documento

1. Limite y Continuidad de
Funciones
1Demetrio Ccesa Rayme

2. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Se define dominio de una función como el conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente (x), para que la función esté definida.
DOMINIO DE FUNCIONES POLINÓMICAS: ( axn + bxn – 1 + …….. + cx + d)
El dominio de una función polinómicas son todos los números
reales: )(xDomf
DOMINIO DE FUNCIONES RACIONALES:
)(
)(
)(
xg
xf
xh 
Donde f(x) y g(x) son funciones polinómicas
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos
valores de la variable independiente que hacen que el denominador se anule:
 0)(/)(  xgxxDomh
2

3. DOMINIO DE FUNCIONES IRRACIONALES: )()( xfxh 
El dominio de una función irracional son todos los números reales excepto
aquellos valores de la variable independiente que hacen que el radicando sea
negativo:
 0)(/)(  xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS: f(x)logh(x) a
El dominio de una función logarítmica son todos los números reales excepto
aquellos valores de la variable independiente que hacen que el argumento del
logaritmo sea menor o igual que 0:
 0)(/)(  xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE > 0: )(xf
ah(x)
El dominio de una función exponencial de base > 0, coincide con el domino de
la función que se encuentra en el exponente.
)()( xDomfxDomh 
3

4. Determine el dominio de:
b) 1)( 2
 xxf
c) 4
1
)( 2


x
xf
d) 5
1
)(


x
xf
a) 1)(  xxf
Ejercicios:
4

5. Alguna vez ha estado Usted en un
estacionamiento en el que puede
“aproximarse” al automóvil de enfrente,
pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta
noción de estar cada vez más cerca de
algo, pero sin tocarlo, es muy importante
en matemáticas y en la cual está
involucrada el concepto de Límite, en el
que descansa el fundamento del cálculo.
Noción de Límite
5

6. Cuando una variable “se aproxima” a
un valor particular, examinaremos el
efecto que tiene sobre los valores de
la función.
Noción de Límite
6

7. Acercamientos Laterales
Por izquierda Por derecha
7

8. Gráfica de un acercamiento por derecha
Matemáticamente: x  3+
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio
de valores mayores que el 3, se dice
que x se aproxima a 3 por la derecha
3
5
x
8

9. Matemáticamente: x  3-
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio de
valores menores que el 3, se dice que x se
aproxima a 3 por la izquierda
3
5
x
Gráfica de un acercamiento por la izquierda
9

10. Si realizamos ambas aproximaciones al
mismo tiempo, obtenemos:
3
5
x x
10

11. 5)(
3


xfLím
x
Observando los slides anteriores, se puede
decir que si x tiende a 3 por la izquierda, la
función tiende al valor de 5.
11

12. 5)(
3


xfLím
x
Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha,
la función tiende al valor de 5.
12

13. Nótese que para que el límite exista,
cuando la variable tiende a un número “a”
(en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la
izquierda como por la derecha, la función
tiende a adoptar un único valor “L” (en
nuestro ejemplo L = 5)
Condición para la existencia del límite
13

14. ¡ Importante !
No es lo mismo decir “ x es igual a tres” ,
que decir “ x tiende a tres ”
14

15. ¿qué ocurre con el valor de f(x)
cuando x  3 en esta grafica?
3
5
7
x x
15

16. Condición para la existencia del límite
Nótese que cuando x tiende a 3 por la
izquierda, la función tiende al valor de 5.
Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la
función tiende al valor de 7
En este caso se dice que el límite de f(x)
cuando x tiende a 3, no existe
16

17. Graficar:
2;
2
4
)(
2



 x
x
x
xf
17

18. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12
f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12
2;
2
4
)(
2



 x
x
x
xf
18

19. En ambos casos la información apunta a la
misma conclusión: los valores de f(x) se
aproxima a 4 cuando los valores de x se
aproximan a 2. Este comportamiento se denota
por:
4
2
42
2










 x
x
Limx
2x
4x
)x(f
2


Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”
19

20. Definición
Una función f tiene límite L cuando x tiende a
“a” por cualquier lado (derecha o izquierda);
y se escribe:
LxfLim
ax


