Este documento resume conceptos clave sobre movimiento de partículas. Describe la velocidad media entre dos puntos, la velocidad instantánea, la aceleración media y la aceleración instantánea. También presenta ecuaciones para determinar la posición, velocidad y aceleración de una partícula en función del tiempo, así como ejemplos numéricos.

1. Sétima Semana
Resumen

2. Resumen
Velocidad media entre dos puntos.
Velocidad instantánea.
Movimiento Rectilíneo:
Aceleración
Aceleración instantánea
Ecuaciones del Movimiento
Caída Libre de los cuerpos

3. MOVIL
El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o
partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la
Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto
geométrico.
Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones
tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su
posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un
punto geométrico.
Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo
estará en relación con las condiciones específicas del problema
considerado.

4. Velocidad media entre dos puntos.
Se define la velocidad media de un cuerpo que se mueve entre dos puntos P1 y P2 como
el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo en que transcurre
el desplazamiento. Su expresión viene dada por:

6. Es importante que notes que la velocidad media de un cuerpo en un intervalo
de tiempo depende de los vectores de posición al comienzo y al final del
movimiento. Aunque pueda resultarte paradójico, esto implica que si la
posición inicial y final del movimiento coinciden en ese intervalo, la velocidad
media del cuerpo será 0.
http://www.fisicalab.com/

7. Ejercicio:
Si un cuerpo se encuentra en la
posición (1,2) y transcurridos 2
segundos se encuentra en la posición
(1,-2). ¿Cuál será su velocidad media
durante el movimiento considerando
que todas las unidades pertenecen al
Sistema Internacional?

8. Solución:
Dado que todas las unidades pertenecen al Sistema Internacional, las dos posiciones que
llamaremos respectivamente Pi y Pf se expresan en metros.

9. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Es la velocidad de la partícula en cualquier instante
de tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad
media es decir, se hace cada vez más pequeño el
intervalo de tiempo y por tanto valores más
pequeños de x. Por tanto:
lim( )
0
lim( ) ˆ
0
t
t
x dx
v
t dt
r dr dx
v i
t dt dt
 
 

 


  


10. RAPIDEZ MEDIA.
La rapidez media se define como la distancia
recorrida o espacio recorrido por una partícula S,
dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,
( ) s
S
v


t

11. ACELERACIÓN MEDIA .
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa
por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:
“a” aceleración media se
define como:
v v v
 
 
'
' med
a
t t t
 

12. ACELERACIÓN INSTANTANEA
La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la
aceleración media cuando t tiende a cero es decir
 
 
0
2
 
2

lim( )

( )
t
v dv
a
t dt
d dx d x
a
dt dt dt

13. Ejemplo:
La posición de una partícula que se mueve en línea
recta está definida por la relación :
x  6t2 t3
Determine:
(a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0;
(b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s;
(c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ;
(d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

14. Resolución: La ecuaciones de movimiento son:
2 3 x  6t  t
2 12t 3t
dx
v   
dt
2
a 12 6
t
d x
   
dt
dv
dt
2
Las cantidades solicitadas son:
• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• En t = 2 s, x = 16 m, v = v max = 12 m/s, a = 0
• En t = 4 s, x = x max = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24

15. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA
PARTÍCULA
LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).
Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

16. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).
Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

17. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD
a = f(v).
Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos
escribir

18. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo
uniforme y las ecuaciones obtenidas son

19. Ejemplo 02
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta
de tal manera que su velocidad para un período corto
de tiempo es definida por pies/s, donde t
es el tiempo el cual está en segundos . Determine su
posición y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere
que cuando
t = 0. S = 0

20. Resolución
POSICIÓN Para el sistema de
referencia considerado y sabiendo
que la velocidad es función del
tiempo v = f(t). La posición es
Cuando t = 3 s, resulta
• ACELERACIÓN. Sabiendo
que v = f(t), la aceleración se
determina a partir de a = dv/dt
• Cuando t = 3 s

21. Ejemplo 03
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente
hacia abajo dentro de un medio fluido con una
velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido
produce una desaceleración del proyectil que es igual
a
donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y
la posición S cuatro segundos después de que se
disparó el proyectil.

