Este documento introduce los números complejos, incluyendo su definición, operaciones básicas y formas polares y exponenciales. Explica cómo resolver ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y complejos, encontrando raíces complejas a través de fórmulas y división sintética. Proporciona varios ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.

1. Unidad I
NUMEROS COMPLEJOS.
1.1 Definición y origen de los números
complejos.
1.2 Operaciones
fundamentales
con
números complejos.
1.3 Potencias de “i”, modulo o valor
absoluto
de un número
complejo.
1.4 Forma polar y exponencial de un
número complejo.
1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número
complejo.
1.6 Ecuaciones polinómicas.

2. Ing. Héctor Manuel de León Filguerez
Algebra Lineal
UNIDAD I
NUMEROS COMPLEJOS
1.6 Ecuaciones polinómicas.
Toda ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene dos números complejos como soluciones. Las
raíces de la ecuación cuadrática ax2 +bx +c = 0 están dadas por las formulas:
 b  b 2  4ac
2a
y
 b  b 2  4ac
2a
Si b2 – 4ac < 0, las dos raíces son números imaginarios. Estos números son conjugados entre sí.
Ejemplo 1.24: Hallar las raíces de la ecuación x2 + 5 = 0
Sustituyendo en b2 – 4ac tenemos 0 – 4(1) (5) = - 20, por lo tanto b2 – 4ac < 0 y la ecuación tiene dos
raíces complejas.
 b  b 2  4ac
2a
 0  0  4(5)
x
2(1)
x
i (22 )(5)
 20
i2 5
x


 i 5
2
2
2

La ecuación es equivalente ( x  i 5 )( x  i 5 ) y el conjunto solución es C  x  i 5
son raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo 1.25: Hallar las raíces de la ecuación 2x2 – 5x + 4 = 0
a = 2,
y
x  i 5

b = -5, c = 4
Sustituyendo en b2 – 4ac tenemos 25 – 4(2) (4) = - 7, por lo tanto b2 – 4ac < 0 y la ecuación tiene dos
raíces complejas.
 b  b 2  4ac
x
2a
 (5)  (5) 2  4(2)(4)
x
2(2)
x
5 7 5i 7 5
7

 
i
4
4
4 4
5
7
i
De modo que el conjunto solución es C   
4 4
ecuación.
Instituto Tecnológico de Tepic
y
5
7 

i  son raíces complejas de la
4 4 
2

3. Ing. Héctor Manuel de León Filguerez
Algebra Lineal
Ejemplo 1. 26: Hallar las raíces de la ecuación x4 – 81 = 0
 




x 4  81  x 2  9 2  x 2  9 x 2  9  x  3x  3 x 2  9
En x 2  9  0 tenemos a  1, b  0, c  9
2

Sustituyendo en b2 – 4ac tenemos 0 – 4(1) (9) = - 36, por lo tanto b2 – 4ac < 0 y la ecuación tiene dos
raíces complejas.
x
 b  b 2  4ac
2a
x
 (0)  (0) 2  4(1)(9)
2(1)
x
0   36 0  i 36
6i

   3i
2
2
2
De modo que el conjunto solución es C  3,  3, 3i,  3i son raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo 1.27: Hallar una ecuación con coeficientes reales para la cual es raíz 3 + 2i.
El conjugado de la raíz es 3 – 2i, por lo tanto la ecuación que tenga las raíces indicadas es
x  3  2i x  3  2i   0
x  3  2i x  3  2i   0
x  32  (2i) 2  0
x
2

 6 x  9  4(1)  0
x 2  6 x  13  0
Ejemplo 1.28: Hallar una ecuación con coeficientes reales para la cual son raíces 3 y 2  i 5 .
El conjugado de la raíz es 2  i 5 , por lo tanto la ecuación que tenga las raíces indicadas es
x  3x  2  i 5 x  2  i 5   0
x  3x  2  i 5 x  2  i 5   0

x  3x  22  (i 5 ) 2   0
x  3x 2  4 x  4  5(1)  0
x  3x 2  4 x  9  0
x 3  7 x 2  21x  27  0
Ejemplo 1.29: Hallar el conjunto solución de la ecuación 3ix2 + 2x – 2i = 0.
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3

