Solucionario UNI- 2014-2 - Matemática

11.08.2014
PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
2
MATRICES
1. Efectuando operaciones y despejando x
5x = 3A – 12(B+C) – 3x+A

( ) ( )1 3
8 4A 12 B C A B C
2 2
x x= − + → = − +

1 8 1 2 4 141 1
3
7 3 3 1 2 62 2
x
 − −      
= − =      
− −       

2 7
1 3
x
 
=  
− 
∴ det(x) = 13
Respuesta
13
SISTEMA DE ECUACIONES
2. Mediante la regla de Cramer

2 2
1 1
s
α β
∆ = = α + α − β + β
β − α +

1
1 3
3 1
x
− β
∆ = = −α − − β
α +

1
3 1
1 3
y
α −
∆ = = α + β −
α −
Luego: 1; 1
yx
s
x x y
s
∆∆
= =− ==
∆ ∆
CS = {(– 1; 1)}
Respuesta
– 1; 1
SERIES
3.
0 0
1 1
S
2 2
k k
k k
∞ ∞
= =
   
= − +   
   
∑ ∑

1 1
S
11
11
22
= +
  −− − 
 

2 8
S 2
3 3
= + =
Respuesta
S =
8
3
SERIES
4. Sea

3 3 3 3
1 1 1 1
S 1 ...
8 162 4
=+ + + + +
Podemos escribir

3
3 3
0
3
1 1 2
S
12 2 11
2
k
k
∞
=
 
= = = 
−  −
∑
Respuesta
3
3
2
2 1−
TEORÍA DE ECUACIONES
5.
1 1 1 1
a b x a b x
+= −
+ +

a b+ a b
ab
− +
=
( )
( )x x a b+ +
x2
+(a+b)x+ab = 0
(x+a)(x+b) = 0
x1 = – a (menor)
x2 = – b (mayor)

1
2
x a
x b
=
Respuesta
a
b
MATEMÁTICA (PARTE 1)

3547SOLUCIONARIO
11.08.2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA
3
DESIGUALDADES
6.
2 1 1
1 2 1 3 1
1 3 3
x
x x x
x
−
< → − < − ∧ ≠
−
|2x – 1|2
< |3x – 1|2
(5x – 2)x > 0 ∧ x ≠
1
3

{ }2 1
0
5 3
x x x< ∨ > ∧ ≠

2
; 0 ;
5
x ∈ −∞ ∪ + ∞

2
S ; 0 ;
5
= −∞ ∪ + ∞

[ ]C 2
S 0; ;
5
a b
 
= =  
∴ 3a+5b = 2
Respuesta
2
FUNCIONES
7. y2
+2y = x+1
(y+1)2
= x+2
Como y > 0
y+1>1
(y+1)2
>1
x+2 > 1
x >–1
Dom (f)= 〈–1; +∞〉
Respuesta
〈1; +∞〉
8.
(1; 2)
(3; 4)
y=x+1Y
X
y=x–1
(3; 2)
(3; 0)(1; 0)
a+b+c+d+e+f+g+h=16
Respuesta
16
9. f(ax+by) = af(x)+bf(y)
a=0; y=1→ f(b) = bf(1)
Como f(1) = 1
Entonces f(b) = b, ∀b ∈
Tenemos y2
+6y+9=n2

(y+3–n)(y+3+n) = 0
y1=n – 3 ∨ y2= –n–3
Respuesta
n–3
10. R1={(x, y) ∈2
/ y ≥ (x+1)log(x+1)(x)
}
y ≥ x; x>0

Y
X
R2={(x, y) ∈2
/ y ≤ 1+log(x+2)}

Y
X
Tenemos R1 ∩ R2
Y
X
Respuesta
C

11.08.2014
4
FUNCIONES
11. f(x) = 2000 – 1000e–0,001x
I. Es creciente:
f ‘(x) = 0 – 1000e–0,001x
(–0,001)
f ‘(x) > 0
II. f(0) = 2000 – 1000e–0,001(0)
f(x) = 2000 – 1000 = 1000
III. lim f(x) = lim (2000 – 1000e–0,001x
)
x→+∞ x→+∞
= 2000
Entonces: VVV
Respuesta
VVV
FUNCIONES
12.
I. Sea A= 0
0 0
a b c
d e
f
 
 
 
 
 
→ AT
=
0 0
0
a
b d
c e f
 
 
 
 
 
A=AT
→ b=0 y c=0 ∧ e=0 (F)
II. A=
0 0
0
a
b c
d e f
 
 
 
 
 
