El proposito es para que nuestros Amigos de la SJG-Astronomy intentemos aprender algo de la Teoria Especial de la Relatividad a partir buenas referencias...... . Información compartida por: Herman J. Mosquera Cuesta PhD Astrophysis Amigo Sociedad Julio Garavito para el Estudio de la Astronomía (SJG - Astronomy); Ciudad de Medellín (Distrito Espacial, Especial en Ciencia, Ingeniería, Tecnología, Innovación, Creatividad e Industria Aeroespacial), Departamento de Antioquia, República de Colombia, América del Sur.

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Relatividad desde cero
Eddie Barrios
Ha estudiado Física computacional y Relatividad especial · Actualizado el dom
Acabo de ver un vídeo de divulgación científica en el que se dice que si
viajáramos a una velocidad cercana a la de la luz un viaje de una distancia de
miles de años años nos parecerían segundos ¿Tiene algún sentido?
Si tiene sentido.
De acuerdo a la teoría de la Relatividad, cada observador en movimiento
transporta su propia escala de tiempo, su tiempo propio
Una mayor explicación acerca de lo que es el tiempo propio se da en esta
respuesta:
Así como existe el tiempo propio, también existe la contracción de longitudes y
dilatación del tiempo.
Primero procederé a explicar lo que es la contracción de longitudes ( contracción
de Lorentz ) a partir de las Transformaciones Directas de Lorentz ( TDL )
La fórmula es:
……………………….(I)
Donde:
: Velocidad del sistema de referencia S' con respecto al sistema S
: Longitud medida en el sistema en reposo S
: Longitud medida por el observador S' que viaja a una velocidad v ( con
respecto a S )
——
También existe una fórmula que relaciona el tiempo medido por un observador
que permanece en reposo ( en Tierra ) con respecto a un observador móvil
ubicado en un sistema de referencia S' que se mueve con velocidad con
respecto a S, que mide el mismo intervalo temporal . El mismo intervalo
temporal medido por ambos observadores está relacionado mediante la siguiente
fórmula.
…………….(II)
Donde:
: Intervalo medido por un observador fijo en Tierra ( sistema S )
: Intervalo medido por un observador en movimiento con velocidad en un
sistema S'.
Para el observador en movimiento habrá pasado menos tiempo que para un
observador que se queda en reposo. De ahí la famosa paradoja de los gemelos. Es
decir si tenemos un par de hermanos gemelos, uno que permanece en Tierra y
otro que ha hecho un viaje interestelar a grandes velocidades , al regresar el
hermano viajero será mas joven que su hermano que se ha quedado en Tierra.
Por esta razón se pueden explorar grandes distancias en vehículos que tuvieran
una fracción apreciable de la velocidad de la luz, pero al regresar dichos
exploradores , en Tierra habría pasado mucho mas tiempo que los registrados por
los viajeros, y si la velocidad es una fracción mucho mas apreciable de la velocidad
Eddie Barrios
τ
Respuesta de Eddie Barrios a ¿Qué es el tiempo propio en Teoría de la Relatividad
Especial?
=
l′
lo 1 − β2
− −
−
−
−
√
β = v
c
v
lo
l
Δt
v
Δt′
Δ =
t′ Δt
1 − β2
− −
−
−
−
√
Δt
Δt′
v
Paradoja de los gemelos - Wikipedia, la enciclopedia libre
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2. de la luz, en Tierra habría pasado muchos mas años, tantos que nadie pudiese
recordar la hazaña de los viajeros interestelares.
