Solucion del 1º Problema ABP Tema: Teoría de la Relatividad - Paradoja de los gemelos Profesor: Percy Cañote Fajardo Pueden visitar mi blog: http://www.fisikuni.blogspot.com/

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERIA
INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
FISICA MODERNA
SECCIÓN : ST-203
TEMA : MUSICOS SIDERALES
: PERCY CAÑOTE FAJARDO
PROFESOR
2009-I
__________________________________________________________________

2. INDICE
I.-Objetivos-------------------------------------------------------------------------3
II.-Explicación del problema---------------------------------------------------3
III.-Preguntas generales-------------------------------------------------------4
IV.-Conceptos preliminares---------------------------------------------------5
1.-Fundamentos de Mecánica Clásica
2.-Postulados de einstein
3.- Transformaciones de lorentz
4.-Efecto doppler relativistico
V.- Hipótesis y conjeturas---------------------------------------------------12
VI.- Posibles soluciones-----------------------------------------------------12
VII.-Supuestos que se te tienen para el problema-------------------13
VIII.-Preguntas adicionales------------------------------------------------13
IX.- Conclusiones------------------------------------------------------------42
X.- Bibliografía---------------------------------------------------------------44
2

3. MÚSICOS SIDERALES
I.-OBJETIVOS:
 Comprender los postulados de la Relatividad Especial de Albert
Einstein respecto a la indetectabilidad del Movimiento Absoluto
Uniforme y la constancia de la Velocidad de la Luz.
 comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas de
referencia inerciales que se mueven con velocidad constante
unos respecto de otros.
 Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría de la
Relatividad en la medición de los intervalos de tiempo y
espacio, así como en la frecuencia de la luz cuando la fuente se
desplaza con una velocidad comparable al de la luz.
II.-EXPLICACION DEL PROBLEMA:
Rocío y Marlon son 2 hermanos gemelos, ambos músicos.

Marlon viaja a un planeta X, que se encuentra a 8 años luz de

la tierra.
Para que Marlon llegue al planeta X el viaja con una velocidad

0.8c y según el personal de vuelo se sabe que su viaje
demorara 6 años.
Rocío debido a su Mecánica Clásica calcula que el viaje

debería durar 10 años.
Marlon le propone a Rocío enviarse señales mutuamente

cuando cumplan años.
El regreso de Brandón al llegar al planeta “x “se realiza de

forma inmediata.
III.-CONCEPTOS PRELIMINARES:
1.-FUNDAMENTOS DE MECANICA CLASICA
3

4. ECUACIONES:
4

5. 2.-POSTULADOS DE EINSTEIN
PRIMER POSTULADO:
Dos sistemas de coordenadas (sistemas inerciales) cualesquiera
que se muevan el uno respecto al otro con velocidad relativa
constante son equivalentes para la descripción de fenómenos
5
físicos.

6. SEGUNDO POSTULADO:
La velocidad de la luz es independiente del movimiento relativo del
observador y la fuente luminosa.
3.- TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la
relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta
de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física
obtenidas por dos observadores diferentes.
Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de
la relatividad especial de Einstein.
La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la
velocidad de la luz constante para todos los observadores
inerciales.
TRANSFORMACIONES DE LORENTZ DE LAS COORDENADAS
Una de las consecuencias de que —a diferencia de lo que sucede
en la mecánica clásica— en mecánica relativista no exista un
tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos
sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes
observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes.
Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por
dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo, debido
a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros
observadores son relacionales por reglas fijas: las
transformaciones de Lorentz para las coordenadas.
Para examinar la forma concreta que toman estas
transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas
de referencia inerciales u observadores inerciales: y y se
supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o
6
punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo

7. y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas
diferentes:
Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan
el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables
de algún modo. Las transformaciones de Lorentz dicen que si el
sistema está en movimiento uniforme a velocidad a lo largo del
eje X del sistema y en el instante inicial ( ) el origen de
coordenadas de ambos sistemas coinciden, entonces las
coordenadas atribuidas por los dos observadores están
relacionadas por las siguientes expresiones:
O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:
Donde es la velocidad de la luz en el vacío.
Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma
matricial:
Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de
Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz:
7

8. La transformación de Lorentz anterior toma esa forma en el
supuesto de que el origen de coordenadas de ambos sistemas de
referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta restricción la
forma concreta de las ecuaciones se complica.
Si, además, se elimina la restricción de que la velocidad relativa
entre los dos sistemas se de según el eje X y que los ejes de
ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, las expresiones
de la transformación de Lorentz se complican más aún,
denominándose la expresión general transformación de Poincaré.
4.- EFECTO DOPLER RELATIVISTICO
Cuando una fuente de ondas se acerca o se aleja a un receptor,
ocurre el llamado efecto Doppler. Cuando se acerca el emisor
resulta que las ondas “se aprietan” aumentando la frecuencia de
las ondas por delante de él y disminuyendo por detrás. Y cuando
es el receptor es que se acerca al emisor tenemos que el receptor
va alcanzando las ondas que se le acercan antes de lo previsto. En
ambos casos el acercamiento provoca un aumento de la frecuencia
percibida y el alejamiento una disminución.
Es interesante estudiar como afecta la relatividad especial a este
fenómeno, pues no podemos olvidar que a altas velocidades el
tiempo se vuelve lento en el objeto móvil respecto al sistema de
referencia considerado en reposo.
Supongamos que una nave se aleja de la Tierra hacia otra estrella
(en reposo relativo respecto a la Tierra) a velocidad relativa a la
Tierra “v”.
La estrella emite radiaciones a una frecuencia “f0”, que son
observadas desde la nave y los astronautas miden una frecuencia
quot;fquot;. 8