→ AT
= 0
0 0
a b d
c e
f
 
 
 
 
 
A=–AT
→ A=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
 
(V)
III. (V)
Respuesta
FVV
MATRICES
13. N = 111111(3)
Expresándolo en base 9 con cambio de
base especial
N = 444(9)
Piden multiplicar N consigo mismo
4 4 4(9) ×
4 4 4(9)
1 8 8 7(9)
1 8 8 7(9)
1 8 8 7(9)
2 2 1 6 6 7(9)
Ahora: N × N = 221667(9)
Expresando dicho producto en base 3 con
cambio de base especial
N × N = 20201202021(3)
Suma de digitos:
2+0+2+0+1+2+0+2+0+2+1=12=110(3)
Respuesta
110(3)
IRRACIONALES
14.
I. Si y ∈ {0} y x ∈ , entonces por
propiedad de clausura
y
x
∈. (V)
II. Si a y b son irracionales, entonces
a+b y a × b son racionales.
→ si tomamos, a= 2 y b= 2, no se
cumple. (F)
III. Si a ∈  y b es irracional, entonces
a × b es irracional.
→ si tomamos, a=0, a × b=0, no se
cumple. (F)
Respuesta
VFF

3547SOLUCIONARIO
11.08.2014
5
RADICACIÓN EN N
15. Dato:
1 7 a b c d 9 1 3 3 1
1 2 3 × 3 = 6 9
– 7 a 2 6 3 × 3 = 7 8 9
6 9 2 6 6 1 × 1 = 2 6 6 1
– 8 b c
7 8 9
– 2 6 d 9
2 6 6 1
– – – e
Observe:
8+69=77=7a → a=7
26+789=815=8bc → b=1 y c=5
e+2661=26d9 → e=8 y d=6
Piden
E = e+d – c+b – a
E = 8+6 – 5+1 – 7
∴ E = 3
Respuesta
3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
16. Dato: (y – 4) IP (x2
– 4)
Respecto a sus valores se cumple:
(y – 4)(x2
– 4)=k’
Para el par ordenado: (–1; –2) → x=–1 ∧
y=–2
Reemplazando


2
–6 –3
(–2 – 4)((–1) – 4) 18k k′ ′= → =
Ahora: (y – 4)(x2
– 4)=18

2
18
– 4
– 4
y
x
=
∴ 2
18
4
– 4
y
x
= +
Respuesta
2
18
4
– 4
y
x
= +
PROMEDIOS
17. Dato: a ∈ ∧ b ∈, a>b
Además:
2
2
MA( ; ) – MH( ; ) 1
a b ab
a b
a b a b
+
+
= 
–

(a+b)2
– 4ab=2(a+b)
a2
+b2
+ 2ab – 4ab=2(a+b)
a2
+b2
– 2ab=2(a+b)
 
2
4 8
( – ) 2( )a b a b= +
(a – b)2
es cuadrado
perfecto y piden
el menor valor de
2 2
a b+
8
– 4
a b
a b
+ =

= 
a=6
b=2
∴ 2 2 2 2
6 2 40 2 10a b+ = + = =
Respuesta
2 10
REGLA DE INTERÉS
18. Tenemos
C=S/. N
r %=6 %
I=S/. 825
t= años
C=S/. (N+7125)
r%=10 %
I=S/. 1850
t= años
donde 1850=(N+7125)10 %· t
8250=N·6 % · t
Dividimos y simplificamos

37 N 7125
55 2N
+
=

11.08.2014
6
74N=55N+55×7125
19N=55×7125
N=55×375=20 625
Piden suma de montos
M1=20 625+825=21 450
M2=27 750+1850=29 600
∴ M1+ M2=51 050
Respuesta
51 050
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
19.
N.º de hijos N.º de familias
0-2 1200
3-6 400
7-9 150
10-12 30
13-15 15
Distribución uniforme
4-6 → 300 familias
∴ De 4 a 11 hijos → 470 familias
Respuesta
470
PROBABILIDADES
20. I. Sean A, B y C eventos (F)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –
P(A ∩ B)+P(B ∩ C)+
P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)
Sabemos que por el principio inclusión y
exclusión
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –
P(A ∩ B) – P(B ∩ C) –
P(A ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)
II. Sean (F)
S = {(x; y) / x, y ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}}
B = {(x; y) ∈ S / 1+y x}
→ P(B) =
5
12
1
1
2
3
4
5
6
Y
2 3 54 6 X
B
P(B) =
10
36
=
5
18
III. Si B ⊂ A, entonces (V)
P(AB) = P(A) – P(B)–

( )
( )
( )
A B
P A B
n
n
=
Ω

( ) ( )
( )
( )
A B
pues B A
n n
n
−
= ⊂
Ω

( )
( )
( )
( )
A Bn n
n n
= −
Ω Ω
= P(A) – P(B)
Respuesta
F F V
COORDENADAS POLARES
21. Tenemos la ecuación polar de la cónica
r =
8
4 + 3cos q
que es equivalente a

r =
2
1 +
3
4
cos q
=
ρe
1 + e cos q
de donde determinamos que la excentrici-
dad (e) de la cónica es
3
4
.