22. Resolución
Velocidad: Usando el sistema de
referencia mostrado y sabiendo que
a = f(v) podemos utilizar la
ecuación a = dv/dt para determinar
la velocidad como función del
tiempo esto es :
POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t),
la posición se determina a
partir de la ecuación v = dS/dt

23. Ejemplo 04
• Una partícula metálica está sujeta a
la influencia de un campo magnético
tal que se mueve verticalmente a
través de un fluido, desde la placa A
hasta la placa B, Si la partícula se
suelta desde el reposo en C cuando
S = 100 mm, y la aceleración se
mide como
donde S está en metros. Determine;
(a) la velocidad de la partícula cuando
llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo
requerido para moverse de C a B

24. Resolución
• Debido a que a = f(S), puede
obtenerse la velocidad como función
de la posición usando vdv = a dS.
Consideramos además que v = 0
cuando S = 100 mm
• La velocidad cuando S = 0,2 m es
• El tiempo que demora en
viajar la partícula de C a B se
determina en la forma
• Cuando S = 0,2 m el tiempo
es

25. Ejemplo 05
Desde una ventana situada a 20 m
sobre el suelo se lanza una bola
verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la
bola todo el tiempo se encuentra
sometida a un campo gravitacional
que le proporciona una aceleración g
= 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine:
(a) la velocidad y la altura en función
del tiempo, (b) el instante en que la
bola choca con el piso y la velocidad
correspondiente

26. Solución
a
dv
dt
  
9.81m s
 
dv dt vt  v t
v t t
v
9.81 9.81
0
0
2
0
    
 


m
m
  t t v 



 
2 s
9.81
s
10
dy
 
  
   
0
1 2
0 2
0
10 9.81
10 9.81 10 9.81
y t t
y
v t
dt
dy t dt y t y t t
      
m
m

 

  2
10 m 20 t t t y 
2 s
4.905
s






 

27. Cuando la bola alcanza su altura máxima su
velocidad es cero, entonces se tiene:
m
m


  0
v t   t
s
9.81
s
10
2
 



t 1.019s
• Remplazando el valor del tiempo obtenido se
tiene.
 
m
m




 y t t t



 
   2
2
2
2
1.019s
s
1.019s 4.905
m
m
s


20m 10
s
4.905
s
20m 10







 







 
y
y  25.1m

28. • Cuando la bola choca contra el suelo y = 0
Entoces tenemos.
m
m




20m 10 2
  0
y t   t t
s
4.905
s
2
 



 



 
 
t
1.243s meaningless
3.28s

t
 
m
v t t
m
m
m



  3.28s
s
9.81
s
3.28s 10
s
9.81
s
10
2
2


 

 
 
v
m
s
v  22.2

29. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS:
Movimiento relativo
• Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta
como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O
serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a
A será.
xB A  xB  xA  xB  xA  xB A
• La velocidad relativa d A con respecto a B será.
B A B A v  v  v 
vB  vA  vB A
• La aceleración relativa se expresa en la forma
B A B A a  a  a  aB  aA  aB A

30. Ejemplo 06
• Desde una altura de 12 m, en el
interior de un hueco de un ascensor,
se lanza una bola verticalmente hacia
arriba con una velocidad de 18 m/s.
En ese mismo instante un ascensor
de plataforma abierta está a 5 m de
altura ascendiendo a una velocidad
constante de 2 m/s. Determine: (a)
cuando y donde chocan la bola con
el ascensor, (b) La velocidad de la
bola relativa al ascensor en el
momento del choque

31. RESOLUCION:
• Remplazando la posición, velocidad inicial
y el valor de la aceleración de la bola en
las ecuaciones generales se tiene.
2
m
2
m


v v at 9.81
t
m
0 2
2
1
2
0 0
s
4.905
m
s
s

12m 18
s
18
B




 y y v t at t t
B







    




   
• La posición y la velocidad del ascensor será.
v
E



m
m
2
y y v t t
E E


   
s
5m 2
s
0

32. • Escribiendo la ecuación para las posiciones
relativas de la bola con respect al elevador y
asumiendo que cuando chocan la posición
relativa es nula, se tiene.
12 18 4.905  5 2  0 2 yB E   t  t   t 
0.39s
3.65s
t
t
 

• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la
posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con
respecto al ascensor se tiene
yE  5  23.65 yE 12.3m
 
16 9.813.65
vB E   t 
18 9.81 2
 
m
s
vB E  19.81

33. Movimientos dependientes
• La posición de una partícula puede depender de
la posición de otra u otras partículas.
• En la figura la posición de B depende de la
posición de A.
• Debido a que la longitud del cable ACDEFG que
une ambos bloques es constante se tiene
x  2 x 
cons tan
te
A B
v  2 v

0
A B
a  2 a

0
A B
Debido a que sólo una de las coordenadas de posición xA o xB puede
elegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad

34. • Aquí la posición de una partícula depende de dos
posiciones más.
• En la figura la posición de B depende de la
posición de A y de C
• Debido a que la longitud del cable que une a los
bloques es constante se tiene
2xA  2xB  xC  ctte
dx
dx
A B C
v v v
dx
2  2   0 or 2  2  
0
dt
dv
dt
dv
dt
A B C
A B C
a a a
dv
2  2   0 or 2  2  
0
A B C
dt
dt
dt
Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el
sistema posee DOS grados de libertad

35. Ejemplo Ilustrativo 07
• El collar A y el bloque B están
enlazados como se muestra en la figura
mediante una cuerda que pasa a través
de dos poleas C, D y E. Las poleas C y
E son fijas mientras que la polea D se
mueve hacia abajo con una velocidad
constante de 3 pul/s. Sabiendo que el
collar inicia su movimiento desde el
reposo cuando t = 0 y alcanza la
velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por
L, Determine la variación de altura, la
velocidad y la aceleración del bloque B
cuando el collar pasa por L

36. Resolución
• Se analiza en primer lugar el
movimiento de A.
• El collar A tiene un MRUV, entonces
se determina la aceleración y el
tiempo
     
v v a x x
A A A A A
 
in.
2
2
0
2
0
2
s
a a
2 8in. 9
in.
s
12
2

  




  
A A
 
1.333 s
vA  vA 
aAt
0
in.
9
 
s
in.
s
12
2
t t

37. • Como la polea tiene un MRU se calcula el
cambio de posición en el tiempo t.
 
x  x 
v t
D D D
in.
3 0


  1.333s 4 in.
s
0
 



x x
 
D D
• El movimiento del bloque B depende del
movimiento de collar y la polea. El
cambio de posición de B será
     
x  2 x  x  x  2
x 
x
A D B A D B
0 0 0
 x  x    x  x    x  x
 
8in. 24in.     0
     
2 0
A A D D B B
0 0 0
x x
   
0
B B
  16in. 0 xB  xB  

38. • Derivando la relación entre las posiciones
se obtiene las ecuaciones para la
velocidad y la aceleración
x x x
v v v
  
  
2 constant
2 0
in. in.
A D B
A D B
   
      
   
12 2 3 0
B
s s
18 lg/
B
v
v  
pu s
in.
v  18

B s a a a
  
2 0
A D B
 
in.
9 0
 
   a

2
B
 s

2
2
in.
9
s
9 lg/
B
B
a
a pu s
 

39. Ejemplo 08
La caja C está siendo
levantada moviendo el
rodillo A hacia abajo con
una velocidad constante
de vA =4m/s a lo largo de
la guía. Determine la
velocidad y la
aceleración de la caja en
el instante en que s = 1
m . Cuando el rodillo
está en B la caja se
apoya sobre el piso.

40. • La velocidad se determina derivando la relación entre
las posiciones con respecto al tiempo
dx dx
  
1/ 2
2
C A
  
16 (2 ) 0
A A
   
2 2
1
2
 
 
• La aceleración será
3 (4 / )
16 16 3
2,4 /
A
C A
A
C
x x
dt dt
x m m s
v v
x
v m s
   2 2 2

dv d x v x a x v
C A A A A A A
          
a v
C A
dt dt x x x x
2 2 2 2 3
 16    16  16  [16  ]
A A A A

 2 2 2

4 3(0) 3 (4 )
16 9 16 9 [16 9]
     