9. Por efecto Doppler galileano tenemos que la frecuencia observada
por la nave será f = f0 (c+v)/c
Pero dado que no podemos olvidar la RE, tenemos que hemos
considerado a la estrella en reposo, y entonces debo aplicar la RE
desde el punto de vista de la estrella, con lo que la nave se mueve
y posee sus relojes más lentos en un factor K = (1-v2/c2)1/2.
Así que la verdadera frecuencia que percibiría la nave al observar a
la estrella sería mayor, pues recibirá más fotones por segundo
propio, y sería:
f = f0 (c+v)/(c K) (1)
Esta es la expresión típica del efecto Doppler relativista que se
puede simplificar a
Si ahora consideramos el problema desde el punto de vista de la
nave, considerándola inercial, tenemos que el efecto Doppler
clásico es diferente f= f0 c/(c-v). Si comparamos los efectos doppler
clásicos resulta que podríamos determinar quot;quién se muevequot;.
Podríamos determinar el quot;movimiento absolutoquot;. Pero estamos
tratando de verlo desde un punto de vista relativista y no hemos
terminado de completar la fórmula. Debemos tener en cuenta que,
desde el punto de vista de la nave y suponiendo que la nave está
en reposo, es la estrella la que se mueve y acerca a una velocidad
“v”. Con lo que ahora es la estrella la que tiene su tiempo
enlentecido en el mismo factor de antes y la nave no.
9

10. Así resulta que la frecuencia observada entonces debería ser
menor que el doppler esperado, pues la estrella emitirá menos
fotones por segundo, siendo entonces
f = f0 K c/(c-v) (2)
Esta expresión también se puede simplificar y resulta
¡La misma expresión típica del efecto Doppler relativista que antes!
Desde ambos puntos de vista resulta que la medición por parte del
observador será la misma, manifestándose así el principio de
relatividad en todo su esplendor, pues por observación del efecto
Doppler ningún observador podrá determinar si está más en reposo
que otro.
Para terminar observemos en el siguiente gráfico la representación
de los dos efectos doppler clásicos y la del doppler relativista
10

11. Podemos observar claramente la diferencia entre los tres, y que en
el verdaderamente correcto, el relativista, la relación f/fo tiende a
infinito a medida que la velocidad se acerca a la de la luz (v/c se
acerca a 1).
La corrección relativista al efecto Doppler es una de las principales
pruebas de la dilatación temporal predicha por la teoría de la
relatividad.
IV.-PREGUNTAS GENERALES:
¿Cómo se explica que este viaje emplee menos tiempo de lo que
le corresponde?
La explicación se basa en la dilatación del tiempo predicha por la
teoría especial de la relatividad. Esta postula que la medida del tiempo
no es absoluta y que dados dos observadores, el tiempo medido entre
dos eventos por estos observadores, no coincide; la diferente medida
de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así
en la teoría de la relatividad las medidas tanto del tiempo como del
espacio son relativas y no absolutas, ya que dependen del estado de
movimiento del observador.
11

12. En caso Marlon decida emprender el retorno de forma inmediata
¿La cantidad de señales entre ambos hasta el momento del
reencuentro serán los mismos?
No, la cantidad de señales que envían cada uno va a ser diferente.
Puesto que una de las consecuencias de la TER de Einstein es que
los eventos en diferentes posiciones que ocurren de manera
simultanea en un marco no son simultáneos en otro marco que se
mueve de manera uniforme respecto al primero, a pesar de que la
velocidad de las señales de luz es la misma en ambos marcos de
referencia (por el segundo postulado de Einstein) las frecuencias
cambiaran por consecuencia de la dilatación del tiempo, esto lo explica
el efecto Doppler relativista.
V.-HIPOTESIS Y CONJETURAS:
 El tiempo se ve afectado cuando la nave viaja a grandes
velocidades, próximas a la velocidad de la luz.
 La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos
observadores el tiempo medido por estos observadores, en
general, no coincide sino que la diferente medida de tiempos
depende del estado de movimiento relativo entre ellos
VI.-POSIBLES SOLUCIONES:
Sol 01: El tiempo transcurrido será menor para el viajero si su
velocidad es muy cercana a la velocidad de la luz, pues de este
modo el tiempo transcurre más lentamente en ella.
Sol02: el tiempo puede ser calculado tomando a la nave como un
sistema de reposo y a la tierra y roció en movimiento, en cuyo caso
su valor debe ser igual al que anuncia la compañía de vuelos para
el viaje de Marlon. Aquí es de esperar la existencia de una
asimetría.
Sol03: El número de señales deben ser diferentes, rocío recibe
menos señales luminosas que Marlon, pues este se encuentra en
movimiento y esto afecta a la frecuencia de la luz.
12

