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Libro de texto de 2º de Bachillerato de la asignatura de Matemáticas II

Educación
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Colegio Vizcaya Matemáticas II UNIDAD DIDÁCTICA 1 MATRICES 2º BACHILLER
Colegio Vizcaya Matemáticas II 2 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Reconocer informaciones que se puedan representar mediante matrices. 2. Operar con matrices. 3. Reconocer características especiales de las operaciones con matrices, atendiendo a sus propiedades. 4. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales. 5. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales. CONCEPTOS 1. Definición de matriz. Tipos de matrices. 2. Operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, producto de matrices y potencias (método de inducción). Propiedades. 3. Matriz inversa: definición y cálculo directo. 4. Ecuaciones y sistemas matriciales.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 3 MATRICES 1. DEFINICIÓN Se llama matriz a todo conjunto de nos reales ordenados en una tabla de m filas y n columnas expresada entre paréntesis. Se representa por una letra mayúscula A, B… o como (aij), (bij)… Ejemplos: A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 413 102 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 214 213 100 En general, cualquier matriz es de la forma: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mn3m2m1m n2232221 n1131211 a...aaa ............... a...aaa a...aaa • Cada aij indica el elemento correspondiente a la fila i y la columna j. (El primer subíndice indica fila y el segundo columna) • Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es de orden o dimensión mxn. Consta de m·n elementos. • Dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y coinciden término a término. A = (aij) A = B ⇔ aij = bij B = (bij) 2. TIPOS DE MATRICES 2.1 Matriz Fila: Consta de una sola fila, es decir, es de orden 1xn. Ejemplo: A = ( )101 − Ejemplos: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 15 01 31 es una matriz de orden 3x2 y contiene 6 elementos. B = ( )31 − es de orden 1x2
Colegio Vizcaya Matemáticas II 4 2.2 Matriz Columna: Consta de una sola columna, es decir es de orden mx1. Ejemplo: B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 2.3 Matriz Cuadrada: Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo nº de filas que de columnas, esto es, es de orden nxn aunque se expresa únicamente n. En caso contrario se llama rectangular. Ejemplo: C = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 41 matriz de orden 2 En las matrices cuadradas se llama diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, …, ann . La otra diagonal se llama diagonal secundaria y está formada por los aij tales que i+j = n+1. A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Diagonal Secundaria Diagonal Principal 2.4 Matriz Traspuesta de A: Dada una matriz A, se define su matriz traspuesta y se escribe At , como aquella que se obtiene cambiando en A filas por columnas. Ejemplo: A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 502 131 A t = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 51 03 21 Se observa que si A es de orden mxn, At será de orden nxm. 2.5 Matriz simétrica: Toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir: A = At o bien aij = aji ij∀ Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 135 321 513 Comprueba que coincide con su traspuesta y observa que se produce una simetría respecto a la diagonal principal.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 5 2.6 Matriz Hemisimétrica o Antisimétrica: Toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta: A = -At Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 035 301 510 2.7 Matriz Nula: Todos sus elementos son iguales a 0. Existe una para cada orden. Se representa O mxn Ejemplo: O 3x2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 000 000 O2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 00 00 2.8 Matriz Diagonal: Toda matriz cuadrada en la que los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son 0, es decir aij = 0 ji ≠∀ Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 300 000 002 2.9 Matriz Unidad/ Identidad: Toda matriz diagonal donde los elementos de la diagonal son iguales a 1. Se representa I o In Ejemplo: I 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 01 I3 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 001 2.10 Matriz Triangular Superior: Toda matriz cuadrada en la que los elementos situados por debajo de la diagonal principal son iguales a 0. Ejemplo: B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 200 110 031 2.11 Matriz Triangular Inferior: Toda matriz cuadrada en la que los elementos situados por encima de la diagonal principal son iguales a 0. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 745 031 001
Colegio Vizcaya Matemáticas II 6 3. OPERACIONES CON MATRICES 3.1 SUMA Y RESTA Definición: Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden mxn, se define su suma como otra matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen sumando los respectivos elementos de A y B que se encuentran en el mismo lugar, es decir (aij) + (bij) = ( aij + bij) Ejemplo: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 501 312 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 061 734 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 560 446 Propiedades 1. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 2. Conmutativa: A + B = B + A 3. Elemento Neutro: La matriz nula O del mismo orden (A+O = O+A = A) 4. Elemento Opuesto de A: Toda matriz A = (aij) tiene una matriz opuesta -A = (-aij) ya que: (aij) + (-aij) = O Por cumplir estas cuatro propiedades, se dice que el conjunto de matrices de orden mxn, es un Grupo Abeliano respecto a la suma. Definición de RESTA: Suma con la matriz opuesta A – B = A + (-B) 3.2 PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Definición: Dada una matriz A=(aij) de orden mxn y un nº real p, se define el producto p · A como otra matriz de orden mxn cuyos elementos se obtienen multiplicando cada elemento de A por p, es decir, p · A = p (aij) = (p · aij) Ejemplo: 3 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 35 02 11 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 915 06 33 Propiedades 1. Distributiva respecto a la suma de matrices p (A + B) = p · A + p · B 2. Distributiva con respecto a la suma de escalares
Colegio Vizcaya Matemáticas II 7 (k + p) · A = k · A + p · A 3. Asociativa mixta (k · p) · A = k (p · A) 4. 1 · A = A (1 es el elemento neutro del producto de nos reales) siendo p,k números reales cualesquiera y A,B matrices de orden mxn. Por cumplirse estas 4 propiedades respecto al producto de una matriz por un escalar, y por ser un grupo abeliano respecto a la suma, se dice que el conjunto de matrices de orden mxn es un Espacio Vectorial. Actividades 1. Escribe, si es posible: a) La matriz unidad de orden 5 b) Una matriz diagonal de orden 3 c) La matriz nula de orden 3x2 d) Una matriz simétrica de orden 2x4 2. Hallar x e y para que: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 021 1x3 + 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4x5 312 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 8y11 737 3.3 PRODUCTO DE MATRICES Veamos primero algunos ejemplos: a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 43 12 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 75 01 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ −+−+ 7·40·35·41·3 7)·1(0·25)·1(1·2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− 2823 73 b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 104 312 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 78 26 53 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+++− +−−++−+− 7·1)2·(05·48·16·0)3·(4 7·3)2)·(1(5·28·36)·1()3·(2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 274 3312 c) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 104 312 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 75 01 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+ ·?35)·1(1·2 No es posible Se observa que cada fila de la matriz resultante se obtiene multiplicando escalarmente dicha fila de la primera matriz, por cada columna de la segunda. También se observa que para que dicho producto escalar sea posible, es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual que el número de filas de la segunda. Además, la matriz producto tendrá tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda. Por tanto:
Colegio Vizcaya Matemáticas II 8 Definición: Dos matrices A de orden mxn y B de orden sxt son multiplicables, si el nº de columnas de A coincide con el nº de filas de B, es decir, n = s. Definición: Dadas dos matrices A = (aij) de orden mxn y B = (bij) de orden nxp, se define el producto de A y B como otra matriz C = (cij) de orden mxp, donde cada elemento cij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B. Es decir: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mn2m1m in2i1i n11211 a...aa ............ a...aa ............ a...aa · ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ npnj1n p2j221 p1j111 b...b...b ............... b...b...b b...b...b = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mp1m ij p111 c...c ...c... c...c donde cij = a njinj22ij11i b·a...b·ab· +++ Actividades 3. Dadas las matrices A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 103 112 011 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 011 113 210 calcula: a) A+B b) A+2B c) A·B d) A2 e) A2 - B2 f) B·A g) A·B·A h) (A+B)·(A-B) 4. Encuentra el valor de x e y para que se verifique cada igualdad: a) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 011 302 113 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 22y 111 1x2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 001 481 628 b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − tz yx · 11 23 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 11 01 5. Calcula A·B y B·A siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 22 10 31 y B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 310 112 Propiedades 1. Asociativa (A · B) · C = A · (B · C) 2. Distributiva respecto a la suma A · (B + C) = A · B + A · C
Colegio Vizcaya Matemáticas II 9 (A + B) · C = A · C + B · C Se deduce que sólo se puede sacar factor común una matriz en una suma, si dicha matriz multiplica en todos los sumandos por el mismo lado (derecha o izquierda) ya que: 3. NO se cumple la conmutativa De hecho, es posible que no exista A·B o B·A según la dimensión de cada matriz. Por ello, es importante mantener el orden en el que aparezcan las matrices que se van a multiplicar. Si A es de orden mxn A·B es de orden mxp ⇒ B·A no existe B es de orden nxp Se hace necesario entonces hablar de multiplicación por la izquierda o por la derecha. Como consecuencia de esto, no se cumplen las igualdades notables: (A ± B)2 ≠ A2 ± 2 AB + B2 (A + B) · (A –B) ≠ A2 – B2 porque (A+B)2 = (A+B)·(A+B) = A 22 BA·BB·A +++ , como A·B es distinto de B·A, no se puede sustituir por 2A·B. 4. Si A · B = A · C ⇒ B = C Busca un ejemplo que lo confirme 5. Si A · B = O ⇒ A = O ó B = O Ejemplo: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 00 00 11 1-1- · 11 11 3.4 POTENCIA DE UNA MATRIZ Definición: Se define la potencia n-ésima de A, matriz cuadrada, como: An = 43421 vecesn A·...·A·A Es evidente que si A es rectangular no se podrá multiplicar por sí misma.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 10 Para calcular An dada la matriz A, nos serviremos del método de inducción. Ejemplo: Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 , hallar An . El método de inducción requiere tres pasos: 1) Calculamos las primeras 3 ó 4 potencias: A2 , A3 , A 4 … A2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 141 A 3 = A2 · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 141 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 211 A 4 = A 3 · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 211 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 281 2) Suponemos, aplicando la misma regla, que An = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 n71 3) Demostramos que la siguiente potencia A 1n+ sigue también la misma regla en cuyo caso, como n representa cualquier potencia, demostraríamos que si una potencia sigue ese patrón, la siguiente también, por lo que sería un patrón válido para todo valor de n. Es decir, se debería cumplir: A 1n+ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 10 )1n(71 vamos a comprobarlo: A 1n+ = An · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 n71 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 10 n771 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 10 )1n(71 c.q.d. Actividad 6. Calcula la potencia n-ésima de las matrices: a) A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 b) B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 102 010 001
Colegio Vizcaya Matemáticas II 11 4. MATRIZ INVERSA Definición: Se define matriz inversa de A cuadrada y de orden n, y se escribe A-1 , como la matriz de orden n que cumple: A · A-1 = A-1 · A = I No todas las matrices cuadradas tiene inversa. Descubriremos la causa en la siguiente unidad sobre determinantes. Ejemplo: Calculo Directo: Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 12 11 , hallar A-1 Llamamos A 1− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ tz yx . Se debe cumplir: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 12 11 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ tz yx = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 01 ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ −− ty2zx2 tyzx = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 01 ⇒ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =− =+ =− 1ty2 0ty 0zx2 1zx Luego la matriz inversa es: A 1− = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 1 3 2 3 1 3 1 En la siguiente unidad estudiaremos otra manera más ventajosa de calcular la matriz inversa, pues si la matriz es de orden 3 o superior, habría que manejar un número elevado de incógnitas (9, 16 …) Actividad 7. Calcula la matriz inversa de B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 62 31 3x = 1 ⇒ x = 3 1 , z = - 3 2 3y = 1 ⇒ y = 3 1 , t = 3 1
Colegio Vizcaya Matemáticas II 12 5. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son aquellos en los que las incógnitas son matrices. Ejemplos: 1) Hallar la matriz X tal que A·X = B dadas A y B 2) Hallar las matrices A y B tales que: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− =− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+ 531 001 B2A2 210 113 BA Se procede de la misma forma que con ecuaciones lineales teniendo en cuenta la no conmutatividad. Ejemplo: 1) A·X = B si utilizamos la matriz inversa y la multiplicamos en ambos miembros: A 1− ·A·X = A 1− ·B ⇒ I·X = A 1− ·B ⇒ X = A 1− ·B (Es importante multiplicar A 1− en ambos miembros por la izquierda o en ambos por la derecha para que la ecuación no varíe dada la no conmutatividad) 2) X·A = B ⇒ X·A· A 1− = B· A 1− ⇒ X·I = B· A 1− ⇒ X = B· A 1− Comprueba que siempre se verifica: A · I = I · A = A (es decir, la matriz unidad actúa de elemento neutro del producto) Actividad 8. Resuelve el sistema matricial: 2X – 3Y = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 411 15 X + Y = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 1 2 1 2 1 3 1
Colegio Vizcaya Matemáticas II 13 MATRICES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Escribe una matriz de orden 3 que cumpla: aij = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < jisi1- jisi3 2. Resolver el sistema matricial: 5X – Y = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 302 211 4X – 5Y = - ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 412 310 3. Realiza las siguientes operaciones: a) 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 15 00 13 - 6 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 24 12 01 7 14 13 21 = b) 2 11 02 3 1 10 13 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − c) - 2 05 21 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 12 30 11 010 213 4. Realiza todas las multiplicaciones posibles entre las matrices: A = ( )231 − B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 0 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 145 210 213 5. Dadas las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 31 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 50 31 12 comprobar que (B·A) t = A ·t B t 6. Calcula el valor de m y n para que se cumpla la igualdad: A2 - m·A – n·I = O siendo A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 17 52 , I la matriz identidad de orden 2 y m,n ∈R. (Observa que O no puede ser el número 0 pues la igualdad no podría cumplirse. Lógicamente es la matriz nula de orden 2)
Colegio Vizcaya Matemáticas II 14 7. Hallar A2 - B2 siendo A + B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 21 12 y A – B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 01 10 8. Hallar, en cada caso, la matriz X que verifique: a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − 11 12 + 3X = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 12 21 2 1 b) X · ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 26 0 2 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 3 3 1 c) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 32 11 · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 4944 2411 9. Dadas las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 412 321 y B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 505 1371 , hallar la matriz C tal que B = C · A. 10. Demostrar que las matrices de la forma ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ab ba y ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ cd dc conmutan para cualquier valor de a,b,c,d ∈ R. 11. Halla el conjunto de matrices que conmutan con: a) A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 32 11 b) B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 11 c) C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 110 010 001 12. Calcula la potencia n-ésima de las matrices: a) C = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 01 10 b) D = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ a0 1a c) E = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 111 111 111 d) F = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 101 e) G = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 000 100 010 13. Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 01 21 , ¿es posible hallar una matriz B tal que A · B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 5 ? , ¿y una matriz C tal que C · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 5 ? Razónalo. 14. Dada la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− 431 541 430
Colegio Vizcaya Matemáticas II 15 a) Demuestra que verifica la igualdad A3 + I = O, siendo I la matriz unidad y O la matriz nula. b) Calcula razonadamente A10 . 15. Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 25 13 , halla la matriz B tal que B = 3A t ·A – 2I y resuelve la ecuación A·X = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 02 . 16. Hallar el valor de k para que la matriz (A-kI)2 sea la matriz nula, siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− 311 201 210 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 17. (JUNIO 2008) Sean A y M las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 31 23 M = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ qp nm . Encontrar las condiciones que deben cumplir m, n, p y q para que se verifique que el producto de ambas matrices efectuado en las dos formas posibles, sea el mismo. 18. (JULIO 2007) Sean A, I y B las matrices dadas por A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 001 011 110 I = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 001 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− 514 123 436 Contestar razonadamente la siguiente pregunta: ¿existe algún valor de λ ∈R tal que la igualdad (A - λ I) 2 = B sea cierta? En caso afirmativo, encontrar dicho valor de λ . 19. (JUNIO 2003) Sea A la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 13 01 y sea n un nº natural cualquiera. Encontrar el valor de An para cada n y hallar A350 - A 250 . 20. (JULIO 2004) Encontrar todas las matrices cuadradas de orden 2 que conmutan respecto al producto con la matriz A dada por A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 21 .