3547SOLUCIONARIO
11.08.2014
7
Entonces, la ecuación polar dada repre-
senta a una elipse.
Respuesta
Elipse
R.T. POSICIÓN NORMAL
22. (cot q)2tan q
=
2
3
2
3
2
cot q =
2
3
para x = 2
y = –3
r = 13
E = 3 –
2
13
+ 2 –
3
13
E = –
12
13
Respuesta
–
12
13
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
23. cos2
x – cos x – 1 = 0
cos x = 1 – 5
2
≅ –0,61

p
22p
3
5p
6
–0,5
–0,61
p
0
X
Y
x

p
2
x
5p
6
Respuesta

p
2
x
5p
6
LONGITUD DE ARCO
24.

A
B C
x
y
D
r
1 – r
E
F
p
4
rad
p
4
rad
 x =
pr
4
 y =
p
4
(1 – r)
y =
p
4
–
pr
4
Luego x + y =
p
4
Respuesta

p
4
RT DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
25. M = sen4 p
2
+ sen42p
7
+ sen43p
7
Como
sen4
q =
3
8
–
1
2
cos 2q +
1
8
cos 4q
Nos piden
M =
9
8
–
1
2
cos
2p
7
+ cos
4p
7
+ cos
8p
7
+
cos6p
7

11.08.2014
8

1
8
cos
4p
7
+ cos
8p
7
+ cos
12p
7
cos6p
7
cos2p
7
M =
9
8
–
1
2
cos
2p
7
+ cos
4p
7
+ cos
6p
7
+

1
8
cos
2p
7
+ cos
4p
7
+ cos
6p
7
M =
9
8
–
3
8
cos
2p
7
+ cos
4p
7
+ cos
6p
7
Pues
cos
2p
7
+ cos
4p
7
+ cos
6p
7
= –
1
2
M =
9
8
–
3
8
–
1
2
→ M =
21
16
Respuesta

21
16
NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA
26.

5,5 cm
r = 0,5 cm6 cm
A B
O
60°
Como se sabe, el número de vueltas (n)
que gira una rueda, está dado así
2
n
r
=
π
l
donde
l: longitud de la trayectoria descrita por
el centro de la rueda
r: radio de la rueda
para el problema:
(5,5)
3
2 (5,5)
n
π
×
=
π
n =
6
11
No hay clave
Nota:
Si consideramos el gráfico que
r = 0,5 cm
r = 6 cm
A B
O
60°
Tendremos que

6
3
2 (0,5)
n
π
×
=
π
→ n = 2
De esa manera la clave correcta sería la B.
Respuesta
2
RESOLUCIÓN EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
27.
α
αα
A
C
B
a
Q
atanα
atanα
atanα
M
P
1
1
a x
θ
AQM ~ MCP: AQ = CP = a

3547SOLUCIONARIO
11.08.2014
9
AQB: tan
2 tan cot
a
a a
θ =
α + α
→
1
tan
2tan cot
θ =
α + α
PCB: cotα = x
Así:
1
tan
2
x
x
θ =
+
Si θ es máximo, entonces tanθ también es
máximo, y esto se da cuando
2
2x x
x
= → =
Respuesta:
2
POLÍGONO REGULAR
28.
R
60º

α
A C
B
Sea O: centro
Piden: α
Dato:  = R
Si AC =  = R, entonces: AC = L6

AC 60ºm =
Por teorema
60º
30º
2
α= =
Respuesta:
30º
POLIEDRO REGULAR
29.
x
P
S
Q
B C
D
d
d
d
R
A
Piden: m entre

CS y

BD
QS//BD
→ m entre CS y BD= m entre QS y CS=x
∆ QSC: equilátero
∴ x=60º
Respuesta
60º
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS(PIRÁMIDE-CONO)
30.
9
Base de la pirámide
inscrita en la base
del cono
1
A
B
O
C
D
1
2
2
4 5
Pide E=Vcono–Vpirámide

