1. Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de
la Educación
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
ESCUELA PROFESIONAL:
FÍSICA
CURSO: RELATIVIDAD
APUNTES DE RELATIVIDAD
“DILATACIÓN DEL TIEMPO Y LA PARADOJA
DE LOS GEMELOS”
ALUMNO:
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
𝐷𝐷𝑢𝑢𝜇𝜇
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ Г𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑢𝑢
𝑢𝑢𝛼𝛼
𝑢𝑢𝜈𝜈
= 0

2. DILATACIÓN DEL TIEMPO Y LA PARADOJA DE
LOS GEMELOS.
DILATACIÓN DEL TIEMPO.
Sólo los pocos hechos acerca de la geometría del espaciotiempo de la relatividad especial
puede ponerse a prueba para obtener algunas de sus más famosas consecuencias. El primero
es el fenómeno de la dilatación del tiempo. El tiempo propio, τAB, entre cualquiera de dos
puntos A y B sobre una línea de universo temporal puede calcularse a partir del elemento de
línea de (6) y (10) como:
(11.a)
(11.b)
Más compactamente,
(12)
El tiempo propio τAB es más corto que el intervalo tB-tA debido a que es menor que
la unidad. Esto es el fenómeno de la dilatación del tiempo resumido imperfectamente mediante
el lema "los relojes moviéndose avanzan lento". Para intervalos de tiempo Δt suficientemente
cortos de modo que la velocidad es aproximadamente constante respecto de ellos, será
frecuentemente útil hacer uso de la forma diferencial de (12), (13)
La figura 9 ilustra la conexión.
Se debe resaltar que (12) o (13) cumplen incluso para relojes con aceleración, es decir, cuando
la velocidad es dependiente del tiempo.
Ejemplo 2. Un Reloj Modelo. La discusión anterior de la dilatación del tiempo no se refería al
funcionamiento de cualquier reloj en particular. La dilatación del tiempo es consecuencia de la
geometría del espaciotiempo, y todo lo que uno necesita saber acerca de un reloj es que es un
dispositivo para medir la distancia a lo largo de las curvas temporales. Sin embargo, es
instructivo ver cómo la dilatación del tiempo aparece a partir del funcionamiento de un reloj, y el
modelo ilustrado en las figuras 4 y 5 proporcionan un ejemplo sencillo. El mecanismo del reloj
es el rebote de un pulso. Los retornos sucesivos del pulso de luz hacia el espejo inferior son los
sucesos que definen los intervalos sucesivos a lo largo de la línea de universo del reloj (ver
Figura 9).
Dilatación del Tiempo

3. El intervalo de tiempo propio Δτ entre estos sucesos es
el intervalo de tiempo entre ellos en el marco de reposo
del reloj, que es Δτ=Δt=2L/c [cf. (1)]. El intervalo de
tiempo Δt´ en el marco donde está moviéndose este
reloj con rapidez V puede encontrarse al eliminar Δx´
entre las dos primeras relaciones en (2). El resultado
es (14)
Esto es sólo la relación diferencial (13) para un reloj
con rapidez V. Este modelo de reloj presenta la
dilatación del tiempo explícitamente.
-Ocasionalmente uno se encuentra con la idea errónea
de que la relatividad especial sólo puede tratar con el
movimiento a velocidad constante. Nada podría estar
más lejos de la verdad. Esta idea equivocada
posiblemente deriva del hecho de que los marcos
inerciales pueden diferir por el movimiento uniforme
pero no del movimiento acelerado. Pero esto es
igualmente cierto en la mecánica newtoniana, que se
ocupa fundamentalmente de explicar el movimiento
acelerado. El movimiento a alta velocidad de las
partículas en aceleradores de alta energía es un
ejemplo cotidiano de movimiento acelerado que se
describe en los principios de la relatividad especial.
Figura 9 El tiempo propio y la
coordenada temporal. La curva en
esta figura es la línea de universo
de una partícula moviéndose en la
dirección x. Un reloj llevado con la
partícula mide el tiempo propio a lo
largo de la línea de universo, el
cual es la distancia del
espaciotiempo a lo largo de la
línea de universo en unidades de
tiempo. El tiempo propio, Δτ, entre
dos puntos A y B en el
espaciotiempo separados por
pequeños intervalos de
coordenadas Δt y Δx está dada
mediante el elemento de línea del
espaciotiempo plano, (6) y (10). El
intervalo Δt es más largo que Δτ,
esto es la dilatación del tiempo. A
juzgar por la geometría euclidiana
del plano, Δt aparenta ser más
corta que Δτ. Pero la geometría de
una rebanada (ct, x) de este
espaciotiempo no es Euclidiana.