Colegio Vizcaya Matemáticas II 16 21. (JULIO 2002) Dos alumnos de 2º curso discuten sobre el valor de la potencia n-ésima de la matriz A dada por A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 31 . Uno afirma que para cada n natural se verifica que An = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − n n 20 )12(31 y el otro dice que la verdadera fórmula de An es An = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n 20 31 . ¿Alguno de ellos está en lo cierto? Razonar la contestación. 22. (JUNIO 2002) Encontrar las matrices A y B sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones matriciales: 2A+3B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1338 61118 748 -A+5B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1359 10117 1629 23. (SEPTIEMBRE 98/99) Sean A y B las matrices dadas por: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 052 025 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 0cc 0ba encontrar las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, b y c para que se verifique A·B = B·A 24. (JUNIO 98/99) Calcular la matriz A sabiendo que se verifica la igualdad: A · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 300 320 321 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 y explicar el método seguido. 25. (SEPTIEMBRE 98) Sea la matriz A = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 00 030 001 . Calcular la forma general de la matriz An donde n es un número natural cualquiera.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 17 CUESTIONES 26. Siendo A y B dos matrices de orden 3 tales que: A= (aij ) = (i-j) y B= (bij )= [ ]1jji 2)1( ++ +− calcula las matrices A+B, 2A-3B y A·B. 27. Si A es una matriz de orden 3 prueba que A+A t es una matriz simétrica. ¿Se puede generalizar a orden n? 28. Sean A,B y C tres matrices cuadradas de orden n. ¿Son ciertas las igualdades siguientes? Razónalo. a) (A+B)2 = A2 +2AB+B2 b) AB+CA = (B+C)A c) AB+ABC = AB(I+C) d) AB+CA = A(B+C) 29. Si A es una matriz tal que A2 = A (idempotente) y B = 2A-I, demuestra que B2 = I. 30. Si A·B = A·C, ¿se puede asegurar que B=C? Si A·B = O, ¿se puede asegurar que A=O ó B=O? Razónalo en caso afirmativo y, en caso negativo, escribe un contraejemplo. 31. Demuestra que si A·B =A y B·A = B siendo A y B matrices cuadradas de orden n, entonces A2 =A. 32. Justifica por qué no es cierta la igualdad (A+B)·(A-B) = A2 - B 2 33. Indica por qué no pueden efectuarse las siguientes operaciones: a) ( ) ( )258712 3 1 1 +⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − b) 2 560 041 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 402 311
Colegio Vizcaya Matemáticas II 18 c) 1 00 21 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 11 53 34. Si la matriz A tiene orden nxm y la matriz B, mxn, indica si pueden realizarse las siguientes operaciones y, en caso afirmativo, di el orden de la matriz resultante: a) A·B b) B·A c) 3·A d) A·B+In e) A+B f) A2 35. Razona si es verdadero o falso: a) Toda matriz diagonal es simétrica b) La matriz nula de orden 2x4 es simétrica c) La matriz unidad es triangular superior d) Toda matriz triangular superior e inferior es diagonal e) Toda matriz nula es diagonal 36. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, razona cuáles de las siguientes propiedades son ciertas: a) A·B = B·A b) (A+B)+C = A+(B+C) c) (A·B) t = A t ·B t d) A3 = A ·2 A = A·A2 e) (A+B) t = A t +B t f) p·(q·A) = (p·q)·A g) (A+B) 2 = A2 +2AB+B2 h) B·A+C·B = B·(A+C) 37. Dada una matriz A: a) ¿Existe una matriz B tal que A·B sea una matriz fila? En caso afirmativo, ¿qué orden tendrá B si A es una matriz mxn? b) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una matriz fila? En caso afirmativo, ¿qué orden tendrá B si A es una matriz mxn? Pon un ejemplo en cada caso siendo A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 031 211 38. Definimos la traza de una matriz cuadrada A de orden 2 como: tr(A) = a11 +a 22 . Prueba que si A y B son dos matrices cuadradas de orden 2, entonces se cumple: tr(A·B) = tr(B·A)
Colegio Vizcaya Matemáticas II 19 UNIDAD 2 DETERMINANTES 2º BACHILLER
Colegio Vizcaya Matemáticas II 20 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer el concepto de determinante de una matriz cuadrada. 2. Conocer y aplicar las propiedades de los determinantes. 3. Calcular el valor de un determinante de cualquier orden empleando la regla de Sarrus y el desarrollo por los elementos de una línea. 4. Utilizar los determinantes para asegurar la existencia de la inversa de una matriz y para calcular dicha inversa. 5. Hallar el rango de una matriz por medio de sus menores. CONCEPTOS 1. Determinantes de orden 2 y 3: concepto y cálculo. 2. Propiedades de los determinantes. 3. Menores complementarios y matriz adjunta. 4. Cálculo del valor de un determinantede cualquier orden por el desarrollo de una línea. 5. Determinación de la matriz inversa. 6. Rango de una matriz.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 21 1. INTRODUCCIÓN Para llegar a la definición de determinante de una matriz son necesarios algunos conocimientos previos. Definición 1 Se llaman permutaciones de n elementos (nos naturales) a las distintas maneras en que pueden ordenarse. De entre ellas, se llama permutación principal a la que respeta el orden natural creciente de sus elementos. Ejemplo: 3,1,2,4 1,4,3,2 2,1,4,3 … son permutaciones de 4 elementos. 1,2,3,4 es la permutación principal. Con 2 elementos hay 2 permutaciones: 1,2 y 2,1. Con 3 elementos hay 6 permutaciones: 1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1 Con 4 elementos hay _______ permutaciones. Escríbelas. Determina, en general, el número de permutaciones para n elementos. Definición 2 Se dice que 2 elementos de una permutación cualquiera de n elementos presentan una inversión, si están en orden contrario al de la permutación principal, y se dice que presentan permanencia si están en el mismo orden. Ejemplo: 2 1 4 5 3 Permanencia inversión Para contar todas las inversiones de una permutación, se compara cada elemento con todos los que le siguen. Ejemplo: 2 4 1 3 Inv. Inv. Inv. Esta permutación tiene 3 inversiones en total.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 22 Definición 3 Se dice que una permutación es de clase par si tiene un nº par de inversiones y de clase impar si tiene un nº impar de inversiones. Indica la clase de las siguientes permutaciones: 2 5 3 1 4 2 4 3 1 5 De las n! permutaciones de 1, 2, …, n, la mitad ( 2 n! ) son de clase par y la otra mitad son de clase impar. Ejemplo: Veámoslo con las permutaciones de tres elementos: 1 2 3 — 0 inversiones — PAR 1 3 2 — 1 inversiones — IMPAR 2 1 3 — 1 inversiones — IMPAR 2 3 1 — 2 inversiones — PAR 3 1 2 — 2 inversiones — PAR 3 2 1 — 3 inversiones — IMPAR Definición 4 Se llama signatura de una permutación al nº ( )ν 1− donde ν representa al nº de inversiones de la permutación. Por tanto, las permutaciones pares tendrán signatura 1 y las impares -1. PROPOSICIÓN Si en una permutación intercambiamos entre sí 2 elementos cualesquiera, ésta cambia de clase. Ejemplo: 2, 5, 3, 1, 4 5 inversiones: Clase IMPAR Intercambiamos el 4 con el 5: 2, 4, 3, 1, 5 4 inversiones: Clase PAR Demostración 1) Si intercambiamos dos nos consecutivos, lo único que se altera es el orden establecido entre ellos porque su situación respecto a los restantes no varía. Por tanto, aumenta o disminuye 1 unidad el nº de inversiones y cambia la clase. 2) Si no son consecutivos, hay h espacios intermedios entre ambos nos . Para pasar el 1º hasta el lugar del 2º hay que realizar h cambios con su inmediato a la derecha, y para pasar del 2º al lugar del 1º, h-1 cambios con el consecutivo a su izquierda. Son en total 2h-1 cambios consecutivos y en cada uno de ellos cambia la clase. Por ser un nº impar de cambios, el resultado final (par o impar) es contrario al inicial.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 23 Utilizaremos el ejemplo anterior para comprender la idea. Partimos de la permutación 2. 5, 3, 1, 4 de clase impar e intercambiamos el 5 con el 4 a través de sucesivos cambios consecutivos. Para llevar el 5 al lugar del 4 hay que hacer 3 cambios con su inmediato a la derecha y para retroceder el 4 hasta el lugar del 5 se necesitan 2 cambios consecutivos con el inmediato a la izquierda. cambios5 osconsecutivcambios2 51342 51432 osconsecutivcambios3 54132 45132 41532 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎭ ⎬ ⎫ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Como en cada intercambio cambia la clase e inicialmente era impar, quedará finalmente par (IMPAR-par-impar-par-impar-PAR) 2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinante de una matriz es, en definitiva, un número real. El cálculo de dicho número en cada matriz, se realiza de la siguiente forma: 1) se hacen todos los productos posibles de elementos de distinta fila y columna 2) se suman (restan) todos los productos adjudicándoles un signo + o – según un criterio que se explica a continuación. Según este procedimiento, sólo las matrices cuadradas tendrán determinante. DETERMINANTES DE ORDEN 2 Para expresar el determinante de una matriz ésta se escribe entre barras. a·aa·a aa a 21122211 2221 1211a −= a11 · a22 y a12 · a21 son los dos únicos productos de elementos de fila y columna distinta. El primer subíndice es 1,2 en ambos, lo que garantiza que hay uno de cada fila y no se repite ninguna. Igualmente, los segundos subíndices son 1,2 y 2,1 (permutaciones de 1,2) que indican que hay uno de cada columna sin repetición y que se han contemplado todas las posibilidades. Los sumandos cuya permutación sea par llevarán signo + y aquellos de permutación impar, signo -. Ejemplo: ( ) 115·1-3·2 35 1-2 =−=
