Javier Solis Noyola Diseña presentación de Regla de Cramer para Sistemas de Ecuaciones Lineales.

1. Mtro. Javier Solis Noyola

2. Objetivos
 Conocer y comprender el concepto de Sistema de
Ecuaciones Lineales.
 Conocer y comprender Regla de Cramer para la
solución de sistemas de Ecuaciones Lineales.
 Aplicar la Regla de Cramer para la solución de
ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales.

3. SISTEMA
Es un conjunto organizado, formando un todo, en el
que cada una de sus partes está conjuntada a través
de una ordenación lógica, que encadena sus actos a
un fin común.

4. Regla de Cramer
para resolver
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Gabriel Cramer (31 de julio de 1704- 04 de enero de 1752) fue un
matemático suizo nacido en Ginebra.
La Regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución a un
sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este
nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su
Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin
Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y
probablemente sabía del método desde 1729)

5. ¿Qué es el Álgebra Lineal?
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales
como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más
formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un área activa
que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas
como: análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones,
gráficas por computadora, ingeniería, etc.

6. ¿Qué es una Matriz?
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos
en forma rectangular, formando filas (renglones) y columnas.

7. x1
x2
x3
:
:
xn
Para encontrar las soluciones (x1,
x2,...xn) un sistema de ecuaciones
lineales, se utilizan conceptos y
procedimientos de matrices y
determinantes.
Matriz
Determinante
Sistema de ecuaciones
lineales

8. ¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias
incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las
ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen
muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de
reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto
que son muy fáciles de asimilar.
donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos
independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

9. •Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus
soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las
ecuaciones.
•Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales
podemos clasificarlos en tres tipos:
•Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.
•Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,
podemos hablar de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..
a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones
Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

10. Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en
un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin
solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.
Solución
Única
(x,y,z)

11. Condiciones para Aplicar la Regla de Cramer
Para resolver Un sistema de ecuaciones lineales por la Regla
de Cramer, se deben cumplir las dos condiciones siguientes:
* El número de ecuaciones debe ser igual al número de
incógnitas.
* El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del
sistema) es debe ser diferente de cero ( det A ≠ 0 )

12. Consideremos la aplicación de la Regla de Cramer, para un
sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya
expresión general es la siguiente:
A * x  b

13. Sean A la matriz del sistema de Ecuaciones Lineales (matriz
de los coeficientes).Llamaremos matriz asociada a la
incógnita xi y la designaremos por Ai a la matriz que se
obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna i por la
matriz columna de los términos independientes en bi. Es decir:

14. El valor de cada incógnita (xi) se obtiene dividiendo el
determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la
matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas)
A * x  b

15. Las Soluciones para cada xi quedará como se muestra abajo

16. Ejemplo:
Matriz Aumentada
Determinante de la Matriz de
Coeficientes (matriz del sistema)
Determinantes de las Matrices
asociadas:
│A1 │ ó │ Ax │
│A2 │ ó │ Ay │
│A3 │ ó │ Az │
Soluciones a: x, y, z ó x1,x2,x3

17. REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):
•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA
SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.
•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN,
ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.
•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.
•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.
•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.
•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc
Graw Hill