El Tejido del Espacio-tiempo, de Charles Francis. Traducción al español por Dante Amerisi. El intercambio de fotones observado en la electrodinámica cuántica también es responsable por el “tejido” del espacio-tiempo de Minkovsky.

1. El Tejido del Espacio-tiempo
El Tejido del Espacio-tiempo
Charles Francis
Traducido por Dante Amerisi
Síntesis:
Las fórmulas de la Relatividad Especial se desarrollan con el Cálculo-K sin presunción de un
múltiple.
La métrica está determinada empíricamente por el intercambio de fotones, y el tratamiento
sugiere que el intercambio de fotones observado en la electrodinámica cuántica también es
responsable por el “tejido” del espacio-tiempo de Minkovsky. Esto sugiere que a escalas cuánticas la
naturaleza similar a un punto de las partículas elementales debiera aparecer “desenfocada” o
“borrosa”. Hay referencia en un trabajo posterior a las implicaciones en las leyes de la física a este
respecto.
Keywords:
Relatividad Especial, Minkowsky, espacio-tiempo.
Charles Francis
Clef Digital Systems Ltd
Lluest, Neuaddlwyd
Lampeter
Ceredigion
SA48 7RG
22/6/99
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2. El Tejido del Espacio-tiempo
El Tejido del Espacio-tiempo
1 Introducción
Hay un creciente interés en la idea que las variables fundamentales como el tiempo debieran ser
diferentes [1], y hay muchas referencias en la literatura del potencial de cuantificación de la
gravedad, el cual sugiere que a nivel fundamental el espacio-tiempo debiera ser diferente [2].
Este texto es uno de una serie examinando las consecuencias para las leyes de la física de
reemplazar la presunción de un continuo espacio-tiempo preexistente, con la observación de que el
tiempo y la distancia son números producidos por un aparato de medición.
El propósito del presente tratado es mostrar que las leyes de la física de la Relatividad Especial
pueden derivarse de un tratamiento empírico de medición que no requiere de asumir un múltiple. La
importación de un método es para demostrar que el espacio-tiempo de Minkovsky es una
construcción matemática que no tiene un análogo ontológico directo. Dada la asunción de que el
espacio vacío no se requiere para derivar las leyes físicas de la Relatividad Especial, éste no tiene
impacto en la teoría. La introducción de un espacio-tiempo ontológico daría a la vez resultados
equivocados o no haría cambios en las predicciones empíricas de la teoría, y de esta manera sería no
comprobable y científicamente ambiguo. En su lugar, describimos la manera en que las
combinaciones de las interacciones de las partículas podrían generar las propiedades matemáticas del
espacio-tiempo de Minkovsky.
Un interesante corolario a esta idea sería que no solamente el movimiento podría ser considerado
relativo en la Teoría Especial de la Relatividad [3]. La posición de un cuerpo o una partícula también
está definida en relación a otra materia. Es intuitivamente claro que, en ausencia de un múltiple preexistente, la incertidumbre será una característica de la definición empírica de los sistemas de
coordenadas, y que esta incertidumbre no es la clásica teoría de probabilidad de una variable
desconocida, y que requerirá un tratamiento matemático alternativo. Referencias de trabajos
posteriores sugieren que la relatividad de la posición de una partícula es el principio basado en la
incertidumbre de las leyes de la Mecánica Cuántica, además de otras leyes fundamentales de la
física.
2 Sistema Coordinado
Hay cabida a la confusión entre dos preguntas muy similares, ‘¿Qué es el tiempo?’ y ‘¿Qué
tiempo es?’. La primera pregunta tiene que ver con la conciencia, y con nuestra percepción del
tiempo como un flujo que va del pasado al futuro. No conlleva una respuesta sencilla, pero es muy
distinta de la segunda pregunta y sólo esta última será relevante en la definición de las coordenadas
del espacio-tiempo. La respuesta a la pregunta ‘¿Qué tiempo es?’, resulta ser algo parecido a 4:30, o
a 6:25.
Definición: El tiempo es un número que podemos leer en un reloj.
Hay muchos tipos de relojes, pero cada uno tiene dos elementos en común, un proceso repetitivo
y un contador. El resto del mecanismo convierte el número de repeticiones a unidades
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3. El Tejido del Espacio-tiempo
convencionales de tiempo. Un buen reloj debiera proporcionar una medición exacta así como una
medida uniforme del tiempo.