4. LA PARADOJA DE LOS GEMELOS.
La ecuación (12) muestra que el tiempo registrado por
un reloj en movimiento entre dos puntos en el espacio
depende de la ruta recorrida incluso si regresa al
mismo punto que empezó. Esta es la fuente de la
famosa paradoja de los gemelos.
Dos gemelos, Alice y Bob, empezaron desde el reposo
en un punto del espacio en el tiempo t1 en un marco
inercial, como se ilustra en la Figura 10. Alice se aleja
del punto de partida, pero posteriormente regresa al
reposo en el mismo punto en el tiempo t2. Bob
permanece en reposo en el punto de partida. El
tiempo transcurrido en el reloj de Bob es t2-t1. El
tiempo transcurrido en el reloj de Alice es siempre
menor que este, debido a que es siempre
menor que 1 en (12). La edad del gemelo en
movimiento es menos que la del gemelo estacionario.
Ejemplo 4,3. Alice acelera instantáneamente a una
rapidez uniforme de 4/5c, se desplaza en línea recta
lejos de Bob, eventualmente invierte
instantáneamente su dirección, de regreso a Bob con
la misma rapidez, y desacelera instantáneamente al
reposo. Bob ha envejecido 50 años. ¿En cuánto ha
envejecido Alice?
Las edades de cada uno son los tiempos propios a lo
largo de sus respectivas líneas de universo entre la
partida y el regreso calculado con (12). Para
comprender la contribución de una aceleración instantánea, primero suponga que la
aceleración es uniforme sobre un pequeño intervalo de tiempo de longitud 2ε y tomar el límite
cuando ε tiende a cero. Entonces V=4/5c (tmed-t)/ε entre un tiempo ε antes de la mitad del
tiempo, tmed, y un tiempo ε posteriormente. La contribución de este intervalo a la integral en (12)
será proporcional a ε y despreciable cuando ε se aproxime a cero. Lo mismo es cierto para las
otras dos aceleraciones de Alice. Así, el reloj en movimiento corre a una velocidad de [1-
(4/5)2
]1/2
=3/5 veces más despacio que el reloj estacionario de 50 años. Alice debería envejecer
en 30 años.
El diccionario American Heritage define la paradoja como "una afirmación notoriamente
contradictoria, no obstante que puede ser cierta." Obtenemos una paradoja al describir la
situación a partir del punto de vista de Alice. Bob se aleja a rapidez uniforme, invierte su
dirección y regresa a rapidez uniforme. Esto parece ser exactamente la misma que la situación
desde el punto de vista de Bob, que ve a Alice alejarse a rapidez uniforme, invierte su
dirección, y regresa a una rapidez uniforme. El resultado no es simétrico; Alice es menor que
Bob. Sin embargo, sus situaciones no son simétricas. Alice y Bob viajan dos líneas de universo
diferentes en el espaciotiempo con distancias diferentes entre sus puntos de partida y de
llegada. Sus relojes miden estas distancias y leen así de manera diferente.
LÍNEAS RECTAS Y DISTANCIAS MÁS LARGAS.
El ejemplo de la paradoja de los gemelos ilustra una propiedad importante de la geometría no
Euclidiana del espaciotiempo plano.
Como (12) muestra, cada línea de universo temporal distinta que Alice podía seguir entre los
puntos A y B posee una longitud más corta que la línea recta curva seguido por Bob. (Otras
curvas pueden verse más largas en una figura como en la figura 10, pero son de hecho más
cortas debido a que la geometría no es Euclidiana. (Recordemos el ejemplo 1).
FIGURA 10 La paradoja de los
gemelos desde el punto de vista
del espaciotiempo. Alice y Bob
siguen dos líneas de universo
diferentes entre los mismos dos
puntos del espaciotiempo. Las
longitudes de estas curvas son
diferentes, y en consecuencia el
tiempo propio registrado por cada
reloj llevado a lo largo es diferente.

5. La trayectoria en línea recta es la distancia más larga entre dos puntos cualesquiera con
separación tipo temporal en el espaciotiempo plano tetradimensional. Para ver esto, elija
cualquiera de dos puntos A y B con separación tipo temporal. La trayectoria en línea recta entre
ellos es una línea de universo moviéndose con alguna velocidad constante . Usar esta
velocidad para transformar a otro marco inercial donde los dos eventos ocurran en el mismo
lugar. Este marco es semejante al de Bob analizado anteriormente. Cualquier observador como
Alicia moviéndose sobre una trayectoria no lineal mide una distancia más corta del
espaciotiempo entre los eventos que hace Bob. Las distancias en espaciotiempo no dependen
del marco inercial usado para calcularlas. En el espacio tridimensional una línea recta es la
distancia más corta entre dos puntos cualesquiera, pero en el espaciotiempo plano una línea
recta es la distancia más larga entre dos puntos con separación tipo temporal.