1. Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informáticag
Investigación de Operaciones I
Conjuntos Convexos
óy Programación
MatemáticaMatemática
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal

2. Conjuntos ConvexosConjuntos Convexos
IntroducciónIntroducción.-
El concepto de conjunto convexo es fundamental en el
t di d l P ió M t áti itestudio de la Programación Matemática porque permite
obtener resultados teóricos importantes.
D t d l P ió M t áti ti hDentro de la Programación Matemática tienen mucha
importancia los problemas convexos, donde las
variables de decisión pertenecen a un conjunto convexovariables de decisión pertenecen a un conjunto convexo
y la función objetivo es una función convexa, dado que
el teorema fundamental de la programación convexag
nos asegura que todo óptimo local es un óptimo global.
2

3. Conjuntos Convexos
Idea de conjunto convexo
Conjuntos Convexos
Idea de conjunto convexo.-
Un conjunto S de puntos es un conjunto convexo si
t d l t d l t d ttodos los puntos del segmento de recta que une a
cualquier par de puntos del conjunto también
pertenecen al conjunto Spertenecen al conjunto S.
Para comprender mejor la definición de conjunto
convexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntosconvexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntos
x1 y x2, los puntos λ x1 + (1-λ) x2 con 0 ≤ λ ≤ 1
corresponden justamente con los puntos del segmentoj g
que une x1 y x2.
3

4. Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos convexos:
Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos convexos:
4

5. Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos no convexos:
Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos no convexos:
5

6. Conjuntos Convexos
Definición formal
Conjuntos Convexos
Definición formal.-
es convexo sí
n
S ℜ⊂El conjunto es convexo síS ℜ⊂
Sx,x 21 ∈∀
λλ
El conjunto
10, ≤λ≤ℜ∈λ∀
los puntoslos puntos
( ) 21 x1xx λ−+λ=
pertenecen a S.
6

7. Conjuntos Convexos
Obsérvese que:
Conjuntos Convexos
Obsérvese que:
• Cuando λ = 1, entonces x = x1, 1
• Cuando λ = 0, entonces x = x2
• Para valores de λ comprendidos entre 0 y 1 el punto x
correspondiente se sitúa entre x1 y x2.p 1 y 2
7

8. Conjuntos Convexos
Vértices o Puntos extremos
Conjuntos Convexos
Vértices o Puntos extremos
de un conjunto convexo.-
U t d j tUn punto x de un conjunto
convexo S es un vértice o
punto extremo del conjunto sipunto extremo del conjunto, si
no es posible encontrar dos
puntos x1, x2 en S tales que:
( )x1xx 21 λ−+λ= ( )
10
21
<λ<
8

9. Programación MatemáticaProgramación Matemática
En el modelo matemático del sistema aparecenEn el modelo matemático del sistema aparecen
variables X = (x1, x2, ..., xn) que pueden controlarse y
variarse (variables endógenas), y parámetros sobre losvariarse (variables endógenas), y parámetros sobre los
cuales no hay control y que se consideran como
constantes dadas (variables exógenas). Las
limitaciones sobre X, al ponerse en términos
matemáticos, toman la forma de restricciones del tipo:
pi10)X(gi ≤≤≤
ri1p0)X(gi ≤≤+≥
mi1r0)X(gi ≤≤+=
9

10. Programación Matemática
donde (X) son funciones de X de valor real En
Programación Matemática
donde gi(X) son funciones de X de valor real. En
general las restricciones pueden siempre ponerse
como:como:
mi10)X(gi ≤≤≤)(gi
10

11. Programación Matemática
Las restricciones del tipo:
Programación Matemática
Las restricciones del tipo:
0X ≥
referidas usualmente como condiciones de no
negatividad, aparecen con frecuencia en modelosnegatividad, aparecen con frecuencia en modelos
matemáticos de sistemas, ya sea porque los valores
negativos de las variables carecen de sentido y se
excluyen por lo tanto del análisis, o bien porque sea
matemáticamente conveniente introducir algunas
variables de holgura con esta restricciónvariables de holgura con esta restricción.
11

12. Programación Matemática
El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene a
Programación Matemática
El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene a
través de una solución matemática. El valor X0 de la
variable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valorvariable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valor
óptimo de X o solución óptima. Por lo común, el valor
óptimo de f(X) es el máximo o mínimo de f(X) bajo el
sistema de restricciones.
12

