1. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Texto: Mª Margarita La Belle
Ilustración: Leonor Salazar
Érase una vez un niño que anhelaba, más que nada en la vida, ir al País de las Matemáticas. Quería
trepar por la geometría y deslizarse por largas ecuaciones. Ahí no vivían más que cifras, bellas cifras con las
que uno podía hacer toda clase de acrobacias. Desde contarse los dedos de los pies hasta calcular el tiempo
que un astronauta tardaría en recorrer la distancia entre la
Tierra y la Luna.
El niño esperó hasta que se desesperó, y una
buena mañana, al despertar, se dijo, "Ya no esperaré más.
Voy a ir al país de las Matemáticas porque es ahí donde
quiero estar."
Y, sin mirar atrás, emprendió su camino.
Primero, pasó a una mapería, o sea una tienda
donde venden mapas para llegar a cualquier parte. Y se
compró un mapa para orientarse.
Con su mapa en la mano, el niño se sentía aún más
intrépido. Abriéndolo con mucho cuidado, leyó:
PARA LLEGAR AL PAÍS DE LAS MATEMÁTICAS,
HAZ LO SIGUIENTE SIN SALTARTE NINGUNA INDICACIÓN:
SAL DE LA CIUDAD SIGUIENDO LAS FLECHAS GRANDES.
El niño leyó esto, y levantó la vista. Justamente, en
la esquina de enfrente, había una flecha grande y otra
chica. Doblando su mapa, el niño atravesó la calle, y se
echó a andar en la dirección que señalaba la flecha...
grande.
Ya fuera de la ciudad, no veía ninguna otra flecha,
de manera que volvió a consultar su mapa.
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 1

2. Introducción
EN EL CAMPO ENCONTRARÁS UNA GRAN PIEDRA EN FORMA DE CÓNDOR. DE ESA PIEDRA
PARTEN UN CAMINO RECTO Y OTRO CURVO. TOMA EL CAMINO RECTO HASTA
LLEGAR A UN CORRAL CERRADO. ASÓMATE Y ADENTRO VERÁS UN CONJUNTO
DE OVEJAS.
El niño caminó y, efectivamente,
después de un rato llegó a un corral cerrado,
en donde estaban varias ovejas.
DEL OTRO LADO DEL CAMINO UN
POCO MÁS ADELANTE HAY OTRO CORRAL,
PERO ABIERTO. AFUERA DE ESE CORRAL,
VERÁS OTRO CONJUNTO DE OVEJAS. METE LAS OVEJAS A ESE
CORRAL ABIERTO Y SEPÁRALAS POR COLORES.
Al leer aquello, el niño se sintió algo nervioso. Él no era pastor,
y nunca había tratado a ovejas. No sabía a ciencia cierta si no les daba
por morder o patear. Pero, armándose de valor, procedió a seguir las
instrucciones del mapa.
Realmente, no estaba muy
a gusto. Él quería ir al País de las Matemáticas, no cuidar a ovejas. ¿Qué
tenían que ver las ovejas con las
matemáticas?
En fin. Ya había logrado
meter las ovejas al corral, y ya
estaban separadas por color: las
blancas en un rincón y las cafés
en otro. ¿Y ahora qué?
ACABAS DE FORMAR UN
SUB‐CONJUNTO CAFÉ Y OTRO
SUB‐CONJUNTO BLANCO, LEYÓ EN EL MAPA.
AFUERA DEL CORRAL HAY UN BOTE. EN ÉL ENCONTRARÁS
UNOS CENCERROS. PONLE UNO A CADA OVEJA. NO DEBE FALTARTE
NI SOBRARTE NI UNO.
El niño no tardó en encontrar el bote de cencerros y, ya con un poco más de confianza, le amarró
un cencerro a cada oveja. Ni le faltaron, ni le sobraron.
AHORA, CRUZA EL CAMINO Y VE SI EN EL CORRAL
CERRADO HAY UNA OVEJA PARA CADA OVEJA QUE HAY EN EL
CORRAL ABIERTO.
Afortunadamente, el niño
traía su plumón, y se le ocurrió
marcar una oveja del corral
abierto y otra del corral cerrado,
y otra del corral abierto y otra del
corral cerrado, y así hasta
terminar con todas...
Pero sobraba una oveja
en el corral cerrado, una oveja
negra.
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3. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Un tanto agotado, el pobre niño se sentó a un lado del camino, y abrió una vez más su mapa.
El niño tuvo que ir a asomarse varias veces a cada corral, para asegurarse que por cada oveja había
puesto una piedrita o una piedrota. Pero, finalmente se sentó frente a sus dos corrales. Estaba satisfecho.
Volvió a consultar su mapa.
SACA LAS PIEDRAS DE LOS CORRALES, Y FRENTE A CADA PIEDRITA PON UNA PIEDROTA.
Eso era fácil, eso lo podía hacer sentado ahí mismo. Alineó todas sus piedritas, y frente a cada una
colocó una piedrota, pero sobraba una.
"Claro," gritó el niño. "¡Es la oveja negra!
HAS FORMADO UNA LÍNEA DE PIEDRITAS Y OTRA LÍNEA DE
PIEDROTAS. CADA LÍNEA ES UNA CANTIDAD, Y CADA CANTIDAD TIENE
SU NOMBRE, QUE ES UN NÚMERO. UNA PIEDRA SOLA ES UNA. UNA
PIEDRA MÁS OTRA SON DOS. DOS PIEDRAS MÁS OTRA SON TRES.
TRES PIEDRAS MÁS OTRA SON CUATRO. CUATRO PIEDRAS MÁS OTRA
SON CINCO. CINCO PIEDRAS MÁS OTRA SON SEIS. SEIS PIEDRAS MÁS
OTRA SON SIETE. SIETE PIEDRAS MÁS OTRA SON OCHO. OCHO
PIEDRAS MÁS OTRA SON NUEVE. Y NUEVE PIEDRAS MÁS OTRA SON
DIEZ. ...Y ASÍ HASTA NUNCA ACABAR.
AHORA, PONLE SU NÚMERO A TU LÍNEA DE PIEDRITAS, Y A TU
LÍNEA DE PIEDROTAS.
"¿A ver?", dijo el niño.
"Una piedrita más otra son dos.
Dos piedritas más otra son tres..."
Tenía nueve piedritas y diez
piedrotas.
YA PUEDES CONTAR, leyó
el niño en su mapa.
AHORA CUENTA LAS
OVEJAS BLANCAS Y CUENTA LAS
OVEJAS CAFÉS QUE ESTÁN EN EL
CORRAL ABIERTO.
El niño alineó cuatro piedritas que eran las ovejas blancas, y abajo de esas alineó otras cinco que
eran las ovejas cafés. Eran todas sus piedritas. O sea cuatro mas cinco eran nueve.
YA PUEDES SUMAR
Y SI ENTRE ESTAS NUEVE OVEJAS HAY DOS QUE
ESTÁN SUCIAS, Y LAS SACAS DEL CORRAL, ¿CUÁNTAS
TE QUEDAN?
"A nueve le quito dos,"dijo el niño moviendo sus
piedritas.
"Quedan... ¡siete!
YA PUEDES RESTAR
Y SI ESAS DOS OVEJAS SUCIAS SE ENOJAN PORQUE LAS
SACASTE DEL CORRAL Y CADA UNA DE ELLAS TE DA TRES TOPES,
HABRÁS RECIBIDO TRES TOPES POR DOS OVEJAS, O SEA...
¡seis topes!
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 3

