1. Giuseppe Peano
Giuseppe Peano (27 de agosto, 1858 – 20 de abril , 1932) fue un matemático y filósofo
italiano, conocido por sus contribuciones a la Teoría de
conjuntos. Peano publicó más de doscientos libros y
artículos, la mayoría en matemáticas. La mayor parte
de su vida la dedicó a enseñar en Turín.
Datos Personales
Nació en una granja cerca del pueblo de Spinetta, en el
Piamonte. Ingresó en la cercana Universidad de Turín
en 1876. Se graduó en 1880 con honores y comenzó su
carrera académica.
El 27 de julio de 1887 se casó con Carola Crosio.
Falleció de un ataque al corazón el 20 de abril de 1932
en Turín.
Hitos y distinciones
• 1881: publicación de su primer artículo,
• 1884: publicación de Calcolo Differenziale e Principii di Calcolo Integrale,
• 1887: publicación de Applicazioni Geometriche del Calcolo Infinitesimale,
• 1889: nombrado profesor de primera clase en la Academia Militar Real,
• 1890: profesor extraordinario de Cálculo Infinitesimal en la Universidad de
Turín,
• 1891: ingresa como miembro a la Academia de Ciencia de Turín,
• 1893: publicación de Lezioni di Analisi Infinitesimale (2 volúmenes),
• 1895: promovido a profesor ordinario en la Universidad de Turín,
• 1901: caballero de la Orden de Santos Mauricio y Lázaro,
• 1903: anuncio de Latino sine flexione,
• 1905: caballero del Reino de Italia, elegido como miembro correspondiente de la
Accademia dei Lincei en Roma, el mayor honor para un científico italiano,
• 1908: publicación de Formulario Mathematico (quinta y última edición del
proyecto Formulario),
• 1917: oficial del Reino de Italia,
• 1921: ascendido de Oficial a Commendatore del Reino de Italia.
Carrera
Comenzó su carrera como asistente en la Universidad de Turín en 1880. Primero fue
ayudante de Enrico D'Ovidio y después de Angelo Genocchi, el jefe de cátedra en
Cálculo infinitesimal. Por la frágil salud de Genocchi, Peano dictó los cursos de cálculo
infinitesimal a los dos años.
Su primer trabajo importante, un libro de texto sobre cálculo, fue atribuido a Genocchi y
publicado en 1884. Tres años después, Peano publicó su primer libro sobre lógica
matemática. Este libro fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e
intersección de conjuntos.

2. En 1886 comenzó a dictar clases al mismo tiempo en la Academia Militar Real, y fue
ascendido a profesor de primera clase en 1889. Al siguiente año, la Universidad de
Turín también le otorgó un puesto de profesor titular.
La famosa curva que llena el espacio o curva de Peano apareció en 1890 como un
contraejemplo que usó para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en
una región arbitrariamente pequeña. Éste fue un ejemplo temprano de lo que se conoce
como fractal.
Al año siguiente comenzó el Proyecto Formulario. Debía ser una Enciclopedia de
Matemáticas, conteniendo todas las fórmulas conocidas y los teoremas de la ciencia
matemática usando una notación estándar inventada por él.
En 1897, se llevó a cabo la Congreso Internacional de Matemáticos en Zúrich. Peano
fue un participante clave, presentó un artículo sobre lógica matemática. El también
comenzó a estar más ocupado con el Formulario en detrimento de sus otros trabajos.
En 1898 presentó una nota a la Academia acerca del sistema de numeración binario y su
capacidad para ser usado para representar los sonidos de las lenguas. El también se
frustró tanto con las demoras en las publicaciones (por su pedido que las fórmulas sean
impresas en una sola línea), que compró una imprenta.
París fue la sede de la Segunda Conferencia Internacional de Matemáticas en 1900. La
conferencia fue precedida por la primera Conferencia Internacional de Filosofía donde
Peano fue miembro del comité de dirección. Presentó un artículo donde postuló la
cuestión de definiciones formadas correctamente en matemáticas, es decir quot;¿Cómo se
define una definición?quot;. Éste pasó a ser uno de los principales intereses filosóficos de
Peano para el resto de su vida. En la conferencia conoció a Bertrand Russell y le entregó
una copia del Formulario. Russell quedó tan impresionado con los innovadores
símbolos lógicos que dejó la conferencia y regresó para estudiar el texto de Peano.
