Teoría de conjuntos

PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información.
PDF generated at: Wed, 23 May 2012 02:23:08 UTC
Matemática
Teoría de Conjuntos

Contenidos
Artículos
Teoría de conjuntos 1
Elemento de un conjunto 3
Conjunto finito 5
Conjunto infinito 6
Álgebra de conjuntos 7
Unión de conjuntos 16
Intersección de conjuntos 19
Conjunto vacío 22
Complemento de un conjunto 23
Subconjunto 25
Diferencia de conjuntos 28
Conjuntos disjuntos 30
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 32
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 33
Licencias de artículos
Licencia 34

Teoría de conjuntos
Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N)
tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en
una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de
las matemáticas que estudia las
propiedades de los conjuntos. Los
conjuntos son colecciones abstractas de
objetos, consideradas como objetos en
sí mismas, y son una herramienta básica
en la formulación de cualquier teoría
matemática.
Más aún, la teoría de los conjuntos es lo
suficientemente rica como para
construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas:
números, funciones, figuras
geométricas, ...; y junto con la lógica
permite estudiar los fundamentos de
esta. En la actualidad se acepta que el
conjunto de axiomas de la teoría de
Zermelo-Fraenkel es suficiente para
desarrollar toda la matemática. La
propia teoría de conjuntos es objeto de
estudio per se, no sólo como
herramienta auxiliar, en particular las
propiedades y relaciones de los
conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la
hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la
teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones
conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e
influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició
los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Teoría básica de conjuntos
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos
elementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una colección
determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de
pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como
elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de
elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números
enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno
es subconjunto del siguiente:
• El espacio tridimensional E
3
es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E
3
. Las rectas r y
planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E
3
, r ⊆ E
3
y α ⊆ E
3
.
Álgebra de conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones
aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos
en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos
comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A
que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A
∁
que contiene todos los elementos (respecto de
algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los
pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).
Teoría axiomática de conjuntos
La teoría de conjuntos "informal" o "elemental" apela a la intuición para determinar como se comportan los
conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción
si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el
desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados
acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.
Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las
propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son:
• La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel
• La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
• La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
Bibliografía
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos
[1]
, consultado el 18-10-2010.
• Jech, Thomas. «Set Theory
[2]
» (en inglés). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Consultado
el 16-12-2011.
• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F.
primera edición en español.

Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teoría de conjuntosCommons.
Referencias
[1] http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf
[2] http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/set-theory/
Elemento de un conjunto
En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto atómico que
forma parte de ese conjunto (o familia).
Teoría de conjuntos y elementos
Diferencia entre elemento y subconjunto. El conjunto C está
formado por dos elementos. El conjunto A está formado por
cinco elementos (cinco figuras geométricas), y C, señalado con
línea discontinua, es un subconjunto de A, C ⊆ A. El conjunto
B, por el contrario, está formado por cuatro elementos: tres
figuras geométricas y un conjunto, a saber, C. Por tanto, C,
señalado con línea continua, es un elemento de B, C ∈ B.
Al escribir , estamos diciendo que los
elementos del conjunto son los números 1, 2, 3 y 4. Un
grupo de elementos de sería, por ejemplo, , el
cual es un subconjunto de .
Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por
ejemplo, consideremos el conjunto .
Los elementos de no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, tiene
sólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto .
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por
ejemplo, , es el conjunto
cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.
Notación
La relación "es un elemento de", también llamada miembro
del conjunto, se denota mediante el símbolo ., y al
escribir
estamos diciendo que es un elemento de .
Equivalentemente, podemos decir o escribir " es un
miembro de ", " pertenece a ", " es en ", "
reside en ", " incluye ", o " contiene ".
La negación de este símbolo se denota .
Desafortunadamente, los términos " incluye " y "
contiene " son ambiguos, porque algunos autores también
los usan para referirse a que " es un subconjunto de
".
[1]
El lógico George Boolos es enfático al aclarar que la
palabra "contiene" debe usarse sólo para pertenencia de
elementos, e "incluye" sólo para relaciones de subconjuntos
[2]