13. VII.-SUPUESTOS QUE SE TE TIENEN PARA EL PROBLEMA:
 Despreciamos la velocidad de rotación y traslación de la
tierra.
 Despreciamos el efecto de atracción de los planetas y de la
tierra hacia la nave.
VIII.- PREGUNTAS ADICIONALES:
Las preguntas que se formulan ante este problema son:
1¿De qué tratan los Postulados de Einstein? ¿Tienen estos
postulados alguna conexión con el problema planteado?
Einstein entró en escena en 1905 con su famoso documento
acerca de TER. Redefinió, las transformadas de Lorentz para
poder resolver el problema de la invariabilidad de las ecuaciones
de Maxwell. Pero también estableció dos postulados
POSTULADOS DE EINSTEIN
- Las leyes de la física son las mismas en cualquier marco de
referencia inercial (principio de relatividad).
- La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor C en
cualquier marco de referencia inercial (principio de la constancia de
la velocidad de la luz).
El primer postulado, este implica que el movimiento en línea recta
y a velocidad constante sólo se puede observar si existe un marco
de referencia contra el cual comparar. Por lo tanto no existe un
marco de referencia absoluto con respecto al cual se pueden
comparar todos los movimientos. Entonces cualquier sistema de
referencia inercial esta apto para describir un fenómeno físico.
El segundo postulado contradice las transformaciones de Galileo
y confirma los resultados del experimento de Michelson y Morley:13

14. si la velocidad de la luz es constante no hay diferencia de tiempo
entre dos recorridos de la luz y por consiguiente no puede haber
corrimiento de las franjas de interferencia al girar el interferómetro.
Además, también nos dice que la velocidad de la luz es
independiente del movimiento del observador o de la fuente.
Estos postulados tienen relación con el problema, ya que el primer
postulado se relaciona en cualquier marco de referencia, en el
problema se relaciona a la tierra donde esta Rocío, y el otro sería la
nave donde se va ha transportar Marlon por que el experimenta
unas observaciones distintas aunque no parezca por nuestra física
clásica.
2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo
dilatado a partir de las Transformaciones de Lorentz?
Z z
v
O X x’
O
’
y’
Y
X = x’ + vt’ Y = y’ Z = z’ t = t’
x’ = X – vt
V’x = d(x’)/d(t’) = d(X-vt) / d(t’) = d(X-vt) / d(t) = Vx –V
V’y = Vy V’z = Vz
a’x = ax a’y = ay a’z = az
14

15. Estas son las transformaciones de Galileo pero según la relatividad
esto ya no sería adecuado y necesitamos unas nuevas
transformaciones que mantengan la velocidad de la luz constante.
Las transformaciones de Galileo y las de Newton son válidas (las
variaciones en el tiempo y longitud son imperceptibles) cuando los
objetos gobernados por ellas se mueven a velocidades pequeñas
comparadas con la luz. Pero es necesario un ajuste cuando la
velocidad de los objetos es muy grande, o comparable con ella.
Entonces las transformaciones de Galileo se multiplican por un
factor adecuado para obtener unas nuevas transformaciones
adecuadas al problema e imponerle al factor la condición de que
para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz,
sea igual a la unidad.
Esto hace que las nuevas transformaciones sean generales y se
puedan aplicar en cualquier caso.
Entonces:
X = γ (x’ + vt’) x’ = γ (X – vt)
Como : X = ct x’ = c(t’ )
c (t) = γ( c(t’) + vt ) ct = γ( c + v )
t’
c (t’) = γ( ct - vt) ct’ = γ( c - v )
t
c / γ( c - v) = γ( c + v) / c
γ = 1/ ( 1 – (v/c) ²) ^(1/2)
x = (x'+t ' u)γ .....................................(1)
y = y ' ..................................................(2)
z = z ' ...................................................(3)
 u
t =  t´+ x' 2 γ ................................(4)
 c
 u
 u
t 2 =  t´2 + x' 2 γ
t1 =  t´1 + x' 2 γ
 c  c 15

16. De modo que:
t2 – t1 = (t’2 –t’1) γ
El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurre en el mismo lugar
en un sistema de referencia se denomina el tiempo propio tp. En este
caso, el intervalo de tiempo Δt medido en cualquier otro sistema de
referencia es siempre más largo que el propio. Este crecimiento se
denomina dilatación del tiempo:
Δt = γ Δtp
Y para la contracción de la longitud se tiene:
x′ = (x - t u)γ .............. (1)
y′ = y........................(2)
z′ = z ......................(3)
 u
t′ =  t - x 2 γ .........(4)
 c
Consideremos una varilla en reposo en el sistema S´ con un extremo
en x’2 y el otro x’1. La longitud de la varilla en este sistema es su
longitud propia Lp = x’2 – x’1. Para hallar la longitud de la varilla en
el sistema S hay que tener cierto cuidado. En este sistema la varilla
se esta moviendo hacia la derecha con velocidad “u”, que es la
velocidad de S’.
Se define la longitud de la varilla en el sistema S como L = x2 – x1;
en donde x2 es la posición de un extremo en un cierto instante t1, y
x1 es la posición del otro extremo en el mismo instante t1 = t2 ,
medidos en el sistema S. Para calcular x2 – X1.
X’2 = γ (x2 – ut2) X’1 = (x1 – ut1)
Como t2 = t1,
Obtenemos:
X’2 – x’1 = γ (x2 – x1) X2 – x1 = (x’2 – x’1)/ γ
Por lo tanto entonces la longitud del sistema de referencia S es mas
pequeña en comparación con la longitud propia (Contracción del
espacio). 16

