Solucionario cálculo Mitacc

1. SOLUCIONARIO CAPÍTULO 01
(TÓPICOS DE CÁLCULO VOL.
2) MAXIMO MITAC, LUIS TORO
Whatsmath (contacto 928873817)
profeorwell1984@gmail.com
Abstract
En este documento se muestra las soluciones a los ejercicios del
capítulo 01 del libro (TÓPICOS DE CÁLCULO VOL. 2) MAX-
IMO MITAC, LUIS TORO, tratando de que dichas soluciones
sean lo más detalladas y didácticas posibles.
1

2. EJERCICIOS
Paginas 15, 16, 17, 18, 19
Problem 1 Z
p
x + 3 dx
Solución
Z
p
x + 3 dx =
Z
p
xdx + 3
Z
dx =
x
3
2
3
2
+ 3x + C =
2
3
x
3
2 + 3x + C
Problem 2 Z
p
x (x + 1) dx
Solución
Z
p
x (x + 1) dx =
Z
x
1
2 (x + 1) dx =
Z
x
3
2 + x
1
2 dx =
Z
x
3
2 dx+
Z
x
1
2 dx =
2
5
x
5
2 +
2
3
x
3
2 +C
Problem 3 Z
4dx
p
6 x2
Solución1
Se tiene que:2
Z
4dx
p
6 x2
= 4
Z
dx
q p
6
2
x2
= 4 arcsin
x
p
6
+ C
= 4 arcsin
x
p
6
+ 4C = 4 arcsin
x
p
6
+ C
1
Recuerda que:
Z
du
p
a2 u2
= arcsin
u
a
+ C
2
Es fácil darse cuenta que si C es una constante 4C es también una constante, por
tanto podemos escribir esta constante como C
2

3. Problem 4 Z
dx
x (x2 8)
Solución: En este caso, conviene escribir la función integrando como
una suma de fracciones parciales. Planteamos que:
1
x (x2 8)
=
1
x x
p
8 x +
p
8
=
A
x
+
B
x
p
8
+
C
x +
p
8
=
A (x2
8) + B(x2
+
p
8x) + C(x2
p
8x)
x x
p
8 x +
p
8
=
(A + B + C) x2
+
p
8B
p
8C x 8A
x x
p
8 x +
p
8
Se sigue que:
8
<
:
A + B + C = 0p
8B
p
8C = 0
8A = 1
=) A =
1
8
; B =
1
16
= C
Luego se sigue que:
Z
dx
x (x2 8)
=
Z
1
8
1
x
+
1
16
1
x
p
8
+
1
16
C
x +
p
8
dx
=
1
8
Z
dx
x
+
1
16
Z
dx
x
p
8
+
1
16
Z
dx
x +
p
8
=
1
8
ln jxj +
1
16
ln x
p
8 +
1
16
ln x +
p
8 + C
=
1
8
ln jxj +
1
16
ln x
p
8 x +
p
8 + C
=
1
8
ln jxj +
1
16
ln x2
8 + C
=
1
16
2 ln jxj ln x2
8 + C
=
1
16
ln x2
ln x2
8 + C
=
1
16
ln
x2
x2 8
+ C
Problem 5 Z
7x2
+ 16
x4 + 4x2
dx
3

4. SOLUCIÓN: Procedemos de manera similar al ejercicio anterior:
7x2
+ 16
x4 + 4x2
=
7x2
+ 16
x2 (x2 + 4)
=
A
x2
+
B
x2 + 4
=
(A + B) x2
+ 4A
x2 (x2 + 4)
De donde:
A + B = 7
4A = 16
=) A = 4; B = 3
Se sigue que:3
Z
7x2
+ 16
x4 + 4x2
dx =
Z
4
x2
+
3
x2 + 4
dx
=
Z
4
x2
dx +
Z
3
x2 + 4
dx
= 4
Z
1
x2
dx + 3
Z
1
x2 + 22
dx
=
4
x
+ 3 arctan
x
2
+ C
Problem 6 Z
18dx
9x2 x4
SOLUCIÓN: También por fracciones parciales
18
9x2 x4
=
18
x2 (3 x) (3 + x)
=
A
x2
+
B
3 x
+
C
3 + x
=
A (9 x2
) + B (3x2
+ x3
) + C (3x2
x3
)
x2 (3 x) (3 + x)
=
(B C) x3
+ (3B + 3C A) x2
+ 9A
x2 (3 x) (3 + x)
De donde:
3
Recuerdad que:
Z
du
u2 + a2
= arctan
u
a
+ C
4