4. Introducción
YA PUEDES MULTIPLICAR.
Y SI LAS SIETE OVEJAS QUE QUEDARON EN EL CORRAL, LES REPARTES SIETE BULTOS
DE ALFALFA, A CADA UNA DE LAS OVEJAS LE TOCARÁ...
¡Un bulto!
YA PUEDES DIVIDIR.
Ah, ¡que bonito!, pensó el niño mirando al cielo. Las nubes comenzaban a tornarse rosadas. Todo
el día se le había ido en caminar y contar ovejas y piedras. Y aún no llegaba al País de las Matemáticas.
¿Cuánto faltaría?
YA CONOCES LOS NÚMEROS, PUEDES CONTAR, PUEDES SUMAR,
RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR. AHORA CAMINA HACIA LA PUESTA DEL SOL, Y
BUEN VIAJE.
El niño se levantó y caminó hacia el
poniente. El sol lo deslumbraba, pero al
cabo de un momento en el horizonte
distinguió la silueta de la geometría con sus
cubos y sus prismas. Y entre ellos veía algo como hilos plateados...
¿Sería posible? ¡Sí! ¡Eran las ecuaciones! El niño dio un brinco
de alegría, y se echó a correr. Además de contar, ahora iba a poder
medir, pesar, calcular y hacer todas las cosas que se hacen con
números. Por fin había entrado al País de las Matemáticas.
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5. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Tema 1.‐ Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas
Resolución de Problemas
1.1.‐ ¿Qué significa aprender matemáticas?
"El problema de la enseñanza de la matemática necesita un estudio permanente.
No existen fórmulas mágicas para resolver los problemas humanos,
pero existe la posibilidad de ir corrigiendo defectos aprovechando la experiencia de los fracasos"
P. ABELLANAS
El fin primordial de la educación, la formación total del alumno, se desarrolla a través de un cultivo
armonioso y equilibrado de sus aptitudes, que le llevan a un despliegue máximo de su personalidad a un
nivel individual y en un plano social. Esto es, se trata de formar de la manera más idónea posible a un
hombre que ha de vivir con otros hombres, que está llamado a integrarse en la sociedad. Desde esta
perspectiva, no sólo tiene un carácter formativo el fomento de sus facultades intelectuales, morales, físicas,
etc. Sino también el cultivo de aspectos que podemos considerar de tipo convencional (el lenguaje, el
cálculo numérico, conocimiento de magnitudes y sus medidas, etc.), sobre los cuales se desarrolla una gran
parte de la convivencia humana. La dimensión social es un elemento constitutivo de la persona; no en vano
los clásicos nos hablan del hombre como animal social.
Factores formativos de la persona. El profesor de Matemáticas es esencialmente y ante todo un
educador, y en su calidad de tal la meta de su misión es contribuir del mejor modo posible a la formación
integral del alumno.
Existen múltiples factores formativos en la vida de toda persona. Fundamentalmente podemos
dividirlos en dos grandes grupos:
 Los factores «asistemáticos», que en su mayor parle son fruto del ambiente que rodea a cada
individuo. Es innegable y sería muy de desear que de un modo consciente se considerase y se
potenciara la influencia de la vida familiar; es asimismo importante el valor formativo (sea de
carácter positivo o negativo) que puedan aportar las amistades y el trato con compañeros, el de los
juegos, la repercusión de las lecturas, la configuración que van dando a las propias ideas los
programas televisivos, etc.
 Los factores de tipo «sistemático», es decir, los que de un modo consciente y planificado intentan
formar a la persona. Dentro de este grupo ocupa un lugar primordial la actividad de los centros de
enseñanza, donde, al menos teóricamente, todo está orientado y programado para contribuir a la
formación del alumno.
Pudiera plantearse la cuestión de la mayor o menor importancia de unos factores frente a los otros.
Parece, sin embargo, más útil que entrar en disquisiciones, considerar que quienes se ocupan de modo
sistemático de la educación de la persona, no pueden ni deben tratar de anular los factores formativos del
primer grupo. Y que una buena enseñanza ha de procurar tenerlos en cuenta, para establecer conexiones
entre ellos, para aprovecharlos o intentar mejorarlos si fuera preciso.
En este orden de ideas, consideramos que el profesor de Matemáticas tiene como modo específico
de contribuir a la formación del alumno, la utilización más adecuada de los medios que le brinda la
Matemática. Por ello una condición necesaria para que su tarea sea eficaz es que posea un conocimiento
serio de su materia, quizá no tanto en extensión como en profundidad, así como una serie de ideas claras,
fruto de una honda reflexión acerca de las posibilidades educativas de la Matemática. Estimamos que la
Matemática, por ser una de las ciencias más antiguas, ha alcanzado un alto grado de desarrollo, por lo cual
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 5

6. Tema 1
ofrece un modelo excelente de lo que significa una elaboración científica, y todo razonamiento humano, en
definitiva, encierra en mayor o menor proporción un proceso de elaboración científica.
Sobre estos supuestos vamos a tratar de responder a esta cuestión: ¿Cuáles son las posibilidades
formativas específicas de la Matemática?
Admitimos que la enseñanza de la Matemática se dirige principalmente, aunque no
exclusivamente, a la formación intelectual del alumno. Entendemos que la formación intelectual se realiza
de modo particular a través del cultivo de los siguientes factores:
 Capacidad creadora.
 Matematización de situaciones reales.
 Exigencia de rigor lógico.
 Facultad de comprensión y resolución de situaciones problemáticas, susceptibles de ser asumidas
de un modo matemático.
 Poder de abstracción.
 Adquisición de automatismos mentales.
 Cultivo de la intuición espacial.
No pretendemos que la atención a estos factores sea algo exclusivo de la enseñanza de la
Matemática, pero sí creemos que a través de ella se presentan excelentes ocasiones para hacerlo. Más
adelante nos detendremos en el análisis de estos puntos e intentaremos presentar modelos concretos de
aplicación de estos factores.
La enseñanza de la Matemática contribuye también a configurar la personalidad del alumno a
través de aspectos, entre los que podríamos destacar los siguientes:
 Creación de un hábito de trabajo, tanto realizado individualmente como en grupo.
 Como consecuencia de lo anterior, valoración positiva de todo esfuerzo humano.
 Aceptación leal y sin resentimiento de los propios errores y limitaciones, compatible con el tesón y
la confianza en el fruto de un trabajo perseverante.
En el cultivo de estos factores influye de un modo decisivo la actitud del maestro, que deberá hacer
sentir al alumno que las dificultades que la Matemática le plantea son un aspecto más de las dificultades
que la vida le ofrece y le seguirá ofreciendo y que debe enfrentarse a ellas con dignidad y realismo. Lo
mismo cabe decir de las satisfacciones que proporcionan los pequeños éxitos obtenidos y no es fácil
aceptar sus consecuencias con naturalidad y sencillez, sin que impliquen menosprecio hacia los demás o
una supervaloración propia, en el mejor de los casos estéril.
Es cierto que la Matemática es la materia que más refleja los desniveles existentes entre los
alumnos. Muchas veces el niño se siente impotente o inseguro ante una cuestión, o, lo que también es muy
frecuente, piensa ya de entrada que «no vale para las matemáticas». La labor del maestro consistirá
entonces en ir presentando cuidadosa y gradualmente las dificultades, de modo que el alumno llegue a ver
que su esfuerzo le permite alcanzar resultados. Hay que partir de la base de que ningún alumno es
específicamente negado para las Matemáticas. Aquí convendría tener muy en cuenta el consejo del
profesor Puig Adam: «Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento». La consecución de estos
éxitos le animará a seguir trabajando. Y cuando no llegue al resultado apetecido, que el maestro sepa
valorar su esfuerzo: puede proponerle una cuestión análoga y de menor dificultad que el alumno pueda ya
resolver ayudado por su trabajo anterior; también puede resultar muy eficaz el análisis de los errores y de
las respuestas incompletas o mal expresadas, que oriente al niño y le estimule a continuar su esfuerzo. En
todo caso, que un fallo no sea fruto del desinterés o de la pereza, sea siempre un punto de partida valioso
para un trabajo en mejores condiciones.
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7. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
En alguna ocasión se ha hablado de evitar dificultades y paliar la manifestación de las diferencias
(en cuanto se refieren a grado de inteligencia, ritmo de trabajo, interés por la materia, aptitudes idóneas,
etc.) existentes entre los alumnos, a base de no dar calificaciones numéricas y de uniformar en lo posible la
clase. Entendemos que esto conduce a una situación artificial, que por lo mismo no puede ser formativa. El
niño de hoy, que llegará a ser el hombre de mañana, deberá estar preparado para entrar en el terreno
necesario de la competitividad, para considerar sin trauma las mejores condiciones de otros hombres, para
aceptar en definitiva su propia identidad y sus propias circunstancias, que habrá de mantener siempre
abiertas a las mejoras que le proporcione su esfuerzo. Todas estas aptitudes deben fomentarse ya en la
escuela la enseñanza de la Matemática aporta buenas ocasiones para ello.
1.2.‐ Teorías sobre el aprendizaje. Teorías sobre el aprendizaje en matemáticas
Diversas teorías nos ayudan a comprender, predecir y controlar el comportamiento humano,
elaborando a su vez estrategias de aprendizaje y tratando de explicar cómo los sujetos acceden al
conocimiento. Su objeto de estudio se centra en la adquisición de destrezas y habilidades en el
razonamiento y en la adquisición de conceptos.
La gran mayoría de los trabajos de investigación que se llevan a cabo en el área de Didáctica de las
Matemáticas versan sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, esto muestra su enorme relevancia
para este dominio de conocimiento científico.
Los modelos teóricos que presentaremos no tienen más objeto que servirnos como un conjunto de
principios que explican el fenómeno del aprendizaje matemático, nos ofrecerán marcos de referencia para
interpretar los comportamientos de los alumnos, así como Ias intervenciones y decisiones del profesor/a,
permitiéndonos dar respuesta a la pregunta básica: ¿Cómo ocurre el aprendizaje matemático?
Para facilitar el estudio de los aspectos relacionados con el aprendizaje de los alumnos, se establece
una relación de complementariedad entre la Didáctica de las Matemáticas y el dominio de la psicología, ya
que «la aproximación psicológica es un instrumento indispensable para esclarecer el modelo del
funcionamiento cognitivo del sujeto en relación con el saber y para poner así en entredicho las tesis
empiristas que sustentan las prácticas de los enseñantes».
Con el riesgo de simplificar los modelos teóricos de las diversas concepciones que existen sobre el
aprendizaje matemático de los alumnos, nos centraremos en los dos modelos más relevantes: empirismo y
constructivismo.
1.2.1.‐ Empirismo
Esta concepción de aprendizaje se fundamenta en una concepción espontánea que está presente
en la mayoría del profesorado: «EI alumno aprende lo que el profesor explica en clase no aprende nada de
aquello que no explica». Es una concepción que apenas se hace explicita, pero que está muy extendida
entre los miembros de toda la comunidad educativa. Piaget la denominó «empirista»1, basándose en la
concepción filosófica del mismo nombre que sostiene que la experiencia es la única forma de
conocimiento.
Bajo esta concepción, el discurso del maestro se registra en el alumno, a quien no se considera
capaz de crear conocimientos. Su aprendizaje es considerado como un «trasvase» de los saberes que le
proporciona el maestro, se limita a recibir bien los contenidos. Así, el saber matemático, enunciado y
1
«Llamamos empirismo epistemológico a la doctrina según la cual todo conocimiento proviene de la experiencia
externa o interna, experiencia concebida como una lectura o un registro de propiedades totalmente organizadas, bien
sea en los objetos, bien en sujeto» (Piaget). Las dos corrientes filosóficas: empirismo y racionalismo y las teorías del
aprendizaje (conductismo y cognitivismo) no coinciden exactamente; de cualquier forma, las teorías conductuales
suelen ser en general empiristas, mientras que las teorías cognoscitivas incorporan posturas más racionalistas.
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 7