17. L = Lp/ γ
3. Valiéndose solo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro
método podrían aplicar para deducir la misma relación de
tiempo dilatado?
Existe un ejemplo donde se dispara un haz de luz dentro de un
vagón en la posición 1. En esta posición el sostiene velocidad 0. En
la posición 2 el sistema se mueve a una velocidad constante V.
1 2
v
D
La luz en ambos sistemas y para ambos observadores debe viajar
igual a c pero para los dos observadores se ve que recorren
caminos distintos.
-En 1 la luz recorre 2D a un tiempo Δt entonces:
Δt = 2D/C (1)
-En 2 se ve que la luz recorre una distancia mayor, pero sabemos
por los postulado de Einstein que la luz no puede variar de
velocidad sin importar donde se encuentre el observador, entonces
el que tiene que variar es el tiempo Δt’
C Δt’/2
D
v Δt’/2
(c Δt’/2) ² = (v Δt’/2) ² + D² (2)
17
Entonces despejando:

18. Δt’ = 2D / (c (1-(v/c) ²) ^½)
Reemplazando 1 en 2
Pero como 2D / c = Δt y γ = 1/ (1 – (v/c) ²) ^ (1/2) entonces
Δt’ = γ Δt Dilatación del tiempo Δt’ = γ Δt
4.-Elaboren un análisis relativistico del problema planteado y
formulen una hipótesis de trabajo para resolver la posible
incongruencia de resultados de Rocío.
Lo que sucede en el problema es que los dos observadores están
en distintos sistemas de referencia, tanto Rocío como Marlon.
Rocío se encuentra en la tierra y su sistema de referencia es esta,
todo lo que percibe es respecto a la tierra, ella no ve ni percibe la
contracción de longitudes ni la dilatación del tiempo.
El problema se centra en los postulado de Einstein en el cual para
cualquier sistema las leyes físicas se cumplen, y la velocidad de la
luz es la misma para cualquiera que sea el observador, en el
momento en que Marlon comienza a mandar las luces, este recorre
una distancia, que en un sistema puede ser la distancia menor, y
en el otro sistema de referencia puede verse mayor y en esto es
que ven que sus relojes se diferencian, y cada uno se ven mas
jóvenes.
Como ya hemos comentado antes, el problema de la paradoja
reside en que dependiendo del sistema inercial en que observemos
los sucesos, tanto Marlon como Rocío se ven más jóvenes, pero no
podemos tomara como sistema inercial el caso de Marlon debido a
que su sistema sufre aceleraciones lo que rompe su estado de
observador inercial, pero esta parte se puede solucionar colocando
un reloj que se encuentre sincronizado con la tierra en ese caso
Marlon al llegar al planeta va observar que este se encuentra
adelantado al suyo (6.4 años) mas el tiempo que le ha tomado en
llegar que sería de 3.6 años calcularía el mismo tiempo de 10 años
que tiene Rocío, el mismo caso sucedería cuando Marlon realice el18

19. viaje de regreso.
5.-comparar los resultados acerca del tiempo de viaje
eligiendo como sistema de referencia:
a) la tierra:
Tenemos:
Rx = 8años-luz
Siendo la tierra nuestro sistema de referencia tenemos que Roció
calcula en el instante en que Marlon ha recorrido 8 años luz el reloj
de Rocío registra (Según la mecánica clásica):
t = 8 a –c = 10 años
0.8c
Los dos sucesos el momento en que sincronizan Roció y Marlon
sus relojes y el recorrido de Marlon de 8 a-c no están en el mismo
punto en este marco de referencia, por lo que t =10 años. El reloj
de Marlon está en reposo en relación con él, y su reloj mide un
tiempo transcurrido igual a to.
……………………….. (1)
Donde γ
γ = _______1_______ = 5/3
V: Velocidad del cohete que es igual a 0.8c.
C: Velocidad de la luz que es igual a 3x108m/s
De (1):
En este sistema de referencia (tierra) el tiempo propio será el
19
tiempo medido por Marlon. (to).

20. ∆t 10
∆t ' = = = 6años
γ 5/3
b)Para la nave en que viaja Marlon:
Debido a la contracción de longitud para Marlon el recorrido que
realiza lo realiza en solamente 6 años. Sin embargo podemos
indicar que para Marlon el que sufre la contracción del tiempo es
Rocío por encontrarse en un sistema que se mueve respecto a él.
Siendo el T de Marlon igual a 6 años. Para este sistema de
referencia el tiempo propio será el tiempo en el reloj de Rocío.
Por lo tanto el tiempo de movimiento de Rocío según Marlon será:
T Rocio = 3/5 T Marlon es igual a 3.6 años
Para detectar los 3.6 años que demora Rocío, Marlon usa en x un
reloj que solo es sincrónico para Rocío, entonces el reloj en x
(perseguidor) adelanta con respecto a Rocío una cantidad igual a:
LpV = 8 a-c x0.8c = 6.4años
C2 C2
Luego lo que debería ver Marlon será 3.6+ LpV = 3.6+6.4años = 10
C2
años que vendría ser el verdadero tiempo.
Esto aclara finalmente que:
1. Tanto según los cálculos y predicciones del sistema inercial del
gemelo terrestre como los cálculos según el sistema del gemelo
viajero, ambos concluirán que el gemelo terrestre es quien
envejecerá más, ya que el tiempo medido durante el transcurso del
viaje es mayor para él.
20