Elemento de un conjunto 4
Cardinalidad de conjuntos
El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmente
se conoce como el tamaño de un conjunto. Para los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto es 4,
mientras que la de y es 3. Un conjunto finito es aquel con un número finito de elementos, mientras que uno
infinito, uno con una cantidad infinita de elementos. Los ejemplos de arriba son todos de conjuntos finitos. Un
ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de los números naturales, .
Ejemplos
Usando los conjuntos definidos arriba:
podemos decir que:
• 2 ∈ B
• {3,4} ∈ B
• 3 ∈ {3,4}
• ∅ ⊂ B
• { } ⊂ B
• {2} ⊂ B
• {1,2} ⊂ B
• amarillo ∉ B
• 8 ∉ B
• card(B) = 3
• card({3,4}) = 2
• La cardinalidad de D = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } es finita e igual a 6.
• La cardinalidad de P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13... } (los números primos) es infinita.
Notas
[1] Eric Schechter (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. p. 12
[2] 24.243 Classical Set Theory (lecture).. Instituto Tecnológico de Massachusetts, Cambridge, MA. 4 de febrero de 1992..
Referencias
• Paul R. Halmos 1960, Naive Set Theory, Springer-Verlag, NY, ISBN 0-387-90092-6. "Naive" significa que no
está completamente axiomatizado, que no es tonto ni fácil.
• Patrick Suppes 1960, 1972, Axiomatic Set Theory, Dover Publications, Inc. NY, ISBN 0-486-61630-4. La noción
de conjunto (una colección de elementos), miembros o elementos, los axiomas de extensión, separación y de
unión o suma son necesarios para un mayor entendimiento de este concepto.

Conjunto finito 5
Conjunto finito
En matemática, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8,
10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual
a un número natural.
Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales
es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la
recíproca es falsa: existen conjuntos numerables que no son finitos (como el propio N).
Los conjuntos finitos son particularmente importantes en combinatoria.
Definición
Un conjunto finito A es un conjunto cuyo número de elementos es un número natural. Esto significa:
Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto {1, 2, ..., n} para algún número natural n.
Que pueda establecerse una correspondencia biunívoca significa que los elementos de A y los de {1, 2, ..., n} pueden
emparejarse uno a uno, sin que sobre ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos. Al número n se le denomina
el cardinal de A (o su cardinalidad, su potencia, etc.), y se denota por card(A), |A| o #A. El conjunto vacío ∅ no tiene
elementos, |∅| = 0, por lo que también es finito.
La definición de conjunto finito en teoría axiomática de conjuntos presenta algunas sutilezas (véase Conjunto
infinito).
Propiedades
Los conjuntos finitos poseen una serie de propiedades:
• La unión de dos (o una cantidad finita cualquiera) de conjuntos finitos es finita.
• La intersección de dos o más conjuntos finitos es finita.
• Todo subconjunto de un conjunto finito es finito a su vez.
• En particular todo subconjunto de un conjunto finito tiene una cantidad menor o igual de elementos: si S ⊊ A y |A| = n, entonces |S| < n.
• El conjunto potencia de un conjunto finito con n elementos es finito, y posee 2
n
elementos.
Referencias
• Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Romás, Francisco (1973). Álgebra superior. México:
Trillas.

Conjunto infinito 6
Conjunto infinito
En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es un conjunto que no es finito. Algunos ejemplos son:
• Los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} forman un conjunto infinito y numerable.
• Los puntos en una recta, representados por un número real, forman un conjunto infinito y no numerable.
Definición. Propiedades
Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con un conjunto del tipo {1, 2, 3, ...,
n}, donde n es un número natural. Esto significa que podemos emparejar los elementos de A y los de {1, 2, 3, ..., n}
sin que sobre ninguno. Si un conjunto no verifica esto entonces es infinito:
Un conjunto infinito es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto {1, 2, 3, ..., n} para ningún
número natural n.
Los conjuntos infinitos poseen las siguientes propiedades:
• La unión de dos o más (incluso una cantidad infinita) de conjuntos infinitos es un conjunto infinito.
• Cualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su vez.
• El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su vez.
El cardinal de un conjunto finito es un número natural, y cualquiera de sus subconjuntos es finito y con menor
número de elementos. A los conjuntos infinitos les ocurre lo contrario:
Un conjunto infinito A tiene subconjuntos propios S tales que S y A pueden ponerse en correspondencia biyectiva.
En realidad esta propiedad depende de los axiomas que se asuman para los conjuntos (véase más abajo).
Aunque ningún número natural se corresponde con el número de elementos de un conjunto infinito, se pueden
«contar» la cantidad de dichos elementos usando números transfinitos. Puede entenderse entonces que los conjuntos
infinitos «más pequeños» son los conjuntos numerables, como el conjunto de los números naturales.
Aspectos formales
En teoría axiomática de conjuntos, puede definirse con precisión el concepto de número natural, como aquellos
ordinales sucesores menores que cualquier ordinal límite. De este modo, identificando los cardinales finitos con los
números naturales así definidos, se obtiene la definición usual de conjunto finito o infinito: aquel cuyo cardinal sea o
no un número natural. En otras palabras:
Un conjunto es finito si es bien ordenable y cada subconjunto no vacío, además de tener mínimo (por ser bien ordenable), tiene máximo.
La definición propuesta históricamente por Dedekind se basa en la propiedad mencionada anteriormente: un
conjunto A es Dedekind-infinito o D- infinito si existe una aplicación f : A → A inyectiva y no suprayectiva. Es
posible demostrar que todo conjunto Dedekind-infinito es infinito «ordinario», y equivalentemente que todo conjunto
finito «ordinario» es Dedekind-finito.
Sin embargo, para demostrar la implicación inversa y establecer la equivalencia entre ambos conceptos es necesario
adoptar el axioma de elección o una versión más débil, como el axioma de elección numerable. En cualquier caso, la
equivalencia entre infinitud e Dedekind-infinitud es una propiedad más débil que ambos axiomas.

