2. INTRODUCCION
¿que son números irracionales?
Clasificación de números irracionales
propiedades de los números irracionales
suma,resta,multiplicacion,divicion,potenciacion,ra
dicacion.
ejemplos de números irracionales
3. ¿Qué son los números irracionales?
Número irracional
En matemáticas, un número irracional es un
número que no puede ser expresado como una
fracción frac{m}{n}, donde m y n son enteros y n
es diferente de cero. Es cualquier número real
que no es racional.
4. Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable
con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el
mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la
aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se
sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a
magnitudes conmensurables.
Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de
número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos
últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los
segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como
patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los
números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron
como verdaderos números.3
No existe una notación universal para indicarlos, como {I}, que es
generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números
Irracionales no constituyen alguna estructura algebraica, como sí lo son
los Naturales ({N}), los Enteros ({Z}), los Racionales ({Q}), los Reales
({R}) y los Complejos ({C}), por un lado, y que la {I} es tan apropiada
para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de
Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.
5. Clasificación de números irracionales
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres
categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que
ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan
"huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los
números irracionales son los elementos de dicha recta que
cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que
no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se
caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperiódicas.
De este modo, puede definirse al número irracional como una
fracción decimal aperiódica infinita.4 En general, toda expresión
en números decimales es solo una aproximación en números
racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número
racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras
decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual
posee infinitas cifras decimales no periódicas.
6. Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz
cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7
decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos
hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que
jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son
identificados mediante símbolos especiales; los tres principales
son los siguientes:
pi (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro.
e (Número "e" 2,7182...): lim _{n to +infty} left( 1 + frac
{1}{n}right) ^{n}
Phi (Número "áureo" 1,6180...): frac{1 + sqrt{5}}{2}
las soluciones reales de x2 - 3 = 0; de x5 -7 = 0; de x3 = 11; 3x =
5; sen 7º, etc5
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:1.- Número
algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se
representan por un número finito de radicales libres o anidados;
si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo
miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación
algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de
7. cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el
número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica
x^{2}-x-1=0, por lo que es un número irracional algebraico.
2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un
número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las
llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas
y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números
decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva
periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0,193650278443757...
0,101001000100001...
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia
ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica.
Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que
no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no
pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números
naturales. Por extensión, los números reales tampoco son
contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.
8. Propiedades de los números irracionales
La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un
número irracional.
El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número
irracional.
El cociente de un racional (≠ 0) entre un irracional es un número irracional.
El inverso de un número irracional es número irracional.
Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la
suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su
conjugado es irracional.
Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones
trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
El número de Gelfand ( 2 elevado a la raíz cuadrada de 2 ) es un número irracional
trascendente6
la raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número
irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia
enésima.
Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional7
Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una
de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean
racionales.8
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el
decimal sigue para siempre sin repetirse.
9. Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),
¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así
19/2 = 9,5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Números En fracción ¿Racional o
irracional?
5 5/1 Racional
1,75 7/4 Racional
.001 1/1000 Racional
√2
(raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho
sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse.
Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
10. El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales
de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
phi
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)
síbolo radical
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
Números Irracionales
El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números
irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar
números inconmensurables.
Definición de números irracionales
¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen
infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el
Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número
2√
, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez
posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder
escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.
Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales
si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un
número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras
11. Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados:
1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los
números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en
números racionales.
Notación de los números irracionales
La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letras mayúsculas así: R - Q. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los
números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y
para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.
Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.
Propiedades de los números irracionales
Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por
ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación,
siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número
irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo
π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
Clasificación de los números irracionales
Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:
Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de
radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas,
cúbicas, etc.
Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos
provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque
también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son
decimales infinitos.
Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación
porque no tienen una representación con un número radical.
12. Números irracionales famosos
Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en
diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son:
Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se
utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o
perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras
decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589...
Numero Irracional Pi
e es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y
de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus
primeros decimales son 2,718281828459…
El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos
artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya
aproximación es 1,618033988749…
Ejemplos de números irracionales
En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya
habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también
tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:
1+3√2
y
1+√3−−−−−−√4
Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante
radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales
infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario
estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:
0,1961325454898161376813268743781937693498749…
0,01001000100001000001000000100000001000000001…
13. suma,resta,multiplicación,divición,radicación
y potenciación en números irracionales
suma
Para definir el número uno es una tarea bastante
difícil, pero todos tenemos un buen sentido intuitivo
de lo que la "unidad" es. La unidad es la propiedad
de tener o pensar de una cantidad única. Por
ejemplo, piensa en cuando usted tiene un dólar, un
Kilogramo de papas, o un año luz. Desde aquí se
puede definir recursivamente los números
naturales mediante la asignación de un nuevo
nombre para cada nuevo número de unidades que
tenemos:
14. 1 unidad uno
2 1 + 1 dos
3 1 + 1 + 1 tres
⋮ ⋮ ⋮
n 1 + 1 + … + 1 enes
tenemos:
15. Ahora que hemos nombrado los números podemos definir
además el proceso de contar el número de unidades que
tenemos. Por ejemplo,
16. Resta
Sustracción igualmente puede ser definida como recuento
de la cantidad inicial de unidades y la eliminación de una
cierta cantidad. Por ejemplo:
significa, teniendo 5 unidades quitarle 3 unidades, dejando
un resultado de 2 unidades.