8. Tema 1
explicado por el profesor, se imprime de un modo directo e inmediato en el alumno y, si existiese alguna
intervención distinta de la palabra del profesor, los objetos matemáticos los «verá» o los «tocará». Como
consecuencia, en este modelo existe un gran abuso de las presentaciones ostensivas en la enseñanza. «La
ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones matemáticas». Así,
por ejemplo, en la Escuela Infantil las figuras geométricas tales como el triángulo, el círculo, el cuadrado, el
rectángulo, etc., o bien las posiciones relativas de los objetos en el espacio, se presentan a los alumnos de
forma ostensiva. Veamos siguientes ejemplos.
1.‐ El profesor presenta todos los elementos constitutivos de estos objetos
geométricos de un solo «golpe de imagen». Suele ser una práctica muy
económica y útil en el trabajo docente, ya que los niños rápidamente las
reconocen y aprenden a nombrarlas. Ahora bien, en cursos posteriores,
cuando sea necesario utilizar triángulos o rectángulos, si los alumnos solo
conocen estas figuras por medio de estas imágenes ostensivas, únicamente
habrán alcanzado un éxito ilusorio, ya que este modo de presentación
impide la generalización y la abstracción.
2.‐ La imagen es el soporte que el profesor emplea para presentar
ostensivamente las nociones de encima de y debajo de
En el ideal empirista, profesor y alumno no deben equivocarse: el error está relacionado con el
fracaso, le impide llegar al éxito en su tarea. Por ello, los errores pueden crear malos hábitos en los
alumnos, pueden ocupar el lugar de la respuesta correcta. Las causas del error las suelen plantear los
maestros en términos de lagunas, faltas, nociones parcialmente asimiladas. Conviene, pues, que el alumno
tenga pocas ocasiones de encontrase con el error. «Se intenta hacer una especie de manera al error.
Aceptar los errores para canalizarlos y posteriormente evacuarlos pondría en duda de forma profunda el
sistema de enseñanza».
En esta hipótesis, la enseñanza ideal consistirá en un «curso» donde el maestro no cometa ningún
error, seguido de preguntas o tareas donde el alumno tenga la ocasión de responder correctamente,
constatando, de este modo, que ha comprendido perfectamente. Sin embargo, si aceptamos que para
«hacer matemáticas», el alumno debe resolver problemas, debemos considerar normal que conviva con la
incertidumbre: el desconcierto, la duda y los tanteos están en el corazón mismo del aprendizaje de las
matemáticas. Los alumnos deben superar muchas dificultades, pero sobre todo muchos errores. El
profesorado tiene que entenderlos como algo necesario porque solo si los detectan y son conscientes de su
origen pondrán medios para superarlos. «Quien practica la ciencia sabe bien que su fuerza no proviene de
ninguna infalibilidad intrínseca, sino bien al contrario de su capacidad de autocorrección incesante».
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9. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
1.2.2.‐ Constructivismo
Todos sabemos que muchos conocimientos pueden transmitirse de una generación a otra sin
mucho esfuerzo, sin apenas ser conscientes de su adquisición, como si nos impregnáramos de ellos, por
simple imitación, mientras que para otros hemos necesitado una verdadera construcción y una
determinada y decidida intención de aprender. Considerar que el aprendizaje de ciertos conocimientos
supone una actividad propia del sujeto es aproximarse a la corriente constructivista.
En los últimos años hemos estado inmersos en el desarrollo y aplicación de la teoría constructivista.
En todo su desarrollo existe una idea fundamental que la preside: Aprender matemáticas significa construir
matemáticas. Las hipótesis fundamentales sobre las que se apoya esta teoría, extraídas de la psicología
genética y de la psicología social, las podemos resumir así:
1ª Hipótesis: El aprendizaje se apoya en la acción. Idea fundamental en la obra de Piaget: «Es de la
acción de la que procede el pensamiento en su mecanismo esencial, constituido por el sistema de
operaciones lógicas y matemáticas».
Conviene señalar que el término «acción» se utiliza con mucha frecuencia en dominios pedagógicos
y didácticos, asignándole el significado de «llevar a cabo manipulaciones» sobre determinados materiales.
Sin embargo, el término «acción» en matemáticas va más allá, se trata de anticipar la acción concreta, es
decir, de construir una solución que nos puede dispensar incluso del manejo de los objetos reales, bien sea
porque los objetos no están disponibles, bien porque son demasiado numerosos y sería costosísima su
manipulación. Las «acciones» a las que nos referimos en esta primera hipótesis, si bien pueden tener su
origen en manipulaciones reales previas, que podría evocar mentalmente o incluso verbalmente el sujeto,
no tienen necesidad de identificarse siempre con manipulaciones efectivas, En cualquier caso, la solución
matemática (la acción matemática) se opone a la solución práctica (la acción sobre lo real): la acción sobre
los objetos reales conduce frecuentemente a llevar a cabo una constatación, mientras que la acción
matemática, incluso si no utiliza un procedimiento experto, se sitúa al nivel de una anticipación.
En la Escuela Infantil, necesariamente, los niños iniciarán la construcción del conocimiento
matemático a través de acciones concretas y efectivas sobre objetos reales y probarán la validez o invalidez
de sus procedimientos manipulando dichos objetos. Estas acciones le ayudarán a apropiarse de los
problemas, a comprender la naturaleza de las cuestiones formuladas, a configurar una representación de la
situación propuesta. Será también en este nivel donde comenzarán a anticipar resultados matemáticos
relativos a situaciones ausentes o incluso no realizadas (simplemente evocadas), pero de las que disponen
de ciertas informaciones. Constatarán que el conocimiento matemático les dispensará de llevar a cabo la
acción concreta sobre los objetos reales.
2ª Hipótesis: La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa por
estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los cuales los conocimientos anteriores se
ponen en duda.
Si este desequilibrio es superado, esto implica que hay una reorganización de los conocimientos: los
nuevos conocimientos se van integrando con los anteriores, apoyados en los procesos de asimilación y
acomodación. Se trata de aplicar el modelo facilitado por la teoría de la equilibración de Piaget.
En el curso de la acción sobre un determinado medio, las contradicciones aparecen en el
sujeto como producto de los desequilibrios, y debe modificar sus representaciones, se produce lo que
Piaget ha denominado acomodación, que supone, básicamente, una modificación en el sujeto
causada por el medio (perturbación). De manera recíproca, las transformaciones realizadas por el
sujeto para dar respuesta a las perturbaciones modifican su organización del medio, produciéndose
entonces un proceso de asimilación. El doble juego acomodación/asimilación esta en el centro de los
mecanismos de los procesos de equilibración.
El aprendizaje, pues, no se reduce a una simple memorización, a una yuxtaposición de «saber‐
hacer» o a un condicionamiento, aprendemos raramente de una sola vez; aprender supone volver a
empezar, extrañarse, repetir, pero repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se hace.
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 9