Conjunto infinito 7
Referencias
• Herrlich, Horst (2006). «4.1. Finiteness» (en inglés). Axiom of choice. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30989-5.
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos
[1]
, consultado el 12-04-2011.
• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Infinite set de la Wikipedia en inglés, bajo licencias
Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 Unported y Licencia de Documentación Libre de GNU 1.2 o
superior.
Álgebra de conjuntos
En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos,
como la unión, intersección, etc.
Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos considerada
como un objeto en sí. Un conjunto está definido
únicamente por los elementos que lo componen, y no
por la manera en la que se lo representa.
Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos
y sus elementos:
• El conjunto universal, referencial o universo de
discurso, que normalmente se denota por las
letras , es un conjunto cuyo objeto de
estudio son los subconjuntos del mismo. En la
figura tenemos:
• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x,
pertecece a un conjunto dado. Esto se indica como:
Si un elemento no pertenece a un conjunto, se indica:
• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica
como:
Si un conjunto no esta incluido en otro, se indica:
• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado
principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

Operaciones con conjuntos
Veamos las operaciones con conjuntos, para ello lo
ilustraremos con el ejemplo de la figura, donde puede
ver el conjunto universal adoptado: U y dos
conjuntos el A y el B, así como los elementos que
pertenecen a cada uno:
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos
son:
• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos
de A y de B.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos
comunes de A y B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A
∁
que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A
que no pertenecen a B.
Dasos dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B, y se representa A - B, al conjunto formado por los
elementos de A que no pertenecen a B.
[1]
Es decir:
Con esta notación, se expresaria:
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los
pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, la unión y
la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento
absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección
y el elemento absorbente de la unión.
Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un
álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.
[2]

Leyes fundamentales
Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se
cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:
Proposición 1: para cualquier conjunto A, B y C se cumplen las siguientes proposiciones:
•• Ley conmutativa:
•• Ley asociativa:
•• Ley distributiva
Proposición 2: existe un conjunto universal U, para el que se cumple que dado un conjunto A, A es un subconjunto
de U, existe un conjunto Ø que llamaremos conjunto vacío
•• Ley de identidad:
•• Ley de complemento:
Proposición 3: dados los conjuntos A, B subconjuntos de U, se cumple:
•• Ley de idempotencia:
•• Ley de dominación:
•• Ley de absorción:
•• Ley de De Morgan

Ejemplo con dos conjuntos
Dados dos conjuntos A y B que pertenecen a U, y siendo Ø el conjunto vacío, podemos ver los distintos casos que se
pueden dar, a modo de ejemplo del álgebra de conjuntos.
En la representación gráfica utilizaremos un rectángulo para representar el conjunto universal y un ovalo o un circulo
para representar el resto de los conjuntos, la zona coloreada en verde es la que corresponde a la expresión
representada.
•• Caso 1
Este caso corresponde al conjunto universal y
engloba a todos los conjuntos que lo forman.
•• Caso 2
Corresponde a la unión de los conjuntos A y B, y
engloba a los elementos que pertenecen al conjunto
A o al B o a ambos simultaneamente.
•• Caso 3

El resultado es, dentro del conjunto universal U, la
unión de los elementos que pertenecen a A y no
pertenecen a B.
•• Caso 4
Corresponde al conjunto A.
•• Caso 5
Como se puede ver en la gráfica, es la unión de los
elementos que no pertenecen a A y los que
pertenecen a B.
•• Caso 6

Son los elementos que pertenecen a B.
•• Caso 7
Este caso, algo más complejo que los anteriores, esta
formado por: la unión de los elemento de la
intersección de A y B con la intersección de los
complementos de A y B, o lo que es lo mismo es: la
intersección de la unión de A y el complemento B
con la unión del complemento de A y B.
•• Caso 8
Corresponde a la intersección de A y B.
•• Caso 9