Colegio Vizcaya Matemáticas II 24 DETERMINANTES DE ORDEN 3 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 = a11 · a22 · a33 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31 - - a13 · a22 · a31 + a13 · a21 · a32 Se comprueba que los 6 sumandos son todos los posibles ya que 1,2,3 son los primeros subíndices (uno de cada fila) y los segundos subíndices son todas las permutaciones de 1,2,3. El signo de cada sumando se corresponde con la clase de la permutación de la siguiente forma: 1 2 3 PAR (+) 1 3 2 IMPAR (-) 2 1 3 IMPAR (-) 2 3 1 PAR (+) 3 2 1 IMPAR (-) 3 1 2 PAR (+) Ejemplo: 032 110 311 − − = 0 + 0 + 2 – 6 – 0 – (-3) = -1 Ahora podemos generalizar la definición a matrices cuadradas de cualquier orden. Definición Dada una matriz A cuadrada de orden n, se llama determinante de A y se escribe |A|, al nº real que se obtiene al sumar todos los posibles productos de elementos de fila y columna distintas, es decir, suma de productos de la forma a j11 · a j22 · … · a jnn donde j1, j2, …, jn representa las n! permutaciones de 1, 2, …, n siendo el signo de cada sumando positivo o negativo, dependiendo de si la permutación es par o impar. Es decir, |A| = ∑ (-1) ν · a j11 · a j22 · … · a jnn Se agrupan los 3 sumandos positivos y los 3 negativos mediante el siguiente esquema conocido como REGLA DE SARRUS.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 25 - Hay n! sumandos con n factores cada uno. - 2 n! sumandos son positivos y 2 n! son negativos. -Cada sumando puede tener los factores ordenados por columnas permutando las filas. |A| = ∑ (-1) ν · a 11j · a 22j · … · a nnj Actividades 1. Calcula los siguientes determinantes: a) 31 15 − b) 1ba ab + c) 132 050 211 −− − d) 110 231 035 − −− e) 021 x30 y1x − − 2. Resuelve las ecuaciones: a) x23 xx5 − + = 15 b) x34 1xx2 011 − − = -47 c) a10 0aa aa1 2 2 =8 Definición Una matriz cuadrada A se dice regular si su determinante es distinto de 0. En caso contrario se llama singular. Parece evidente que calcular determinantes de orden 4 o superior, sería excesivamente laborioso si seguimos la definición, pues habría que calcular 24 productos de 4 elementos cada uno, 120 de 5 etc. Se hace necesario entonces encontrar un método equivalente para determinantes de orden superior a 3 y, para ello, haremos previamente un estudio de sus propiedades. 3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1) El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. |A| = |At | Ejemplo: |A|= 521- 431- 001 − =1·3·5 + (-1)·2·0 + 0·(-4)·(-1) – 0·3·(-1) – 0·(-1)·5 – 1·(-4)·2= 23 |A t |= 54-0 230 1-11 − =1·3·5 + 0·(-4)·(-1)+ (-1)·2·0 – (-1)·3·0 – (-1)·0·5 – 2·(-4)·1=23 De hecho, coinciden uno a uno todos los sumandos.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 26 2) Si se intercambian entre sí dos líneas (filas o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. Ejemplo: 001 4-31- 521- = (-1)·3·0 + 5·(-1)·0 + 2·(-4)·1 – 5·3·1 – 2·(-1)·0 – 0·(-4)·(-1) = -23 Se han intercambiado la fila 1 y la fila 3. Justificación Al intercambiar dos líneas, se intercambian dos elementos en cada permutación, por lo que ésta cambia de clase. Por ello, cada sumando cambia de signo y con ello el resultado final. 3) Si en una matriz cuadrada hay 2 líneas iguales, su determinante es 0. Al intercambiar entre sí las dos líneas iguales el determinante no varía pero, por otro lado, debe cambiar de signo, según la propiedad nº 2, es decir |A| = - |A| ⇒ |A| = 0 4) Si se multiplican todos los elementos de una misma línea (fila o columna) por un nº k, todo el determinante queda multiplicado por dicho número. Se debe a que en todos los sumandos del determinante aparecerá un solo elemento de esa línea, luego todos los sumandos estarán multiplicados por k que puede sacarse como factor común. Ejemplo: 521- 431- 001 − = 1·3·5 + (-1)·2·0 + 0·(-4)·(-1) – 0·3·(-1) – 0·(-1)·5 – 1·(-4)·2= 23 521- 862- 001 − = 1·6·5 + (-2)·2·0 * 0·(-8)·(-1) – 0·6·(-1) – 0·(-2)·5 – 1·(-8)·2= 46 Igualmente, esto indica que si una línea completa es múltiplo de un número, éste puede sacarse como factor común. Ejemplo: 642 903- 321 = 2 · 3 · 321 301- 321
Colegio Vizcaya Matemáticas II 27 5) Si todos los elementos de una línea de una matriz son ceros, su determinante será cero. Lógicamente, en todos los sumandos del determinante aparecerá un elemento de esa línea, por lo que todos los sumandos serán nulos y, por tanto, el determinante será 0. 6) Si en una matriz cuadrada hay dos líneas proporcionales, su determinante es 0. Puede salir como factor común la constante de proporcionalidad, quedando 2 líneas iguales. Ejemplo: 642 401- 321 = 2 · 321 401- 321 = 2 · 0 = 0 7) Si todos los elementos de una línea de una matriz se descomponen en una suma de dos sumandos, su determinante se descompone en la suma de dos determinantes de la siguiente forma: fed cba + + = fd ca + fe cb 8) El determinante de una matriz no varía si cambiamos una línea por la suma de ella más una combinación lineal de otras. Ejemplo: 521- 4-31- 001 = 23 3-84- 4-31- 001 = -9 + 32 = 23 Esto es debido a que en base a las propiedades anteriores: 3-84- 4-31- 001 = 2·(-4)0-52·30-22(-1)1-1- 4-31- 001 +++ = = 521- 4-31- 001 + 001- 4-31- 001 + 2(-4)2·32(-1) 4-31- 001 = 23 + 0 + 0 = 23 f 3 - f1 + 2·f 2
Colegio Vizcaya Matemáticas II 28 9) Si en una matriz una de las líneas es combinación lineal de otras, su determinante es 0. (Engloba las propiedades 3, 5, 6) Ejemplo: 37-3- 132 51-1 = 51-1 132 51-1 + (-2)1(-2)3(-2)2 132 51-1 = 0 + 0 = 0 10) |A · B| = |A| · |B| ( | A + B | ≠ | A | + | B | ) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes. Actividades 3. Si se cumple que ihg fed cba A = = 4, halla: a) A3 b) A− c) if2c he2b gd2a d) cba ihg fed e) i 2 1 h 2 1 g 2 1 f3e3d3 cba −−− 4. Comprueba, sin desarrollarlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 30: 2820 51510 369 − − −− 5. Comprueba, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15: 552 522 051 6. Calcula, sin desarrollar, el determinante: caca cbcb baba + + + f 3 = f 1 - 2·f 2
Colegio Vizcaya Matemáticas II 29 4. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA Definición 1 Dada una matriz cuadrada de orden n, A = (aij), se llama menor complementario del elemento aij y se escribe ijα , al determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i y la columna j. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 225 041 213 Cada elemento tendría su menor complementario. Definición 2 Se llama adjunto del elemento aij y se escribe Aij, al producto: Aij = (-1)i+j · ijα Ejemplo: A12 = (-1)3 · 12α = - (-2) = 2 En la matriz del ejemplo anterior: A23 = (-1)5 · 23α = - (-11) = 11 A22 = (-1)4 · 22α = 25 23 = -4 Se observa que a cada elemento de la matriz le corresponde su adjunto y que éste, es igual al menor complementario si la suma de subíndices es par y es opuesto si dicha suma es impar. PROPOSICIÓN Si A es una matriz cuadrada de orden n, su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de UNA línea (fila o columna) por sus adjuntos correspondientes. Ejemplo: Si desarrollamos por la fila 2: = (-1) · A21 + 3 · A22 + (-4) · A23 = = (-1) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 52 00 + 3 · 51- 01 + (-4) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 21- 01 = 0 + 15 + 8 = 23 12α = 25 01- = -2 23α = 2-5 13 = -11 521- 4-31- 001
Colegio Vizcaya Matemáticas II 30 Si desarrollamos por la columna 3: = 0 · A13 + (-4) · A23 + 5 · A33 = 0 + (-4) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 21- 01 + 5 · 31- 01 = = (-4)·(-2) + 5·3 = 23 Si desarrollamos por la fila 1: = 1 · A11 + 0 · A12 + 0 · A13 = 52 4-3 = 15 + 8 = 23 Se observa que se puede calcular un determinante de orden 3 a través de 3 determinantes de orden 2 (para calcular un determinante de orden n es necesario calcular n determinantes de orden n-1) y que, además, el resultado es el mismo independientemente de la línea que se elija para desarrollar. Por su evidente ventaja, elegiremos siempre la línea que tenga mayor número de ceros. Es más, podemos pensar en conseguir más ceros usando las propiedades de los determinantes, sobre todo la nº 8. Ejemplo: [ ] 1210 1121 1111 1101 −− − = 1210 2221 2011 0001 −− = 1 · A11 +0 + 0 + 0 = 1 · [ ] 121 2-22 201 = = 1-21 6-22 001 = 1 · A11 = 1-2 6-2 = 10 Se fija una fila o columna (que ya tenga el mayor número de ceros) y dentro de ella se elige un elemento que llamaremos pivote (por comodidad se elegirá, si existe, un 1). Si se decide hacer ceros en la fila del pivote, se fija su columna y viceversa (se fija la fila si se decide hacer ceros en la columna del pivote) El resto de las columnas (filas en el segundo caso) se cambiarán sin variar el determinante, a través de la propiedad 8. c3 – c1 c4 + c1 Desarrollo por f1 Pivote Pivote c3 – 2c1 521- 4-31- 001 521- 4-31- 001
Colegio Vizcaya Matemáticas II 31 Actividades 7. Resuelve los determinantes: a) 0320 1125 1102 3011 −− − − b) 1302 1031 1022 1110 − − − − c) 0013 2100 4111 2012 − −− − d) 3051 2101 3120 0214 − − − e) 00131 10122 51300 11202 11310 − −− − − f) 02111 34032 10125 31102 00311 − −− − − 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x213 2x13 32x1 321x = 0 b) x011 1x11 11xx 011x − − −− −− = 0 9. Resuelve los siguientes determinantes: a) 1aaaa a1aaa aa1aa aaa1a + + + + b) x101 1x10 01x1 101x − − − − c) c00x 0b0x 0aax 1111 5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Definición Se llama matriz inversa de una matriz dada A cuadrada, a otra matriz del mismo orden A-1 tal que: A · A-1 = A-1 · A = I Para calcular la matriz inversa introduciremos algunos conceptos. Proposición La suma de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea paralela a ella es 0.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 32 Ejemplo: Dado el determinante 2-54 102 31-1 Multiplicamos los elementos de la fila 1 por los adjuntos de la fila 3: a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 1 · 10 31− + (-1) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 12 31 + 3 · 02 1-1 = = -1 – 5 + 6 = 0 ya que en realidad, a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 31-1 102 31-1 = 0 En realidad es el desarrollo de un determinante con dos líneas iguales Definición Se llama matriz adjunta de la matriz A y se escribe Adj(A) a la matriz que resulta de sustituir en A cada elemento por su adjunto Aij. Adj(A) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ AAA AAA AAA 333231 232221 131211 Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2-54 102 31-1 Adj(A) = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 251- 9-14-13 1085- PROPOSICIÓN Toda matriz conmuta con la traspuesta de su adjunta y además el resultado de ese producto es |A| · I, es decir: A · ( )t Adj.(A) = ( )t Adj.(A) · A = |A| · I
