior x, como una
acumulación de áreas, y por tanto una acumulación de funciones.

6. Ejercicios:
Cada estudiante en su cuaderno realizará los siguientes ejercicios los
cuales los desarrollaremos también en la pizarra:
Del texto base, página 293 :
Del número 5 al 29 los ejercicios impares.

7. Integración por sustitución
Una vez que hemos practicado y aclarado la aplicación de los
teoremas sobre integrales definidas, así como el primer y segundo
teorema fundamental del cálculo, empezaremos a calcular
integrales usando la primera opción que tenemos cuando una
integral no se la puede resolver directamente.
La integración por sustitución consiste básicamente en cambiar las
variables de tal manera que se convierta en una integral más sencilla
o que se pueda resolver directamente con los teoremas básicos.

8. Integración por sustitución
Aquí un procedimiento a seguir :
1. Usualmente se utiliza la variable u para la sustitución, y se
sustituye por lo general la parte interna de una función
planteada(por lo general es una función compuesta).
2. Se calcula du = g´(x)dx. ( la derivada de u).
3. Reescribir la integral en función de la nueva variable.
4. Encontrar la integral resultante en función de la variable u .
5. El resultado regresarlo a la variable inicial x.
6. Verificar la respuesta por derivación.

9. Integración por sustitución
Realizar los siguientes ejercicios en el cuaderno
Página 306 del texto base.
Los ejercicios del 1 al 5( impares)
Los ejercicios del 11 al 23 (impares).

10. TRABAJO EN EQUIPO:
Formar grupos de 3 estudiantes y desarrollar los
siguientes ejercicios, compartiendo criterios y entregar
un solo documento por grupo.
1. Del texto base: (Cálculo de una variable Larson 9na
edición).
 Página 293: los ejercicios 31 y 33.
 Página 294 y 295: los ejercicios 67 y 71 (aplicar
segundo teorema fundamental del calculo).
 Página 307: los ejercicios 51, 71, 77.
 Página 308: el ejercicio 117.

11. TAREA EXTRACLASE:
1. Del texto base: (Cálculo de una variable Larson 9na
edición).
 Página 293: los ejercicios 39, 41, 43, 45, 49, 51, 53,
55.
 Página 295: los ejercicios 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89
y 91.
 Página 306: los ejercicios 21, 23, 25, 27 , 29 y 31.
 Página 307: los ejercicios 75, 77, 79, 81, 83 y 85.
 Traer formulario.