5. 8
<
:
B C = 0
3B + 3C A = 0
9A = 18
=) A = 2; B = C =
1
3
Luego:
Z
18dx
9x2 x4
=
Z
2
x2
+
1
3
1
3 x
+
1
3
1
3 + x
dx
= 2
Z
1
x2
dx +
1
3
Z
dx
3 x
+
1
3
Z
dx
3 + x
=
2
x
1
3
ln j3 xj +
1
3
ln j3 + xj
=
1
3
ln
3 + x
3 x
2
x
+ C
Problem 7 Z
3dx
x2 + 4x 5
SOLUCIÓN:
3
x2 + 4x 5
=
3
(x 5)(x + 1)
=
A
x 5
+
B
x + 1
=
(A + B)x + (5B A)
(x 5)(x + 1)
De donde:
A + B = 0
5B A = 3
=) A =
1
2
; B =
1
2
Luego:
Z
3dx
x2 + 4x 5
=
Z
1
2
1
x 5
+
1
2
1
x + 1
dx
=
1
2
Z
1
x 5
dx +
1
2
Z
1
x + 1
dx
=
1
2
ln jx 5j +
1
2
ln jx + 1j + C
=
1
2
ln
x + 1
x 5
+ C
5

6. Problem 8 Z
4dx
p
4x2 20x 9
SOLUCIÓN: En este caso combiene completar cuadrados, veamos:
Z
4dx
p
4x2 20x 9
=
Z
4dx
p
16 (4x2 + 20x + 9 + 16)
=
Z
4dx
p
42 (2x + 5)2
Ahora consideremos lo siguiente: u = 2x + 5 ! du = 2dx; ahora
demos forma a la función integrando:
Z
4dx
p
42 (2x + 5)2
= 2
Z
2dx
p
42 (2x + 5)2
= 2
Z
du
p
42 u2
= 2 arcsin
u
4
+ C
Volviendo a la variable original, tenemos que:
Z
4dx
p
42 (2x + 5)2
= 2 arcsin
2x + 5
4
+ C
Problem 9 Z p
4x2 12x 5dx
SOLUCIÓN4
: Completando cuadrados.
Z p
4 (4x2 + 12x + 5 + 4)dx =
Z p
22 (2x + 3)2dx
4
En este ejercicio utilizamos:
Z p
a2 u2du =
1
2
h
u
p
a2 u2 + a2
arcsin
u
a
i
+ C
6

7. Ahora consideremos lo siguiente: u = 2x + 3 ! du = 2dx; ahora demos
forma a la función integrando:
Z p
22 (2x + 3)2dx =
1
2
Z p
22 (2x + 3)2 (2dx)
=
1
2
p
22 u2du
=
1
2
1
2
h
u
p
22 u2 + 22
arcsin
u
2
i
+ C
=
1
4
(2x + 3)
p
4x2 12x 5 + 4 arcsin
2x + 3
2
+ C
Problem 10 Z
2x
3x+1
5x+2
dx
SOLUCIÓN:
Z
2x
3x+1
5x+2
dx =
3
25
Z
2x
3x
5x
dx =
3
25
Z
6
5
x
dx
=
3
25
6
5
x
ln 6
5
+ C =
3
25
6
5
x
ln 6 ln 5
+ C
=
3
25
1
ln 6 ln 5
6
5
x
+ C
7