3
    
2
2,048 /
C
C
a
a m s
 

41. Ejemplo 09
El sistema representado parte
del reposo y cada componente
se mueve a aceleración
constante. Si la aceleración
relativa del bloque C respecto al
collar B es 60 mm/s2 hacia arriba
y la aceleración relativa del
bloque D respecto al bloque A es
110 mm/s2 hacia abajo. Halle:
(a) la aceleración del bloque C
al cabo de 3 s, (b) el cambio de
posición del bloque D al cabo de
5 s

42. Ejemplo 10
Un hombre en A está
sosteniendo una caja S
como se muestra en la
figura, caminando hacia
la derecha con una
velocidad constante de
0,5 m/s. Determine la
velocidad y la
aceleración cuando
llega al punto E. La
cuerda es de 30 m de
longitud y pasa por una
pequeña polea D.

43. Resolución gráfica de problemas en el movimiento
rectilíneo
• La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo están dadas
por las ecuaciones,
v 
dx /
dt
a 
dv /
dt
• La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es igual a la
pendiente de la curva en dicho instante.
• La segunda ecuación expresa que la aceleración es igual a la
pendiente de la curva v-t en dicho instante

44. • Integrando la ecuación de la velocidad tenemos
t t
2 2
A  x  x   vdt ;
A  v v  adt
2 1 2 1  t t
1 1
• El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento
neto durante este intervalo de tiempo
• El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de
velocidades durante este intervalo de tiempo

45. Otros métodos gráficos
• El momento de área se puede utilizar para
determinar la posición de la partícula en
cualquier tiempo directamente de la curva v-t:
x  x  area bajo la curva
v 
t
 
v
1
v t t t dv
   
0
1 0
0 1 1
v
usando dv = a dt
,
v
1
      
x x v t t t a dt
1 0 0 1 1
v
0
1
    
0
1
v
v
t t a dt Momento de primer orden de area
bajo la curva a-t con repecto a la
línea t = t1
   1 0 0 1 1 área bajo la curva
x  x  v t  a - t t 
t
t 
abscisa del centroide
C

46. • Método para determinar la
aceleración de una partícula de la
curva v-x

tan
 
a BC
dv
a v
dx
AB


a BC subnormal

47. Ejemplo 11
• Un ciclista se mueve en línea recta tal que su posición
es descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la
gráfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0≤ t ≤ 30 s

48. EJEMPLO 12
Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo
largo de una línea recta acelerando a razón constante
durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razón
constante hasta detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t
y determinar el tiempo t’ que emplea en detenerse

49. Resolución: Grafica v - t
La gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante
integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t. Usando la
condición inicial v = 0 cuando t = 0
v t
t s a dv dt v t
0 10 10; 10 , 10
      
0 0
Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el
siguiente tramo se tiene
v t
s  t  t a    dv    dt v   t 
10 ; 2; 2 , 2 120
100 10
Cuando t = t´, la velocidad nuevamente
es cero por tanto se tiene
0= -2t’ + 120
t’ = 60 s

50. Grafica s - t
La gráfica posición-tiempo puede ser determinada mediante integración
de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial
s = 0 cuando t = 0
s t
0 t 10s; v 10t; ds 10t dt, s 5t
      
Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el
siguiente tramo se tiene
s t s v t ds t dt
10 60 ; 2 120; 2 120
         
Cuando t = t´, la posición
S = 3000 m
2
0 0
 
s t t
120 600
2
500 10
   
s t

51. Ejemplo 13
La gráfica v-t, que describe el movimiento de un
motociclista que se mueve en línea recta es el
mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del
movimiento y determinar el tiempo que requiere el
motociclista para alcanzar la posición S = 120 m

52. Resolución
Grafico a-s.
Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la
gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser
determinada usando la ecuación dv = a ds
s m v s
0   60 ;  0.2 
3
dv
  
0.04 0.6
m s m v
60   120 ; 
15;
0
dv
 
ds
a v
s
ds
a v

53. Calculo del tiempo.
El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación
v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0
ds
0.2 
3

5ln(0.2 3) 5ln 3
Cuando s = 60 m, t = 8,05 s
0.2 3
0 60 ; 0.2 3;
0
  

ds
     
 
t s
s
dt
ds
v
s m v s dt
t s
o

54. Calculo del tiempo.
Para el segundo tramo de movimiento
Cuando S = 120 m, t´= 12 s
ds
    

 
4.05
s
15
15
15
60 120 ; 15;
8.05 60
 
t
ds
dt
ds
v
s m v dt
t s

55. Ejemplo 14
Una partícula parte del reposo y se mueve
describiendo una línea recta, su aceleración de 5 m/s2
dirigida hacia la derecha permanece invariable
durante 12 s. A continuación la aceleración adquiere
un valor constante diferente tal que el desplazamiento
total es 180 m hacia la derecha y la distancia total
recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleración
durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo
total de tiempo.