)(
Si todos los valores f(x) para f se encuentran
cerca de L para todos los valores que se
encuentran arbitrariamente cerca, pero que no
son iguales a “a”.
20

21. Conclusión
LxfLím
ax


)( si y solo si :
LxfLímxfLím
axax
 

)()(
Nótese que para que el límite de una
función (en un valor de a) exista, no es
necesario que la función esté definida en
este valor de a.
21

22. Si para cada , existe un correspondiente ,
tal que
Dada una función f(x) definida en un entorno de
Excepto posiblemente en
Decimos que el límite de la función cuando x tiende a
Definición formal de limite
22

23. Interpretación geométrica:
L + ε
a - δ
L
ε
ε
a - δ
a
δ δ
L - ε
23

24. Ejemplo:
1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que
a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ
entonces | f (x) – 5 | < 0.01
b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si
0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Solución:
5)(lím
3


xf
x
f (x) =4 x - 7
5.01
4.99
5
3
x1 x2 24

25. Solución a)
4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01
Como 3 – 2.9975 = 0.0025
Y 3.0025 – 3 = 0.0025
Se elige δ = 0.0025, de tal forma que
0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.
25

26. Solución b)
Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01
Entonces:
0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuación:
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
| 4x – 7 - 5 | < 0.01
| 4x – 12 | < 0.01
| 4 (x – 3 ) | < 0.01
| 4 | | x – 3 | < 0.01
4 | x – 3 | < 0.01
𝟎 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹 ↔ 𝒇(𝒙) − 𝑳 < 𝜺
𝑥 − 3 <
0.01
4
26

27. ¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es
V = p62h = 36ph
¿Con qué precisión se debe medir h para
medir 1 L(1000 cm3) con un error no
mayor de 1% (10 cm3)?
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36ph – 1000 |  10
| 36ph – 1000 |  10
–10  36ph – 1000  10
990  36ph  1010
990 /36p  h  1010 /36p
8.8  h  8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
h
r = 6 cm
Ejemplo:
27

28. Reglas para calcular Límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son
números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n
28

29. Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el
límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
29

30. Regla: Para resolver este tipo de indeterminación
0
0
𝑦
∞
∞
, se debe Factorizar tanto
el numerador como denominador y simplificar luego remplazar el limites.
Límites indeterminados
   
  
 
 
0
2
2
lim
22
2
lim
4
2
lim
2
2
22
2
2









 x
x
xx
x
x
x
xxx
     4
1
2
1
lim
22
2
lim
4
2
lim
2222








 xxx
x
x
x
xxx
  






 
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
  






 
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
  
existeno
xx
x
x
x
xx






 22
3
lim
4
3
lim
222
 
 
   









  22323
2 2
1
lim
2
2
lim
2
2
lim
xx
x
x
x
xxx 30

31. Estudio del
x0
lim
sen x
x . Se pone la calculadora en modo Rad para construir las siguientes tablas.
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,0000001
sen x
x
0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
x - 0’1 - 0’01 - 0’001 - 0’0001 - 0’00001 - 0’0000001
sen x
x
0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
Los resultados sugieren que
x0+
lim
sen x
x
=1
Los resultados sugieren que
x0-
lim
sen x
x
=1
En consecuencia:
x0
lim
sen x
x
=1
Límites de funciones trigonométricas
31

32. El
x0
lim
sen x
x geométricamente
- 10 -5 5 10
- 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• La función no está
definida en 0.
• Pero está definida en
las proximidades del
punto 0
32

33. El Límite fundamental trigonométrico
1
sen
lim
0




0
1cos
lim
0




θ>0 en radianes
33

34. Problema
 
0
sen 3
lim
6x
x
x
Solución
   
sen 3 sen 31
Re-escribimos
6 2 3
x x
x x
 




0
sen
Usamos que lim 1.
   