Los discípulos de Peano presentaron artículos (usando las enseñanzas de Peano) en las
conferencias matemáticas, sin embargo Peano no presentó ninguno. Se dictó una
resolución para la formación de un quot;idioma internacional auxiliarquot; que haría más fácil la
difusión de nuevas ideas matemáticas (y comerciales), Peano apoyó plenamente esa
idea.
Hacia 1901 estaba en la cima de su carrera matemática. Hizo avances en las áreas de
análisis, fundamentos y lógica, realizó muchas contribuciones a la enseñanza del cálculo
y contribuyó en los campos de ecuaciones diferenciales y análisis vectorial. Jugó un rol
central en la axiomatización de las matemáticas y fue un pionero en el desarrollo de la
lógica matemática. Peano estaba a esta altura muy involucrado con el proyecto
Formulario y sus cátedras comenzaron a sufrirlo. De hecho, estaba tan determinado a
enseñar sus nuevos símbolos matemáticos que no se prestaba atención al cálculo en sus
cursos. Como resultado, fue despedido de la Academia Militar Real, pero retuvo su
puesto en la Universidad de Turín.
En 1903 anunció su trabajo en un idioma auxiliar internacional llamado Latino sine
flexione (quot;Latín sin inflexiones,quot; después llamado Interlingua). Éste fue un proyecto
importante para él (junto con el encuentro de colaboradores para el Formulario). La
idea era usar un vocabulario latino, dado que era ampliamente conocido, pero
simplificar la gramática tanto como fuera posible y eliminar todas las irregularidades y
las formas anómalas para hacerlo más fácil de aprender. En un discurso brillante,
comenzó hablando en latín y, a medida que describía cada simplificación, las introducía
en el discurso de manera que al final estaba hablando en ese nuevo idioma.
1908 fue un gran año para Peano. La última, la quinta edición del Proyecto Formulario,
titulado Formulario Mathematico, fue publicado. Contenía 4200 fórmulas y teoremas,
todos completamente enunciados y la mayoría probados. El libro recibió poca atención

3. dado que mucho de su contenido era viejo en ese momento. Los comentarios y ejemplos
estaban escritos en Latino sine flexione, lo cual disminuyó el interés de la mayoría de
los matemáticos; sin embargo, permanece como una contribución significativa a la
literatura matemática.
También en 1908 tomó la cátedra de análisis superior en Turín (este nombramiento sólo
duró dos años). Fue elegido el director de la Academia pro Interlingua. Habiendo
creado previamente el Idioma Neutral, la Academia eligió abandonarlo en favor del
Latino sine flexione de Peano.
Después de que su madre murió en 1910, Peano dividió su tiempo entre la enseñanza,
trabajando en textos orientados a la escuela secundaria (incluyendo un diccionario de
matemáticas) y desarrollando y promoviendo idiomas artificiales de él y de otros,
llegado a ser un miembro reverenciado del movimiento internacional de idiomas
auxiliares. El usó su membrecía en la Accademia dei Lincei para presentar artículos
escritos por amigos y colegas que no eran miembros (la Accademia registraba y
publicaba todos los artículos presentados durante las sesiones).
En 1925 cambió informalmente de cátedra de Cálculo Infinitesimal a Matemáticas
Complementarias, un campo que se ajustaba más a su estilo de matemáticas. Esta
mudanza se oficializó en 1931. Continuó enseñando en la Universidad de Turín hasta un
día antes de su muerte, el 20 de abril de 1932, cuando sufrió un ataque cardíaco.
quot;Él [Peano] fue un hombre a quien admiré mucho desde el momento en que lo
conocí por primera vez en 1900 en el Congreso de Filosofía, a la que él
dominaba por la exactitud de su mente.quot; — Bertrand Russell, 1932

4. Biografía de Giuseppe Peano
Nace el 27 de agosto de 1858 en Cuneo, Piamonte,
Italia.
Muere el 20 de abril de 1932 en Turín, Italia.