56. Resolución
En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo , ya que a =
constante.
Como la aceleración es la
pendiente de la curva v-t, tenemos
v
2 1
tg a m s
   
1

v  m s  t 
m s s
v 
m s
La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto
t
1
2 2
1 1
1
5 /
5 / ( ) 5 / (12 )
60 / (1)
1 1
d  A  A  780 m  (  t   t ) v  ( 
t )
v
T 1 2 1 2 1 3 3
2 2
1 1
s t m s t v m
(12   )60 /  (  ) 
780 (2)
2 3 3
2 2

57. El desplazamiento viene expresado por
1 1
x A A m t t v t v
         
180 ( ) ( )
1 2 1 2 1 3 3
2 2
1 1
(12 s   t )60 m / s  (  t ) v 
180 m
(3)
2 2 2
3 3
s t m s m
(12 )60 / 960
  
2
 t 
s
2
4 (4)
v m s
1
a tg
2
   
t s
2

a m s
2
60 /
4
 
15 / (5)

58. Se determina t3
v
3 2
a tg m s
2
   
t
3

2
15 /
v m s t
 15 / ( 
) (6)
3 3
Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene
1 1
(12 4 )60 / ( )(15 ) 180
2 2
s  s m s   t  t 
m
3 3
2
2
m s
m t m
480  (  ) 
180
3
15 /
2
t s
 
3
6,32
El intervalo total de tiempo será
t t t t s s s
         
1 2 3 12 4 6,33
t seg
 
22,33

59. 12. Para levantar el embalaje
mostrado mediante el
aparejo se usa un tractor. Si
el tractor avanza con una
velocidad vA. Determine una
expresión para la velocidad
ascendente vB del embalaje
en función de x. Desprecie la
pequeña distancia entre el
tractor y su polea de modo
que ambos tengan la misma
velocidad.

60. Ejemplo 15
Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad
cuyo cuadrado disminuye linealmente con el
desplazamiento entre los puntos A y B los cuales
están separados 90 m tal como se indica. Determine
el desplazamiento Δx del cuerpo durante los dos
últimos segundos antes de llegar a B.

61. Problemas propuestos
1. El movimiento de una partícula se define por la
relación x  2t3 6t 2 15
donde x se expresa en metros y
t en segundos. Determine el tiempo, la posición y
la aceleración cuando la velocidad es nula.
2. El movimiento de una partícula se define mediante
la relación x  2t 2  20t  60
donde x se expresa en pies y t
en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la
velocidad es cero, (b) La posición y la distancia
total recorrida cuando t = 8 s

62. 3. La aceleración de una partícula se define mediante la
relación a  (64 12t 2 ) pul / s2
. La partícula parte de x = 25
pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el
cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la
velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida
por la partícula desde t = 0 a t = 5 s.
4. La aceleración de una partícula está definida por la
relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s.
Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s,
determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes
de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la
partícula se reduzca al1% de su valor inicial

63. 5. El bloque A tiene una
velocidad de 3,6 m/s hacia
la derecha. Determine la
velocidad del cilindro B
6. Los collares A y B deslizan a lo
largo de las barrar fija que
forman un ángulo recto y están
conectadas por un cordón de
longitud L. Determine la
aceleración ax del collar B como
una función de y si el collar A se
mueve con una velocidad
constante hacia arriba vA

64. 7. Una partícula que se mueve
a lo largo del eje x con
aceleración constante , tiene
una velocidad de 1,5 m/s en
el sentido negativo de las x
para t = 0, cuando su
coordenada x es 1,2 m. tres
segundos más tarde el
punto material pasa por el
origen en el sentido positivo.
¿Hasta qué coordenada
negativa se ha desplazado
dicha partícula?.
8. Determine la rapidez vP a la cual
el punto P localizado sobre el
cable debe viajar hacia el motor
M para levantar la plataforma A a
razón de vA = 2 m/s.