Algunos valores:
0.1 0.994987437 1.005037815
0.2 0.979795897 1.020620726
0.4 0.916515140 1.091089451
0.6 0.8 1.25
0.8 0.6 5/3
0.9 0.435889894 2.294157339
0.99 0.141067360 7.088812050
—————————-
Para demostrar la fórmula de la contracción de longitudes se parte de las
Transformaciones de Lorentz, hay de dos tipos, las Transformaciones directas y las
Transformaciones inversas
Sean 2 sistemas de referencia S ( que permanece en reposo ) y S' que se mueve a
una velocidad v con respecto a S. Ambos sistemas miden el mismo intervalo
espacio-temporal, es decir:
A partir de la invariabilidad del intervalo-espacio-temporal se obtienen las
Transformaciones Directas de Lorentz que pueden escribirse como:
Las transformaciones de Lorentz también pueden escribirse como:
O también pueden escribirse en forma matricial como:
Como :
Se puede escribir como:
Como:
y
Las fórmulas de Transformación de Lorentz pueden escribirse en forma explícita
como:
TDL : ( Transformadas Directas de Lorentz )
A partir de las TDL, se obtienen las TIL ( Transformaciones inversas de Lorentz )
β γ
1 − β2
− −
−
−
−
√
dS = dS′
= γ(t − x) → c = γ(ct − βx)
t′ v
c2
t′
= γ(x − v t) → = γ(x − β ct)
x′
x′
c = γ(ct − βx) → = γ( − β )
t′
x′
o xo x1
= γ(x − β ct) → = γ(−β + )
x′
x′
1 xo x1
[ ] = [ ] [ ]
x′
o
x′
1
γ
−β γ
−β γ
γ
xo
x1
γ = =
1
1−β2
√
1
1−(v/c)2
√
=
⎡
⎣
⎢
ct′
x′
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
1
1−β2
√
−β
1−β2
√
−β
1−β2
√
1
1−β2
√
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
ct
x
⎤
⎦
⎥
β = → v = β c
v
c β/c = β/c2
= [t − x]
t′ 1
1−(v/c)2
√
v
c2
= [x − vt]
x′ 1
1−(v/c)2
√
x = [ + v ]
1
1−(v/c)2
√
x′
t′
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3. ———————-
Mas información:
Demostración 1 ( Contracción de longitudes )
Sean dos sistemas de referencia, el sistema S que permanece en reposo y el
sistema S' que se mueve con una velocidad con respecto al primero.
Se tiene una varilla que permanece en reposo en el sistema S. La medida de la
longitud de esa varilla estará dada por la diferencia de lecturas en una escala
graduada fija también en el sistema S. En esas condiciones, la longitud de la varilla
medida en el sistema que permanece en reposo será:
Para un observador móvil, que se encuentra en S' los extremos de una varilla fija
en S serán: y en un tiempo t' medido en S'. La diferencia de estas lecturas
será la longitud de la barra medida desde el sistema S' que se mueve con
velocidad v con respecto al sistema S ( que es en donde se encuentra fija la barra ),
luego:
Si se intentase usar las fórmulas de TDL para calcular la longitud de la varilla se
tendrá una dificultad, puesto que cuando se mida la posición del primer extremo
en t'_{1} y luego se mida la posición del otro extremo en t'_{2}, dicha diferencia de
posiciones no expresa la longitud de la barra, puesto que esta se ha movido en el
intervalo , que es la diferencia de tiempo que demora en hacer
ambas lecturas de los extremos de la barra.
Entonces lo mas conveniente es usar las trasformaciones inversas ( TIL ) , puesto
que ahí figura t' y podemos forzar a que se cumpla la condición ( ) ,
en otras palabras la medida de los extremos de la barra deben hacerse
simultáneamente.
En esas condiciones, se tiene lo siguiente:
Restando:
Pero:
Luego:
l.q.q.d.
—————————————-
Demostración 2 ( Dilatación temporal )
Si consideramos un reloj ubicado en el sistema S ubicado a la distancia fija y
otro reloj fijado en el sistema S' que se desplaza con velocidad con respecto a S.
En el instante . El observador en Tierra ( S ) puede calcular , usando sus TLD.
Resultado que puede verificar el observador móvil ubicado en S'.
t = [ + ]
1
1−(v/c)2
√
t′ v
c2
x′
Respuesta de Eddie Barrios a ¿Son curvos el tiempo y el espacio?
Respuesta de Eddie Barrios a ¿Qué conocimientos previos debo tener, para poder
entender bien lo que es el análisis tensorial?
v
= −
lo x2 x1
x′
2 x′
1
= −
l′
x′
2 x′
1
Δ = −
t′
t′
2 t′
1
= =
t′
2 t′
1 t′
= ( + v )
x1
1
1−β2
√
x′
1 t′
= ( + v )
x2
1
1−β2
√
x′
2 t′
− = ( − )
x2 x1
1
1−β2
√
x′
2 x′
1
= −
lo x2 x1
= −
l′
x′
2 x′
1
=
lo
1
1−β2
√
l′
=
l′
lo 1 − β2
− −
−
−
−
√
x1
v
t1 t′
1
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4. Luego en un instante posterior , el mismo observador en S hace uso de sus TDL
, para estimar el instante , que puede corroborar un observador ubicado en S'
en el reloj que lleva a bordo.