13. Programación Matemática
La programación matemática se puede clasificar en:
Programación Matemática
La programación matemática se puede clasificar en:
Lineal No lineal Lineal No lineal
Estática Dinámica
Lineal No lineal Lineal No lineal
Modelo estático
de Leontieff
Programación no
lineal convexa
Modelos
dinámicos de
Leontieff
Programación
lineal
Programación no
lineal no convexa
Sistemas
dinámicos
Determinística
Redes
Programación
Modelo general
de programación
lineal estocástica
de programación
dinámica
Juegos de suma Teoría de
Probabilística
13
cero inventarios

14. Programación Matemática
PROBLEMA
Programación Matemática
PROBLEMA.-
Una jarra de vidrio de forma cilíndrica, tiene una tapa
metálica Si el metal cuesta tres veces mas que elmetálica. Si el metal cuesta tres veces mas que el
vidrio, hallar las dimensiones de una jarra de capacidad
fija V, para que su costo sea mínimo.fija V, para que su costo sea mínimo.
14

15. Programación MatemáticaProgramación Matemática
Alto costo de
Mediano costo de
metal medianoBajo costo de
metal, alto costo
de vidrio.
Alto costo de
metal, bajo costo
de vidrio.
metal, mediano
costo de vidrio.
V
V
V
15

16. Programación MatemáticaProgramación Matemática
MetalMetal
V = π r2 h
Vidrio
16

17. Programación Matemática
Volumen de la tapa de metal:
Programación Matemática
Volumen de la tapa de metal:
erV 2
1 π=
Volumen de la jarra de vidrio:
ehr2V2 π=
V 2
Lateral
F d erV 2
3 π=Fondo
17

18. Programación Matemática
Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u m en
Programación Matemática
Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u.m., en
metal custa 3 u.m.
L t d íLuego, tendríamos:
)erehr2()er(3Zmin 22
π+π+π=
sujeto a
Vhr2
=π Vhrπ
0h,r ≥
18

19. Programación Matemática
PROBLEMA
Programación Matemática
PROBLEMA.-
Halle las coordenadas de un punto de ℜ2, tal que la
suma de sus coordenadas sea máxima que sea mayorsuma de sus coordenadas sea máxima, que sea mayor
que cinco y que el punto no se aleje más de cinco
unidades del origen de coordenadas.unidades del origen de coordenadas.
19

20. Programación MatemáticaProgramación Matemática
y
(x, y)
22
yx +
x
20

21. Programación Matemática
Luego tendríamos:
Programación Matemática
Luego, tendríamos:
yxZmax +=
sujeto a
5yx >+
y
5yx >+
5yx 22
≤+
0y,x ≥
y
21

22. Programación Matemática
PROBLEMA
Programación Matemática
PROBLEMA.-
Hallar el punto de la superficie de ecuación
4yxz 22
++=
que este más cercano al origen de coordenadas.
22

23. Programación MatemáticaProgramación Matemática
z
(x, y, z)
y
222
zyx ++
x
23

24. Programación Matemática
Luego tendríamos:
Programación Matemática
Luego, tendríamos:
222
zyxZmin ++=
sujeto a
4yxz 22
++=
y
4yxz ++
0z,y,x ≥
24

25. Programación Matemática
CASO PRACTICO:
Programación Matemática
CASO PRACTICO:
Objetivo: Optimizar el uso de hojalata en las conservas
d dde pescado.
Información de las conservas de pescado (170 gr.):
Peso neto = 170 gr.
Peso escurrido = 120 gr.
Diá t (D) 80Diámetro (D) = 80 mm.
Altura (H) = 35 mm.
Cálculo del volumen:
3
2
19929175
HDπ
V
25
3
mm19.929175
4
V ==

26. Programación Matemática
Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D H ):
Programación Matemática
Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D1, H1):
2
Dπ
fondoyTapa
2
1
=
2
yp
11 HDπLateral =
11
2
1
HDπ
2
Dπ
Total +=
2
El volumen para 170 gr. se mantiene:
31
2
1
mm19.929175
4
HDπ
V ==
26
4

27. Programación Matemática
La relación entre D y H es:
Programación Matemática
La relación entre D1 y H1 es:
21
000224
H = 2
1
1
D
H
R l d l ió t i
2
Reemplazando en la expresión anterior:
1
2
1
D
π000224
2
Dπ
Total +=
1
27

28. Programación Matemática
Graficando la función obtenida:
Programación Matemática
Graficando la función obtenida:
Total
D1
D1
*
D1
28
1

29. Programación Matemática
Derivando e igualando a cero la función:
Programación Matemática
Derivando e igualando a cero la función:
000224(T t l)d
0
D
π000224
Dπ
Dd
(Total)d
2
1
1
1
=−=
De donde se obtiene:
mm60.73D1 =
mm60.73H1 =
29