17. Multiplicación
La multiplicación es una forma abreviada de
adición repetida. Por ejemplo:
Lo que esto significa es sumar tres cinco veces,
o sumar cinco en tres ocasiones.
Tenga en cuenta que en algunas regiones y de
los casos, es mejor usar el símbolo de la cruz o
la letra "x" en lugar del punto.
18. División
División es la operación opuesta a la
multiplicación.
El problema de división superior se pregunta si
seis es 1 +1 +1 +1 +1 +1, y tres es 1 +1 +1,
entonces en cuántos juegos de tres podemos
separar a seis? La respuesta es, por supuesto 2,
ya que
19. En la división es en la primera operación en la que surge un
problema. En todas las operaciones previamente definidas
(adición, sustracción y multiplicación) podríamos realizar la
operación en cualquier par de números que elegimos. Sin
embargo, en la división no se puede dividir por cero. Mucho
se dijo sobre este hecho a lo largo de la historia, e incluso a
través de sus estudios en toda la matemática.
20. Potenciación
Las potencias son una abreviatura utilizada para
la multiplicación repetida. Recuerde que
cuando se introdujo por primera vez la
multiplicación, era como una abreviatura de
adición repetida. Por ejemplo, usted aprendió
que: 4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 . La expresión "× 4",
nos contó las veces que tuvimos que añadir. Los
exponentes son el mismo tipo de taquigrafía
para la multiplicación. Los exponentes se
escriben en superíndice después de un número
de tamaño normal. Por ejemplo: 23 = 2 x 2 x 2. El
número en letra más grande se llama la base. El
número en superíndice (es decir, el número más
pequeño escrito anteriormente) es el exponente.
21. La expresión 23 se lee en voz alta como "2 elevado a la
tercera potencia", o simplemente "2 al cubo".
En general, un exponente de un número a la potencia de n :;
a x a x a ... =
La base es "a" y es multiplicado por sí mismo n veces
Éstos son algunos otros ejemplos:
6 × 6 = 62 (Esto se leería en voz alta como "seis veces seis es seis elevado a la segunda potencia", o más simplemente "seis veces es
seis al cuadrado.) "
7 × 7 × 7 × 7 = 74 (Esto se leería en voz alta como "siete veces siete veces siete veces siete es igual a siete elevado a la cuarta
potencia." No hay alternativa para la expresión elevada a la cuarta potencia. Sólo los poderes segunda y tercera que por lo general
reciben abreviado porque vienen más a menudo. Cuando está claro lo que se está hablando, la gente suele dejar caer las palabras
"elevadas" y "potencia" y podría simplemente decir "siete a la cuarta".
22. Raíces
Las raíces son la operación inversa para exponentes. Es fácil, aunque
tal vez tedioso, para calcular los exponentes dados una raíz. por
ejemplo 7*7*7*7 = 49*49 = 2401. Por lo tanto, sabemos que la raíz
cuarta de 2401 es 7, y la raíz cuadrada de 2401 es 49.
¿Cuál es la raíz tercera de 2401?
Encontrar el valor de una raíz en particular es difícil. Esto se debe a la
exponenciación es un tipo diferente de la función de suma, resta,
multiplicación y división. Cuando nosotros, graficamos funciones
veremos que los polinomios que utilizan curvas exponenciales de uso
en lugar de líneas. Usando álgebra veremos que no todos estos
polinomios son funciones, que saber cuándo un polinomio es una
relación o una función nos puede permitir hacer ciertos tipos de
supuestos, y podemos utilizar estos supuestos para construir
modelos mentales de los temas que de otra manera imposible de
entender.
Por ahora nos ocuparemos de raíces, al convertirlos de nuevo en
exponentes.
La raíz n-ésima positiva de se representa como . Nos deshacemos
de la raíz, elevando nuestra respuesta a la enésima potencia
quedando
La noción de número es una de las más fundamentales en
matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los
23.
24. En el campo de la aritmética, cada número tiene un valor
definido, así 30 siempre va a valer treinta, el símbolo del
valor absoluto de un número se representa así:
siendo n cualquier número entero, negativo o positivo
cabe resaltar que el valor de un número, esté precedido
por el signo más o el signo menos, siempre será el mismo:
de esto se deduce que:
esto es porque el valor absoluto indica la distancia que hay
en la recta numérica entre cualquier número y 0, y sea el
número positivo o negativo, la distancia es la misma.
Como ya vimos en la clasificación de las cantidades, los
Números Racionales, que serán estudiados a profundidad
en este capítulo, se clasifican en ENTEROS y
FRACCIONARIOS. Un número entero es, por ejemplo, 2,
mientras que 0,5 ó 1⁄2 es un número fraccionario, que se
puede escribir de esas dos maneras.