No podemos contar menos de una repetición del proceso en un reloj, así que, para mediciones
correctas el proceso debe repetirse tan rápido como sea posible. En un reloj uniforme, el proceso de
repetición debe repetirse cada vez de manera idéntica al anterior, sin influencia externa alguna. Una
repetición da la mínima unidad de tiempo para cada reloj. Subdividir esta unidad de tiempo requiere
un segundo reloj. Así que el tiempo requiere de integrar valores.
En principio, debe haber relojes cuyo proceso repetitivo sea más rápido que cualquier proceso
usado en un reloj convencional, mas debe haber algún proceso indivisible, que determine la más
pequeña noción de unidad temporal, el cronón, denominado así en la antigüedad. Podría haber más
de uno de esos procesos de repetición indivisibles, así que el cronón debería ser único. Yo asumo
que sería mucho más pequeño que la unidad usada por cualquier reloj convencional, así que, para
propósitos prácticos, la medida convencional de tiempo podría considerarse como grandes
cantidades de cronónes.
Un reloj define el tiempo, pero sólo en un lugar. Un sistema coordinado espacio-temporal
también requiere una definición de distancia, y una definición de tiempo a una distancia determinada
del reloj. Esto nos lo da el método del radar, pero en la práctica la frecuencia de la radiación
electromagnética es irrelevante, y la definición se refiere a la luz en cualquier frecuencia.
Definición: La distancia de un evento es la mitad del tiempo cronometrado por un rayo de luz
que va del reloj al suceso y que regresa al reloj. El tiempo en el cual la señal es reflejada es el tiempo
promedio en el que va y viene.
Razonamiento: Como Bondi dijo, “con nuestra visión y tecnología modernas, el experimento
de Michelson-Morley sería mera tautología” [5]. Tautológicamente se definen las coordenadas
espacio-temporales solamente en puntos en donde el método de radar es realmente aplicado.
El método de radar define la distancia en unidades de tiempo, así que las coordenadas espaciotemporales son estrictamente elementos del N4. Se usa el
radar en lugar de una regla, porque se aplica directamente
en la medición tanto de grandes como de pequeñas
distancias, y porque una sola medición puede ser usada
para ambas coordenadas, de espacio y de tiempo. El
método de radar también mide la dirección y podrá
apreciarse cómo el álgebra es formalmente idéntica para
los 3 vectores con una métrica euclidiana y por
diagramas unidimensionales de espacio-tiempo, como en
la figura. Cada punto en un diagrama espacio-temporal
representa un suceso.
Los diagramas espacio-tiempo están definidos de tal
manera que las líneas de tiempo equivalentes son
verticales y las líneas de distancia equivalente son
horizontales (figura 1). Por definición, el movimiento
uniforme en el marco de referencia se muestra como una
línea recta en el diagrama. Para usar el radar debemos
conocer la velocidad de la luz (si la distancia fuera
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4. El Tejido del Espacio-tiempo
medida con regla, para medir el tiempo de un suceso aún requeriríamos conocer la velocidad del
mensaje proveniente del suceso). Pero ahora tenemos una paradoja. Para medir la velocidad
llevamos a cabo una prueba temporal sobre la distancia medida, pero la primera vez debemos definir
el tiempo en ambos extremos de la regla, lo cual requiere conocimiento sobre la velocidad de la luz.
No conocemos otra manera de medir el tiempo de un evento a la distancia de un reloj; si
sincronizamos dos relojes teniéndolos juntos en determinado momento, no tendremos garantía de
que permanezcan sincronizados al separarse uno del otro, a menos que la luz sea utilizada para
probar su sincronización. Por lo tanto, la velocidad de la luz es una constante absoluta pues la
medición de la velocidad requiere un sistema coordinado, el cual requiere a la luz para su definición.
Un experimento para determinar la velocidad de la luz realmente mide el factor de conversión de
unidades naturales en las que la velocidad de la luz es 1. Por lo tanto, por definición, la luz es
emitida a 45 grados.