11.08.2014
10

= π ⋅ − ⋅
221 1
E 1 4 5 2 4 5
3 3

( )= π −
4 5
E 2
3
Respuesta
( )= π −
4 5
E 2
3
m3
RECTAS Y PLANOS
31.
D
B
A
C
H
60º
30º
36
3
5
72
536
5
De los datos, el DBH es notable de
30º y 60º.
En el gráfico

∆ = ×ADC
72 AC
S
5 2

∆ = ×ABC
36 AC
S
5 2
∴
∆
∆
=
ADC
ABC
S
2
S
Respuesta
2
32.
Vx
6
6
2
2
2
2
a
a
b
b
O
Piden: Vx máximo
Vx=6ab
+ = =2 2 2
4 16a b
Empleando medias
≥MA MG

+
≥
2 2
2 2
2
a b
a b

+
≤
2 2
2
a b
ab
≤ 8ab
≤6 48ab
→ ≤V 48x
∴ Vx máximo =48
Respuesta
48
TRIÁNGULOS CONGRUENTES
33.

θ
θ
2θ
x
θ
θ
30º
30º
A
B
E
a
a
H
l
l
l
C a B
Piden: x
Dato: ∆ ABCD: equilátero

3547SOLUCIONARIO
11.08.2014
11
Se deduce: BE=EC (T. mediatriz)
∆ BEC ≅ ∆ ECO
(L-L-L)
En “C”: 3θ=60º θ=20º
∆ AED: medida del ) exterior
= + θ
=
20º
30º
50º
x
x
Respuesta
50º
CUADRILÁTERO
34.
A
B
C
D
L
θ
θ
w w
β
α
x

Piden: x
Dato: α – β=24º
ABCL: θ + β + w + x=360º
Propiedad
x=θ+β+w
Sumando
2x + α = 360º + β
2x + α – β = 360º
2x + 24º = 360º
∴ x=168º
Respuesta
168º
TEMA A LA IZQUIERDA Y EN MAYÚSCULAS
35.

A
B
T
h
l t l + t
l + t
M C
K2r
K1r
r
Teorema de Poncelet
ATB: l+h=K1r+2r
BTM: t+h=l+ +2K2r
Sumando
2h=K1r+2r+2K2r
ATB: hK1r
2h 2K1r
Reemplazando
K1r+2r+2K2r2K1r
2r+2K2r2K1r
2(1+K2)K1
2
1
K 1 1
K 2
+
∴
Respuesta
2
1
K 1 1
K 2
+
∴
RELACIONES METRICAS
36.

A
P
O
B
R
R R /2
R /2
R /2
R /2
O'
R 2
4 2

11.08.2014
12
Piden: R
O’ P O: T. de Pitágoras
(O’P)2
=(3R/2)2
– (R/2)2
O’ P= R 2
Por teorema
R 2 4 2
R 4
=
=
Respuesta
4
CIRCUNFERENCIA
37.

B
E
C
DFA
x
t
a
b
l
m
n
Piden: EF=x
Datos:
¾¾ AB+CD=30 → a+b=30
¾¾ BC+AD=50 → m+n+l+t=50
Teorema de Pitot
ABEF: a+b=m+l
FECD: x+b=n+t
Sumando
a+b+2x=m+n+t+l
→ 30+2x=50
∴ x=10
Respuesta
10
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
38.
A
B
C
D
E
2a
a
a
2a
5k
3k
3
5
x
T
Piden: AB=x
Dato: BD // AE
Teorema: CD // BE
D BTE: TD=5k y DE=3k
D ATE: Corolario

= → =
8 5
4,8
3
k
x
x k
Respuesta
4,8
ÁNGULO DIEDRO
39.

D
C B
A
H
6
12
12
60º
x
T
66 3
Piden: d (C; D ABD)=x
D ABC: equilátero
AH=BH=6 y CH=6 3
CTH (notable de 30º y 60º)
∴ x=9
Respuesta
9

3547SOLUCIONARIO
11.08.2014
13
LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
40.  =AC
L ?

R=2r
2r 2r
aa
r
r
O′
CA
O
Del gráfico
 =α → =αAC AC
L (2 )(2 ) L 4 ..... (1)r r
En el D OAO′: por el teorema de cosenos

+ −
α= =
2 2 2
(2 ) (2 ) 7
cos
2(2 )(2 ) 8
r r r
r r
También

 
α= → α=  
 
15 15
sen arcsen
8 8
Reemplazando en (1)


 
=  
 AC
15
L 4 arcsen
8
r
Respuesta
 
 
 
15
4 arcsen
8
r

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