4. Ing. Héctor Manuel de León Filguerez
Algebra Lineal
a = 3i, b = 2, c = - 2i.
x
 b  b 2  4ac
2a
x
 (2)  (2) 2  4(3i )(2i )
2(3i )
x
 2  4  24i 2  2   20  2  2i 5


6i
6i
6i
2

6i
1
x

3i
i
x 2
3i
x
 5 1
 i
Por lo tanto el conjunto solución es C  
 3 3
y 
2i 5
6i
5
3
5
1
5
 i
3
3
3
5 1 
 i .
3 3 
Ejemplo 1.30: Demostrar mediante división sintética que x + 2i es un factor de x3  x 2  4 x  4 .
1
 2i
-2i
1  1  2i
1
4
4
0
4
 4  2i
2i
Por lo tanto x + 2i si es factor de el polinomio.
Ejemplo 1.31: Hallar los ceros de la función P( x)  x3  4 x 2  5x  6 .
El conjunto de ceros racionales posibles es {1, -1, 2, - 2, 3, -3, 6, -6} y se utiliza la división sintética
para determinar cuales hacen cero a la función.
3
1
1
-4
3
-1
5
-3
2
Como P (3) = 0, entonces 3 es un cero de P
-6
6
0
y

Px   x  3 x 2  x  2

Para determinar los otros dos ceros, se resuelve la ecuación cuadrática
x 2  x  2 entonces a  1, b  1, c  2
x
x
 (1)  (1) 2  4(1)(2)
2(1)
x
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 b  b 2  4ac
2a
1 1 8 1  7 1 i 7


2
2
2
4

5. Ing. Héctor Manuel de León Filguerez
Algebra Lineal

Por lo tanto el conjunto solución es C  3,

1
7

i
2 2
y
1
7 

i
2 2 
Ejemplo 1.32: Dado que – 1 y 2i son raíces de la ecuación x 4  x3  3x 2  (3  2i) x  2i  0 , hallar las
otras dos raíces.
 1
1 3 3  2i 2i
 1 0  3  2i
1 0 3
2i
0
1
2i
1
0 3
2i
2i  4  2i
1 2i  1 0
Por lo tanto x 4  x3  3x 2  (3  2i) x  2i  ( x  1)( x  2i)( x2  2ix  1)
Y con ( x 2  2ix  1)  0 se obtienen las otras dos raíces.
x
 b  b 2  4ac
2a
x
 (2i )  (2i ) 2  4(1)(1)
2(1)
x
 2i   4  4  2i  0  2i


 i
2
2
2
Por lo tanto el conjunto solución es C   1, 2i,  i,  i
Ejercicio 11: Resolver las siguientes ecuaciones.
1.
Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
a)
b)
2.
c) 7ix 2  5x  2i  0
d) x3  1
Hallar una ecuación con coeficientes reales para la cual el número o números complejos dados
son raíces.
a)
3.
2i 3
b) 1,
1 1
 i
4 3
Demostrar mediante división sintética que la primera expresión es un factor de P(x).
a)
b)
4.
x2  9  0
x2  2x  6  0
x  4i; P( x)  x 4  x3  15x 2  16 x  16
4 x  1  i; P( x)  8x3  12 x 2  7 x  2
Hallar los ceros de las siguientes funciones polinómicas.
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5

6. Ing. Héctor Manuel de León Filguerez
Algebra Lineal
a) P( x)  x3  2 x 2  2 x  3
b) P( x)  x 4  2 x 3  8x 2  19 x  6
5.
Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.
a) Dado que -3i es una raíz de x3  4ix 2  x  6i  0 , halle las otras dos raíces.
b) Dado que 2i y 3i son raíces de x4  3ix 3  3x2  7ix  6  0 , halle las otras dos raíces.
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