Definición: Un sistema coordinado espacio-temporal definido por radar es conocido como
marco de referencia. Por definición, un marco de referencia es una estructura matemática, es decir, el
conjunto de todos los valores que pueden resultar de un proceso de medición, y no una entidad
física. Depende de la posibilidad de medición y no puede ser extendido indefinidamente al espacio o
ser definido en un vacío perfecto en donde no haya materia.
Una vez que los relojes han sido separados, no hay forma de sincronizarlos directamente, pero,
de acuerdo con el principio de homogeneidad, dos relojes marcarán la misma unidad de tiempo si el
proceso físico en cada uno es idéntico. Si queremos comparar nuestro sistema coordinado con el
sistema de un observador en movimiento, necesitamos saber qué unidad de tiempo está usando dicho
observador. La figura 2 muestra el sistema coordinado definido por un observador en una nave en
movimiento, tal como aparece ante nosotros, así como nuestro sistema coordinado tal como aparece
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5. El Tejido del Espacio-tiempo
para él. El observador en movimiento se representa a sí mismo con un eje vertical, y nos posicionaría
con cierto ángulo. En este diagrama nuestro marco de referencia aparece distorsionado.
En la figura 3, la nave espacial se mueve uniformemente respecto al marco de referencia de la
Tierra. La Nave y la Tierra tienen relojes idénticos y se comunican entre sí por radio o por luz. La
Tierra envía a la Nave dos señales a un intervalo t. La Nave recibe estas señales a un intervalo kt,
según el reloj de a bordo. k ∈ R es inmediatamente reconocible como un corrimiento al rojo. Aunque
kt no es necesariamente una integral, su parte fraccionaria es menor que un cronón, y se pierde en la
medición. De forma similar, si el observador de la Nave manda dos señales a un intervalo t de su
reloj, serán recibidas a un intervalo k’t en el reloj en Tierra.
No existe diferencia fundamental entre la materia de la Nave y la materia de la Tierra. La Nave
puede ser considerada como estacionaria, y que la Tierra se mueve. El principio de homogeneidad
implica que las señales enviadas por la Nave a la Tierra estarán también sujetas al corrimiento al
rojo. La condición definitiva para la Teoría de la Relatividad Especial, es que existe una clase
especial de marcos de referencia tales que:
Definición: Para los marcos de referencia inerciales, el corrimiento al rojo es a la vez constante y
equivalente para ambos observadores, k = k’.
Definición: La ley de transformación coordinada entre marcos de referencia es la
Transformación de Lorentz.
Sabemos, por la observación, que los marcos de referencia inerciales existen, por lo menos para
la exactitud de las mediciones y así lo asumiremos en este tratado. La Teoría General de la
Relatividad le confiere una condición más general al corrimiento al rojo. Las implicaciones serán
estudiadas en otro tratado actualmente en proceso, en el que se demuestra que, como resultado
5

6. El Tejido del Espacio-tiempo
directo de la naturaleza distinta de las interacciones entre partículas, el inherente retraso en el retorno
de la señal fuerza al uso de marcos no inerciales (tales como k ≠ k’ ) y da como resultado la fuerza de
gravedad.
Teorema: (Dilatación del tiempo, figura 4) El
tiempo T medido por el reloj de la nave espacial durante
un intervalo t del reloj en Tierra está dado por:
2.1
Comprobación: La nave espacial y la Tierra ponen
sus relojes en cero al momento en que la Nave pasa por
la Tierra, La Nave se mueve a la velocidad v, así que
por definición, después del tiempo t del reloj en Tierra,
la Nave a viajado una distancia vt. Por lo tanto, la señal
de la Tierra fue enviada a un tiempo t – vt, regresando a
un tiempo t + vt. Para marcos de referencia inerciales,
si la nave espacial manda a la Tierra señales a
intervalos t, la Tierra los recibirá a un intervalo kt. Así
que,
2.2
Luego, aplicando el corrimiento por el efecto
Doppler otra vez para la señal que viene de
regreso,
2.3
Teorema: (Contracción de Lorentz, figura 5).
Una distancia d sobre la Tierra es medida en la
Nave de esta manera,
2.4
Comprobación: La proa y la popa de la nave
espacial aparecen como líneas paralelas. El reloj
de la Nave esta en la proa. Para facilidad de
cálculo, la Nave y la Tierra ponen sus relojes en
cero cuando la proa sobrepasa el reloj en Tierra.