21. 2. La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la
relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas
inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la
continuidad de la métrica.
6.-Elabore un juicio de valor acerca de los resultados
obtenidos en la pregunta anterior.
Ciertamente tenemos que Marlon bajo las especificaciones
anteriores ha recorrido la trayectoria del viaje en solamente 12
años en comparación de lo experimentado por Rocío para la cual el
trayecto es de 20 años, esto es normal dentro de los parámetros de
la teoría de la relatividad especial. Debido a la contracción de la
longitud y la dilatación del tiempo.
Pero debemos tener en cuenta que la medición de Rocío se realiza
por que se encuentra en un sistema referencial inercial, a diferencia
de Marlon que no podría obtener la misma medición debido a que
se encuentra en un sistema referencial no inercial. Indico que se
encuentra en un sistema referencial no inercial debido a que la
nave podría sufrir aceleración a lo largo de su trayectoria y por lo
tanto la velocidad no sería uniforme.
En caso se considerará la aceleración de la nave entonces
podríamos empezar a hablar sobre los conceptos de la teoría de
relatividad general.
7. En base a uno de los postulados de Einstein se puede elegir
como sistema en reposo a la nave en que se encuentra Marlon,
entonces ¿cuánto tiempo demoraría Rocío en volver de su
viaje con la tierra?, despreciar el arranque y el frenado de la
nave.
Se plantearía el mismo problema que el caso anterior en que la
Tierra era un sistema inercial solo que ahora se toma un21

22. observador estacionario y en reposo respecto de la nave de Marlon
y aquí sería Rocío quien esté más joven, entonces el viaje de la
tierra de ida y vuelta demora 12 años por lo tanto Rocío demoraría
en volver 12 años
8. Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora
los resultados de la pregunta (5) con los de la pregunta (7)
¿cuántos años han pasado realmente para los dos
protagonistas de esta historia?
En la pregunta 5 se toma en cuenta el arranque y frenado de la
nave, entonces desde el punto de vista de Marlon o de Rocío
siempre se concluirá que el que viaja en la nave (en este caso
Marlon) será quien permanezca más joven. En cambio en la
pregunta 7 al no considerar el arranque y frenado se estaría
tomando por error a la nave como un sistema inercial y se estaría
originando la paradoja de que ambos piensan que el otro hermano
estará más joven en el momento del reencuentro.
 Según Rocío (Ubicada en Tierra)
V = 0,8 c a un planeta distante L P = 8 años luz y debe demorar
en la ida
t = 8 a –c = 10 años
0.8c
Entonces regresará 20 años más tarde.
 Según Marlon (Planeta P distante L´P)
Viaje demora:
22
Entonces regresa 12 años más tarde.

23. Realmente han pasado 20 años para Rocío y 12 años para Marlon.
9. ¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia cuando el observador
o la fuente experimentan un movimiento?
Las ondas de luz deben analizarse en forma distinta a como se
analizan las ondas sonoras, ya que no requieren de ningún medio
para propagarse y no existe ningún método para distinguir el
movimiento de la fuente de luz del movimiento del observador. Así,
es de esperar encontrara una formula diferente para el corrimiento
Doppler de ondas de luz, una que solo sea sensible al movimiento
relativo de la fuente y el observador, y que sea valida para
velocidades relativas de la fuente y el observador próximas a c.
fobs : es la frecuencia medida por un observador que se aproxima
a una fuente de luz
ffuente : es la frecuencia según se mide en el sistema de
referencia en que la fuente esta en reposo.
La expresión para el caso de una fuente que se aleja se obtiene al
sustituir v por –v en la ecuación.
10. Explique la conocida expresión: “corrimiento al rojo”.
El corrimiento al rojo es definido como un incremento en la longitud
de onda de radiación electromagnética recibidas por un detector
comparado con la longitud de onda emitida por la fuente. Este
incremento en la longitud de onda se corresponde con un
decremento en la frecuencia de la radiación electromagnética.
El corrimiento gravitacional hacia el rojo, el efecto Doppler de la luz
y el corrimiento cosmológico al rojo por la expansión del universo
forman el conjunto de tres corrimientos hacia el rojo distintos que
se confunden a menudo por producir cambios similares en la
frecuencia de las ondas electromagnéticas.
23
Los tipos de corrimiento al rojo:

24. Un simple fotón propagado a través del vacío puede desplazarse
hacia el rojo de varias maneras distintas.
Cada una de estas maneras produce un desplazamiento de tipo
Doppler, que son descritos mediante transformaciones galileanas,
lorentzianas o relativistas entre un sistema de referencia y otro.
 Corrimiento al rojo Doppler Transformaciones de Galileo Distancia
euclidiana
 Doppler relativista Transformaciones de Lorentz Métrica Minkowski
 Corrimiento al rojo cosmológico Transformaciones relativistas
 Corrimiento al rojo gravitacional Transformaciones relativistas
Métrica de Schwarzschild
11) El conteo de las señales de luz que se enviaron los
protagonistas ¿permitirá determinar los años transcurridos
para ambos?
Debido a nuestras limitaciones matemáticas la mejor manera de
entender el paso del tiempo en ambos gemelos es el envío de
señales periódicas. Estas señales viajarán a la velocidad de la luz y
será recibida un cierto tiempo después por el hermano distante.
Recordemos que para hacer más claros los cálculos, normalizamos
las velocidades con respecto a c (c =1), de modo que la conversión
entre distancias en años luz y tiempos en años, se haga de forma
directa. En nuestro caso cada 365 días es decir, cuando cada uno
cumpla años. En las cuales para cada gemelo la información de
que su compañero ha cumplido años le servirá para conocer el
número de años que han pasado para cada uno.
Ahora debido al efecto Doppler relativista la frecuencia de llegada
de las señales no será de un año.
Debemos señalar que para Marlon durante sus seis años de viaje
de ida recibe señales de un tercio por año
f=fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2
24
f= fo (3)