Los padres de Giuseppe Peano trabajaban en una
granja y Giuseppe nació en la casa familiar 'Tetto
Galant' a unos 5 kms de Cuneo. Asistió al colegio en
Spinetta y luego marchó a Cuneo, haciendo a pie los 5
kms de ida y los 5 de vuelta todos los días. Sus padres
compraron una casa en Cuneo, pero su padre continuó
trabajando en los campos de Tetto Galant con la ayuda
del hermano y la hermana de Giuseppe, mientras su
madre permanecía en Cuneo con él y su hermano
mayor.
La madre de Giuseppe tenía un hermano sacerdote y abogado en Turín, y en 1870 al
darse cuenta de que Giuseppe era un joven con mucho talento, le llevó a la ciudad para
comenzar la escuela secundaria y prepararle para la universidad. Giuseppe se examinó
en Ginnasio Cavour en 1873 y luego se convirtió en alumno del Liceo Cavour donde se
graduó en 1876, en ese mismo año entró en la Universidad de Turín.
Entre los profesores de Peano en su primer año universitario se encontraba D'Ovidio
que le enseñó geometría analítica y álgebra. En su segundo año aprendió cálculo de
Angelo Genocchi y geometría descriptiva de Giuseppe Bruno. Peano continuó el
estudio de las matemáticas puras en su tercer año y descubrió que era el único alumno
que las había escogido. Los otros habían continuado sus estudios en la Escuela de
Ingeniería como el mismo Peano tenía la intención de hacer originalmente. En su tercer
año, Francesco Faà di Bruno le enseñó análisis y D'Ovidio geometría. Entre los
profesores que tuvo durante su último año estuvo de nuevo D'Ovidio con un curso de
geometría avanzada y Francesco Siacci con un curso de mecánica. El 29 de septiembre
de 1880 Peano obtuvo su grado de doctor en matemáticas.
Peano se unió al equipo de la Universidad de Turín en 1880, trabajando como ayudante
de D'Ovidio. Su primer trabajado publicado data de ese mismo año y fue seguido por
otros tres artículos en 1881. Peano fue ayudante de Genocchi entre 1881 y 1882 y en ese
último año hizo un descubrimiento muy similar a los que haría en los años siguientes,
descubrió un error en una definición estándar.
En aquella época Genocchi era bastante anciano y su salud estaba muy debilitada por lo
que Peano se ocupó de alguna de sus clases. Peano iba a enseñar a los estudiantes algo
sobre el área de una superficie curva cuando se dio cuenta que la definición del libro de
Serret, el texto oficial para el curso, era incorrecta. Inmediatamente se lo dijo a
Genocchi y se enteró de que éste ya lo sabía. Había sido informado el año anterior por
Schwarz, quien parece fue el primero en descubrir el error de Serret.

5. En 1884 se publicó un texto basado en las clases de Genocchi en Turín. Este libro,
Curso de cálculo infinitesimal, aunque basado en los estudios de Genocchi fue editado
por Peano y hay que reconocer que el mismo Peano puso mucho en él de su puño y
letra. El propio libro lo indica en la primera página:
... publicado con contribuciones del Dr. Giuseppe Peano.
Genocchi de alguna manera no pareció muy contento de que el libro apareciera con su
nombre, ya que escribió:
... el texto contiene importantes adiciones, algunas modificaciones y varias
anotaciones, que está colocadas en primer lugar. Para que nada que no sea mío se me
atribuya, debo declarar que no he tenido ninguna participación en la compilación del
libro anteriormente mencionado y que todo se debe a ese sorprendente hombre, el Dr.
Giuseppe Peano ...
Peano obtuvo el título de profesor universitario en diciembre de 1884 y continuó
enseñando en cursos avanzados, algunos en los que enseñaba Genocchi que no se
recuperó lo suficiente como para regresar a la universidad.
En 1886 Peano demostró que si f(x,y) es continua, entonces la ecuación diferencial1 de
primer orden dy/dx = f (x, y) tiene una solución. La existencia de soluciones con hipótesis
más fuertes sobre f había sido proporcionada con anterioridad por Cauchy y luego por
Lipschitz. Cuatro años más tarde Peano mostró que las soluciones no eran únicas, dando
como ejemplo la ecuación diferencial dy/dx = 3y2/3, con y(0) = 0.
