Ejercicio donde se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar una función f(x) determinada mediante una integral.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Cálculo
Encuentra la función f tal que:
S f(x)dx =
ln S ln (x)S
x
+ C
Solución:
Diferenciando respecto a x en cada lado de la igualdad se obtiene:
d R f(x)dx
dx
= d
ln S ln (x)S
x + C
dx
Por el teorema fundamental del cálculo y la propiedad que la derivada de una suma es la suma de las
derivadas:
f(x) = d
ln S ln (x)S
x
dx
+ dC
dx
La derivada de una constante C es 0, y la derivada de un cociente se regi por la regla
du(x)
v(x)
uœ(x) v(x) − u(x) vœ(x)
= v2(, se obtiene:
dx
x)
f(x) =
d ln S ln (x)S
dx x − ln S ln (x)S dx
dx
x2
Separando la resta de fracciones y simplificando se obtiene:
f(x) =
d ln S ln (x)S
dx
x
−
ln S ln (x)S
x2
Ahora solo hace falta calcular la derivada del numerador de la primer fracción para hallar el criterio de la
función f buscada, para ello se debe aplicar la regla de la cadena y la derivada del logaritmo neperiano
ln(u)
1
=
du
y tomando u = ln(x) se obtiene:
dx
u
dx
d ln Sln (x)S
dx
=
1
ln(x)
dln(x)
dx
Ahora se debe hallar la derivada que apareció en el resultado anterior, entonces al calcularla se obtiene:
dln(x)
dx
=
1
x
dx
dx
Entonces la función f corresponde a la expresión:
f(x) =
1
x ln(x)
x
−
ln S ln (x)S
x2 =
1
x2 ln(x)
−
ln S ln (x)S
x2