La Tierra usa el radar para medir la distancia d, a
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7. El Tejido del Espacio-tiempo
la popa en tiempo 0. Para hacer esto, la señal debió ser enviada en el tiempo –d, y debió regresar en
el tiempo d según el reloj en Tierra. Según el corrimiento por el efecto Doppler, en el reloj de la nave
espacial, la señal pasa la proa de la Nave en un tiempo –dk y regresa a un tiempo dk. Así, de acuerdo
a la nave espacial en movimiento,
2.5
Eliminando k por 2.3 da 2.4, la fórmula de la contracción de Lorentz.
Las leyes que son idénticas en todos los sistemas coordinados son consideradas en términos de
invariantes, cantidades matemáticas que son las mismas en todos los sistemas coordinados. La
invariante más simple sería un número ordinario o escalar. Otra invariante, familiar en la mecánica
clásica, es el vector. El cambiar el sistema de coordenadas no tiene efecto alguno en el vector, pero
cambia la descripción de un vector en el sistema.
Definición: Un vector espacio-temporal es la diferencia en las coordenadas de dos sucesos.
Cuando no existe ambigüedad, los vectores espacio-temporales son llamados simplemente vectores.
Teorema: La condición de escudo de la masa.
2.6
Comprobación: Un vector puede ser representado como una línea recta continua en un
diagrama de espacio-tiempo, y descrito por sus componentes,
2.7
Para todo vector temporal, r, hay un marco de referencia particular en donde representa un
estado de reposo, es decir, cuando se alinea con el eje que representa al reloj en el que la definición
de marco de referencia está basado. En dicho marco de referencia r tiene las siguientes coordenadas,
2.8
Un observador en movimiento a una velocidad v relativa al reloj describe r por coordenadas
dadas por la fórmula de dilatación del tiempo, 2.1 y por la contracción de Fitzgerald, 2.4,
2.9
La condición de escudo para la masa, 2.6, es como sigue,
7

8. El Tejido del Espacio-tiempo
Definición: Si x = (x0, x1, x2, x3) y y = (y0, y1, y2, y3) son vectores en el espacio-tiempo,
entonces el producto escalar es
2.10
x ⋅ y = – x 0 y0 + x 1 y1 + x 2 y2 + x 3 y3
Teorema: El producto escalar es invariante bajo la transformación de Lorentz.
Comprobación: Álgebra directa de 2.9.
La estructura microscópica de la geometría Euclidiana es descrita analíticamente por el uso de
límites. Se ha sabido desde la época de Zenón que la estructura continua de puntos comprimiendo el
espacio no puede ser establecida, y aunque la noción del espacio absoluto ha entrado en el modelo
científico, no parece que Newton tuviera la intención de que el espacio absoluto fuera considerado
como una descripción perfecta de la realidad. Como él dice al introducir el concepto en sus Principia
[6]:
La descripción de las líneas rectas y los círculos, sobre la cual la geometría se ha fundado,
pertenece a la mecánica. La geometría no nos enseña a dibujar esas líneas, pero requiere que sean
dibujadas.
Claramente, el espacio Newtoniano es postulado solamente para lograr la exactitud posible en la
ingeniería. Clifford [7], al discutir los logros alcanzados por Riemann en la geometría no euclidiana,
también mostró conciencia de que el continuum espacial fuera una asunción sin garantía:
Riemann nos ha mostrado que hay diferentes tipos de líneas y superficies, así que hay diferentes
tipos de espacios de tres dimensiones; y que sólo podemos determinar por la experiencia a cual de
esos tipos pertenece la porción en la que vivimos. En particular, los axiomas de la geometría plana
son verdaderos en los límites experimentales sobre la superficie de un pedazo de papel, y aún así
sabemos que la hoja está cubierta realmente por un sinnúmero de pliegues y arrugas, sobre las
cuales (siendo la curvatura total no igual a cero) esos axiomas no son verdaderos. De forma
similar, dice Riemann, aunque los axiomas de la geometría de sólidos son verdaderos dentro de los
límites experimentales para porciones finitas de nuestro espacio, aún no tenemos razón para
concluir que son verdaderos para porciones más pequeñas; y si se obtuviera alguna ayuda para la
explicación de los fenómenos físicos, no tendríamos razón de concluir que no son verdaderos para
porciones aún más pequeñas de espacio.