Además de sus enseñanzas en la Universidad de Turín, Peano comenzó a dar lecciones
en la Academia Militar de Turín en 1886. Al año siguiente descubrió y publicó un
método para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales usando
aproximaciones sucesivas. Sin embargo Emile Picard había descubierto
independientemente este método y había dicho que Schwarz había sido el primero en
descubrirlo. En 1.888 Peano publicó el libro Cálculo geométrico que comienza con un
capítulo sobre lógica matemática. Este fue su primer trabajo sobre la materia y tendría
una gran importancia en sus investigaciones de años posteriores, estaba basado en el
trabajo de Schröder, Boole y Charles Peirce. Una parte muy importante del libro es en la
que Peano asienta con gran claridad las ideas de Grassmann que incluso este autor había
explicado de forma bastante oscura. Este libro contiene la primera definición de un
vector espacial dada en una destacable notación y estilo modernos y, aunque no fue muy
apreciada en su tiempo, es una de las mayores aportaciones de Peano.
En 1889 Peano publicó sus famosos axiomas, denominados axiomas de Peano, que
definen los números naturales en términos de conjuntos. Se publicó en el texto
Arithmetices principia, nova methodo exposita los cuales, de acuerdo con [5] fueron:
... una marca distintiva en la historia de la lógica matemática y en los fundamentos de
las matemáticas.
El texto fue escrito en latín y nadie ha sido capaz de proporcionar el motivo excepto que
[5]:

6. ... parece ser un acto de puro romanticismo, quizás el único gesto romántico en toda su
carrera científica.
Genocchi murió en 1889 y Peano esperaba ocupar su cátedra. Escribió a Casorati, a
quien creía parte del comité que lo decidiría, sólo para pedirle información y descubrió
que había un retraso debido a la dificultad para encontrar suficientes miembros que
participasen en dicho comité. Casorati había sido tanteado pero su salud no era buena y
no podía cumplir la tarea. Antes de que se le propusiera para el puesto Peano publicó
otro asombroso resultado.
Inventó las curvas que llenan el espacio2 en 1890, éstas son mapeos suprayectivos
continuos del intervalo [0,1] sobre el cuadrado unitario. Hilbert, en 1891, describió
curvas similares que llenan el espacio. Se creía que esas curvas no existían. Cantor
había demostrado que hay una biyección entre el intervalo [0,1] y el cuadrado unitario
pero, poco después, Netto había demostrado que tal biyección no podía ser continua.
Las curvas que llenan el espacio de Peano no pueden ser por supuesto 1 a 1, de otra
forma se contradiría el teorema de Netto. Hausdorff escribió sobre el resultado de Peano
en Grundzüge der Mengenlehre en 1914:
Este es uno de los más importantes hechos de la teoría de conjuntos.
En diciembre de 1890 Peano esperaba que la lucha por el puesto de Genocchi hubiera
terminado cuando, tras el concurso habitual, recibió el ofrecimiento para el puesto. En
1891 Peano fundó la Rivista di matematica, una publicación dedicada principalmente a
la lógica y a los fundamentos de las matemáticas. El primer artículo del primer número
es un estudio de diez páginas escrito por Peano resumiendo su trabajo en lógica
matemática hasta aquel momento.
Peano poseía una gran destreza para ver qué teoremas eran incorrectos detectando
excepciones. Otros no se mostraban tan felices viendo como se les anunciaban los
errores, y eso sucedió con un colega. Cuando Corrado Segre envió un artículo a la
Rivista di matematica Peano apuntó que algunos de los teoremas en los artículos tenían
excepciones. Segre no estaba preparado para corregir los teoremas añadiendo
condiciones que indicaran las excepciones, sino que defendió su trabajo diciendo que el
momento del descubrimiento era más importante que la formulación estricta. Por
supuesto esto iba contra el riguroso acercamiento de Peano a las matemáticas, por lo
que éste argumentó:
Pienso que es nuevo en la historia de las matemáticas que los profesionales usen con
conocimiento de causa en su investigación proposiciones para las que se conocen
excepciones, o para las que no tienen pruebas...