Corresponde a la unión de los complementos de A y
de B, o lo que es lo mismo: al complemento de la
intersección de A y B.
•• Caso 10
El resultado es la unión de, la intersección de A y el
complemento de B, con la intersección del
complemento de A y B.
•• Caso 11
El resultado es el complemento de B.
•• Caso 12

El resultado es la intersecció de A y el complemento
de B.
•• Caso 13
Es el complemento de A.
•• Caso 14
El resultado es la intersecció del complemento A y
de B.
•• Caso 15

El resultado es la intersecció del complemento A y el
complemento B, o lo que es lo mismo: el
complemento de la unión de A y B.
•• Caso 16
En este caso representamos el conjunto vacío.
Estos dieciséis casos son todas las combinaciones
que se pueden realizar con dos conjuntos, las
expresiones pueden tomar distintas formas pero serán
equivalentes a las expresadas.
Referencias
[1] Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (1981).
«1» (en español). Álgebra lineal. 1 (2 edición). Ediciones
Pirámide, S.A.. p. 28. ISBN 978-84-368-0175-0.
[2][2] Véase Barco Gómez, 2005, p. 21.
• Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana.
Aplicaciones tecnológicas. Universidad de Caldas.
ISBN 9789588231389.
• Larson, Harold J. (2002). Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. Editorial Limusa.
ISBN 9789681807306.
• Nachbin, Leopoldo (1980). Introducción al álgebra. Reverté. ISBN 9788429150995.
• Rivaud, J. (1981). Ejercicios de álgebra. ISBN 9788429151312.
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra de conjuntosCommons.

Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B que contiene todos
los elementos de A y de B.
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o
más) conjuntos es una operación que resulta en
otro conjunto cuyos elementos son los elementos
de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el
conjunto de los números naturales es la unión del
conjunto de los números pares positivos P y el
conjunto de los número impares positivos I:
P = {2, 4, 6, ...}
I = {1, 3, 5, ...}
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
La unión de conjuntos se denota por el símbolo
∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.
Definición
Unión de dos conjuntos A y B.
Dados dos conjuntos A y B, la unión de ambos, A
∪ B, es el conjunto que contiene todos los
elementos de A y de B:
La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B:
Ejemplo.

• Sean A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. La unión es A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.
• Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número
compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D) = {n: n es primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el único
número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.
En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener
elementos repetidos:
[1]
•• La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.
Generalizaciones
Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:
La unión de una colección finita de conjuntos A
1
, ..., A
n
es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dicha
colección:
Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo,
para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:
Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:
Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:
Esta definición coincide con las anteriores en el caso de una familia finita de conjuntos:
A ∪ B = ∪M, donde M = {A, B}
A
1
∪ ... ∪ A
n
= ∪M, donde M = {A
1
, ..., A
n
}
La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:
donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando M como {A
i
: i ∈ I}.
Propiedades
De la definición de unión puede deducirse directamente:
• Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :
A ∪ A = A
• Tanto A como B son subconjuntos de su unión:
A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B
• La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:
B ⊆ A implica que A ∪ B = A
La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

• Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :
A ∪ B = B ∪ A.
• Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:
A ∪ ∅ = A
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.
En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas:
Propiedad distributiva
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:
• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:
• A ∩ (A ∪ B) = A
Cardinalidad
El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos A y B es la suma de los elementos de A y de B, si no
tienen elementos en común.
Si A y B son conjuntos disjuntos:
Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si A y B tienen elementos en común, al sumar sus
elementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ejemplo:
{1, a, ♠} y {b, a, 5} tienen ambos tres elementos, pero su unión {1, a, ♠, b, 5} tiene cinco elementos y no
seis.
Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos de A ∪ B:
Dados dos conjuntos finitos A y B :
Esta fórmula se generaliza para el caso más complicado de una unión de un número arbitrario de conjuntos finitos.
Por ejemplo en el caso de tres conjuntos se tiene:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|
y en general se tiene el llamado principio de inclusión-exclusión:
Dada una colección finita de conjuntos A
1
, ..., A
n
:

Axioma de la unión
En teoría axiomática de conjuntos no puede demostrarse la existencia de la unión de conjuntos a partir de
propiedades más básicas. Es por ello que se postula la existencia de la unión, añadiendo como axioma el llamado
axioma de unión.
Referencias
[1] A diferencia de los multiconjuntos, que sí permiten repeticiones.
• Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad
Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5.
• Matoušek, Jiří; Nešetřil, Jaroslav (2008). Invitación a la matemática discreta. Reverte. ISBN 9788429151800. En el
capítulo 2.7 detalla el principio de inclusión-exclusión.
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
Intersección de conjuntos
La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los
elementos que pertenencen tanto a A como a B.
En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o
más) conjuntos es una operación que resulta en
otro conjunto que contiene los elementos
comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo,
dado el conjunto de los números pares P y el
conjunto de los cuadrados C de números
naturales, su intersección es el conjunto de los
cuadrados pares D :
P = {2, 4, 6, 8, 10,...}
C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
D = {4, 16, 36, 64, ...}
La intersección de conjuntos se denota por el
símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Definición
Intersección de dos conjuntos A y B.
Dados dos conjuntos A y B, la intersección de
ambos, A ∩ B es un conjunto que contiene los
elementos que pertenecen a ambos conjuntos:
La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B :
Ejemplo.
• Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.
• Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección
es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3}
= {8, 64, 512, ...}.
• Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún
número natural que sea par e impar a la vez.
Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:
Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:
Generalizaciones
La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la
propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersecten los conjuntos es irrelevante:
La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos
son conjuntos a su vez:
Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩M se define como:
De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:
A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B}
A
1
∩ ... ∩ A
n
= ∩M, donde M = {A
1
, ..., A
n
}

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:
donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {A
i
: i ∈ I}.
Propiedades
De la definición de intersección puede deducirse directamente:
• Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A :
A ∩ A = A
• La intersección de Ay B es un subconjunto de ambos:
A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B
• La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:
B ⊆ A implica A ∩ B = B
La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:
• Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C :
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A :
A ∩ B = B ∩ A.
• Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅:
A ∩ ∅ = ∅
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.
En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:
Propiedad distributiva
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:
• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:
• A ∩ (A ∪ B) = A
Teoría axiomática
En las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia de
conjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomático
de reemplazo.
Referencias
• Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad
Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5.

Conjunto vacío 22
Conjunto vacío
El conjunto vacío es aquél
que no tiene elementos.
En matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el
conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto
son sus elementos, el conjunto vacío es único.
En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.
Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.
Notación
El conjunto vacío es denotado por los símbolos:
derivados de la letra Ø. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.
[1]
Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus
elementos (ninguno) entre llaves:
Propiedades
El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades generales:
•• El conjunto vacío es único: dado dos conjuntos sin elementos, ambos son iguales. (Esto justifica hablar de "el conjunto vacío" y no de "un
conjunto vacío").
•• El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo:
• El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito :
Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:
Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como "ser mortal" o "ser un número primo"). Entonces todos los elementos del
conjunto vacío poseen esa propiedad.
Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir "todo hombre en Ø; es inmortal" es lo
mismo que afirmar que "no hay ningún hombre mortal en Ø", y esto último es trivialmente cierto.
Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:
• Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:
• Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:
• Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:
• Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:
Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el mismo Ø. Por lo tanto, el número cardinal de P(Ø)=1,
considerando que el cardinal del conjunto vacío es cero.

Conjunto vacío 23
Problemas comunes
El conjunto vacío, a pesar de contener nada, sigue siendo algo en sí mismo: un conjunto. Esta distinción es
importante si situamos a los conjuntos en un contexto. Por ejemplo, si imaginamos a los conjuntos como bolsas,
capaces de contener distintos elementos, el conjunto vacío sería aquella bolsa sin elementos dentro; pero aun así
seguiría siendo una bolsa.
Es por esto que el conjunto potencia siempre contiene al conjunto vacío.
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, por lo tanto, el conjunto vacío es vacío en el sentido de su cardinalidad
(que es igual a 0), y no en el sentido de su identidad.
Referencias
[1] Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician. Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Página 114.
• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag,
New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN
3-540-44085-2.
Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto A es otro
conjunto A
∁
que contiene todos los elementos
(dentro del universo U) que no están en A.
El conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto
que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original.
Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se
están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por
ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del
conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no
primos 'C', que está formado por los números compuestos y el 1:
P = {2, 3, 5, 7, ...}
C = {1, 4, 6, 8, 9,...}
A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto
complementario se denota por una barra vertical o por el superíndice
"∁", por lo que se tiene: P
∁
= C, y también C = P.
El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario
relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones
(complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Definición
Complementario de un conjunto A.
Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto A
∁
formado por
los elementos que no pertenecen a A:
El complementario de A es otro conjunto A
∁
cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:
Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación
"todos los x que no está en A", la palabra "todos" es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U,
entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación
con la diferencia es clara:
Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la
noción de complementariedad:
Ejemplo.
• El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
• Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11,
12, ...}.
• El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el
área del rectángulo).
Propiedades
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a
ninguno, se tiene lo siguiente:
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades
similares a la segunda:

• Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:
(A
∁
)
∁
= A
•• La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
A ∪ A
∁
= U
• Un conjunto y su complementario son disjuntos:
A ∩ A
∁
= ∅
• El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A:
B ⊆ A implica que A
∁
⊆ B
∁
Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:
Leyes de De Morgan
•• El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:
(A ∪ B)
∁
= A
∁
∩ B
∁
•• El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:
(A ∩ B)
∁
= A
∁
∪ B
∁
Referencias
Subconjunto
En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "está
contenido" dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un
subconjunto de B.
Definición
En la imagen, se observa un conjunto de polígonos, dentro del cual pueden
distinguirse algunos que son regulares. El conjunto de polígonos regulares en la
imagen es un subconjunto del conjunto de todos los polígonos en la imagen.
Un conjunto A formado por algunos de los
elementos de otro conjunto B es un
subconjunto de este último:

Subconjunto 26
Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que:
• A es un subconjunto de B, y se denota A ⊆ B
• B es un superconjunto de A, y se denota B ⊇ A
Otras maneras de decirlo son "A está incluido en B", "B incluye a A", etc.
Ejemplos.
El "conjunto de todos los hombres" es un subconjunto del "conjunto de todas las personas".
{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}
{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )
Subconjunto propio
Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene
el siguiente teorema:
Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.
Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.
Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:
Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Estonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊
B.
(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)
Todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.
También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o
subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.
[1]
Conjunto potencia
La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes
de A:
El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:
Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, digamos |A| = n, el conjunto potencia también es finito y
tiene 2
n
elementos.
Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

Subconjunto 27
Propiedades
El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.
Esto es debido a que "todo elemento de ∅ lo es de A" significa lo mismo que "∅ no tiene ningún elemento que no
esté en A", y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.
Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C,
entoces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:
Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.
Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y
viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente
por sus elementos, luego:
Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.
Propiedades avanzadas
La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A ⊆ A);
transitiva (A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C); y antisimétrica (A ⊆ B y B ⊆ A implica A = B).
Referencias
[1][1] Lipschutz, 1991, p. 3.
Enlaces externos
• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Subset de la Wikipedia en inglés, bajo licencias
Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 Unported y Licencia de Documentación Libre de GNU 1.2 o
superior.

Diferencia de conjuntos
La diferencia entre los conjuntos A y B (y viceversa) es
otro conjunto con todos los elementos del "minuendo",
salvo los contenidos en el "sustraendo".
En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una
operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos
aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el
segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los
números naturales N y el conjunto de los números pares P es el
conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
P = {2, 4, 6, 8,...}
I = {1, 3, 5, 7, ...}
Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la
diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el
conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota
por A B ó A − B, por lo que: N P = I, y también P − N = ∅.
Definición
Diferencia entre los conjuntos A y B, y viceversa.
Dados dos conjuntos A y B, su diferencia, A B es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no están en
B:
La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A B (o también A − B) cuyos elementos son todos aquellos elementos de A
que no lo sean de B:
La diferencia entre A y B también se denomina complemento relativo de B en A, y se denota ∁
A
B, cuando el
segundo es un subconjunto del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y
complemento (ver más abajo). La norma ISO da preferencia a la notación con barra invertida.
[cita requerida]
Ejemplo.
• Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A B = {♠, 5, R} y B A = {p, 9, Δ}
• Sean los conjuntos de números naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P P es entonces
{n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}. Por otro lado, P P = {n: n es primo y no
es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}.

• En la introducción se mostró que la diferencia P N es el conjunto vacío. Además, P I es igual a P: ningún
número par es a la vez un número impar.
Propiedades
De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:
• Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio conjunto:
A − ∅ = A
•• La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:
A − A = ∅
Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:
• La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo:
A − B = ∅ si y sólo si A ⊆ B
• La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si sólo si ambos conjuntos son disjuntos:
A − B = A si y sólo si A ∩ B = ∅
La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que no
comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad:
Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, pero su unión es el primero de los conjuntos iniciales:
(A ∩ B) ∩ (A B) = ∅, pero (A ∩ B) ∪ (A B) = A
Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre A y B son una (posible) partición de A.
La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto:
El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y él mismo:
A
∁
= U A
Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, A menos B, se denomina también el complemento relativo de B
respecto de A: A B es el complemento absoluto de B, considerando a A como el conjunto universal . Las leyes de De
Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de
conjuntos, si se tiene en cuenta que
Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo:
A B = A ∩ B
∁
Bibliografía

Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos disjuntos A y B.
Se dice que dos conjuntos son disjuntos si no
tienen ningún elemento en común . Por ejemplo,
{1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.
Definición formal
Los conjuntos A y B no tienen ningún elemento en común.
Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su
intersección es el conjunto vacío; es decir, si
Esta definición se extiende a cualquier colección de conjuntos.
Los conjuntos de una tal colección son disjuntos por pares o
mutuamente disjuntos si cualquier par de conjuntos distintos
de ella son disjuntos.
Formalmente sea A
i
un conjunto para cada i ∈ I (donde I es
cualquier conjunto). La familia de conjuntos {A
i
| i ∈ I} es
disjunta por pares si para cada i, j ∈ I, con i ≠ j,
Por ejemplo, la colección de conjuntos { {1}, {2}, {3},... } es
disjunta por pares.
Si la colección {A
i
} es disjunta por pares, su intersección es
obviamente vacía:
La implicación inversa no es, sin embargo, cierta: la intersección de la colección es vacía, pero la colección no es
disjunta por pares; no hay, de hecho, dos conjuntos disjuntos en ella (no hay ningún elemento perteneciente a la
intersección común, pero sí lo hay en la intersección entre cada par).
Una partición de un conjunto X es una colección de subconjuntos no vacíos {A
i
| i ∈ I} de X, disjuntos por pares,
tales que

Enlaces externos
• Conjunto disjunto
[1]
Referencias
[1] http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/cdisjuntos.htm