Y el mismo Riemann dice,
Por lo tanto, la realidad que subyace en el espacio debe constituir un múltiple distinto, o
debemos buscar el motivo de sus relaciones métricas fuera de este. [Either therefore the reality
which underlies space must form a discrete manifold, or we must seek the ground of its metric
relations outside it. (translation by Clifford)].
De hecho, la definición matemática de Riemann de un múltiple [8] ignora deliberadamente la
cuestión de si el múltiple representa algo ontológico. Como Riemann sugirió posible, el tratamiento
8

9. El Tejido del Espacio-tiempo
de la Relatividad Especial dado aquí provee de relaciones métricas fuera de la asunción de un
múltiple.
Justamente como reconocemos que la superficie de una hoja de papel está compuesta de fibras y
no es precisamente geométrica, también podríamos concebir que el espacio ontológico no es perfecto
y continuo. Mientras Clifford, en On the Space Theory of Matter (sobre la teoría espacial de la
materia), intentó describir la materia como un tipo de torsión (twist) de la geometría del espacio, yo
apunto a describir una “teoría material del espacio”, en cuyas partículas está una parte de la
estructura, o pre-geometría, del espacio, y que el espacio-tiempo es concebido como un tejido de
partículas. La motivación para esto es que la electrodinámica cuántica ha mostrado que el proceso
usado aquí para definir los sistemas de coordenadas, es decir, el intercambio de protones, es también
responsable de la fuerza electromagnética, e igualmente responsable de todas las estructuras de
materia en nuestro entorno microscópico. No esta fuera de razón entonces, postular que el
intercambio de fotones genera todas las relaciones geométricas en el entorno macroscópico, justo
como genera esas relaciones en los resultados de las mediciones por radar.
Para imaginar la subestructura del espacio-tiempo concebimos que cada partícula cargada sigue
un proceso repetitivo de acuerdo al cual podríamos considerar una primitiva noción del tiempo como
una de sus propiedades ontológicas. Nosotros llamamos a esta noción “línea del tiempo”. Por
ejemplo, una partícula podría tener la posibilidad de emitir o absorber un fotón en cada instante
distinto de su línea de tiempo. Esto podría ser considerado un proceso repetitivo adecuado para la
noción primigenia del tiempo. Cuando un intercambio de fotones se da lugar, por ejemplo, cuando
un fotón es emitido por una partícula cargada y absorbido por otra, y un fotón es inmediatamente
emitido por la segunda partícula y absorbido por la primera, entonces queda establecida una
coordenada para la segunda partícula en términos de la línea de tiempo de la primera.
Dado que la visualización involucra la percepción de la geometría, está
claro que las propiedades pre-geométricas de la materia pueden no ser
estrictamente visualizadas. Sin embargo, una “puntada intermitente en el
espacio-tiempo” podría ser ilustrada en un diagrama. Las partículas cargadas
aparecen como líneas discontinuas, donde los trazos intermitentes representan
los distintos intervalos de tiempo en la línea de tiempo de la partícula. El
intercambio de fotones aparece como líneas continuas de color gris. Una sola
“puntada” como la mostrada sólo puede dar un único valor de distancia y
tiempo para la segunda partícula. Muchas “puntadas”requerirán el regreso
inmediato de un fotón, solamente que estos usan el intercambio de fotones y
se combinan para dar un sistema consistente de coordenadas.
Es válido imaginar un sistema de tales partículas en forma de diagrama a
condición de que se tenga por entendido que el espacio entre las líneas del
diagrama no tiene sentido teórico u ontológico.
Las propiedades del espacio-tiempo dependen de las relaciones internas
entre trazos discontinuos y nodos en el diagrama, no en la geometría del
dibujo. En la figura 7, el tiempo medido incrementado por el retorno de un
fotón indica que las partículas se están moviendo una respecto de la otra.
En sistemas de muchas partículas, como los que generalmente observamos, los fotones son
constantemente intercambiados, y el espacio-tiempo macroscópico puede ser construido como una
especie de composición o media de el espacio-tiempo primigenio asociado al intercambio de fotones.