Corrado Segre no fue el único que sufrió por la habilidad de Peano para detectar la falta
de rigor. Lo que daba tal claridad de pensamiento a Peano era la precisión de su mente y
la utilización de su lógica matemática. Peano apuntó un error en una prueba de
Hermann Laurent en 1892 y en el mismo año revisó un libro de Veronese, terminando
la revisión con el comentario:>blockquote>Podríamos continuar enumerando las

7. absurdeces que el autor ha compilado. Pero estos errores, la falta de precisión y rigor
en todo el libro le quitan todo su valor.
Alrededor de 1892, Peano se embarcó en un nuevo y ambicioso proyecto, lo llamó el
Formulario Matemático. En el número de marzo de 1892 de la revista explicaba su
pensamiento:
Sería de gran utilidad la publicación de colecciones de todos los teoremas conocidos
pertenecientes a todas las ramas de las ciencias matemáticas... Tal colección, larga y
difícil de explicar en lenguaje ordinario, sería más comprensible empleando la
notación de la lógica matemática...
Esta ambiciosa idea marca de muchas formas el final del extraordinario trabajo creativo
de Peano. Fue un proyecto saludado con entusiasmo por unos pocos y con poco interés
por el resto. Peano intentó convencer a los más cercanos de la importancia del proyecto
y con ello consiguió molestarles. Sin embargo, Peano y sus ayudantes más cercanos,
incluyendo sus asistentes Pieri y Fano se involucraron muy pronto y de forma muy
importante con el proyecto.
Al describir una nueva edición del Formulario Matemático en 1896 Peano escribe:
Cada profesor debería poder adoptar este Formulario como libro de texto, ya que
debería contener todos los teoremas y métodos. Su enseñanza debería reducirse al
modo de leer las fórmulas y en indicar a los estudiantes los teoremas que desea
explicar en el curso.
Cuando se publicó el volumen de cálculo del Formulario, Peano, como había dicho,
comenzó a usarlo para sus enseñanzas. Resultó un desastre. Peano, que era un buen
profesor cuando comenzó su carrera, se convirtió en inaceptable para sus colegas y
estudiantes por el estilo de sus enseñanzas. Uno de sus alumnos, que fue gran admirador
de Peano, escribía:
Nosotros los estudiantes sabíamos que esta enseñanza era superior a nuestros
conocimientos. Comprendimos que un análisis tan sutil de conceptos, tal crítica
minuciosa de las definiciones usada por otros autores, no estaba adaptada para
principiantes y no era especialmente útil para estudiantes de ingeniería. No
apreciábamos tener que dedicar tiempo y esfuerzo a 'símbolos' que más tarde no
utilizaríamos.
La Academia Militar le despidió en 1901 y aunque muchos de sus colegas en la
universidad hubieran deseado que su carrera como profesor hubiera acabado en este
momento, pero no era posible porque así lo establecía la universidad. Cada profesor
marcaba su propia ley en su materia y Peano no estaba preparado para escuchar a sus
colegas cuando intentaron rogarle que regresara a su antiguo estilo de enseñanza. El
proyecto del Formulario Matemático se terminó en 1908 y debemos admirar lo que
consiguió Peano; pero aunque el trabajo contenía todo un acervo de información, éste
fue apenas utilizado.
Sin embargo, quizás el mayor triunfo de Peano llegó en 1900. En ese año tuvieron lugar
en París dos congresos. El primero fue el Congreso Internacional de Filosofía que

8. comenzó el 1 de agosto. Fue un triunfo para Peano, y Russell, que asistió al evento,
escribió en su autobiografía:
El congreso fue el punto de giro de mi vida intelectual, ya que allí conocí a Peano. Ya
había oído hablar de él y había leído alguno de sus trabajos, pero no me había tomado
la molestia de comprender su notación. En las discusiones del congreso observé que
era más preciso que ningún otro y que invariablemente sacaba la mejor parte de
cualquier argumentación en la que se embarcaba. Según pasaban los días, decidí que
se debía a su lógica matemática. ... Se me hizo claro que su notación proporcionaba un
instrumento de análisis lógico que había estado buscando durante años...