10. Tema 1
Analizando detalladamente el ejemplo anterior observamos que, cuando los niños comparan sus
producciones con el modelo y confirman que no coinciden, que han cometido errores, sufren un fuerte
desequilibrio. Ahora bien, de esta constatación surgen las preguntas, las incertidumbres, la formulación de
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11. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
nuevas hipótesis, los debates entre los propios niños, y va emergiendo el conocimiento matemático. El
error es, pues, necesario para producir desequilibrios. Si no hacemos emerger las estrategias de base
erróneas y comprobamos su invalidez funcionalmente, no las rechazaremos nunca y volverán a
manifestarse sistemáticamente.
En la situación de «La casita», los alumnos no hubiesen cometido errores si la consigna dada por la
maestra hubiese sido: «Debéis decorar una casita como ésta que aparece en el cartel. Lo pegaré en la
pizarra para que todos lo veáis. Podéis usar las pegatinas de colores que hay en vuestras mesas». Los
alumnos hubiesen «reproducido» el modelo y el éxito estaría asegurado. Ahora bien, no habrían puesto en
funcionamiento significativamente ni el número ni la numeración.
El aprendizaje, bajo esta hipótesis, es un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el sujeto
y el medio (situación‐problema), por ello, la Didáctica de las Matemáticas se interesa en las perturbaciones
provocadas deliberadamente en un determinado medio con intención de suscitar un aprendizaje.
3ª Hipótesis: Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Se trata de una idea
fundamental de la epistemología de Bachelard sobre el conocimiento científico, tomada por Brousseau
para explicar la formación de obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas: «La utilización y la
destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender».
Los aprendizajes previos de los alumnos se deben tener en cuenta para construir nuevos
conocimientos, ya que estos no se producen a partir de la nada, su e1aboración está sometida a
adaptaciones, rupturas y a reestructuraciones, a veces radicales: de los conocimientos anteriores.
Aprendemos a partir de y también en contra de lo que ya sabemos. Los nuevos conocimientos no pueden
hacerse más que modificando los precedentes y no por la simple acumulación de los últimos sobre los ya
existentes.
En la Escuela Infantil, dado que los niños están comenzando su escolaridad, no han podido
construir más que un dominio muy limitado de conocimientos matemáticos, no obstante, como veremos
en el ejemplo que sigue, tienen conocimientos previos que se constituyen en verdaderos obstáculos.
4ª Hipótesis: Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la
adquisición de conocimientos. Idea básica de la psicología social apoyada en la obra de Vygotsky2, quien
consideraba preciso tener en cuenta lo que un individuo puede hacer con la ayuda de otros, ya que el
aprendizaje se produce en un Inedia social en el que abundan las interacciones, tanto horizontales (niño‐
niño) como verticales (niño‐adulto).
La eficacia de los conflictos sociocognitivos se justifica, según Blaye, puesto que:
 Permiten al alumno tomar conciencia de otras respuestas diferentes a la suya, lo que le
obliga a descentrar su respuesta inicial.
 La necesidad de llevar a cabo regulaciones sociales, para llegar a un consenso, implica que
el alumno sea más activo cognitivamente.
 La respuesta diferente de los otros es portadora de información y llama la atención del
sujeto sobre aspectos de la tarea que no había considerado.
2
Zona de Desarrollo Próxima (ZDP) es lo distancia entre el nivel de desarrollo actual, que podemos determinar a
través de la forma en que un niño resuelve sus problemas él solo, y el nivel de desarrollo potencial, tal como lo
podemos determinar a través de la forma en la que un niño resuelve sus problemas cuando está asistido por un adulto
o en colaboración con otros niños más avanzados.
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 11

12. Tema 1
Así, los conflictos sociocognitivos provocan un doble desequilibrio: «desequilibrio interindividual,
debido a las diferentes respuestas de los sujetos; desequilibrio intraindividual, debido a la toma de
conciencia de respuestas diferentes, lo que invita al sujeto a dudar de su propia respuesta».
Cabe señalar la función de mediador que, en los conflictos sociocognitivos, lleva a cabo el maestro
mediante la gestión de las puestas en común de los alumnos, Si la situación propuesta en clase ha sido una
situación abierta, de interacción con un medio, se espera que los alumnos se comprometan en
procedimientos muy variados, será el momento de organizar el intercambio, el debate, la argumentación,
la confrontación, la validación, etc.
Esta fase es primordial para el aprendizaje matemático, «poner en común es hacer público», y en
ella el lenguaje, como Inedia de comunicación social, es primordial. El lenguaje permitirá a los alumnos
estructurar la acción, apropiarse de significaciones nuevas, identificar nociones y procedimientos, y les
abrirá vías para la prueba: la prueba es un acto social, se dirige a un individuo (eventualmente a uno
mismo), al que es preciso convencer y requiere una expresión verbal (o escrita o, incluso, representativa). El
lenguaje jugará una función determinante para la elucidación de sus conocimientos: es al tratar de
responder a los «porqués» y a los «cómo» de los otros alumnos y del maestro cuando cada uno es capaz de
volver sobre sus propias acciones, a describirlas, a defenderlas a tomar conciencia de su pertinencia y
validez. Y, recíprocamente, es al interrogar sobre las soluciones aportadas por los otros cuando cada uno
puede conocer un nuevo procedimiento, medir el grado de dominio adquirido, reconocer lo que no logra
hacer solo, en suma, ampliar su campo de conocimientos.
1.3.‐ El procesamiento de la información
La teoría de Piaget: asume un postulado universalista sobre el desarrollo del pensamiento
humano. De este modo se interpreta que todos los niños evolucionan a través de una secuencia ordenada
de estadios, lo que presupone una visión discontinua del desarrollo.
Se postula que la interpretación que realizan los sujetos sobre el mundo es cualitativamente
distinta dentro de cada período, alcanzando su nivel máximo en la adolescencia y en la etapa adulta. Desde
esta perspectiva teórica se asume que la causa del cambio es interna al individuo y que éste busca de forma
activa el entendimiento de la realidad en la que está inmerso.
Así, el conocimiento del mundo que posee el niño cambia cuando lo hace la estructura cognitiva
que soporta dicha información. Es decir, el conocimiento no supone un fiel reflejo de la realidad hasta que
el sujeto alcance el pensamiento formal, ya que las estructuras cognitivas imponen importantes sesgos
sobre la información que el sujeto percibe del medio. De este modo, esta particular visión del desarrollo
implica la realización de un análisis molar sobre las diferentes estructuras cognitivas que surgen a lo largo
de la evolución.
En el marco de la teoría piagetiana consideramos que el niño va comprendiendo progresivamente
el mundo que le rodea del siguiente modo:
Mejorando su sensibilidad a las contradicciones.
Realizando operaciones mentales.
Comprendiendo las transformaciones. (Conservación de la sustancia, del peso y del volumen).
Aprendiendo a clasificar (colecciones figurales, no figurales, clasificación propiamente dicha).
Aprendiendo a realizar series.
Adquiriendo la noción de número.
12

13. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
1.4.‐ La enseñanza de las matemáticas
Partimos de un concepto de infancia basado en cinco ejes, de acuerdo con Te Whariki3:
1. Bienestar: los niños de O a 6 años deben tener la experiencia de un entorno en el que se
promueve la salud, se alimenta su bienestar emocional y se vela por su seguridad y protección.
2. Pertenencia: los niños y sus familias deben tener la experiencia de un entorno en el que la
conexión con la familia y el mundo se afirme y se amplíe; deben sentir que tienen un lugar en el
entorno que ellos conocen; deben sentirse cómodos con las rutinas, costumbres y hechos habituales,
como miembros de una comunidad de la que conocen las conductas aceptables y los limites.
3. Contribución: el entorno del niño debe ofrecer las mismas oportunidades de aprendizaje
independientemente del género, habilidad, edad, procedencia étnica y experiencia previa; debe
afirmarlos como individuos y debe animarles a aprender con y a través de los demás.
4. Comunicación: la interacción con el entorno debe fomentar tanto ti desarrollo de
habilidades comunicativas verbales y no verbales con unos propósitos concretos, como la vivencia de
experiencias y símbolos de la propia cultura y de otras culturas y el descubrimiento y desarrollo de
diferentes formas de ser creativo y expresivo.
5. Exploración: la interacción con el contexto debe fomentar tanto la confianza en el control
del propio cuerpo, como la adquisición de estrategias de pensamiento y de razonamiento para una
exploración activa del entorno; finalmente, ha de servir para dar sentido a los mundos natural, social,
físico y material.
De acuerdo con los cinco ejes anteriores, la educación matemática en las primeras edades debería
contribuir a que los niños se sientan bien en su contexto; perciban que pertenecen a una comunidad, y que
sus contribuciones y las contribuciones de los demás son relevantes; comuniquen sus experiencias y
aprendan a escuchar las de los demás e interactúen de forma activa con el entorno. En síntesis, el
autoconcepto y la autoestima positiva, la participación activa, la interacción, el diálogo, las estrategias de
pensamiento o la autonomía son principios a partir de los cuales podemos empezar a plantear la génesis
del pensamiento matemático. Ello implica, con los niños de 0 a 3 años, atender a su inmenso potencial de
aprendizaje; y con los niños de 0 a 6 y de ser tratados sólo como estudiantes.
Un primer aspecto al indagar sobre la génesis del pensamiento matemático es la consideración de
la educación matemática en las primeras edades.
Al no tratarse de una etapa de escolarización obligatoria, durante muchos años se ha dado
prioridad a la función asistencial, sobre todo en el primer ciclo (0‐3 años), en detrimento de la función
educativa y del desarrollo del pensamiento matemático. Progresivamente han surgido puntos de vista que
han hecho un flaco favor a la educación matemática en las primeras edades, al sugerir que en estas edades
no se puede hablar propiamente de actividad matemática, dado que hacer matemáticas en este periodo,
según estas veces, se reduce a llevar a cabo una buena educación sensorial y una buena psicomotricidad,
con el objeto de preparar a los alumnos para la adquisición del pensamiento lógico, de la noción de
cantidad, y para el descubrimiento del espacio en etapas de escolarización posteriores.
Actualmente este argumento está superado. Ya no se discute que la educación matemática en
educación infantil tiene una entidad propia y no sirve sólo para preparar a los niños para etapas posteriores
de la escolarización. No es, pues, una etapa preescolar: tiene contenidos y procesos matemáticos que:
desarrollar que son propios de estas primeras edades (y que si no se trabajan e interiorizan impiden tener
una base sólida para seguir construyendo conocimiento matemático); tiene unos aprendices propios, todos
ellos con el deseo de aprender y descubrir el mundo que les rodea; tiene también unos métodos propios,
que deberían formar parte de la manera de trabajar del resto de etapas educativas: e insistimos, tiene unas
finalidades propias.
3
Ministerio de Educación de Nueva Zelanda. 1996
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 13

14. Tema 1
Un referente internacional que nos permite concretar la génesis del pensamiento matemático es el
documento que recogen los Principios y Estándares en Educación Matemática, de la asociación
norteamericana National Council of Teachers of Mathematics. A grandes rasgos, el despertar del
pensamiento matemático implica descubrir relaciones y patrones; conocer aspectos cuantitativos de la
realidad: tener un conocimiento del espacio relativo a tres aspectos: posición, forma y cambios de posición
y de forma; tener un conocimiento de las principales magnitudes continuas; e interpretar y organizar el
entorno a partir de la estadística y el azar.
La Tabla 1 describe algunos de los contenidos y procesos matemáticos de la educación infantil a
partir de una adaptación de los estándares mencionados.
Desde nuestro punto de vista, los contenidos y procesos matemáticos de la Tabla 1 son habilidades
básicas que se van ampliando y conectando con otras habilidades más complejas a medida que avanza la
escolaridad en un ciclo que recuerda la espiral. Estas habilidades básicas darán lugar, en etapas posteriores,
al desarrollo de estrategias de pensamiento y, más concretamente, de pensamiento critico. El embrión de
todos ellos, sin embargo, ya aparece en la educación infantil. Esta afirmación, que puede parecer atrevida,
viene reforzada por el planteamiento de la NCTM (2003) al definir unos estándares sobre contenidos y
procesos matemáticos idénticos, aunque con expectativas diferentes, en cada etapa educativa desde
educación infantil hasta bachillerato.
Tabla 1 Contenidos y procesos matemáticos para la E.I.
Contenidos Matemáticos
Aspectos cualitativos de la realidad
 Comprender los números, los modos de representarlos, las relaciones entre números y sistemas
numéricos.
 Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras.
 Calcular eficazmente v hacer estimaciones razonables.
Aspectos del espacio referentes a la posición, la forma y los cambios de posición y forma
 Especificar posiciones y describir relaciones espaciales usando geometría de coordenadas y otros
sistemas de representación
 Analizar características y propiedades de las formas de una, dos y tres dimensiones y desarrollar
argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas.
 Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.
 Usar la visualización, el razonamiento espacial, y la modelización geométrica en la resolución de
problemas.
Principales magnitudes continuas, sobre todo la longitud, la masa y la capacidad
 Comprender los atributos mesurables de los objetos V las unidades, sistemas, V procesos de
medición.
 Aplicar técnicas apropiadas, herramientas y fórmulas para determinar mediciones.
Primeros patrones, relaciones y funciones
 Comprender patrones, relaciones y funciones.
 Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas con símbolos apropiados.
 Analizar el cambio en diversos contextos.
14

15. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Interpretación y organización del entorno a partir de la estadística y el azar
 Formular cuestiones sobre datos y responderlas a partir de la recogida, organización y
representación de éstos u otros datos.
Procesos matemáticos
 Estructurar la mente y desarrollar la capacidad de razonar.
 Resolver situaciones problemáticas del entorno inmediato a partir de estrategias adecuadas a la
edad, para construir nuevo conocimiento matemático.
 Representar mentalmente y de manera gráfica (mediante representaciones familiares primero y
con símbolos abstractos después) descubrimientos y aprendizajes matemáticos.
 Expresar, comunicar la acción, ya sea gráficamente (a través de un dibujo) u oralmente, teniendo
en cuenta que a menudo la capacidad de comprensión supera la de expresión.
 Conectar aprendizajes en la escuela con situaciones modelizables vividas.
Así, pues, si bien el trabajo que se realiza en la etapa de educación infantil tiene una entidad propia,
existen unos ejes comunes que se dan en todas las etapas educativas, y que tienen su génesis en las
primeras edades. Estos ejes se refieren tanto a los contenidos matemáticos y a su tratamiento, como a lo
que se aprende mientras se aprenden matemáticas. En primer lugar, los aspectos compartidos con otras
etapas son:
 Las ideas matemáticas no aparecen de golpe, sino que se van construyendo poco a poco a lo largo
del tiempo, se van perfilando y estructurando, situándose en una trama rica en relaciones.
 Todos los contenidos matemáticos; pueden situarse dentro de unos grandes bloques: descubrir
relaciones y patrones; conocer los aspectos cuantitativos de la realidad; tener un conocimiento del
espacio relativo a la posición, la forma y los cambios de posición y de forma; tener un conocimiento
de las principales magnitudes continuas; e interpretar y organizar el entorno a partir de la
estadística y el azar.
 El conocimiento matemático tiene que ser significativo, conectado y ubicado en entornos que
admitan procesos de contextualización y descontextualización.
 El tratamiento de los contenidos matemáticos tendría que iniciarse de manera concreta (a partir
del entorno, los materiales manipulables, los juegos, etc.) para poco a poco ir dando paso a la
actividad mental, la abstracción y la generalización.
En cuanto a lo que se aprende mientras se aprenden matemáticas en educación infantil,
destacamos algunos procesos de aprendizaje especialmente complejos:
 Estructurar la mente y la capacidad de razonar; resolver problemas; comunicar; representar;
establecer conexiones: modelizar; etc.
 Desarrollar habilidades de percepción, como observar, escuchar, percibir sensaciones, reconocer
vivencias. etc.
 Interesarse por la investigación formulando hipótesis y cuestiones, descubriendo alternativas,
prediciendo, verificando, estimando, seleccionando, etc.
 Responder con curiosidad y gusto ante lo que se mira, pregunta, piensa y expresa.
 Mirar el mundo de formas diferentes, con ojos matemáticos, artísticos, etc.
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 15