25. f ---- 3 si f = 6 entonces fo = (6*1)/3 = 2
fo ---- 1
Y por lo tanto recibe dos señales.
En su viaje de regreso recibirá tres señales por año:
f=fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2
f= fo (1/3)
f ---- 1 si f = 6 entonces fo = (6*3)/ 1 = 18
fo ---- 3
y durante los seis años que le toma regresar a la Tierra recibe 18
señales que sumadas a las dos anteriores
Señales recibidas por Marlon en el viaje de ida = 2
Señales recibidas por Marlon en el viaje de vuelta = 18
Total…………………………………………………… = 20
Hacen un total de 20 señales que ratifican los 20 años pasados
para Rocío.
Pero para Rocío con un tercio de ritmo de señales por año durante
los primeros 10 años no sabrá si Marlon ya se dirige de regreso
porque ella debería de recibir señales con mayor frecuencia.
Entonces durante 18 años ella recibirá 6 señales,
f= fo ((1+0.8)/(1-0.8))1/2
f= fo (3)
f ---- 3 si f = 18 entonces fo = (18*1)/3 = 6
fo ---- 1
Es ahora cuando ella recibirá tres señales por año por lo tanto en
estos dos últimos años ella tendrá que recibir 6 señales más.
25

26. f= fo ((1-0.8)/(1+0.8))1/2
f= fo (1/3)
f ---- 1 si f = 2 entonces fo = (2*3)/ 1 = 6
fo ---- 3
Señales recibidas por Marlon en el viaje de ida = 6
Señales recibidas por Marlon en el viaje de vuelta = 6
Total…………………………………………………… = 12
Hacen un total de 12 señales que ratifican los 12 años pasados
para Marlon.
La otra forma de resolver sin usar el efecto douppler relativista es
de la siguiente manera:
Sea: O = Roció
O’ = Marlon
Señales de O’
Cuando en O’ transcurra un intervalo t = 1 año, en O transcurrirá
t = o t’ = 5/3
Año. En el sistema de referencia O, O’ habrá recorrido una
distancia x = v t = 0,8 *5/3 = 4/3 ly (años luz). Cada año (en el
tiempo propio de su sistema inercial), O’ enviará una señal. Esa
señal viajará de regreso hacia el punto A a la velocidad de la luz, y
recorrerá esa distancia en un tiempo t = x / c. Utilizamos, por
simplicidad, al punto A como referencia de coordenadas.
Viaje de ida
Al cabo del primer año del tiempo propio de O’, en O habrán
transcurrido 5/3 de año. La distancia recorrida por O’, medida en O,
será de 4/3 ly. Significa que esta señal, viajando a la velocidad de
la luz, tardará 4/3 de año en llegar a A, donde será recibida por su
hermano. La primera señal llega entonces para t = 5/3 + 4/3 = 3
26
años.

27. Al segundo año de O’, en O transcurrieron 10/3 de año, y la
distancia a A será de x = 0,8 *10/3 = 8/3 ly. Consecuentemente, la
segunda señal llegará a A 8/3 de año después, para t = 10/3 + 8/3
= 6 años. Así ocurre durante los 6 años del viaje de O’ (en su
tiempo propio):
Tiempo Tiempo Posición Tiempo de arrivo de la
transcurrido transcurrido según O señal según O
en O’ (t’) en O (t = d t’) (x=vt) (t*=l t’+x/c)
1 5/3 4/3 3
2 10/3 8/3 6
3 5 4 9
4 20/3 16/3 12
5 25/3 20/3 15
6 10 8 18
Vemos entonces que O’ envió 6 señales, a razón de una por año
(de su tiempo propio), y O recibe 6 señales, una señal cada 3 años
(de su tiempo propio), durante 6
Viaje de regreso
Finalmente, O’ inicia su viaje de regreso a la misma velocidad,
recorriendo las mismas distancias por año. Su posición respecto de
A será ahora x = 8 - v (t - 10), debido a que invierte el sentido de su
viaje cuando t = 10 y x = 8 respecto de O.
Al primer año del viaje de regreso, séptimo del viaje de O’, en O
habrán transcurrido t = 5/3 * 7 = 35/3 de año, y la posición respecto
de A será entonces x = 8 - 0.8 .5/3 = 20/3.
La señal enviada llegará a 20/3 de año después, es decir, para:
t = 35/3 + 20/3 = 55/3 = 18,33 años.
Al segundo año, octavo del viaje, en O habrán transcurrido t
= 40/3 de año, y su posición será x = 16/3. La señal llegará a A
16/3 de año después, cuando sea t = 56/3 = 18,67.
27

