1. Algoritmos de multiplicación de N dígitos José Pino Universidad Nacional de Asunción Facultad Politécnica Ingeniería en Informática Junio 2010

2. Karatsuba(1960) Paradigma Divide y vencerás (se usó por primera vez este término). El método fue publicado en 1962, en la revista científica soviética Proceedings of the USSR Academy of Sciences. El artículo había sido escrito por Kolmogorov, posiblemente en colaboración con Yuri Ofman, pero nombraba a "A. Karatsuba y Yu. Ofman" como los autores. Karatsuba sólo se dio cuenta de la publicación cuando recibió una copia del artículo por parte de la editorial de la revista. Complejidad Θ(nlog3) -> Θ(n1.58)

4. En general, Toom-k ejecuta en Θ(c(k) ne), donde e = log(2k − 1) / log(k), ne es el tiempo de las submultiplicaciones, y c es el tiempo de las multiplicaciones y sumas constantes.El algoritmo de Schönhage–Strassen tiene complejidad Θ(n log n log log n)). El algoritmo de Schönhage–Strassen fue el algoritmo asintóticamente más rápido de multiplicación de 1971 a 2007 cuando un nuevo método, el algoritmo de Martin Fürer, fue anunciado con complejidad asintótica más baja, de todos modos, el algoritmo de Fürer actualmente sólo logra una ventaja para los valores astronómicamente grandes y no se utiliza en la práctica. Schönhage–Strassen

5. x*y cadenas de n dígitos en base B para cualquier entero positivo m<n x = x1Bm+ x0 y = y1Bm + y0 x0 e y0 menores que Bm x*y = (x1Bm + x0)(y1Bm + y0) = x1Bmy1Bm + x1Bmy0 + x0y1Bm + x0y0 = x1y1Bm + x1y0Bm + x0y1Bm + x0y0 = (x1y1)Bm + (x1y0 + x0y1)Bm + x0y0 KaratsubaMultiplicación de x*y Ejemplo: 1234*5678 = 7006652 y x z2 z0 z1

6. Una multiplicación menos z1 = x1y0 + x0y1(original, dos multiplicaciones) z1 = (x1 + x0)(y1 + y0) − z2 − z0(uno menos) z1 = (x1y1 + x1y0 + x0y1 + x0y0) - x1y1 - x0y0 (reemplazando) = x1y0 + x0y1 (original) x*y = (x1y1)Bm + (x1y0 + x0y1)Bm + x0y0

7. Ejemplo Multiplicar 1234*5678 base diez B = 10 ; m = 2 x = 12 34 = 12 × 102 + 34 y = 56 78 = 56 × 102 + 78 z2 = x1y1 = 12 × 56 = 672 z0 = x0y0 = 34 × 78 = 2652 z1 = (x1+x0)(y1+y0) – z2 – z0 =(12 + 34)(56 + 78) − z2 − z0 = 46 × 134 − 672 − 2652 = 2840 x*y = z2Bm + z1Bm + z0

8. x*y = z2Bm + z1Bm + z0 x*y = 672Bm + 2840Bm + 2672 x*y = 672.102 + 2840.102 + 2672 = 7006652 1234*5678 = 7006652 Comparación con un algoritmo O(n2)

9. Toom-Cook(en pasos sencillos) Multiplicar 123456789 * 987654321 1. Separamos los dígitos en tres partes. 123|456|789 987|654|321 2. Seleccionamos un set de puntos: {-2,-1,0,1,2} A(x) = 123x2 + 456x + 789 B(x) = 987x2 + 654x + 321 p/ x= -2 A= 369 B= 2961 AB= 1092609 p/ x= -1 A= 456 B= 654 AB= 298224 p/ x= 0 A= 789 B= 321 AB= 253269 p/ x= 1 A= 1368 B= 1962 AB= 2684016 p/ x= 2 A= 2193 B= 5577 AB= 12230361 3. La solución tendrá la siguiente forma: P(x) = p4x4 + p3x3 + p2x2 + p1x + p0

10. 4. Sustituimos en la ecuación: 16p4 - 8p3 + 4p2 - 2p1 + p0 = 1092609 p4 - p3 + p2 - p1 + p0 = 298224 p0 = 253269 p4 + p3 + p2 + p1 + p0 = 2684016 16p4 + 8p3 + 4p2 + 2p1 + p0 = 12230361 5. Resolvemos la ecuación: p4 = 121401 p3 = 530514 p2 = 1116450 p1 = 662382 p0 = 253269 6. Convertimos a número el resultado, haciendo x=100 en P(x). O más fácil gráficamente; colocamos debajo y corremos a la derecha. 121|401 530|514 1|116|450 662|382 253|269 ======================= 121|932|631|112|635|269  eliminamos separadores 121932631112635269

11. Referencias