Recuerden que el reloj se mantiene a la distancia fija y no se ha movido,
entonces se cumple:
Restando estas dos últimas expresiones:
Pero:
Es el intervalo temporal que mide un observador que permanece en
reposo en el sistema S. Y
Es el intervalo temporal que mide un observador que viaja a
velocidad con respecto a S.
Luego:
l.q.q.d.
Eso significa que al reencontrarse ambos observadores el reloj del viajero habrá
pasado un tiempo menor que en el reloj de el observador que permaneció fijo en
Tierra.
Cuando comentaba esto con mis compañeros en la escuela secundaria, nadie me
creía, solamente un compañero al que llamaremos Víctor. Los demás se
conformaban con el libro de texto de la escuela, mientras que yo leía libros de
divulgación científica y libros de Física que se llevan en las carreras de Ciencias e
Ingeniería.
—————————
Un ejemplo numérico.
Vamos a suponer que se le entrega dos péndulos exactamente iguales a dos
observadores diferentes. Uno se le entrega al observador O que permanece fijo en
Tierra y otro se le entrega al observador O' que se aleja con una velocidad =
0.28 c del observador terrestre. Y se les pide que hagan un informe.
El observador O fijo en Tierra dirá: 'El periodo de mi péndulo es 2 s'.
Ahora el observador que se aleja con velocidad dirá: 'El período de mi péndulo es
2s, pero el péndulo de O se mueve mas lentamente y su período de oscilación es
2.083 segundos'.
Observación Final:
A partir de las Trasformaciones Directas de Lorentz, podemos hallar sus
Transformadas Inversas.
Escribiendo las TDL como:
= ( − )
t′
1
1
1−β2
√
t1
v
c2
x1
t2
t′
2
x1
= ( − )
t′
2
1
1−β2
√
t2
v
c2
x1
− = ( − )
t′
2 t′
1
1
1−(β)2
√
t2 t1
Δt = −
t2 t1
Δ = −
t′
t′
2 t′
1
v
Δ =
t′ Δt
1 − β2
− −
−
−
−
√
v
v
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5. Cambiando el orden:
Dividiendo entre 'c' a la segunda fila:
Formamos la ecuación en donde y son datos y queremos hallar y
respectivamente:
Entonces la solución es:
Esto es:
Otra forma: ( Recordar que y son datos )
…………………(1)
……………………(2)
Despejando x
Multiplicando la 2° ecuación por
———————————————
Luego:
Despejando t
Multiplicando la 1° ecuación por
———————————————
Entonces:
Luego las TIL ( Transformaciones Inversas de Lorentz ) son:
[ ] = [ ] [ ]
ct′
x′
γ
−β γ
−β γ
γ
ct
x
[ ] = [ ] [ ]
x′
ct′
γ
−β γ
−β γ
γ
x
ct
[ ] = [ ] [ ]
x′
t′
γ
− γ
v
c2
−v γ
γ
x
t
x′
t′
x t
[ ] [ ] = [ ]
γ
− γ
v
c2
−v γ
γ
x
t
x′
t′
[ ] = [ ]
x
t
[ ]
γ
− γ
v
c2
−v γ
γ
−1
x′
t′
[ ] = [ ] [ ]
x
t
γ
γ
v
c2
v γ
γ
x′
t′
x′
t′
γx − v γ t = x′
− γx + γt =
v
c2
t′
v
γx − vγ t = x′
− γx + vγ t =
v2
c2
t′
γ(1 − )x = + v
v2
c2
x′
t′
x = + v
1 − v2
c2
− −
−
−
−
√ x′
t′
x = [ + v ]
1
1−(v/c)2
√
x′
t′
v
c2
γx − γ t =
v
c2
v2
c2
v
c2
x′
− γx + γ t =
v
c2
t′
γ(1 − )t = +
v2
c2
t′ v
c2
x′
t = +
1 − v2
c2
− −
−
−
−
√ t′ v
c2
x′
t = [ + ]
1
1−(v/c)2
√
t′ v
c2
x′
x = [ + v ]
1
1−(v/c)2
√
x′
t′
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t = [ + ]
1
1−(v/c)2
√
t′ v
c2
x′
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