Colegio Vizcaya Matemáticas II 33 Demostración A · ( )t Adj.(A) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ aaa aaa aaa 333231 232221 131211 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ AAA AAA AAA 332313 322212 312111 = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++++++ ++++++ ++++++ AaAaAaAaAaAaAaAaAa AaAaAaAaAaAaAaAaAa AaAaAaAaAaAaAaAaAa 33 3332 3231 3133 2332 2231 2133 1332 1231 11 23 3322 3221 3123 2322 2221 2123 1322 1221 11 13 3312 3211 3113 2312 2211 2113 1312 1211 11 = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ |A|00 0|A|0 00|A| = |A| · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 001 = |A| · I ya que en la diagonal se encuentran los productos de los elementos de una línea por sus propios adjuntos (lo que da lugar al determinante de la matriz), y el resto son productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una paralela ( que equivalen a 0 por la proposición anterior) Definición Se llama Matriz Inversa de una matriz dada, A cuadrada, a otra matriz del mismo orden A-1 tal que: A · A-1 = A-1 · A = I PROPOSICIÓN Si A es una matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de 0 (regular), existe su inversa A-1 y coincide con: A-1 = [ ] |A| Adj.(A) t Demostración La afirmación se deduce de la proposición anterior, teniendo en cuenta que |A|, por ser un nº real, puede pasar dividiendo al otro miembro de la igualdad. (Por supuesto sólo si es distinto de 0) A · [ ]Adj.(A) t = [ ]Adj.(A) t · A = |A| · I A · [ ] |A| )A(Adj t = [ ] |A| )A(Adj t · A = I Se observa entonces que la matriz que verifica las condiciones de la inversa (conmuta con A y el producto es la identidad), es: [ ] |A| )A(Adj t . Las matrices singulares (cuyo determinante es 0) no tienen inversa.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 34 Ejemplo: Hallar la matriz inversa de A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 420 441 |A| = 2 ≠ 0 1) Adj(A) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ++ 24-8 0-14- 00-2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 24-8 014- 002 2) [ ]Adj.(A) t = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 4-10 84-2 3) A-1 = [ ] |A| Adj.(A) t = 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 4-10 84-2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 2- 2 10 42-1 4) Comprobar que A · A-1 = I Actividades 10. Halla, si es posible, la matriz inversa en cada caso: a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− 13 21 b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 26 13 c) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 142 030 121 11. Dada la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 200 11a 1a1 a) ¿Para qué valores de a tendrá inversa (será inversible) la matriz? b) Halla dicha matriz inversa para a=2. PROPOSICIÓN La matriz inversa de A, si existe, es única. Demostración Por reducción al absurdo, supongamos que A posee 2 matrices inversas B y C, es decir: ⎭ ⎬ ⎫ == == IA·CC·A IA·BB·A entonces:
Colegio Vizcaya Matemáticas II 35 C = C · I = C (A · B) = (C · A) · B = I · B = B asociativa Se deduce entonces, que no puede haber dos inversas distintas, pues suponiendo que las hubiera, serían la misma. 6. RANGO DE UNA MATRIZ Definición Se llama menor de orden p de una matriz A, a cualquier determinante de orden p que se obtiene al suprimir en A alguna fila y/o columna. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1220 0314 2511 menores de orden 1: |4|, |-1|, |0|… hay 12 en total menores de orden 2: 2-0 51 , 12 01− , 20 14 − … menores de orden 3: 120 01-4 21-1 , 120 034 251 − … hay 4 en total Esta matriz no puede tener menores de orden 4 o superior por contener sólo 3 filas. Es evidente que si A es de orden mxn y p es el orden de cualquiera de sus menores, entonces p ≤ n y p ≤ m, o lo que es lo mismo: p ≤ min{ }n,m Si la matriz es cuadrada se entiende que el menor de mayor orden posible es ella misma. Definición Se llama rango de una matriz al orden del mayor de los menores distinto de cero de dicha matriz. Se escribe rg(A). Ejemplo: En la matriz anterior por existir un menor de orden 3 distinto de 0, diremos que rg(A) = 3 120 01-4 21-1 = -1 + 16 + 4 = 19 ≠ 0 pues 3 es el orden del menor más grande posible distinto de 0.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 36 Para calcular el rango de una matriz se comienza por los menores de mayor orden posible p. Si alguno de ellos es ≠ 0, entonces rg(A) = p. Si todos son nulos, se estudian los menores de orden p-1 y se repite el proceso. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 6333 1022 5311 Para hallar el rango estudiaremos primero los menores de orden 3 (los de mayor orden posible). Si alguno de ellos es distinto de 0, el rango de la matriz es 3. Si todos ellos son iguales a 0 (rg(A) 3≠ ), analizaremos los de orden 2 idénticamente. 333 022 311 − − − = 0, 633 102 531 = 0, 633 122 511 − − − = 0, 633 102 531 − − − = 0, Observamos que todos son 0 lo que significa, como sabemos, que alguna línea es combinación lineal de otras (en este caso f 213 ff += ). Pasamos a los menores de orden 2: 22 11 − − = 0, 02 31 = -6 ≠ 0 Por tanto, rg(A) = 2 Según las propiedades de los determinantes si uno de ellos es distinto de cero es porque todas sus líneas son independientes entre si, puesto que si una fuese combinación lineal de otra, su determinante sería 0. Es por ello que el rango indica el número (máximo) de filas o columnas independientes de una matriz. Actividades 12. Halla el rango de las siguientes matrices: a) A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 50 31 b) B= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − 642 321 c) C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1142 1073 d) D= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 114 521 031 e) E= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− 4651 5341 4231 f) F= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2212 1300 1145 1003 13. Halla el rango de las siguientes matrices según los valores de t: A= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − t11 1t1 11t B= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − − t9t36t 0112 0111
Colegio Vizcaya Matemáticas II 37 DETERMINANTES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Demuestra las siguientes igualdades utilizando las propiedades de los determinantes: a) b1ac a1cb c1ba + + + = 0 b) 333 222 cba cba cba = a·b·c· 222 cba cba 111 c) tzyx zzyx yyyx xxxx = x·(y-x)·(z-y)·(t-z) d) n 2 1 x1...111 ............... 1...x111 1...1x11 1...111 + + + = x1 ·x2 · … ·xn 2. Resuelve los siguientes determinantes: a) 0yx1 z0x1 zy01 zyx1 −−− −− − b) a00b ba00 0ba0 00ba c) 22 22 22 22 aababb ababab abbaab bababa d) 3xxx x3xx xx3x xxx3 e) 3333 2222 dcba dcba dcba 1111 (Determinante de Vandermonde) 3. Halla, si es posible, la matriz inversa en cada caso: d) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 550 211 132 e) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 111 320 101 4. Halla los valores de t para los que la matriz A no es inversible siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 160 0t1 11t
Colegio Vizcaya Matemáticas II 38 5. Dadas las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− 111 t21 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 20 0t 31 donde t es un nº real: a) Halla los valores de t para los que A·B tiene inversa b) Halla los valores de t para los que B·A tiene inversa 6. Resolver la ecuación det(A - xI) = 0, siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 211 422 001 y x∈R. 7. Dadas las matrices A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 32 01 , B= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 02 18 , C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 53 21 y D= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 02 11 resuelve, despejando, las siguientes ecuaciones matriciales: a) AX + 2B – C = D b) (B+C)X – A = D c) 4AX – B – 2D = C d) ABX – CX = 2C 8. Despejar X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) ABX = C+A d) AC+3X = Bt g) XA + B = A·B t b) AX – B = XC e) B(2A+I)=AXA+B c) AB + CX = A f) BX + 3C = C(B+3I) 9. Halla el valor de k para que el rango de la matriz A sea 2 siendo: A= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 461k4 20312 13201 10. Calcular el rango de la matriz A= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 931 421 aa1 2 según los valores de a. 11. Hallar los valores de k para los cuales la matriz ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−−− −−− − − 1kkk 10kk 321k 654k a) No tiene inversa b) Tiene rango 3
Colegio Vizcaya Matemáticas II 39 12. Sabiendo que zyx cba 111 =5, halla: a) 3 z 3 y 3 x 2c2b2a 111 +++ b) xzy acb 111 c) z2y2x2 z2cy2bx2a z1y1x1 +++ −−− PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 13. (JUNIO 2007) Sea A la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2781 941 321 Sea B la matriz que resulta de realizar en A las siguientes transformaciones: primero se multiplica A por sí misma, después se cambian de lugar la fila segunda y la tercera y finalmente se multiplican todos los elementos de la segunda columna por -2. Calcular el determinante de la matriz B, usando para ello las propiedades de los determinantes. 14. (JULIO 2006) La matriz cuadrada B es el resultado de efectuar en la matriz cuadrada A las transformaciones que se describen a continuación. Primero se cambian entre sí la fila segunda y la tercera. Luego se multiplica por -2 a la segunda columna. Finalmente se suma a la primera fila, la segunda fila multiplicada por 5 más la cuarta fila multiplicada por -3. Si se sabe que el determinante de la matriz A vale 5, calcular razonadamente el determinante de la matriz B. 15. (JUNIO 2006) Sea A la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 a1 Para cada numero natural n, halla An . Calcula también A22 -12A2 +2A 16. (JULIO 2005) Para cada a se considera la matriz A(a) dada por: A(a) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0a1 10a a10 Encontrar el valor de a para el cual el determinante de A(a) vale 9. Con el valor encontrado antes calcular la matriz A2 (a)+A(a).