16. Tema 1
Abogamos por trabajar, desde la escuela infantil en adelante, en una línea ascendente, no de
imposición finalista, que promueva el paso de lo concreto a lo abstracto, de lo particular a lo general, de lo
aproximado a lo exacto, de forma coherente y estimuladora; entendiendo que es esencial incluir de forma
frecuente, coherente y estimuladora el paso de lo abstracto a lo concreto, de lo general a lo particular y de
lo exacto a lo aproximado, sin que estas tareas sean vistas como un retroceso.
1.5.‐ La resolución de problemas
La solución de problemas es una actividad asociada al desarrollo de la inteligencia; un individuo es
más inteligente en la medida en que sea capaz de resolver problemas, por lo que en la enseñanza y,
particularmente en las matemáticas, juega un papel fundamental la realización de tareas de este tipo.
Concebir la solución de problemas como contenido curricular permite comenzar a desarrollar en la
primera infancia mayor, sobre los 4 y 5 años, las operaciones mentales que posibilitan su solución, y de este
modo, lograr una mayor activación intelectual.
Dentro del contenido de las nociones elementales de matemáticas en el centro de Educación
Infantil, la solución de problemas sencillos es uno de los que permite una mayor activación intelectual en
los educandos. Encontrar la relación esencial entre los elementos de la tarea planteada y decidir la acción
que se va a realizar para llegar a la solución correcta, exige el desarrollo de los procesos mentales y gran
movilidad del pensamiento, al activar el proceso de análisis y de síntesis, y posibilitar la generalización.
El desarrollo de las operaciones mentales constituye un proceso que estimula el desarrollo de
diferentes formas de pensamiento. La solución sistemática de este tipo de tareas garantiza el acercamiento
a formas sencillas del pensar matemático.
Por todo esto, hay que prestarle gran atención a la forma de preparar y planificar este contenido y
al planteamiento de las tareas, partiendo de problemas sencillos muy ligados a la experiencia diaria que
tengan los educandos.
En este sentido, los niños se ven en la necesidad de planificar sus acciones, de considerar algunas
ideas, desechar las que no son válidas, y tratar de encontrar otras.
Estas actividades, además, les despiertan el interés cognoscitivo, pues suelen ser tareas más
complejas que las habituales, las cuales requieren de una mayor motivación y concentración: así, se
esfuerzan por lograr el éxito en su realización.
Desde el punto de vista intelectual, la solución de problemas ofrece múltiples posibilidades de
estimular y perfeccionar las potencialidades en el orden de los conocimientos y desarrollo de habilidades
que ya se poseen en estas edades.
A través de estas actividades aplican los conocimientos y habilidades adquiridos con el trabajo con
conjuntos y se capacitan para la realización de operaciones mentales como análisis y síntesis, comparación,
abstracción y generalizaciones sencillas para el planteamiento de la tarea.
1.5.1.‐ Características del trabajo con problemas sencillos en la etapa infantil
El término problema aparece definido en múltiples y diversas bibliografías. Por ejemplo, en el
Diccionario de términos psicológicos y pedagógicas de la Asociación Mundial de Educadores Infantiles
aparecen varias definiciones, que van desde la más simple, que lo considera como una tarea, cuestión,
propuesta, o una cuestión que se trata de aclarar, de dificultad de solución dudosa, hasta definirlo como
una proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos,
o, en el caso de la Educación Infantil, verlo como toda situación que tiene un planteamiento inicial y una
exigencia que obliga a transformarla para llegar a resultados; es decir, la búsqueda de las vías para provocar
la transformación deseada y no solo la solución del problema en sí mismo.
16

17. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Atendiendo a las características del trabajo en la Educación Infantil, esta última definición es la que
más se adecua a las necesidades del currículo. Pero problema, en su acepción popular, se refiere al
conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin, lo cual le da una diferente
connotación al término, y lo imbrica con aspectos del desarrollo emocional y cognitivo.
El trabajo metodológico para la solución de problemas está encaminado a capacitar a los infantes
en la búsqueda y aprendizaje de procedimientos para la solución de tareas con diferentes niveles de
complejidad.
Al estructurar didácticamente este contenido se deben tener en cuenta los diferentes ritmos de
aprendizaje y también el aspecto motivacional. Hay que procurar que los pequeños puedan acceder a la
solución de estos ejercicios para no crear insatisfacciones o «problemas».
Al evaluar sus habilidades en la solución de problemas sencillos, es adecuado considerar el nivel
alcanzado por cada uno en las diferentes etapas.
La evaluación en este nivel a veces se hace compleja. Obtener información acerca de cómo piensan
no es una tarea fácil, por lo que puede ser efectivo registrar, a través de la observación, cómo operan ellos,
y mediante preguntas, completar el análisis.
Por otro lado, no hay que olvidar que, ante un mismo problema, los niños no reaccionan de la
misma manera.
Por ejemplo: si al grupo de educandos se le plantea la siguiente cuestión: «Hay lápices y se reparten
a dos niños, uno recibe cinco lápices, y el otro siete», pueden encontrarse los siguientes comportamientos:
un niño se proyecta, no respondiendo en un principio. Se repite nuevamente el mismo problema, pero
tampoco dice nada. Entonces, el educador le entrega sustitutos para que los utilice. Se repite el problema y
se realizan las acciones de la primera parte (repartir cinco lápices a un niño y siete a otro). Luego, se le
plantea de nuevo la última parte del problema y quita todos los lápices y los reparte uno a cada uno, hasta
darle la misma cantidad (6). Ante la pregunta del educador de cuántos lápices le ha repartido a cada niño,
responde que seis lápices. Cuando le pregunta que cómo lo supo, él responderá que repartiéndolos.
A otro niño o niña, al no responder, se le repite el problema. Se le dan los objetos sueltos y realiza
la acción. Le da cinco lápices a uno y siete al otro, luego le quita un lápiz al que le dio siete y se lo da al otro
niño. Cuenta, tocando los objetos y responde: «Seis lápices». «¿Cómo lo supiste?» «Porque seis y seis es la
misma cantidad.»
Este ejemplo demuestra la importancia del análisis de las vías de solución como orientación del
educador para la disposición de este contenido y la búsqueda de métodos para su tratamiento, pues,
aunque el resultado es el mismo, las formas de solución son diferentes, y arrojan mucha luz sobre las
formas del examen intelectual de cada educando.
1.5.2.‐ Metodología para el trabajo con la solución de problemas sencillos
Hay que prestar gran atención a la forma de preparar y planificar este contenido y al planteamiento
de las tareas, para lo cual se debe partir de problemas sencillos muy ligados a la experiencia que de la vida
diaria tengan los niños.
En el grupo del quinto año de vida (de 4 a 5 años), en el trabajo con las diferentes operaciones con
conjuntos, se utilizan como forma principal para el planteamiento de la tarea situaciones problemáticas,
que son incógnitas que se les plantean y que guían la acción que deben realizar, mediante preguntas como:
 ¿Cómo se podría vestir a las muñecas?
 ¿Alcanzarán las pelotas para todos los osos?
 ¿Cómo se van a repartir las naranjas?
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 17