2
1
3
3
2
1
6
3
queconcluye,1
3
3
limlimlim 000

 x
xsen
x
xsen
se
x
xsen
Como
xxx
34

35. Ejercicios:
 
x
xsen
x 2
4
lim0
xsen
x
x
2
2
0 6
3
lim
 
 xsen
xsen
x 3
2
lim0
 
x
x
x
5cos1
lim0


1.
2.
3.
4.
5.
Calcule los siguientes límites:
 
x
xtg
x 2lim0
35

36. tiempo
(años)
                  










clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim 

tf
t
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
36
El Límite cuando tiende al infinito
36

37. Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número
L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )
x
f x L


De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )
x
f x M


37

38. y = f (x)
y
y = L
y = M M
L
lim ( )
x
f x L


lim ( )
x
f x M


x
Por ejemplo….
38

39. Sabemos que para n > 0, ,
¿cuál es el valor de los siguientes límites?


n
x
xlim


n
x x
1
lim


n
x x
1
lim
Interrogante . . . . .
39

40. 1
1 1 0
1
1 1 0
( )
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a
f x
b x b x b x b




   

   
1
1 1 0
1
1 1 0
lim ( ) lim
n n
n n
m
m mx x
m m
m
a x a x a x a
xf x
b x b x b x b
x


 

    
 
  
    
  
Divida el numerador y denominador entre el x
elevado al mayor grado del denominador y calcule el
límite de la nueva expresión:
Resolución:
Límite al infinito para funciones racionales
40 40

41. Ejercicios:
32
54
2
2
lim 

 x
x
x
x
xx
x 21
34
lim



x
xx
x 21
34
lim



3
7
2lim 

 x
x
x
1.
2.
3.
4.
Calcule los siguientes límites al infinito:
41

42. Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple:
1. Existe f(a)
Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función
es discontinua en x = a
lim
xa f (x) lim
xa
f (x)   lim
xa
f (x)2. Existe
lim
xa
f (x)3. Se cumple que f(a) =
Continuidad de una función
42

43. Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
lim
x2
x21
x2
 5
0

f (x) x21
x2
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2
será una punto de discontinuidad.
Evidentemente no existe f(2)
No se puede
dividir por 0
lim
x2
x21
x2
 5
0 
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
43

44. Veamos la gráfica de la función: f (x) x21
x2
Cuando me acerco a 2-
la función va hacia -∞
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Aquí tendremos
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
44

45. Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:
f (x)
5 x2
x26x10 2x5
4x15 x5









Aquí tenemos una recta horizontal,
paralela al eje de abcisas X.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una parábola.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta. Siempre
es continua en su intervalo de
definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y
x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la
continuidad
45

46. Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
46

47. Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
f (x) x23x2
x1
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2. lim
x1
x23x2
x1

0
0
 lim
x1
x1  x2 
x1
 lim
x1
x2  1
lim
x1
x23x2
x1

0
0
 lim
x1
x1  x2 
x1
 lim
x1
x2  1
 lim
x1
f(x)  f(1) que no existe
47

48. Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
48

49. Ejercicios:









21
211
136
)( 2
xx
xx
xx
xf 










29
2123
134
)(
2
2


xx
xx
xxx
xf
1.
2.
Demuestre si es continua o discontinua las
siguientes funciones
49

50. ASÍNTOTAS
50- 79

51. Definición de una Asíntota
 Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a
infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función.
 No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas
51

52. Tipos de Asíntotas
x = c
y
x
Asíntotas Verticales
x = c
y
x
52

53. y = L
y = f(x)
y
x
y = L
y = f(x)
y
x
Asíntotas Horizontales
Tipos de asíntotas
53

54. Asíntotas Oblicuas
y
x
y = ax + b
Tipos de asíntotas
54

55. 