Colegio Vizcaya Matemáticas II 40 17. (JUNIO 2005) Sean A y B las matrices dadas por A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3b00 1a00 a110 ba11 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5020 0100 0001 b0a0 Se sabe que las dos tienen determinante igual a 1. ¿Hay datos suficientes para calcular los valores de a y b? Si la contestación es afirmativa hallar dichos valores, si no lo es razonar el motivo. 18. (JULIO 2004) Sabiendo que ad - bc = 3 calcular, de forma razonada, los determinantes de las siguientes matrices: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0d0b 0010 0c0a 1000 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ bd00 ac00 0001 0010 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0001 0010 ba00 dc00 19. (JUNIO 2004) Para cada a se considera la matriz A(a) dada por A(a) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 a10 1a1 Encontrar el rango de la matriz A2 (a) - A t (a) en función del valor de a. Se recuerda que A2 (a) es la matriz multiplicada por sí misma y que A t (a) es la matriz traspuesta. 20. (JULIO 2003) Dadas las matrices A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 421 421 001 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 022 002 estudiar el rango de la matriz A - λ B en función del valor de .λ 21. (JUNIO 2003) Sea A la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 13 01 y sea n un número natural cualquiera. Encontrar el valor de An para cada n y hallar A350 -A250 . 22. (JULIO 2002) Sean A y B las matrices que siguen: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 5x610 5x2 x32x2 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x65 4x1 32x Sabiendo que el determinante de B vale 7, utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor del determinante de A.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 41 23. (JULIO 2001) Encontrar el valor del siguiente determinante en función de a, b y c: 333 222 cba cba 111 24. (JUNIO 1997) ¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para que exista su matriz inversa? Calcular la inversa de la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α α 00 01 021 cuando exista. CUESTIONES 25. a) Demostrar que si A y B son matrices inversibles, se cumple que: (A·B) 1− =B 1− ·A 1− b) ¿Sería cierto que (A2 ) 1− = (A 1− ) 2 ?, ¿y (A3 ) 1− = (A 1− )3 ? 26. Si A es una matriz tal que A3 = I , ¿Cuánto vale A ? 27. Indica las propiedades de los determinantes que justifican las siguientes igualdades: a) 131 242 693 = 6· 131 121 231 b) 130 122 033 120 112 033 150 132 063 += c) 0312 3001 1532 1123 − − − = 6 1 0936 3001 21064 1123 − − − 28. ¿A qué es igual el determinante de una matriz diagonal?, ¿y triangular? 29. Razona si es cierta la siguiente afirmación: 412 073 − = 3· 41 07 − -2· 41 07 −
Colegio Vizcaya Matemáticas II 42 30. Una matriz cuadrada A se llama idempotente cuando verifica A2 =A. Demuestra que si A es idempotente, entonces |A|=0 ó |A|=1. 31. Sean A,B y C matrices cuadradas del mismo orden tales que |A| 0≠ y A·B=A·C ¿Podemos asegurar que B=C? Justifica tu respuesta. 32. ¿Es cierta la siguiente igualdad? Razónalo sin realizar los cálculos. 25 12` − = 253 123 001 − 33. Si A es una matriz cuadrada de orden 4, puedes saber el valor de: a21 ·A11 +a22 ·A12 +a 23 ·A13 +a24 ·A14 34. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden , ¿se verifica que |A·B| = |B·A|? Razónalo. 35. Si la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ fed cba tiene rango 2, ¿qué rango tendrá la matriz B? B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ f2ce2bd2a fed cba
Colegio Vizcaya Matemáticas II 43 UNIDAD 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2º BACHILLER
Colegio Vizcaya Matemáticas II 44 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales respecto a sus soluciones. 2. Profundizar en el método de Gauss para resolver y clasificar sistemas de ecuaciones lineales. 3. Enunciar, comprender y aplicar la regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones. 4. Discutir sistemas, dependientes de 1 ó 2 parámetros, aplicando el teorema de Rouché. CONCEPTOS 1. Ecuaciones lineales. Soluciones. 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación según sus soluciones. 3. Sistemas equivqlentes. 4. Método de Gauss. Clasificación de sistemas por el método de Gauss. 5. Regla de Cramer. 6. Teorema de Rouché. 7. Discusión de sistemas con uno o dos parámetros.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 45 1. INTRODUCCIÓN Definición 1 Se llama ecuación lineal a toda igualdad del tipo: a1x1 + a2x2 + … + anxn = b donde a1, a2, …, an son los coeficientes (datos conocidos), x1, x2, …, xn son las incógnitas (datos por conocer) y b es el término independiente. Ejemplos: 3x - 2y = 1 x + 3y - 2z + t – 5 = 0 3x – 1 = 2 Definición 2 Se llama solución de una ecuación lineal a un conjunto de números (s1,s2, …,sn) que sustituidos en el lugar de las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Cada solución se llama solución particular y el conjunto de todas ellas se denomina solución general. Ejemplo: Dada la ecuación 2x – y + z = 3 , (1,0,1) es una solución Particular La solución general es: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = −+ = zz yy 2 zy3 x y,z R∈ 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición 3 Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones de la forma: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ bxa...xaxa .......................................... bxa...xaxa bxa...xaxa mnmn2m21m1 2n2n222121 1n1n212111 Ejemplos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =+− =+− 7z4y2x3 1y2x 0zy3x2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −=+ =− =+− =+ 2yx4 1y2x3 4y2x 5yx ⎩ ⎨ ⎧ =−+− =−+− 2t4zy3x2 0tzy2x donde: aij ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ nj1 mi1 son los coeficientes, xi ni1 ≤≤ son las incógnitas bj mj1 ≤≤ son los términos independientes
Colegio Vizcaya Matemáticas II 46 Definición 4 Se llama solución del sistema a un conjunto de n números reales (s1, s2, …, sn) que sustituidos en las incógnitas hacen que se verifiquen todas las ecuaciones simultáneamente. El conjunto de todas las soluciones se llama solución general y cada una de ellas solución particular. Ejemplos: 1) (1,2,0) es la solución del sistema ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++− =++ 0z2yx2 3z3y2x 3zyx 2) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= −= zz z21y z32x z R∈ es la solución general del sistema ⎩ ⎨ ⎧ =++− =+− 0zy2x 1zyx Definición 5 Un sistema se dice homogéneo si todos los términos independientes son nulos (bi = 0, ∀ i). Ejemplo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+− =− 0zy2x3 0zy2x 0y3x Observa que los sistemas homogéneos siempre tienen, al menos, la solución trivial (0,0…,0) Definición 6 Se dice que un sistema es compatible si tiene solución. En caso contrario se dice que es incompatible. En el primer caso, si la solución es única se trata de un sistema compatible determinado. Por el contrario, si tiene infinitas soluciones, se le llama compatible indeterminado. Ejemplos: En el caso de los dos ejemplos citados anteriormente en esta página, se puede observar que el sistema del ejemplo 1) es COMPATIBLE DETERMINADO (solución única) y el del ejemplo 2) es COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones en función del parámetro z) Un ejemplo de sistema INCOMPATIBLE (ecuaciones contradictorias) podría ser: ⎩ ⎨ ⎧ =− =− 0y4x2 3y2x
Colegio Vizcaya Matemáticas II 47 3. SISTEMAS EQUIVALENTES Definición 7 Dos sistemas se dicen equivalentes si, teniendo las mismas incógnitas, tienen las mismas soluciones (No necesariamente el mismo nº de ecuaciones). Ejemplo: Los sistemas ⎩ ⎨ ⎧ =− =+ 1yx2 2yx y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− =+ =+− 1y2x3 5yx4 2y3x son equivalentes pues ambos tienen la misma solución (1,1) De hecho, al utilizar los métodos de reducción, Gauss etc. para resolver sistemas, se emplea la estrategia de cambiar el sistema inicial por otro equivalente más sencillo de resolver, a través de una serie de transformaciones que, aunque varían el sistema, no cambian su solución. Estas transformaciones son las siguientes: Transformaciones Equivalentes 1) Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema 2) Despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en las demás 3) Multiplicar(dividir) una ecuación por un nº real distinto de 0. 4) Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otras ecuaciones del sistema. 5) Cambiar una ecuación por la suma de ella mas una combinación lineal de otras. 4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MÉTODO DE GAUSS Consiste en utilizar el método de reducción para triangularizar el sistema, es decir, anular las incógnitas por debajo de la diagonal, de forma que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. De esta forma, la última ecuación tendría una sola incógnita que, una vez resuelta, se llevaría a la ecuación anterior para despejar sucesivamente el resto de incógnitas. Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema: ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+− =−− =++ 5z2y2x 0z3yx2 1zyx ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−=−+− =−− −=++ 5z2y2x 0z3yx2 )2(1zyx ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −=−− =++ 4zy3 2z5y3 1zyx ⇒ ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −=−− =++ 6z6 2z5y3 1zyx ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = 1z 1y 1x sistema de Gauss (equivalente al inicial)
Colegio Vizcaya Matemáticas II 48 Pueden darse los siguientes casos: 1) Si la última ecuación es de la forma axn = b, el sistema es compatible determinado. 2) Si la última ecuación es de la forma 0 = 0, el sistema es compatible indeterminado. 3) Si la última ecuación es de la forma 0 = k siendo k ≠ 0, el sistema es incompatible. Hasta aquí se han recordado aspectos sobre los sistemas de ecuaciones lineales y su resolución, ya vistos en cursos anteriores. La novedad consistirá en aplicar a la resolución de sistemas lo aprendido sobre matrices y determinantes, para introducir métodos o sistemáticas que aporten alguna mejora. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Sabemos que una igualdad matricial se transforma en un sistema de ecuaciones: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 21- 01 tz yx · 13 21 ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ −=+ =− =− 2ty3 1zx3 0t2y 1z2x De la misma manera podemos pensar en el proceso inverso, es decir, en obtener una igualdad matricial a partir de un sistema de ecuaciones dado. Para ello definiremos las siguientes matrices: Dado el sistema genérico: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ bxa...xaxa .............................................. bxa...xaxa bxa...xaxa mnmn2m21m1 2n2n222121 1n1n212111 Llamamos A a la matriz de los coeficientes: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ a...aa ............ a...aa a...aa mnm2m1 2n2221 1n1211 de orden mxn Llamamos X a la matriz columna de las incógnitas: X = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x ... x x n 2 1 de orden nx1
Colegio Vizcaya Matemáticas II 49 Llamamos B a la matriz columna de los términos independientes: B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b ... b b m 2 1 de orden mx1 Entonces se cumple que el sistema es equivalente a la ecuación matricial A · X = B Comprueba que dicha igualdad da lugar al sistema de ecuaciones inicial y observa que la forma que adoptan las matrices es necesaria para que su orden respectivo permita la multiplicación. Es evidente que la matriz X de las incógnitas quedaría directamente despejada si multiplicamos la igualdad por la matriz inversa de A (evidentemente por la izquierda) En eso se basa el método de Cramer para resolver sistemas. REGLA DE CRAMER Definición Se llama sistema de Cramer a todo sistema con el mismo nº de ecuaciones que de incógnitas, donde el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de 0. (|A| 0≠ ) 1) sabemos que la expresión matricial del sistema es A · X = B. 2) Como A es regular, existe A-1 . 3) A-1 · A · X = A-1 · B ⇒ I · X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B Si multiplicamos A-1 · B con matrices genéricas, obtendremos una regla de aplicación que evitará que tengamos que calcular en cada sistema la matriz A-1 . Lo haremos suponiendo n=3 para simplificar las operaciones. X = A-1 · B ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x x x 3 2 1 = |A| 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ AAA AAA AAA 332313 322212 312111 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b b b 3 2 1 ⇒
Colegio Vizcaya Matemáticas II 50 ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x x x 3 2 1 = |A| 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ ++ 333232131 323222121 313212111 AbAbAb AbAbAb AbAbAb ⇒ x1 = A AbAbAb 313212111 ++ = aaa aaa aaa aab aab aab 333231 232221 131211 33323 23222 13121 El numerador es el producto de los elementos b 1 , b 2 , b 3 por los adjuntos de la columna 1, es decir, es el desarrollo por la c 1 de un determinante en el que los elementos de la primera columna son b1 , b 2 , b 3 . x2 = A AbAbAb 323222121 ++ = A aba aba aba 33331 23221 13111 (desarrollo por la columna 2) x3 = A AbAbAb 333232131 ++ = A baa baa baa 33231 22221 11211 (desarrollo por la columna 3) Ejemplo. Resolver ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =−− =−+ =+− 3-zyx 2zy2x 1zyx Sea la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 111 112 111 Por la regla de Cramer: x = 1-1-1 1-12 11-1 1-1-3- 1-12 11-1 = 121121 123321 −−−+−− −−+−−− = 6 6 − − = 1 y = 6- 1-3-1 1-22 111 = 6 12 − − = 2 z = 6- 3-1-1 212 11-1 = 6 12 − − = 2 solución (1,2,2)