Fuentes y contribuyentes del artículo 32
Fuentes y contribuyentes del artículo
Teoría de conjuntos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55714319 Contribuyentes: .José, 4lex, Aadrover, Acastiello, Airunp, Aleator, Alephcero, AlfonsoERomero, Alhen,
Allforrous, Andreasmperu, Antur, Antón Francho, Aracne, Ascánder, Banfield, Biasoli, Cain31415, Chalisimo5, Chanchocan, Cheveri, Cinabrium, Cobalttempest, Comae, Crescent.Moon,
Cuate77, Cuky, Cyberdelic, Daipop, Danieleditor, Davidsevilla, Davius, Dianai, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Ebr, Eduardosalg, Ejrrjs, Elessar.telkontar, Elodar, Elwikipedista, Eqcedwin,
Farisori, Fmr cosm, Fsd141, Götz, HiTe, Humbefa, Héctor Guido Calvo, JAGT, Javierito92, Jkbw, Jorge C.Al, JorgeGG, Joseaperez, Joxemai, Juan Marquez, Juanes.the.best, Julio grillo,
Kiaramaria, Kismalac, Klauestte, Kn, Kolmogorov, Kronoss, Kved, Latiniensis, Laura Fiorucci, Lauranrg, Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Lolmaker, Lucien leGrey, Mafores, Magister
Mathematicae, Maldoror, Manwë, Marsa, Matdrodes, Mauricio Maluff, Maximiliano Ulloa Castillo, Moriel, Mortadelo2005, Mpagano, Muro de Aguas, Nicolasdiaz, Nicop, Nyx, Oblongo,
Paintman, Palach, Pan con queso, Pólux, Ramjar, Raulshc, Raystorm, Redjhawk, Retama, Richy, Rimeju, Rioman, Roman.astaroth, Rsg, Rubenerm, Sabbut, Samid Limon, Savh, SuperBraulio13,
Superzerocool, Tano4595, Technopat, Tirithel, Tito HX, Toad32767, Tomas Sánchez, Torquemado, Ty25, Vargenau, Vitamine, Vivero, Wewe, Wikisilki, Willtron, Yeza, 450 ediciones anónimas
Elemento de un conjunto Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55498096 Contribuyentes: Acratta, Dnu72, Farisori, Jkbw, Jorge c2010, Kismalac, Miss Manzana, 13 ediciones
anónimas
Conjunto finito Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55338570 Contribuyentes: Airunp, Andres ernesto guzman, AntBiel, Daniel unam, Diegusjaimes, Egaida, Farisori,
GermanX, Ggenellina, HUB, Kismalac, Magister Mathematicae, Matdrodes, Orgullomoore, Queninosta, Tamorlan, Wilfreddehelm, 11 ediciones anónimas
Conjunto infinito Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54796865 Contribuyentes: Alephcero, Diegusjaimes, Digigalos, Domaniom, Farisori, Ggenellina, HUB, Kismalac, Martín
Oregón, Sabbut, Tomatejc, 8 ediciones anónimas
Álgebra de conjuntos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54018448 Contribuyentes: Ascánder, Açipni-Lovrij, Comae, Diegusjaimes, Digitalfredy, Dnu72, HiTe, Ingenioso
Hidalgo, Jaxielle, Jomra, Juanes.the.best, Kismalac, Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Melocoton, Qwertyytrewqqwerty, Unaiaia, Vitamine, 35 ediciones anónimas
Unión de conjuntos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55980876 Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Domaniom, Elwikipedista, HiTe, Jarisleif, Jkbw, Katastrofico,
Kismalac, Lipedia, MI GENERAL ZAPATA, Magister Mathematicae, Mpagano, Netito777, Netzahualcoyotl, Nicop, Sanbec, Seanver, Siempreraul, Superzerocool, 44 ediciones anónimas
Intersección de conjuntos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55985455 Contribuyentes: .Sergio, Antur, Açipni-Lovrij, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Domaniom, Eduardosalg,
Elwikipedista, Farisori, Fibonacci, Gelpgim22, Gusbelluwiki, HiTe, Hprmedina, Ingenioso Hidalgo, Jarisleif, Jkbw, Kismalac, Lipedia, MI GENERAL ZAPATA, Matdrodes, Xerox 5B, 46
ediciones anónimas
Conjunto vacío Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56288785 Contribuyentes: Alvaro qc, Charly genio, Connie Sachs, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo,
Edmenb, Emijrp, Erik Mora, Farisori, Götz, Interwiki, Jkbw, Kismalac, Mansoncc, Manzarek, Matdrodes, Mel 23, Moriel, Numbo3, Raulshc, Raystorm, SMP, Slinky duck, 46 ediciones
anónimas
Complemento de un conjunto Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56209312 Contribuyentes: Antonorsi, Antur, Baiji, C'est moi, Dnu72, Domaniom, Farisori, HUB, HiTe, Isha,
Jkbw, Juan Mayordomo, Kismalac, Leonpolanco, Lipedia, MI GENERAL ZAPATA, MasterPetar, Matdrodes, Predalien Runner, Pólux, Xenoforme, Yabama, 42 ediciones anónimas
Subconjunto Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54937252 Contribuyentes: Barteik, Biasoli, BlackBeast, Cal Jac02, Dangelin5, Dnu72, Eduardosalg, Farisori, HiTe, Hprmedina,
Humbefa, Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez, Kismalac, Komputisto, MI GENERAL ZAPATA, Matdrodes, Moriel, Mpagano, Oscarjquintana, Pólux, Rdaneel,
Ricardogpn, SMP, Sabbut, SaeedVilla, Youssefsan, 58 ediciones anónimas
Diferencia de conjuntos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56187296 Contribuyentes: Açipni-Lovrij, Banfield, Camilo48, Daniel 1234567890, Danieleditor, Danielsidhe,
Digigalos, Dnu72, Dreitmen, Edslov, Eduardosalg, Farisori, Fenicio, Fotofilo, GaborLajos, HUB, HiTe, Isha, Jkbw, Kismalac, Linkedark, Lipedia, Magister Mathematicae, Martín Oregón,
Matdrodes, Physlord, Robertollefi, SMP, 55 ediciones anónimas
Conjuntos disjuntos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55895781 Contribuyentes: Driani65, Fibonacci, Foundling, HiTe, Julie, Kismalac, Krun00, Leonpolanco, Magister
Mathematicae, Mar del Sur, Neodop, Snakefang, 10 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 33
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
Image:ContinuumHypothesis.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:ContinuumHypothesis.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0
Contribuyentes: User:kismalac
Archivo:Commons-logo.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg Licencia: logo Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt and
cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.
Archivo:SubsetVsElement.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SubsetVsElement.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes:
User:kismalac
archivo:DosConjuntos200.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DosConjuntos200.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes:
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
User:Dnu72
Archivo:PolygonsSetUnion.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSetUnion.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes:
User:kismalac
Archivo:SetUnion.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetUnion.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: kismalac
Archivo:PolygonsSetIntersection.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSetIntersection.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0
Archivo:SetIntersection.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetIntersection.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: kismalac
Archivo:nullset.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nullset.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Spindled
Archivo:PolygonsSetComplement.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSetComplement.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0
Archivo:SetComplement.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetComplement.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:kismalac
Archivo:PolygonsSet.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSet.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: kismalac
Archivo:PolygonsSetDifference.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSetDifference.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0
Archivo:SetDifferenceA.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetDifferenceA.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: kismalac
Archivo:SetDifferenceB.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetDifferenceB.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: kismalac
Image:DisjointSets.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DisjointSets.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:Kismalac
File:DisjointPolygonsSets.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DisjointPolygonsSets.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:Kismalac

Licencia 34
Licencia
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Teoría de conjuntos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Más de billod

Más de billod (20)

Último

Último (20)

Teoría de conjuntos