Este documento trata sobre fracciones algebraicas. Explica cómo simplificar fracciones algebraicas mediante la factorización del numerador y denominador y cómo realizar las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con fracciones algebraicas. Proporciona ejemplos detallados de cada uno de estos procesos.
4. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 4
Ejemplo 7 Simpli…car
u2
2u
v2 v
uv uv2
u2 1
u2
u + 2
Solución
u2
2u
v2 v
uv uv2
u2 1
u2
u + 2
=
u(u 2)
v(v 1)
uv(1 v)
(u + 1)(u 1)
u2
u + 2
=
u(u 2)
v(v 1)
uv(1 v)
(u + 1)(u 1)
u + 2
u2
=
u2
4
u2 1
Ejemplo 8 Simpli…car
h2
+ 5h + 6
k7 9k6
hk 9h
hk + 3k
h3
3h
k8
Solución
h2
+ 5h + 6
k7 9k6
hk 9h
hk + 3k
h3
3h
k8
=
(h + 2)(h + 3)
k6(k 9)
h(k 9)
k(h + 3)
h(h2
3)
k8
=
(h + 2)(h + 3)
k6(k 9)
h(k 9)
k(h + 3)
k8
h(h2 3)
=
kh + 2k
h2 3
=
kh + 2k
3 h2
5. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 5
Suma de fracciones
Ejemplo 9 Simpli…car
6x
x2 y2
+
2x
xy + y2
+
3
2y 2x
Solución
1. Se factoriza cada denominador
6x
x2 y2
+
2x
xy + y2
+
3
2y 2x
=
6x
(x + y)(x y)
+
2x
y(x + y)
+
3
2(y x)
2. Determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores
M.C.M = 2y(x + y)(x y)
3. Se divide M.C.M entre cada denominador y su resultado se multiplica por
cada numerador, antes note el cambio de signos de la tercera fracción
6x
(x + y)(x y)
+
2x
y(x + y)
+
3
2(y x)
=
6x
(x + y)(x y)
+
2x
y(x + y)
3
2(x y)
=
6x 2y + 2x 2 (x y) 3 y (x + y)
2y(x + y)(x y)
4. Se efectúan las operaciones del numerador
4x2
+ 5xy 3y2
2y(x + y)(x y)
como esa fracción no es simpli…cable
6x
x2 y2
+
2x
xy + y2
+
3
2y 2x
=
4x2
+ 5xy 3y2
2y(x + y)(x y)
Ejemplo 10 Simpli…car
2x + 6
x2 + 6x + 9
5x
x2 9
Solución
2x + 6
x2 + 6x + 9
5x
x2 9
=
2(x + 3)
(x + 3)2
5x
(x + 3)(x 3)
=
2
(x + 3)
5x
(x + 3)(x 3)
=
3 (x + 2)
x2 9
6. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 6
Ejemplo 11 Simpli…car
1
x2 + 2x + 1
+
1
x + 1
2
x + 1
Solución
1
x2 + 2x + 1
+
1
x + 1
2
x + 1
=
1
(x + 1)2
+
1
x + 1
2
x + 1
=
1 + (x + 1) 2 (x + 1)
(x + 1)2
=
x
(x + 1)2
Fracción compleja
Ejemplo 12 Simpli…car
2 +
2
a
a
3a
a + 2
Solución
I. Se realizan las operaciones en el numerador y en el denominador
2 +
2
a
=
2a + 2
a
a
3a
a + 2
=
a(a + 2) 3a
a + 2
=
a2
+ 2a 3a
a + 2
=
a2
a
a + 2
II. Se sustituyen los resultados anteriores y se aplica la propiedad
a
b
c
d
=
ad
bc
; b 6= 0; c 6= 0
2 +
2
a
a
3a
a + 2
=
2a + 2
a
a2
a
a + 2
=
( 2a + 2)(a + 2)
a(a2 a)
III. Se simpli…ca la fracción
7. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 7
( 2a + 2)(a + 2)
a(a2 a)
=
2(a 1)(a + 2)
a a(a 1)
=
2(a + 2)
a2
Ejemplo 13 Simpli…car la expresión 2
1
x 3
2
2
x 3
Solución
2
1
x 3
2
2
x 3
= 2
1
x 3
2(x 3) 2
x 3
= 2
1
2x 8
=
4x 17
2x 8