Colegio Vizcaya Matemáticas II 51 Actividades 1. Resuelve por el método de Cramer, cuando sea posible, los sistemas: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− −=+− =−+ 0z2yx 2z3y3x2 0zy2x b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++ =+− 2z2y2x3 0zyx2 1zy3x c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−−− =−+ −=+− 0z3yx 5z2yx 1zyx2 d) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++− =+− =−+ 0zy2x 0zyx3 0z2yx 2. Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++− =+− =++ 1zy2x 0z3yx2 3zyx a) Expresarlo en forma matricial b) Resolver matricialmente Observa los sistemas: a) ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 2y2x2 1yx b) ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 5y2x2 1yx c) ⎩ ⎨ ⎧ =− =+ 0yx3 1yx En el caso a) las dos ecuaciones son iguales, luego se trata de un sistema COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones). Observa que, por esa razón, la matriz de los coeficientes tiene rango 1 A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 22 11 . Como los términos independientes mantienen la misma proporción, si los incorporamos a la matriz, ésta seguirá teniendo rango 1. C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 222 111 En el caso b) el sistema es INCOMPATIBLE, pues las ecuaciones son contradictorias. Observa que la matriz de los coeficientes sigue teniendo rango 1 pero la matriz ampliada (con los términos independientes) tiene rango 2 pues la última columna es independiente de las anteriores: A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 22 11 C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 522 111 Por último, el sistema c) es COMPATIBLE DETERMINADO pues las dos ecuaciones son independientes entre sí, y por ello, tanto la matriz de los coeficientes como la ampliada tienen rango 2. A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 13 11 C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 013 111
Colegio Vizcaya Matemáticas II 52 Parece evidente que existe una relación directa entre la compatibilidad del sistema y los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, pues dicho rango revela la dependencia o independencia entre las ecuaciones. De ello trata el teorema de Rouché-Frobenius. Así como la regla de Cramer permite resolver sistemas, el teorema de Rouché permite clasificarlos es función de los rangos de la matriz de los coeficientes A y de la ampliada C. 5. TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS Dado el sistema: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ bxa...xaxa .............................................. bxa...xaxa bxa...xaxa mnmn2m21m1 2n2n222121 1n1n212111 donde A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ a...aa ............ a...aa a...aa mnm2m1 2n2221 1n1211 es la matriz de los coeficientes y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ba...aa ............... ba...aa ba...aa mmnm2m1 22n2221 11n1211 es la matriz ampliada, entonces se cumple que: La condición necesaria y suficiente para que el sistema tenga solución es que el rango de la matriz A de los coeficientes y el de la matriz C ampliada, sean iguales, es decir El sistema tiene solución ⇔ rg(A) = rg(C) Demostración ⇒ Si el sistema tiene solución (s1, s2, …, sn) entonces. C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +++ +++ sa...sasaa...aa ............... sa...sasaa...aa sa...sasaa...aa nmn2m21m1mnm2m1 n2n2221212n2221 n1n2121111n1211 por tanto la última columna es combinación lineal de los anteriores y por tanto no aumenta el rango, es decir: rg(A) = rg(C)
Colegio Vizcaya Matemáticas II 53 ⇐ Si el rg(A) = rg(C), la última columna de C es combinación lineal de las anteriores y por tanto existen n números reales s1, s2, …, sn tales que B = s1C1 + s2C2 + … + snCn por lo que (s1, s2, …, sn) es una solución del sistema. c.q.d. Pueden darse 3 casos: 1) Si rg(A) ≠ rg(C) el sistema es incompatible. (la última columna es independiente y no mantiene las combinaciones lineales de los primeros miembros) 2) Si rg(A)=rg(C) = nº de incógnitas n, el sistema es compatible determinado. (Hay tantas ecuaciones independientes como incógnitas) 3) Si rg(A)=rg(C) < nº de incógnitas n, el sistema es compatible indeterminado. (Hay menos ecuaciones que incógnitas, pues existen combinaciones lineales entre ellas) ** Observa que en realidad el rg(C) sólo puede ser igual al de A o una unidad mayor, pues C sólo incorpora una columna más que puede ser dependiente o independiente de las anteriores** Si el sistema es homogéneo (todos los términos independientes iguales a 0), el rg(A)=rg(C) obligatoriamente, puesto que la última columna de ceros no puede aumentar el rango (es dependiente de las anteriores). Luego todo sistema homogéneo es compatible. La solución trivial (0, 0, …, 0) será única si es compatible determinado y estará acompañada de otras infinitas soluciones si es indeterminado. 6. DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON UN PARÁMETRO Veamos un ejemplo de aplicación del teorema de Rouché al estudio de la compatibilidad de un sistema: Ejemplo: Discutir y resolver (cuando sea posible) según los valores del parámetro a, el sistema: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+ =++ 2azyx3 1zyx2 1zayx Obtenemos previamente las matrices A y C. A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − a13 112 1a1 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2a13 1112 11a1 Analizamos el rango de A para compararlo con el de C
Colegio Vizcaya Matemáticas II 54 |A| = a+2-3a-3-2a2 +1 = -2a2 -2a = -2a(a+1)=0 ⇒ a=0 ó a=-1 Se distinguen entonces 3 posibles casos: 1er Caso: a ≠ 0,-1 En este caso rg(A) = 3 ( pues |A| ≠ 0) y rg(C) =3 necesariamente, pues no puede ser menor que el de A y tampoco puede ser 4 por ser C de orden 3x4. Según el teorema de Rouché, para cada valor de a ≠ 0,-1, se trataría de un sistema compatible determinado ya que rg(A) = rg(C) = nº de incógnitas. Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer: x = a13 112 1a1 a12 111 1a1 − − = )1a(a2 1a2a21a 2 +− +−−−+ = )1a(a2 aa2 +− −− = )1a(a2 )1a(a +− +− = 2 1 y = )1a(a2 a23 112 111 +− − = )1a(a2 2a2334a +− +−−−+ = )1a(a2 a +− − = )1a(2 1 + z = )1a(a2 213 112 1a1 +− = )1a(a2 1a43a322 +− −−−++ = )1a(a2 a +− − = )1a(2 1 + Hemos obtenido así la solución única para cada posible sistema según cuál sea el valor de a. 2º Caso: a=0 A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 013 112 101 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2013 1112 1101 En este caso rg(A) 3≠ puesto que |A|=0. Como 0 12 01 ≠ entonces rg(A) = 2. Igualmente, rg(C) = 2 pues todos los menores de orden 3 son 0, al ser la última fila la suma de las dos primeras. Se trata entonces de un sistema compatible indeterminado ya que: rg(A) = rg(C) < nº incógnitas. Para resolverlo podemos prescindir de la tercera ecuación por ser una combinación lineal de las anteriores. ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =+ 1zyx2 1zx
Colegio Vizcaya Matemáticas II 55 Por tratarse de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, dejaremos una cualquiera de ellas como parámetro o variable (z por ejemplo en este caso) x = 1 – z y = 1 – 2x + z = 1 – 2(1 – z) + z = -1 + 3z z = z luego su solución es: (1 - z, -1 + 3z, z) donde z∈R 3er Caso: a = -1 A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 113 112 111 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 2113 1112 1111 Sabemos que rg(A) 3≠ puesto que |A|=0. Como 0 12 11 ≠ − entonces rg(A) = 2. Sin embargo rg(C) = 3 ya que 213 112 111 − = 1 ≠ 0 Por el teorema de Rouché el sistema es incompatible puesto que rg(A) ≠ rg(C) y por tanto, no tiene solución. Actividades 3. Discute según los valores de los parámetros a ó m los sistemas: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−− =−− =+− a4zy2x3 3z2yx azyx2 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 1zayx 1zyx 1zyax c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=+++ =−+ −=+++ 1az)1a(x)1a( 0y)a2(x2 2a2z2ayx)2a2( 7. DiSCUSIÓN DE SISTEMAS CON 2 PARÁMETROS Ejemplo: Discutir y resolver, según los valores de a y b el sistema: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =−+ =−+ =+− b2zayx 3zy2x 1z2yx Consideramos las matrices A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2-a1 1-12 12-1 y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − b2a1 3112 1121
Colegio Vizcaya Matemáticas II 56 |A| = -2+2a+2–1–8+a = 3a–9 = 0 ⇒ a = 3 Caso 1: a ≠ 3 Como |A| ≠ 0, rg(A) = 3 y rg(C) = 3 necesariamente. Por el teorema de Rouché se trata de un sistema Compatible Determinado. Resuélvelo por el método de Cramer Caso 2: a = 3 A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2-31 1-12 12-1 y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b2-31 31-12 112-1 Sabemos que rg(A) 3≠ puesto que |A|=0. Como 0 12 21 ≠ − entonces rg(A) = 2. Para hallar el rango de C estudiamos primero los menores de orden 3. b1-1 312 111 − = -b – 4 + 3 + 1 – 2b + 6 = -3b +6 = 0 ⇒ b = 2 Establecemos dos subcasos, pues el rg(C) depende de si b es igual o distinto a 2. Caso 2.1: En este caso rg(A) = 2 rg(C) = 3 Por el teorema de Rouché se trata de un Sistema Incompatible. a = 3 b ≠ 2
Colegio Vizcaya Matemáticas II 57 Caso 2.2: C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 22-31 31-12 112-1 En este caso rg(A) = 2 rg(C) = 2 ya que la segunda ecuación es la suma de las otras dos. Por tanto, rg(A) = rg(C) = 2 < nº incógnitas: Sistema Compatible Indeterminado dependiente de un parámetro Halla, en este caso, la solución del sistema a = 3 b = 2
Colegio Vizcaya Matemáticas II 58 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Dado el sistema: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ azay2x 2azayx2 1zy2x calcula los valores del parámetro a para que el sistema sea: a) compatible determinado b) compatible indeterminado c) incompatible 2. Halla para qué valor de m el siguiente sistema tiene solución distinta de la trivial (0,0,0): ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− =++ =+− 0zy2x 0mzyx 0z3yx2 3. Discute y resuelve cuando sea posible, según los valores de los parámetros a ó m los sistemas: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =+− =++ 0z4yx8 0zyax 0z2y3xa2 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ +−=++ +=++ mzymx )1m(2mzyx 2mzmyx c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− +=+ =− a2z)aa(yx 1a2zax ayx 2 2 d) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=+++ −=+−+ −=+++ 1mz)1m(x)1m( 1mzy)1m(mx 1mzyx)2m( e) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −=+− =−− =−+ =++ 2zyx 1zymx 8z3y2x 2zyx PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 4. (JULIO 2007) Sea S el sistema de ecuaciones lineales ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ A 7 10 Azy8x 14z9y4x 6z3y2x Estudiar la compatibilidad del sistema en función de A. Resolver para A=0.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 59 5. (JUNIO 2007) Sea S el sistema de ecuaciones lineales ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ Azy2x2 3z2y3Ax 0zyx Estudiar la compatibilidad del sistema en función de A. Resolver para A=5. 6. (JULIO 2006) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =−+ =+− aazy3x3 1zyx azyx 7. (JUNIO 2006) Se considera el sistema de ecuaciones lineales S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=++ =++ =++ )1m(2mzy4x3 9z4y3x2 6z3y2x ¿Existe algún valor de m para el cual el sistema sea compatible indeterminado? En caso negativo razonar la respuesta. Si la respuesta es positiva, hallar la solución del sistema en ese caso. 8. (JULIO 2005) Dado el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ Azyx 0z3Ayx 0z3y2x Discutir su compatibilidad en función del parámetro A. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado. 9. (JUNIO 2005) Dado el sistema de ecuaciones S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 2azyx3 azyx2 1zyx Discutir su compatibilidad en función del parámetro a. 10. (JULIO 2004) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+ =++ 2azyx3 1zyx2 1zayx en función del parámetro a. 11. (JUNIO 2004) Dado el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =+ =++ a2azy2x3 0yx2 2zyx Demostrar que es compatible para todos los valores de a. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 60 12. (JULIO 2003) Dado el sistema de ecuaciones S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =++ =++ Czyx Bzyx Azy2x demostrar que es compatible determinado para cualquier valor de A,B y C y encontrar la solución en función de dichos valores. 13. (JUNIO 2003) Discutir el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 3z2yx 2zyax 0zyx en función del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatible. 14. (JULIO 2002) Se considera el sistema de ecuaciones S dado por: S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− −=− =+− 0yx2 azx azyx Discutir la compatibilidad en función de a. Resolver en los casos de Compatibilidad. 15. (JUNIO 2002) Discutir el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 3z3yx2 a2z2yx2 azyx2 en función del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatible. 16. (JULIO 2001) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del valor de a. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =++ =−+ 5azx4 5azayx3 1zyx Resolverlo cuando sea compatible determinado. 17. (JUNIO 2001) Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 1azyx2 1zyax a2z2y2x4 en función del parámetro a. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 61 CUESTIONES 18. Sabemos que el rango de la matriz ampliada en un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, es 4. ¿Qué se puede decir de la compatibilidad del sistema? Razona la respuesta. 19. Si (x=0, y=2, z=-1) es una solución de un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, ¿cuánto valdrá entonces el determinante de la matriz de los coeficientes? 20. En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, ¿qué condición deben cumplir los coeficientes del sistema para que se verifique rg(A)=3 y rg(C) = 2? 21. En un sistema del mismo número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de los coeficientes es 0. Razona: a) ¿Puede ser compatible? b) ¿Puede tener solución única? c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer? 22. El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a 1. ¿Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada? 23. Dado el sistema: ⎩ ⎨ ⎧ =++− =+− 1z2y3x 3zyx2 a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado
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Colegio Vizcaya Matemáticas II 63 UNIDAD DIDÁCTICA 4 ESPACIO AFÍN 2º BACHILLER
Colegio Vizcaya Matemáticas II 64 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer las distintas ecuaciones de la recta. 2. Determinar una recta. 3. Conocer el concepto de plano y sus ecuaciones. 4. Estudiar las posiciones relativas entre los distintos elementos del espacio afín: entre dos rectas, entre dos o tres planos y entre recta y plano. 5. Conocer los haces de planos en el espacio. CONCEPTOS 1. Sistemas de referencia. Espacio afín. 2. Ecuaciones de la recta. Determinación de una recta. 3. Ecuaciones del plano. Determinación del plano. Ecuaciones de algunos planos. 4. Posición relativa recta-recta, plano-plano, recta-plano y entre 3 planos. 5. Haz de planos paralelos. 6. Haz de planos secantes en una recta.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 65 ESPACIO AFÍN 1. INTRODUCCIÓN Definición: Llamamos V3 al conjunto de los vectores libres del espacio. (Se entiende por vector libre el conjunto formado por un vector a y todos los vectores de su mismo módulo, dirección y sentido) Definición: Llamamos E al conjunto de puntos del espacio. Fijado un punto O∈E llamado origen, cada punto X del espacio forma con O un vector fijo OX . Esto nos permite “localizar” cualquier punto del espacio a través de su vector de posición OX . Definición: Llamamos espacio afín y lo expresamos E3 a la terna (E, V3 ,f) donde f es la aplicación que asocia a cada par de puntos de E, el vector que forman, es decir: f: E x E V3 (A,B) AB de manera que: 1) AB = CBAC + ∀ A,B,C ∈E 2) Fijado un punto O∈E, se cumple que ∀ v 3 V∈ , ∃ ! A E∈ / OAv = Definición: Se llama sistema de referencia de un espacio afín al conjunto { }w,v,u,O donde O es el punto origen y { }w,v,u es una base de V3 . **Recuerda que llamamos base de V3 a cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes { }w,v,u . Se cumple que cualquier otro vector de V3 se podrá escribir como combinación lineal de dichos vectores: 3 Va ∈∀ wvua λ+β+α= siendo Rλ,β,α ∈ ** Observa que podemos utilizar lo aprendido sobre matrices y determinantes para determinar si tres vectores son o no independientes sin más que calcular el determinante de orden tres que forman: si es distinto de 0 serán independientes y formarán base. Definición: Se llaman coordenadas cartesianas de un punto cualquiera A ∈E a las coordenadas del vector OA en la base { }w,v,u , es decir, a la terna (a,b,c) tal que: wcvbuaOA ++= . ** Si no se especifica otra cosa, se entiende que { }w,v,u es la base canónica {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} **
Colegio Vizcaya Matemáticas II 66 Dados dos puntos A( 321 a,a,a ) y B( 321 b,b,b ), las coordenadas del vector AB que forman son: 332211 ab,ab,ab(ABAB −−−=−= ) ya que: A B O Se observa que: OBABOA =+ ⇒ OAOBAB −= )a,a,a()b.b,(bAB 321321 −=⇒ ⇒ ⇒ 332211 ab,ab,ab(AB −−−= ) COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dado el segmento AB de extremos A( 321 a,a,a ) y B( 321 b,b,b ), se cumple que las coordenadas del punto medio M de dicho segmento son: B M ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++ 2 ba , 2 ba , 2 ba 332211 ya que: AB 2 1 AM = ⇒ M A ⇒ M-A = 2 1 (B-A) ⇒ M = A+ A 2 1 B 2 1 − ⇒ M = 2 BA +
Colegio Vizcaya Matemáticas II 67 Actividad 1. Si M(-1,2,0) es el punto medio del segmento AB , siendo A(2,1,1), calcula las coordenadas de B. 2. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO Hallar la ecuación de una recta es determinar la condición que deben verificar todos sus puntos. Para ello es necesario disponer de algunos datos que la identifiquen de forma única: un punto por el que pase A( 321 a,a,a ) y un vector que le aporte dirección (vector director) )v,v,v(v 321 ( o lo que es lo mismo: dos puntos A y B que igualmente aportarían un vector: AB ) z v X(x,y,z) A a x r y x Suponemos dado el punto A y el vector v , siendo r la recta determinada por ambos. Para conocer la condición que cumplen sus puntos elegimos uno cualquiera de ellos, X. Se cumple que a+ xAX = Es evidente que el vector AX es siempre paralelo al vector v , sea cual sea el punto elegido (X) de la recta. Esa es la condición que cumple cualquier punto de la recta y ninguno fuera de ella. Por tanto, al ser AX y v paralelos, se cumplirá que son proporcionales, es decir, existirá algún nº real t tal que AX = t· v . Si sustituimos en la igualdad a + AX = x , obtenemos x = a + t v . Y sabiendo que x (x,y,z), a(a 21 a, , 3a ), (por ser vectores de posición) y que v (v 321 v,v, ) tendremos finalmente: (x,y,z) = ( 321 a,a,a ) + t )v,v,v( 321 t R∈ Esta expresión recibe el nombre de ECUACIÓN VECTORIAL de la recta. El nº real t será uno u otro dependiendo de cual sea el punto X elegido. Cuanto mayor sea t (positivo), más se aleja X por la derecha de A, y si t es negativo, obtendremos puntos X de la izquierda de A. (El propio punto A se obtendría para t =0).
Colegio Vizcaya Matemáticas II 68 Es lógico pensar que los infinitos valores de t posibles, dan lugar cada uno de ellos, a los infinitos puntos (x,y,z) de la recta. Si operamos la igualdad anterior y separamos por coordenadas tendremos las ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la recta: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 33 22 11 tvaz tvay tvax t∈ R Igualmente, si despejamos t en cada ecuación e igualamos los resultados obtenidos llegaremos a la ECUACIÓN CONTINUA de la recta: 3 3 2 2 1 1 v az v ay v ax − = − = − Toda recta puede venir dada también como la intersección de dos planos, es decir puede adoptar la forma: ⎩ ⎨ ⎧ =+++ =+++ 0Dz'Cy'Bx'A 0DCzByAx que se conoce con el nombre de ECUACIÓN IMPLÍCITA O CARTESIANA de la recta. Dicha ecuación se obtendría sin más que desarrollar por separado las dos igualdades de la ecuación continua. Ejemplo: Escribir en todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por A(1,-1,2) y tiene por vector director v (-2,1,3) Ecuación vectorial (x,y,z) = (1,-1,2) + t(-2,1,3) t∈R Ecuaciones paramétricas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += +−= −= t32z t1y t21x t∈R Ecuación continua 3 2z 1 1y 2 1x − = + = − − Ecuación implícita ⎩ ⎨ ⎧ −=− −=+ 5zy3 1y2x que se obtiene “multiplicando en cruz” las dos igualdades de la ecuación continua.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 69 El paso de una forma a otra es sencillo en el caso de las formas vectorial, paramétrica y continua, pues el punto y el vector se encuentran visibles. También se ha indicado cómo pasar de la forma continua a la implícita. Para pasar de la forma implícita a las anteriores bastaría con resolver el sistema en función de una variable, lo que daría lugar a la ecuación paramétrica. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Dada la recta ⎩ ⎨ ⎧ =+−− =++ 1z2yx 0zy2x sumando obtenemos: y+3z = 1 ⇒ y = 1–3z z = z x = -2y-z ⇒ x = -2(1-3z)-z ⇒ x = -2+5z es decir: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= +−= zz z31y z52x o lo que es lo mismo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= +−= tz t31y t52x que es la ecuación paramétrica, de donde se deduce que A(-2,1,0) es un punto de la recta y v (5,-3,1) es su vector director. Si la recta viene determinada por dos puntos A y B, puede considerarse como punto uno cualquiera de los dos, y como vector, el formado por ambos puntos: AB o BA indistintamente. Actividades 2. Encuentra dos puntos y el vector director de las rectas: a) 2 z 1 3y 3 1x = − − = + b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= −= +−= t3z t3y t52x c) ⎩ ⎨ ⎧ =+− =+ 4zyx 2zy 3. Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto A(1,0,0) y es paralela a la recta r: 2 z 1 3y 3 1x = − − = + . 4. Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto medio del segmento formado por A(3,-1,4) y B(1,1,0) y es paralela a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =++ =+− 2zyx 0zyx3
Colegio Vizcaya Matemáticas II 70 3. ECUACIONES DEL PLANO Hallar la ecuación de un plano es determinar la condición que deben verificar todos sus puntos. Para identificarlo, necesitamos conocer un punto A( 321 a,a,a ) y dos vectores independientes )u,u,(uu 321 y )v,v,v(v 321 . z u X A v a x y x Elegimos un punto cualquiera del plano X(x,y,z). Observamos que se cumple: AXa + = x Por ser AX un vector del plano, tiene que ser una combinación lineal de los vectores u y v (sabemos que no puede haber tres vectores independientes en un plano), y por tanto, AX = t·u + s· v siendo t y s números reales. Sustituyendo en la igualdad anterior: a + t·u + s· v = x es decir, (x,y,z) = ( 321 a,a,a ) + t )u,u,(u 321 + s )v,v,v( 321 t, s ∈ R ECUACIÓN VECTORIAL del plano. Esta ecuación depende del punto y vectores que se hayan elegido y, por tanto, puede haber distintas ecuaciones vectoriales que correspondan al mismo plano. Si operamos la igualdad anterior obtenemos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ++= ++= 333 222 111 svtuaz svtuay svtuax t, s ∈ R ECUACIONES PARAMÉTRICAS Dando valores a t y s obtendríamos todos los puntos del plano. Ya hemos dicho que el vector AX tiene que ser linealmente dependiente de los vectores u y v , es decir, rg( AX , u , v ) = 2 y por tanto debe cumplirse:
Colegio Vizcaya Matemáticas II 71 333 222 111 vuaz vuay vuax − − − = 0 Resolviendo el determinante, obtenemos una igualdad en x, y, z de la forma: Ax + By + Cz + D = 0 ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA Ejemplo: Ecuación del plano que pasa por el punto A(1,-1,2) y es paralelo a los vectores u (1,0,-2) y v (3,-2,1). a) (x,y,z) = (1,-1,2) + t (1,0,-2) + s (3,-2,1) Ecuación vectorial b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−= −−= ++= st22z s21y s3t1x t, s ∈ R Ecuaciones paramétricas c) 122z 201y 311x −− −+ − = 0 ⇒ -6y-6-2z+4-y-1-4x+4 = 0 ⇒ -4x -7y -2z +1 = 0 Ecuación general Para calcular los puntos de corte de un plano con los ejes basta tener en cuenta que: 1) Eje X : puntos de la forma (a,0,0) es decir, es necesario y=z=0 2) Eje Y: puntos de la forma (0,b,0) es decir, es necesario x=z=0 3) Eje Z: puntos de la forma (0,0,c) es decir, es necesario x=y=0 Actividades 5. Halla las ecuaciones paramétricas del plano :π x-2y+2z-3=0 6. Halla la ecuación general del plano determinado por los puntos: a) A(0,-1,3), B(4,1,2) y C(1,-1,0) b) A(1,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,2) 7. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto A(-1,1,2) y contiene a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =− =++ 0zx 3zyx
Colegio Vizcaya Matemáticas II 72 4. POSICIONES RELATIVAS 4.1 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS Son 4 las posibles posiciones de dos rectas en el espacio: secantes, paralelas, coincidentes y cruzadas. Para determinar la posición entre dos rectas dadas, es necesario conocer un punto y un vector de cada una de ellas. Sea la recta r de la que conocemos el punto A y el vector u , y la recta s cuyo punto y vector son respectivamente B y v . Analizaremos en primer lugar el rango de los vectores u y v : 1) Si rg(u , v ) = 1 los vectores son dependientes o proporcionales, luego las rectas son paralelas o coincidentes, dependiendo de la dirección del vector AB . Si rg (u , v , AB ) = 2 AB es de distinta dirección que u y v luego las rectas son paralelas. r •B A • s Si rg (u , v , AB ) = 1 AB es de la misma dirección que u y v , luego las rectas son coincidentes. r A• •B s 2) Si rg(u , v ) = 2 los vectores son de direcciones distintas, luego las rectas son secantes o cruzadas, dependiendo de la dirección de AB Si rg (u , v , AB ) = 2 el vector AB está en el mismo plano que los vectores u y v , luego las rectas son secantes. r • A B s Si rg (u , v , AB ) = 3 el vector AB es independiente de u y v y está en distinto plano, luego las rectas son cruzadas A r s B