18. Tema 1
El planteamiento de la tarea en forma de situación problemática tiene que estar vinculado
estrechamente con la motivación de la actividad y debe responder a ella.
En el grupo del sexto año de vida (5 años), además de estas situaciones problemáticas, se comienza
a trabajar planteándole directamente al educando problemas sencillos. Para ello, el maestro tendrá que
enseñarle a buscar la vía de solución adecuada para resolver el problema planteado.
 ¿Alcanzarán los globos para cada niño o niña?
 ¿Quién tiene más juguetes?
 ¿Cómo se podría saber la cantidad de naranjas que hay, si mamá compró seis y papá compró dos?
 ¿Cuántos bolos quedan si se regalan tres a José y dos a Pedro, y antes había diez en la caja?
Estos planteamientos permiten resolver sencillas adiciones y sustracciones, partiendo del
conocimiento que tienen de las cantidades y su reconocimiento.
Hay que tener en cuenta que, más que dar con exactitud una solución numérica, en la Educación
Infantil, lo que se busca es que los pequeños aprendan qué acciones deben realizar para llegar a la solución
de cada tarea.
Para enseñarles a solucionar problemas sencillos, una de las vías es tomar como base el
conocimiento que tienen de las relaciones entre el todo y las partes, y de las operaciones de descomponer
y unir los conjuntos, incluso la modelación (trabajar con sustitutos de los conjuntos).
Para presentarles los símbolos que van a utilizar, hay que demostrar que es necesario usar «algo»
que los ayude a establecer la relación esencial para llegar a la solución del problema. Para esto, cuando se
presenta el primer problema, se utilizan inicialmente los materiales reales (sin sustitutos).
Por ejemplo: la mamá de una niña le regaló caramelos (una parte), y el papá, después, también
(otra parte); si la niña quiere guardar en una misma caja los caramelos que le regalaron su mamá y su papá,
se tendrá como resultado todos los caramelos.
¿Cuáles son los datos de este problema? Los datos son los caramelos que le regalaron a la niña.
¿Qué relación se establece? La relación está dada por la unión de las partes para obtener el todo.
¿Cuál es el resultado? La obtención del todo. Los caramelos que le regaló la mamá, la niña los unió
con los que le regaló su papá y de esta forma tiene unidos los caramelos que le regalaron. El adulto podrá
utilizar otros problemas que se presenten de la misma forma para que el infante ejecute la relación.
Otra manera es mediante el manejo de los sustitutos. Por ejemplo: Ariel tiene estas bolas y su
amigo Raúl le regaló estas otras bolas. ¿Qué hay que hacer para saber cuántas son las bolas que tiene ahora
Ariel?
Para realizar esta operación, el niño o la niña sustituye cada bola por su figura sustituta, y opera
con ellas en un plano sobre la mesa, sin tener necesidad de tener cada objeto (las bolas), para poder
realizar esa operación.
Cuando los educandos ya están familiarizados con la forma de plantear los problemas y con los
símbolos y sustitutos, solo el maestro los utilizará y dirigirá verbalmente la tarea que se va realizar.
En los problemas de sustracción se procede de forma similar, partiendo del todo al que se le
sustrae una parte y le queda otra. Para ello, se utilizan símbolos de sustitución de la operación de
sustracción. Por ejemplo: un niño tiene muchas galletas y le regaló algunas a su hermana ¿Qué se tendría
que hacer para saber las galletas que quedaron?
En la medida en que se trabaje con los niños, ellos irán comprendiendo cómo se utilizan los
símbolos y los sustitutos, hasta que sean capaces, en una misma actividad, de adicionar y, posteriormente,
sustraer.
18

19. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Para la introducción de los símbolos se puede utilizar un cuadrado, de un color para la sustracción y
de otro para la adición, de modo que se distinga el todo de las partes. Después, puede sustituirse por un
cuadrado sin color.
Este contenido se desarrolla cuando los niños ya han transitado por las diferentes operaciones con
conjuntos y por el reconocimiento de cantidades del uno al diez.
Si los educandos tienen éxito en las tareas y llegan a solucionar los problemas planteados por el
adulto, serán capaces de plantearse a sí mismos problemas para darles solución, utilizando las cantidades y
aplicando todo lo que han aprendido. Llegar a esta posibilidad constituye un alto logro en el desarrollo
intelectual.
1.6.‐ Actividades
1. Ejercicios de actividad matemática. Completa la serie:
a. 1 2 4 5 7 8 10 ? ? ?
b. 1 2 4 7 11 16 22 ? ? ?
c. 1/3 3/6 5/3 7/6 9/3 11/6 13/3 ? ? ?
d. 1 1 2 3 5 8 13 21 ? ?
e. 1 2 4 8 16 32 64 ? ? ?
f. 3 3 3 6 3 9 3 ? ? ?
g. 2 3 5 9 17 33 65 ? ? ?
h. 3 3 4 6 5 4 5 ? ? ?
2. ¡MAGIA! a) Elige una cifra. b) Multiplícala por 3. c) Al resultado súmale 2. d) Multiplica lo que te
queda por 3. e) Añade la cifra que pensaste. f) Tacha las decenas.
3. Poirot investiga. En una de sus investigaciones, el famoso detective Hércules Poirot, encontró unas
cuentas hechas en un papel, que alguien había intentado quemar. Tras escribir en su libreta los
números y operaciones que aún se podían leer y, sustituir los números ilegibles por asteriscos,
aparecía:
4 5 7 9 5 * 2 * 1 *
 * 2 *  4 * 6 x 3
5 7 9 * 1 3 * 9 3 6
¿Podrías ayudar a Poirot, personaje de Agatha Christie, y completar estas cuentas?
POR CIERTO, la solución del ejercicio 2 es  ¿Lo he adivinado? ;)
4. Ejemplo de CRIPTARRITMOS (letras distintas, números distintos, letras iguales, números iguales:
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 19

20. Tema 1
S E N D
 M O R E
M O N E Y
1.7.‐ Bibliografía
Alsina i Pastells, A. (2006). Cómo desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años. Barcelona: Octaedro
y Eumo Editorial.
Chamorro, M. C. y otros (2005). Didáctica de las matemáticas en la E. I. Madrid: Pearson.
Educación y desarrollo lógico‐matemático en la infancia. (2010, 23) de septiembre. Enciplopedia
on‐line para maestros de educación infantil. Fecha de consulta: 15:10, septiembre 27, 2010
from http://www.waece.org/enciclopedia/resultado2.php?id=2205.
Fernández Bravo, J. A. (2006). Didáctica de la matemática en la educación infantil. Madrid: Grupo
Mayeútica.
Godino, JD (Director) (2004). Didáctica de las Matemáticas para maestros. Universidad de Granada,
Granada. (Recurso Electrónico)
Godino, JD (Director) (2004). Matemáticas para maestros. Universidad de Granada, Granada. (Recurso
Electrónico)
NCTM. (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática. Granada: Sociedad andaluza de
Educación Matemática THALES.
Planas N. y Alsina, A. (Coords.) (2009). Educación matemática y buenas prácticas. Barcelona: Editorial Graó.
Teorías del aprendizaje. (2010, 23) de septiembre. Wikipedia, La enciclopedia libre.
Fecha de consulta: 15:10, septiembre 27, 2010
from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADas_del_aprendizaje&oldid=40478138.
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21. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Tema 2.‐ Introducción a la Teoría de Conjuntos
2.1.‐ Idea de Conjunto. Diagramas de Venn‐Euler. Conjunto Universal
2.1.1.‐ La noción de conjunto
Para definir un determinado conjunto hay que decir con precisión cuales son los elementos que lo
componen. Esto puede hacerse de dos maneras, por comprensión y por extensión, pero la segunda sólo es
aplicable a conjuntos finitos.
DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto C se define por comprensión si se da una propiedad que caracterice a
sus elementos.
NOTACIÓN. El conjunto C definido por comprensión mediante la propiedad P se menciona así: C es el
conjunto de los x tales que x tiene la propiedad P. Y se nota así:
C   x x tiene la propiedad P
mediante dos símbolos: llaves { }, que se lee con la frase “conjunto de los”, antepuesta a su
contenido, y la barra|, que se lee “tales que”.
EJEMPLOS.
A   x x es entero mayor que 3 y menor que 7
B   x x es entero primo mayor que 3 y menor que 7
DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto finito C se define por extensión o enumeración si se da una lista
explícita de todos sus elementos.
NOTACIÓN Y EJEMPLOS. Un conjunto definido por extensión se anota colocando entre llaves los nombres de
todos sus elementos, separados por comas. Así los conjuntos A y B anteriormente citados se notan
respectivamente así:
A  4,5,6 ; B  5
Un conjunto de un sólo elemento se llama conjunto unitario. Ejemplo: B  5 .
2.1.2.‐ Pertenencia e Inclusión
DEFINICIÓN. Se x es el elemento del conjunto C se dice que x pertenece a C, y se escribe: x  C . Para indicar
que x no pertenece a C se escribe x  C . Por ejemplo, si  es el conjunto de los números naturales,
1
se tiene que: 1  ; 3  ;   .
2
DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto A está incluido en B, y se escribe A  B , si todos los elementos que
pertenecen a A, pertenecen también a B. Si A  B , se dice también que A es parte de B o
subconjunto de B y que el conjunto B incluye al conjunto A y se nota B  A . Para indicar que A no
está incluido en B se escribe A  B .
ABB A
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 21