El día después de terminar el Congreso filosófico comenzó el Segundo Congreso
Internacional de Matemáticos. Peano se quedó en París para asistir y escuchó la charla
de Hilbert escogiendo diez de los 23 problemas que aparecían en su artículo como
objetivo para el próximo siglo. Peano estaba particularmente interesado en el segundo
problema, que preguntaba si los axiomas de la aritmética podían ser probados
consistentemente.
Incluso antes de que el proyecto del Formulario Matemático estuviera completo, Peano
estaba preparando otro gran proyecto. En 1903 Peano mostró interés en encontrar un
lenguaje universal o internacional y propuso un lenguaje artificial Latino sine flexione
basado en el latín pero despojado de toda gramática. Compiló el vocabulario con
palabras del inglés, francés, alemán y latín. De hecho, la edición final del Formulario
Matemático estaba escrita en Latino sine flexione lo que fue otro motivo para que su
trabajo se usara tan poco.
La carrera de Peano está dividida en dos períodos. Hasta 1900 mostró gran originalidad
y un importante sentido hacia las materias que serían importantes en el desarrollo de las
matemáticas. Sus avances fueron asombrosos y mostró un estilo moderno muy
avanzado para su época. Sin embargo, este sentido para lo importante pareció
abandonarle, y después de 1900 trabajó con gran entusiasmo en dos proyectos de gran
dificultad que eran enormes tareas pero demostraron ser poco importantes en el
desarrollo de las matemáticas.
Sobre su personalidad Kennedy escribe en [5]:
... estoy fascinado por su agradable personalidad, su capacidad para atraer discípulos
que le dedican toda su vida, su tolerancia hacia las debilidades humanas, su perenne
optimismo. ... Peano no debe ser considerado únicamente como un lógico y matemático
del siglo XIX, sino que por su originalidad e influencia, podría ser considerado uno de
los grandes científicos del siglo pasado.
Aunque Peano es un fundador de la lógica matemática, el filósofo y matemático alemán
Gottlob Frege es considerado hoy el padre de la lógica matemática.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

9. Glosario
1. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra a las derivadas (de
primer o mayor orden) de una o más funciones. Si la ecuación tiene solamente
primeras derivadas, se le llama de primer orden, etc.
2. Si la ecuación contiene derivadas elevadas a la potencia n entonces se dice que
es de grado n. Las de grado uno se llaman lineales.
3. Las ecuaciones que involucran a una sola variable se conocen como ecuaciones
diferenciales ordinarias mientras que las que tienen más de una se llaman
ecuaciones diferenciales parciales
Bibliografía
1. H C Kennedy, Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
2. Biografía en Encyclopaedia Británica.
3. D A Gillies, Frege, Dedekind, and Peano on the foundations of arithmetic (Assen, 1982).
4. H C Kennedy, Giuseppe Peano (Basel, 1974).
5. H C Kennedy, Peano : Life and Works of Giuseppe Peano (Dordrecht, 1980).
6. R Murawski, Giuseppe Peano- pioneer and promoter of symbolic logic, Uniwersytet im. Adama
Mickiewicza w Poznaniu, Instytut Matematyki (Poznan, 1985).
7. G Peano, Selected works of Giuseppe Peano, with a biographical sketch and bibliography by H
C Kennedy (London, 1973).
8. H C Kennedy, Peano's concept of number, Historia Mathematica 1 (1974), 387-408.
9. G Lolli, On the 50th anniversary of Peano (1858-1932), Scientia (Milano) 117 (5-8) (1982),
361-367.
10. F Palladino, The letters of Giuseppe Peano in the correspondence of Ernesto Cesàro (Italian),
Nuncius Ann. Storia Sci. 8 (1) (1993), 249-285.
11. W V O Quine, Peano as logician, Hist. Philos. Logic 8 (1) (1987), 15-24.
12. M Segre, Peano's axioms in their historical context, Archive for History of Exact Science 48
(3-4) (1994), 201-342.
13. E A Zaitsev, An interpretation of Peano's logic, Archive for History of Exact Science 46 (4)
(1994), 367-383.