28. De igual modo, al tercer año, noveno del viaje, será x = 12/3 y la
señal transmitida llegará para t = 19 años.
Así sucederá los tres años siguientes:
O recibe un total de 12 señales al cabo de 20 años: 6 los primeros
18 años, a razón de 1 cada 3 años, y 6 los últimos 2 años, a razón
de 3 por año.
Señales de O
Cada año, O enviará una señal. Esta señal viajará con velocidad c
al encuentro de O’, que es un móvil para el sistema de referencia
O. Este móvil huirá de las señales durante su viaje de ida y correrá
a su encuentro durante el viaje de regreso.
El problema principal es un clásico problema de encuentro, en el
que un móvil más rápido sale a perseguir a uno más lento.
Para ver mejor lo que sucede, haremos un gráfico del problema de
encuentro.
Viaje de ida de O’
Al cabo del primer año, O envía una señal. En este momento, O’
28
recorrió una distancia x = 0,8 ly en el sistema O. La señal recorre

29. un año luz por año, y tarda 4 años en alcanzar a O’, de acuerdo a
la siguiente ecuación: 0,8 t = t - 1 => t = 5. Este momento
corresponde al tiempo t’ = t ( t - x v/c2) = 3 en O’.
Al segundo año, tenemos: 0,8 t = t - 2 => t = 10, entonces t’ = 6.
Vemos entonces que durante los 6 años del viaje de ida de O’, este
recibe solamente 2 señales de su hermano en O, una cada 3 años.
Viaje de regreso de O’
A partir del tercer año de O, cada señal alcanzará a O’ según la
ecuación:
8 - 0,8 (t -10) = t - t0 para t0 = 3, 4, 5,..., 20.
De donde despejamos el tiempo de encuentro: t*= 5/9 (t0 + 16) y
calculamos entonces t’ = t / .
29

30. Para mayor claridad, se ha graficado una de cada 3 señales.
Vemos entonces que durante los 6 años del viaje de regreso de O’,
este recibe
18 señales de su hermano en O, a razón de 3 por año.
12. Evalúen otras posibles consecuencias de viajar a grandes
velocidades y el eventual uso de la dilatación del tiempo.
En cuanto a viajar a grandes velocidades a estrellas lejanas, la
contracción relativista del tiempo puede beneficiar a los tripulantes
de la nave espacial, acortando el tiempo de un trayecto; pero el
transcurrido en la Tierra puede ser de siglos o milenios.
Por todo lo anterior, la imposibilidad de rebasar la velocidad de la
luz parece que nos condena a permanecer eternamente en nuestro30

31. pequeño rincón de la Galaxia, separados por enormes distancias
de otros astros —salvo unos cuantos muy cercanos— y, quizás, de
civilizaciones extraterrestres. Por eso, la posibilidad de viajar, o al
menos comunicarse, a una velocidad superior a la luz es una
ilusión muy cara; sin embargo, las dificultades no son simplemente
técnicas, sino que están relacionadas con la misma geometría del
espacio tiempo.
En primer lugar, si bien es cierto que se necesita una energía
infinita para alcanzar la velocidad de la luz, cabe preguntarse si no
existe algún mecanismo desconocido, quizás relacionado con
efectos cuánticos, que permita rebasar esa barrera en alguna
forma no prevista por la física actual. Además podrían existir
partículas que, desde que nació el Universo, posean una velocidad
superior a la luminosa; a tales hipotéticas partículas incluso se les
ha dado un nombre: taquiones (del griego tachys: velocidad). Si
existieran, los taquiones resolverían el problema de las
comunicaciones interestelares, al permitir enviar mensajes más
veloces que las señales luminosas. Por otra parte, en algunos
libros o películas de ciencia ficción los personajes se
quot;teletransportanquot;, o viajan a través de un supuesto quot;hiper espacioquot;,
o cualquier cosa que implique su desaparición en un punto y su
aparición en otro muy lejano. Pero veremos a continuación que la
posibilidad de viajar o enviar señales más rápidamente que la luz
equivale a un viaje aparentemente muy distinto, pero más difícil de
concebir: ¡un viaje al pasado!
El tiempo transcurrido entre dos sucesos depende de la velocidad
de quien lo mide. Supongamos que en algún lugar se produce el
suceso A, consistente en la emisión de una partícula material, o de
una señal luminosa; tal partícula o señal es recibida en otro punto
en algún momento: llamemos suceso B a esa recepción distante. El
tiempo transcurrido entre los sucesos A y B depende del sistema
31
de referencia en el que se observan esos dos sucesos y varía, por