22. Tema 2
2.1.3.‐ Diagramas de Venn‐Euler
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases
conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de
cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición
relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.
3.‐ Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra
un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos
contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro
del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están
contenidos en B.
Después de esta definición podemos hablar de Inclusión o no inclusión de un conjunto en otro
utilizando los diagramas de Venn‐Euler.
4.‐ En el primer caso podemos decir que A  B o B  A , mientras que los
dos últimos casos diremos que A  B .
2.1.4.‐ Conjunto Vacío
DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto A es un conjunto vacío si no hay ningún elemento que pertenezca a
dicho conjunto y se nota: A  
2.1.5.‐ Inclusión e Implicación. Condiciones necesarias y suficientes
Decir que A  B equivale a decir que si x  A , entonces x  B , o bien x  A implica x  B .
Matemáticamente lo expresamos como:
x  A  x B
EJEMPLO. Si tenemos los conjuntos:
   x x es múltiplo entero de 2 y    x x es múltiplo entero de 4
   ;    ; x    x 
Si x es múltiplo entero de 4 implica que x es también múltiplo entero de 2.
22

23. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
Supongamos que los conjuntos A y B están dados por comprensión así:
A  t t tiene la propiedad P y B  t t tiene la propiedad Q
Puesto que t  A equivale a: t tiene la propiedad P, y t  B equivale a : t tiene la propiedad Q.
Decir que t  A  t  B equivale a:
t tiene la propiedad P  t tiene la propiedad Q
Que se expresa brevemente así: P  Q
Decir esto también equivale a decir que P es condición suficiente para Q, pues basta, o es suficiente, que se
cumpla la propiedad P para que se cumpla la propiedad Q. Se dice también que Q es condición necesaria
para P, pues si se cumple P es necesario que se cumpla Q.
EJEMPLO. A  B ; x  A  x  B
x  A es condición suficiente para x  B
x  B es condición necesaria para x  A
A   x x es entero primo mayor que 3 y menor que 7
B   x x es entero mayor que 3 y menor que 7
2.1.6.‐ Conjunto Universal o Referencial
DEFINICIÓN. En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de cualquier conjunto bajo
estudio, pertenecen a algún conjunto fijo mayor llamado conjunto universal o universo del discurso.
Por ejemplo, en la geometría del plano, el conjunto universal está formado por todos los puntos del
plano. En estudios de población, el conjunto universal está formado por todas las personas del
mundo. Notamos el conjunto universal como U.
2.1.7.‐ Igualdad de conjuntos y equivalencia lógica
DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B, y se nota A=B, si se verifican las dos inclusiones
siguientes:
A  B y B  A
Para indicar que A no es igual a B se nota: A  B
Esta definición expresa que A=B si y sólo si A y B tienen los mimos elementos. En otras palabras:
Un conjunto está determinado por sus elementos.
La igualdad de conjuntos se relaciona con la equivalencia lógica. Para dos proposiciones P y Q
pondremos: P  Q (P es equivalente a Q) si se verifican P  Q y Q  P .
x  A  x B
AB
x B  x  A
x  A  x B
P  Q . Decir esto también equivale a decir que P es condición necesaria y suficiente para Q. Y que Q es
condición necesaria y suficiente para P.
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 23

24. Tema 2
2.2.‐ Operaciones con conjuntos
2.2.1.‐ Intersección
DEFINICIÓN. Se llama intersección A  B de dos conjuntos A y B al conjunto cuyos elementos son los que
pertenecen a la vez a A y a B:
A  B   x x  A y x  B
EJEMPLOS. Si A={1, 2, 3} y B={‐1, 3, 4/2}  A  B  2, 3
DEFINICIÓN. Se llama intersección de varios conjuntos al conjunto cuyos elementos son los que pertenece a
todos ellos a la vez.
A  B   x x  A y x  B
EJEMPLOS. Si A={3, 0, 4/2} ; B={1, 2, 3} y C={‐1, 6/3}  A  B  C  2
Es fácil demostrar las fórmulas:  A  B   C  A  B  C ; A   B  C   A  B  C ; de ellas resulta la
PROPIEDAD ASOCIACTIVA.
Podemos definir por comprensión el conjunto vacío, que conocemos es el que no tiene ningún elemento.
En efecto, si P es una propiedad que no es poseída por ningún objeto, se tiene:
x x tiene la propiedad P  
 
Por ejemplo: x x  x  
Dos conjuntos se llaman disjuntos si no existe ningún elemento que pertenezca a ambos. Condición
necesaria y suficiente para que dos conjuntos A y B sean disjuntos es: A  B  
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25. Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica
Curso 2010‐2011
2.2.2.‐ Unión
DEFINICIÓN. Se llama unión o reunión A  B de dos conjuntos A y B al conjunto cuyos elementos son los que
pertenecen o bien a A, o bien a B, o bien a A y a B:
A  B   x x  A y x  B
EJEMPLOS. Si A={1, 2} y B={2, 3}  A  B  1, 2, 3
DEFINICIÓN. Se llama unión de varios conjuntos al conjunto cuyos elementos son los que pertenece a alguno
(uno por los menos) de ellos.
EJEMPLOS. Si A={3, 0, 4/2} ; B={1, 2, 3} y C={‐1, 6/3}  A  B  C  ‐1, 0, 1, 2, 3
Es fácil demostrar las fórmulas:  A  B   C  A  B  C ; A   B  C   A  B  C ; de ellas resulta la
PROPIEDAD ASOCIACTIVA.
2.2.3.‐ Conjunto de las partes. Complementación
Con frecuencia se consideran conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos. Por ejemplo, el conjunto
de las rectas de un plano, considerando a cada recta como el conjunto de sus puntos.
DEFINICIÓN. El conjunto de todos los subconjuntos o partes de un conjunto U se llama conjunto de partes de
U, y se indica P(U).
 
EJEMPLOS. Si U  a, b ; P U   ,a ,b ,a , b
Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta 25

26. Tema 2
DEFINICIÓN. Sea A un conjunto, parte del referencial U. Llamaremos complemento o complemantario de A
(respecto a U), y lo notaremos como A’ (en otros textos puede encontrarse también la siguiente
notación: A c o bien A ), al conjunto de los elementos de U que no pertenecen a A.
Entonces, x  U son equivalentes las fórmulas x  A, x  A' .
A’ es el conjunto complementario de A. Se puede demostrar, por la definición de conjunto complementario
que: A  A '  U; A  A '   .
2.2.4.‐ Algebras de Boole de Conjuntos. Dualidad
Las operaciones de intersección, unión y complementación se llaman operaciones de Boole4. El conjunto
P(U) de las partes de U, con las operaciones de Boole, se denomina álgebra de Boole de conjuntos, o
álgebra de conjuntos. En un álgebra de conjuntos se verifican las siguientes propiedades:
 Conmutativa: A  B  B  A ; A  B  B  A
 Asociativa:  A  B   C  A   B  C  ;  A  B   C  A   B  C 
A  B  C    A  B   A  C 
 Distributivas:
A  B  C    A  B   A  C 
 De idempotencia: A  A  A; A  A  A
 De absorción: A   A  B   A; A   A  B   A
 De complementación: A  A '  ; A  A '  U
 Involutiva o de doble complementación:  A '  '  A
 Dualitivas o leyes de Morgan:  A  B  '  A ' B ';  A  B  '  A ' B '
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George Boole (2 de noviembre de 1815 ‐ 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y filósofo británico. Como
inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los
fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought"
en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y
filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se podría
decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones
lógicas.
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