65. 9. Determine la velocidad del
bloque A si el bloque B tiene
una velocidad de 2 m/s
hacia arriba
10. Determine la velocidad del
bloque A si el bloque B tiene una
velocidad de 2 m/s hacia arriba

66. 11. Determine la velocidad con la
cual el bloque asciende si el
extremo del cable en A es
halado hacia abajo con
velocidad de 2 m/s hacia abajo
.

67. Mecánica de sólidos
Unidad 7
“MOVIMIENTO CIRCULAR”

68. 1. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

69. RPM: REVOLUCIONES POR MINUTO
• RPM: Revoluciones Por Minuto (número de vueltas por cada minuto)
Motores eléctricos pequeños ... Motores eléctricos grandes
3600RPM , 1800 RPM, 1500 RPM1200 RPM, 900 RPM
• Motores de combustión interna: 800RPM a 5000RPM
¿Qué significa RPM?
1min 1
1
1min
revolución
1 min
1
1 RPM
  
 "Es una vuelta realizada a velocidad constante, en un tiempo de 1 minuto”
t 1minuto  60s
En una vuelta hay un ángulo:  2 rad


n 
rad
60
 






rad
s
2
60




s
2
“1” RPM “n” RPM 

70. Frecuencia y periodo
FRECUENCIA ( f ) : REVOLUCIONES POR SEGUNDO
número de eventos
t
f 
de ciclos
s
f
1
#

f # de cicloss # de ciclosHz 1   
PERIODO ( T ) : TIEMPO DE UN CICLO
f
T
1


71. Frecuencia y periodo
FRECUENCIA ( f ) : REVOLUCIONES POR SEGUNDO
número de eventos
t
f 
de ciclos
s
f
1
#

f # de cicloss # de ciclosHz 1   
PERIODO ( T ) : TIEMPO DE UN CICLO
f
T
1


72. MOVIMIENTO CIRCULAR


n 
rad
60
La velocidad varía a lo largo de la trayectoria, pero la
rapidez (largo de la flecha) es constante.
θ
R
Velocidad angular (ω)
t
 
A
B





s
2


73. 1.2. RELACIÓN ENTRE VELOCIDAD ANGULAR Y
VELOCIDAD TANGENCIAL
arcoAB l R
l R
R
l

 
 

V R
R

t t
t
t 







 
Vt  
R
R vT2
r
vT1

2 nR
vT2
n 
rad
60
vT1



60
Vt


Usando : 



s
2

Y reemplazando en Vt se tiene :
Si la distancia al eje de giro es pequeña la
velocidad tangencial de la circunferencia
delimitada por este radio será pequeña, si la
distancia al eje de giro es grande la velocidad
tangencial en esta circunferencia será grande.
Si dos ruedas giran a la misma velocidad angular ω la
rueda más grande avanzará más (mayor velocidad
tangencial) que la rueda pequeña que gira a la misma
velocidad angular (menor velocidad tangencial).

74. dV
Expresado en componentes rectangulares
dv (t)
a x
x 
dt
dv (t)
a y
y 
dt
dv (t)
a z
z 
dt
dt
a 

75. Resumen:
Problema directo
Si se conoce la posición de la partícula con el tiempo r(t)
podemos determinar su velocidad y aceleración instantánea
por simple derivación
dr
dt
v
(t)
(t) 
d r
(t)
a    a  an
2
2
(t)
(t)
dt
dv
dt

76. 1.5. ANALOGÍA CON EL MOVIMIENTO LINEAL
1
   t  
  2 Δ 2
0
2
(t)
  (t) 0 Δ  
[0 , t]
t (t) o   
2
(t) o o t
2
- (t) o (t) o
t 2
m
   


 
   
- (t ) (t )
 (t ) (t )
[t1 , t2 ]
t t 2
2 1
m
2 1 2 1




  cte
Despejando t en la 1ra y
sustituyendo en la 2da, se
obtiene la 3ra

77. http://www.fisicanet.com.ar/fisica/cin
ematica/tp01_mru.php