9

10. El Tejido del Espacio-tiempo
Obviamente, no podemos analizar empíricamente un intercambio individual
de fotones, pues la observación misma interrumpe el proceso. Pero podemos
analizar estadísticamente los efectos de muchos de tales intercambios. Dado
de el proceso de intercambio de fotones es el mismo que usamos en el método
de radar, el comportamiento promedio de un sistema en el cual hay muchos de
esos intercambios debería corresponder a las relaciones geométricas
encontradas en las leyes de Minkovsky del espacio-tiempo.
En muchos sentidos, la imagen actual nos recuerda la imagen clásica de
las partículas elementales parecidas a puntos, pero ahora en lugar de partículas
en coordenadas desconocidas tenemos partículas en una estructura
desconocida. Podemos determinar parcialmente la estructura y podemos hacer
predicciones estadísticas sobre el comportamiento de la estructura, pero dado
que esas predicciones no están determinadas por variables desconocidas, la
teoría clásica de la probabilidad no se aplica. Intuitivamente, podemos esperar
establecer bases teóricas para las leyes de probabilidad cuántica examinando
las propiedades abstraídas de la estructura. Dado que el marco de referencia
macroscópico constituye una forma de comportamiento promedio de las
partículas individuales y cada partícula individual es en parte responsable por
la generación del marco de referencia macroscópico, las partículas
individuales en general no tienen una posición exacta y la incertidumbre en la
posición se vuelve una característica descriptiva de las partículas elementales.
La incertidumbre matemática es materia de valoraciones lógicas [9]. El efecto
de muchas valoraciones lógicas es que cuando una partícula individual es
observada desde un marco de referencia macroscópico, aparece desenfocada o
borrosa. Esto es como decir que la posición es descrita por muchas valoraciones lógicas de valor
verdadero. El argumento de que la verdad lógica funciona para la medición de la posición en tales
sistemas obedece a principios fundamentales que son dados por lógica cuántica [10].
Aunque no es fácil ver como deducir las propiedades tetradimensionales del espacio-tiempo de
Minkovsky o devolverse de la noción del intercambio de fotones entre partículas cargadas, es
posible llevar el argumento en otro sentido. En A Theory of Quantum Space-time [11], he mostrado
que las propiedades establecidas empíricamente de las mediciones del espacio-tiempo realmente
requieren una subestructura básica de materia en la que los leptones emitan y absorban fotones.
Las leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell pueden también ser deducidas por la misma
estructura. La derivación recae pesadamente en la unicidad de la ecuación de Dirac [12] y sugiere
fuertemente que la razón para un universo tetradimensional es con un spin es que este es el más
pequeño (y quizá el único) número de dimensiones en que existe una solución.
Es posible modificar el tratamiento para llevar la cuenta del intervalo entre la absorción y la
emisión de fotones implícita en la reflexión en la segunda partícula cargada. Cuando esto esté hecho,
se encontrará que las relaciones geométricas son no euclidianas y resultan de la Relatividad General
y de la fuerza de la gravedad. Esto es materia de otro artículo en proceso.
10

11. El Tejido del Espacio-tiempo
Referencias:
[1] G. Jaroskiewicz & K. Norton, J. Phys. A, 30, 9 3115-3144 (1997) y referencias citadas ahí.
[2] e.g. R.D. Sorkin, Int. J. Theor. Phys., 36, 2759-2781 (1997) y referencias citadas ahí.
[3] A Einstein, ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’ Annalen dur Physik (1905)
[4] H. Bondi, Relativity and Common Sense, London Heinemann (1964)
[5] H. Bondi, Assumption and Myth in Physical Theory, Cambridge University Press (1967)
[6] Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , 1st edition, preface (1687)
[7] William Kingdom Clifford, On the Space Theory of Matter (1870)
[8] Georg Friedrich Bernhard Riemann, Über die Hyposesen, welche der Geometrie zu Grunde
liegen
(On the hypotheses which Lie at the Foundation of Geometry), probationary lecture, Göttingen,
(1854)
[9] N. Rescher, Many Valued Logic, McGraw-Hill, New York, (1969)
[10] C. E. H. Francis, An Interpretation of Quantum Logic, physics/9906030
[11] C. E. H. Francis, A Theory of Quantum Space-time, physics/9905058
[12] P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc., A117, 610 (1928)
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