32. lo tanto, de acuerdo con la velocidad del observador. Sin embargo,
se puede denostar que, debido a la estructura geométrica del
espacio tiempo, el tiempo transcurrido entre A y B no puede nunca
invertirse: no existe ningún observador para quien la recepción de
la señal (suceso B) preceda su emisión (suceso B). Éste es, el
principio de causalidad, fundamental en la física: si el suceso A es
la causa de suceso B, entonces A sucede antes que B en cualquier
sistema de referencia: el orden causa-efecto es invariante.
Sin embargo, para que los dos sucesos considerados tengan una
relación causal, es decir que A pueda influir sobre B, es necesario
que la acción de A viaje a una velocidad menor o igual que la
velocidad de la luz. Por ejemplo, lo que ocurre en la Tierra a la 1
P.M. puede ser un suceso conectado causalmente con el suceso
que ocurre en la Luna a las 2 P.M. ya que una hora es suficiente
para ir o mandar una señal a la Luna, incluso a velocidades
menores a la de la luz. Por otra parte, lo que sucede en este
instante en la estrella Alfa Centauri no puede tener relación causal
con ningún suceso presente en la Tierra; si Alfa Centauri explotara
en este momento, tendríamos que esperar al menos cuatro años
para enterarnos de ello.
Ahora bien, el principio de causalidad no se aplica a las partículas
que se mueven más rápidamente que la luz. Si el suceso A es la
emisión de un taquión y el suceso B la recepción de ese taquión,
entonces puede existir un sistema de referencia en el cual B
antecede a A , es decir, el receptor parece emitir al taquión y el
emisor recibirlo: se puede demostrar que eso ocurre en cualquier
sistema de referencia que se mueva con respecto al emisor y al
detector con una velocidad superior a c2/vT, donde vT es la
velocidad del taquión (la velocidad del sistema de referencia
mencionado es menor que c porque vT es mayor que c). Dicho de
otro modo, el concepto de pasado y futuro para un taquión es
relativo. Un taquión quot;viajaquot; hacia el futuro o hacia el pasado, según
32
la velocidad de quien lo observa.

33. Así, de existir los taquiones, o cualquier posibilidad de desplazarse
más rápidamente que la luz, sería posible, viajar al pasado. Por
ejemplo, se podría utilizar un dispositivo consistente en dos
emisores-receptores de taquiones que se alejan uno de otro a
velocidad lo suficientemente grande. El primer aparato emite una
señal taquiónica, que el segundo aparato recibe y contesta
inmediatamente con otra emisión de taquiones. ¡La respuesta
llegaría al primer aparato antes de que haya emitido su primera
señal!
Un sistema de emisores y detectores de taquiones podría permitir
que una señal taquiónica regrese antes de salir.
O bien, imaginémonos que en el futuro se inventara un
quot;teletransportadorquot; tal que permitiera a un viajero espacial
desaparecer en la Tierra y materializarse en algún lugar lejano,
implicando un desplazamiento a mayor velocidad que la luz.
Nuestro viajero podría llevarse un teletransportador consigo para
poder regresar a la Tierra. Pero, en ese caso, cabe la posibilidad
de que el viajero inicie su retorno desde un planeta en movimiento
tal que ¡regrese antes de haber salido!
¿Es posible viajar al pasado? Independientemente de cualquier
restricción impuesta por las leyes de la física, el hecho de regresar
en el tiempo implica una situación sumamente contradictoria. En
efecto, si una señal taquiónica puede regresar antes de ser emitida,
¿qué pasaría si en el lapso de tiempo entre su recepción y su
misión se decide destruir el emisor de taquiones? Más aún, si una
persona pudiera regresar al pasado ¿qué ocurriría si se encontrara
consigo mismo de niño... y decidiera quot;asesinarse”?
33

34. Invertir el sentido del tiempo no parece ser factible, más por
razones lógicas que por motivos físicos. Lo que, no es tan evidente,
y queremos subrayarlo, es que, debido a la peculiar geometría del
espacio tiempo, un viaje en el espacio a mayor velocidad que la luz
es enteramente equivalente a un viaje hacia atrás en el tiempo, con
todo y sus contradicciones inherentes. Al parecer, estamos
efectivamente condenados a vivir en una pequeña región periférica
de nuestra Galaxia, y sólo contemplar la inmensidad del Universo a
través de la luz que las galaxias lejanas nos enviaron hace millones
de años.
Recapitulación:
O envía 20 señales, 1 cada año de su tiempo.
O’ recibe 20 señales, 2 los primeros 6 años, a razón de una cada 3
años; y 18 los últimos 6 años, a razón de 3 por año.
IX.- CONCLUSIONES
 En la teoría de la relatividad las medidas de tiempo y espacio, son
relativas y no absolutas, ya que dependen del estado de
movimiento del observador.
 La paradoja de los gemelos nos muestra que la Relatividad puede
llegar a ser difícil de comprender si intentamos razonar dentro de
los límites de la mecánica clásica, que es la que podemos
experimentar en nuestra vida cotidiana.
 Es necesario que solo intervengan sistemas de referencia
inerciales para poder aplicar la teoría de la relatividad especial
propuesta por Einsten.
 Contrariamente a lo que piensa la gente, la paradoja no es el
hecho de que un gemelo envejezca más rápido que otro, sino en el
razonamiento capcioso que sugería que los dos gemelos
concluirían que es el otro quien envejecería más.
34

35.  La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la
relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas
inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la
continuidad de la métrica.
 Hemos observado que la dilatación del tiempo se produce
efectivamente en dos sistemas en movimiento relativo. Si quedaba
alguna duda sobre la no-paradoja de los gemelos, la hemos
disipado.
 Vimos además, que la frecuencia de las señales enviadas
aumenta, para el receptor, cuando los sistemas se acercan, y
disminuye (para el receptor) cuando se alejan.
X.-BIBLIOGRAFIA
• HTTP://WWW.WIKIPEDIA.COM
• FISICA MODERNA, SERWAY RAYMOND, MÉXICO : MCGRAW-
HILL, 1997
• HTTP://GESALERICO.FT.UAM.ES/PAGINASPERSONALES/BARB
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• FISICA MODERNA ,TIPLER, PAUL A. BARCELONA : REVERTÉ,
1980
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35