)(lim xf
cx


)(lim xf
cx


)(lim xf
cx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:


 2
1
lim
2 xx


 2
1
lim
2 xx
2
1
)(


x
xf
La recta x = 2 es una asíntota vertical
Asíntotas Verticales
55

56. Asíntotas Horizontales
Lxf
x


)(lim Lxf
x


)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2
)(


x
x
xf
2
1
2
lim 
 x
x
x
2
1
2
lim 
 x
x
x
La recta y = 2 es una asíntota horizontal
56

57. a
x
xf
x


)(
lim
a
x
xf
x


)(
lim
baxxf
x


))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxf
x


))((lim
Ejemplo:
1
2
)(
2


x
x
xf
2
2
lim
)(
lim 2
2



 xx
x
x
xf
xx
2)2
1
2
(lim))((lim
2




x
x
x
axxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua
Asíntotas oblicuas
57

58. Asíntotas de Funciones Racionales
 Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de
la función simplificada es igual a 0.
 Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del
numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
58

59. Asíntota vertical
x = -1
Ejemplo 1: Calcular las Asíntotas Verticales
 
x
x
xf
22
52


Dada la función
Calculamos los valores de x que
hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0  x = -1
La recta x = -1 es la única
asíntota vertical de la función.
59

60. Primero simplicamos la función.
 
9
12102
2
2



x
xx
xf
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el
denominator (después de simplificar)
es igual a 0.
x – 3 = 0  x = 3
La recta vertical x = 3 es la única
asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las Asíntotas Verticales
Asíntota vertical
x = 3
  
  33
423
9
12102
2
2





xx
xx
x
xx
3
42



x
x
60

61.  
6
5
2



xx
x
xg
  32
5
6
5
2





xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0  x = -2
o
x - 3 = 0  x = 3
Esta función tiene dos asíntotas
verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las Asíntotas Verticales
Asíntota vertical
x = - 2
Asíntota vertical
x = 3
61

62. Asíntotas Horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes
condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
 El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En
este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
 El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este
caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la
función no tiene asíntota horizontal.
62

63. Ejemplo 4: Calcular las Asíntotas Horizontales
0
27
53
lim 3
2



 x
xx
x
 
27
53
3
2



x
xx
xf
0
27
53
lim 3
2



 x
xx
x
Tiene una asíntota horizontal en la recta
y = 0 porque el grado del numerador (2)
es menor que el grado del denominador
(3).
La recta horizontal y = 0 es la
asíntota horizontal.
Asíntota horizontal
y = 0
63

64. Ejemplo 5: Calcular las Asíntotas Horizontales
5
6
975
536
lim 2
2



 xx
xx
x
 
975
536
2
2



xx
xx
xg
El grado del numerador (2) es igual al
grado del denominador (2), luego la recta
y = 6/5 es una asíntota horizontal.
La recta y = 6/5 es la
asíntota horizontal.
Asíntota horizontal
y = 6/5
64

65. Ejemplo 6: Calcular las Asíntotas Horizontales
 
1
952
2
3



x
xx
xf
No tiene asíntotas horizontales
porque el grado del numerador
es mayor que el grado del
denominador.
65

66. Asíntotas Oblicuas
• Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado
del numerador es exactamente una unidad mayor
que el grado del denominador.
66

67. Ejemplo 7: Calcular las Asíntotas Oblicuas
 
1
952
2
23



xx
xxx
xf
Tiene una asíntota oblicua porque el
grado del numerador (3) es uno más
que el grado del denominador (2).
1
952
lim
)(
lim 23
23




 xxx
xxx
x
xf
xx
3
1
943
lim))((lim 2
2




 xx
xx
xxf
xx
La recta y = x + 3 es
asíntota oblicua
Asíntota oblicua
y = x + 3
67

68. Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las
funciones:
 
2
2
2 15
7 10
x x
f x
x x
 

 
Vertical: x = -2
Horizontal : y = 1
Oblicua: no tiene
 
2
2 5 7
3
x x
g x
x
 


Vertical: x = 3
Horizontal : no tiene
Oblicua: y = 2x +11
Ejercicios:
68