Resumen unidad 1, Análisi numerico, Universidad Fermin Toro, Prof Domingo

1. FIDEL LÓPEZ
C.I. 18778217

2. ANÁLISIS NUMÉRICO
 El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de
las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a
través de números y reglas matemáticas simples, simular
procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos
del mundo real.
 Consiste en procedimientos que resuelven problemas y
realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta
las características especiales de los instrumentos de cálculo
que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del
algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad
o función, para el estudio de errores en los cálculos

3. NÚMERO MÁQUINA
 Es un sistema numérico que consta de dos dígitos:
Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término
"representación máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más pequeña posible; este
tipo de representación requiere de menos dígitos, pero
en lugar de un número decimal exige de más lugares.
Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica
primaria de las computadoras digitales usan
componentes de apagado/prendido, o para una
conexión eléctrica abierta/cerrada.

4. NÚMERO MÁQUINA DECIMAL
 Una máquina generalmente no almacena una cantidad
matemática x sino una aproximación binaria
a x llamada representación de punto flotante,
denotada por fl(x) y de la forma:

5. NÚMERO MAQUINA DECIMAL
 También se pueden definir como:
 Aquellos números cuya representación viene dada
de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2,
3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las
maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen
aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.

6. ERROR ABSOLUTO
 Es la diferencia entre el valor exacto (un número
determinado, por ejemplo) y su valor calculado o
redondeado, o sea el valor exacto menos el valor
calculado";debido a que la ecuación se dio en términos del
valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues,
una colección (suma) de errores siempre se incrementan
juntos, sin reducirse.
 Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de 0.613, el error
equivale a (0.6-0.613), que es - 0.013 (algunos definen el
error como 0.613-0.6). En este caso, el error absoluto es
|0.6-0.613|, que es 0.013.

7. ERROR RELATIVO
 Error relativo es el que nos indica la calidad de la
medida. Es el cociente entre el error absoluto y el valor
que damos como representativo (la media aritmética).
 Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si
cometemos un error absoluto de un metro al medir la
longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también
un metro al medir la distancia Santiago-Madrid, de
aproximadamente 600.000 m, el error relativo será
1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para
la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha más
calidad la segunda medida.

8. COTAS DE ERROR
 Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea
fiable, el error cometido debe estar controlado o
acotado de manera que:
Los números k y k' se llaman cotas del error absoluto o
relativo, respectivamente.

9. COTAS DE ERROR
 Al redondear, podemos dar una cota del error
absoluto de la siguiente manera:
donde c = 5 unidades del orden de la primera cifra no
utilizada en el redondeo.
 Y una cota del error relativo:

10. FUENTES BÁSICAS DE ERRORES
 Existen dos causas principales de errores en los cálculos
numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error
de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que
se representan los números en una PC (para comprender la
naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en
que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas
y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a
las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del
modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se
emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de
truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito
(por ejemplo, truncando los términos de una serie).

11. ERROR DE REDONDEO
 Es aquel error en donde el numero significativo de dígitos
despues del punto decimal, se ajusta a un numero especifico,
provocando con ello un ajuste en el ultimo digito que se tome en
cuenta.
 "Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
 El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después
truncar para que resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
 El último método comúnmente se designa por redondeo. En
este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl;
esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente
truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así
hacia abajo

12. ERROR DE TRUNCAMIENTO
 Los errores de truncamiento tienen relación con el
método de aproximación que se usará ya que
generalmente frente a una serie infinita de términos, se
tenderá a cortar el número de términos, introduciendo
en ese momento un error, por no utilizar la serie
completa (que se supone es exacta).
 En una iteración, se entiende como el error por no
seguir iterando y seguir aproximándose a la solución.
En un intervalo que se subdivide para realizar una serie
de cálculos sobre él, se asocia al número de paso,
resultado de dividir el intervalo "n" veces.

13. ERROR DE TRUNCAMIENTO
 Cualquier número real positivo y puede ser
normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
 Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la
forma de punto flotante de y, que se representará
por fl , se obtiene terminando la mantisa
de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar
a cabo la terminación. Un método es
simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para
obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

14. ERRO DE SUMA Y RESTA
 En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar
muchos números en la computadora. Como cada suma
introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina,
queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso.
El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de
productos interiores. En la práctica muchas computadoras
realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que
más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras
se llaman bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar
situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al
restar cantidades casi iguales o la división de un número muy
grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como
consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.

15. ERRORES DE SUMA Y RESTA
 Sean:
x± x y z± z
 x + z = (x + z) ± ( x + z)
 x – z = (x – z) ± ( x + z)

16. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
 Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es
la distinción entre los procesos numéricos que son estables
y los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de
problema bien condicionado o mal condicionado.
 Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños
errores que se producen en alguna de sus etapas se
agrandan en etapas posteriores y degradan la calidad de los
resultados.
 Un problema está mal condicionado si pequeños cambios
en los datos de entrada pueden dar lugar a grandes cambios
en las respuestas.

17. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
 La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad
los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo
es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de
entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un
proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas
posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su
conjunto.
 El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería
decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la
inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un
cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%,
produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del
1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué
precisión se realicen los cálculos.

18. CONDICIONAMIENTO
 Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera
informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema
respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un
problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos
pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos
tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un
número condicionado puede definirse como la razón de los errores
relativos".
 Si el número de condición es grande significa que se tiene un
problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada
caso se establece un número de condición, es decir para la
evaluación de una función se asocia un número condicionado, para
la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo
de número de condición; el número condicionado proporciona una
medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.