Colegio Vizcaya Matemáticas II 73 Ejemplo: Determinar la posición relativa entre las rectas r: z 2 y 3 1x == − y s: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += = += t21z ty t2x La recta r pasa por el punto A(1,0,0) y tiene por vector u (3,2,1) La recta s pasa por el punto B(2,0,1) y tiene por vector v (1,1,2) Hallamos rg (u , v ) rg (u , v ) = rg ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 211 123 = 2 ya que 0 11 23 ≠ Hallamos ahora rg (u , v , AB ) rg (u , v , AB ) = rg ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 101 211 123 = 3 porque 0 101 211 123 ≠ Por tanto, las rectas son CRUZADAS Actividades 8. Halla las posiciones relativas de los tres pares de rectas que se pueden formar con: a) 2 z 1 1y 2 1x − = + = − b) 1 2z 2 y 1 3x + == − c) 2 3z 1 2y 2 4x + = − − = − − 9. Halla el valor de a para el cual las rectas r y s se cortan, y calcula dicho punto de corte. r: x = y = z-a s: 0 2z 2 3y 3 1x2 − = − + = − 4.2 POSICIÓN RELATIVA RECTA-PLANO Consideramos el plano π : Ax+By+Cz+D=0 y la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =+++ =+++ 0''Dz''Cy''Bx''A 0'Dz'Cy'Bx'A Estudiar la posición relativa entre π y r equivale a analizar la compatibilidad del sistema que forman sus ecuaciones, pues es necesario conocer si existen o no puntos comunes.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 74 Consideramos por tanto el sistema: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0''Dz''Cy''Bx''A 0´Dz´Cy'Bx'A 0DCzByAx Sean las matrices M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ''C''B''A 'C'B'A CBA y N = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ''D''C''B''A 'D'C'B'A DCBA Se establecen tres posibilidades: 1) rg(M)= rg(N)= 3 El sistema es compatible determinado según el teorema de Rouché. En ese caso existe un único punto común, luego la recta y el plano serán SECANTES en un punto. • 2) rg(M)= 2 y rg(N)= 3 El sistema es incompatible, no existen puntos comunes. Luego la recta es paralela al plano. 3) rg(M) = rg(N)= 2 El sistema es compatible indeterminado, es decir, recta y plano se cortan en infinitos puntos. Por tanto, la recta está contenida en el plano. Es evidente que no puede haber más posibilidades, pues el rg(M) no puede ser inferior a 2, ya que los dos planos que determinan la recta deben ser necesariamente independientes. Ejemplo: Hallar la posición relativa entre la recta z 2 y 3 1x == − y el plano 3x-y+z=1. Escribimos la recta en forma implícita ⎩ ⎨ ⎧ = =− z2y y32x2 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ =− =− 0z2y 2y3x2 Estudiamos el rango de las matrices: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 113 210 032 y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1113 0210 2032
Colegio Vizcaya Matemáticas II 75 Como |A| ≠ 0, rg(A)=3 y rg(C)=3 necesariamente, luego la recta es secante al plano. Si quisiéramos calcular el punto de corte, bastaría con resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que forman, por cualquiera de los métodos conocidos. Actividades 10. Halla la posición relativa entre el plano π : x–y+z–2=0 y la recta r: 3 2z 1 y 2 1x − == − 11. Dada la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =+−− =++ 0zy2x 1zyx determina el valor de a para que el plano 2x+y+az=b sea paralelo a r. Di para que valores de b la recta está contenida en el plano. 12. Halla la posición relativa de la recta r y el plano π según los valores de m. r: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ mmzyx mzymx 2 π : x + y + 2mz = 2 4.3 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS Consideramos los planos π : Ax+By+Cz+D=0 y π ’: A’x+B’y+C’z+D’=0 De nuevo, analizar su posición relativa es equivalente a estudiar la compatibilidad del sistema que forman. Sean las matrices M = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 'C'B'A CBA Y N = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 'D'C'B'A DCBA Se establecen tres casos posibles: 1) rg(M)= rg(N) = 2 En este caso, el sistema es compatible indeterminado y habrá infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Como los dos planos son independientes, serán planos secantes en una recta.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 76 2) rg(M)=1 y rg(N)=2 El sistema es incompatible, luego no existen puntos comunes y se deduce que son planos paralelos. Si el rg(M) es 1, eso significa que sus filas son proporcionales, es decir, se cumplirá que 'C C 'B B 'A A == . Al incorporar la última columna, aumenta el rango, luego se trata de una columna independiente que pierde la proporcionalidad, es decir: Si los planos son paralelos se cumplirá 'D D 'C C 'B B 'A A ≠== Esta condición nos permitirá reconocer el paralelismo entre dos planos mirando simplemente sus ecuaciones respectivas. 3) rg(M)= rg(N)=1 El sistema es compatible indeterminado y habrá infinitas soluciones dependientes de dos parámetros. Si el rango es 1, todos los coeficientes serán proporcionales, luego se trata de dos ecuaciones iguales, es decir, de dos planos coincidentes. Si los planos son coincidentes se cumplirá 'D D 'C C 'B B 'A A === Se deduce entonces que siempre que no exista proporcionalidad entre los coeficientes, los planos serán secantes. Escribe un par de planos: a) paralelos b) secantes c) coincidentes Actividad 13. Dado el plano π : 2x-y+3z+1 = 0, halla la ecuación del plano paralelo a π que pasa por el punto A(1,0,2). 4.4 POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Determinar la posición entre tres planos requiere estudiar la compatibilidad del sistema que forman. Consideramos los planos: α : Ax+By+Cz+D=0 β : A’x+B’y+C’z+D’=0 π : A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0
Colegio Vizcaya Matemáticas II 77 Sean las matrices M = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ''C''B''A 'C'B'A CBA Y N = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ''D''C''B''A 'D'C'B'A DCBA rg(M) Rg(N) CLASIFICACIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 3 3 Sistema compatible determinado 3 planos secantes en un punto 3 Sistema incompatible 3 planos secantes 2 a 2 en 3 rectas paralelas 2 planos paralelos y 1 secante a ambos 2 2 Sistema compatible indeterminado dependiente de 1 parámetro 3 planos secantes en la misma recta 2 planos coincidentes y 1 secante a ambos 2 Sistema incompatible 3 planos paralelos 2 planos coincidentes y 1 paralelo 1 1 Sistema compatible indeterminado de pendiente de 2 parámetros planos coincidentes ** 4 gráficos extraídos de la página www.xtec.es/~fgonzal2/** Siempre que hay dos posibles posiciones, en una de ellas hay planos paralelos o coincidentes, lo que nos permitirá distinguir en cada caso la posición correcta, sin más que comprobar si las ecuaciones tienen los coeficientes proporcionales.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 78 Actividades 14. Estudia la posición relativa de los siguientes tríos de planos: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−π =+−π =++π 0z2yx2: 0zy2x: 1zyx: 3 2 1 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+−π =−−π =+−π 1z3yx: 1zyx: 4z6y4x2: 3 2 1 2 c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++−π =+−π =−+π 1zyx: 2zyx: 1zyx: 3 2 1 d) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+−π =−+π =+−π 1z2yx2: 1zyx: 2z4y2x4: 3 2 1 e) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+π =−+π =+−π 3z4yx3: 2zy2x2: 1z2yx: 3 2 1 5 f) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−−π =+−−π −=−+π 1z2yx2: 2zyx: 6z3y3x3: 3 2 1 2 15. Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de m: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++π =++π =++π 0mzymx: 0zmyx: 0mzyx: 3 2 1 ¿Existe algún valor de m para el que los planos se corten en el punto (0,3,3)? 5. HACES DE PLANOS 5.1 HACES DE PLANOS PARALELOS Definición: Es el conjunto de todos los planos paralelos a uno dado. Si el plano dado es Ax+By+Cz+D=0, la ecuación del haz de planos paralelos es: Ax+By+Cz+k= 0 siendo k ∈R Ejemplo: El haz de planos paralelos al plano 3x-2y+z=5, tiene la forma: 3x-2y+z+k=0 k ∈R 5.2 HAZ DE PLANOS SECANTES A UNA RECTA DADA Definición: Es el conjunto de todos los planos que contienen a la misma recta r.
Colegio Vizcaya Matemáticas II 79 Si la recta r viene dada por r: ⎩ ⎨ ⎧ =+++ =+++ 0Dz'Cy'Bx'A 0DCzByAx , la ecuación del haz es: α (Ax+By+Cz+D) + β (A’x+B’y+C’z+D’) =0 siendo ∈βα, R no simultáneamente nulos. ya que cualquier plano que contenga a r debe ser una combinación lineal de los dos planos dados, pues tiene que formar con ellos un sistema compatible indeterminado. Ejemplo: El haz de planos secantes en la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ −=− =−+ 1zx 5z3yx es de la forma: α (x+y-3z-5) + β (x-z+1) =0 Cada uno de los planos que pasan por la recta r, se obtendría fijando valores cualquiera de α y β , no simultáneamente nulos. Por ejemplo, si α =1 y β =2 , el plano sería: x+y-3z-5 + 2(x-z+1) = 0 ⇒ 3x+y-5z-3=0
Colegio Vizcaya Matemáticas II 80 ESPACIO AFÍN: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Dados los puntos A(1,0,2), B(7,-6,-4) y C(4,3,5): a) Comprueba que están alineados. b) Divide el segmento AB en tres partes iguales. 2. Calcula el valor de a para que el punto A(1,2,3) pertenezca a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =−++ =−+ 06zyax 0zayx 3. Determina la ecuación del plano que contiene a los puntos A(-1,0,2) y B(3,4,0) y es paralelo a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ −=+− =−+ 1zyx2 3zyx 4. Comprueba si los puntos A(1,2,0), B(3,4,1), C(-1,0,1) y D(2,1,0) son coplanarios (se encuentran en el mismo plano). 5. Calcula los puntos de corte de la recta r: 2 z 1 1y 2 1x = + = − con los planos coordenados. 6. Halla la posición relativa de la recta r con cada una de las rectas siguientes: r: ⎩ ⎨ ⎧ −=−+ =+− 2z2yx 4yx a) s: ⎩ ⎨ ⎧ =+− =−+ 6z2yx 4z2yx b) t: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ−= λ−= λ−= 22z 2y 21x c) u: 3 3z 3 4y 3 x − = − = 7. Halla a para que las rectas r y s estén en un mismo plano y halla la ecuación de dicho plano: r: ⎩ ⎨ ⎧ = =+ 1y azx2 s: ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++− ayx 5z2y2x 8. Estudia, según los valores de m, la posición relativa de los planos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+−π =−+−π =−+−π 0mmzyx: 03mzmy2x: 01zy2mx: 3 2 1 4
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  • 1. Colegio Vizcaya Matemáticas II UNIDAD DIDÁCTICA 1 MATRICES 2º BACHILLER
  • 2. Colegio Vizcaya Matemáticas II 2 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Reconocer informaciones que se puedan representar mediante matrices. 2. Operar con matrices. 3. Reconocer características especiales de las operaciones con matrices, atendiendo a sus propiedades. 4. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales. 5. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales. CONCEPTOS 1. Definición de matriz. Tipos de matrices. 2. Operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, producto de matrices y potencias (método de inducción). Propiedades. 3. Matriz inversa: definición y cálculo directo. 4. Ecuaciones y sistemas matriciales.
  • 3. Colegio Vizcaya Matemáticas II 3 MATRICES 1. DEFINICIÓN Se llama matriz a todo conjunto de nos reales ordenados en una tabla de m filas y n columnas expresada entre paréntesis. Se representa por una letra mayúscula A, B… o como (aij), (bij)… Ejemplos: A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 413 102 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 214 213 100 En general, cualquier matriz es de la forma: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mn3m2m1m n2232221 n1131211 a...aaa ............... a...aaa a...aaa • Cada aij indica el elemento correspondiente a la fila i y la columna j. (El primer subíndice indica fila y el segundo columna) • Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es de orden o dimensión mxn. Consta de m·n elementos. • Dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y coinciden término a término. A = (aij) A = B ⇔ aij = bij B = (bij) 2. TIPOS DE MATRICES 2.1 Matriz Fila: Consta de una sola fila, es decir, es de orden 1xn. Ejemplo: A = ( )101 − Ejemplos: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 15 01 31 es una matriz de orden 3x2 y contiene 6 elementos. B = ( )31 − es de orden 1x2
  • 4. Colegio Vizcaya Matemáticas II 4 2.2 Matriz Columna: Consta de una sola columna, es decir es de orden mx1. Ejemplo: B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 2.3 Matriz Cuadrada: Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo nº de filas que de columnas, esto es, es de orden nxn aunque se expresa únicamente n. En caso contrario se llama rectangular. Ejemplo: C = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 41 matriz de orden 2 En las matrices cuadradas se llama diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, …, ann . La otra diagonal se llama diagonal secundaria y está formada por los aij tales que i+j = n+1. A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Diagonal Secundaria Diagonal Principal 2.4 Matriz Traspuesta de A: Dada una matriz A, se define su matriz traspuesta y se escribe At , como aquella que se obtiene cambiando en A filas por columnas. Ejemplo: A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 502 131 A t = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 51 03 21 Se observa que si A es de orden mxn, At será de orden nxm. 2.5 Matriz simétrica: Toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir: A = At o bien aij = aji ij∀ Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 135 321 513 Comprueba que coincide con su traspuesta y observa que se produce una simetría respecto a la diagonal principal.
  • 5. Colegio Vizcaya Matemáticas II 5 2.6 Matriz Hemisimétrica o Antisimétrica: Toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta: A = -At Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 035 301 510 2.7 Matriz Nula: Todos sus elementos son iguales a 0. Existe una para cada orden. Se representa O mxn Ejemplo: O 3x2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 000 000 O2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 00 00 2.8 Matriz Diagonal: Toda matriz cuadrada en la que los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son 0, es decir aij = 0 ji ≠∀ Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 300 000 002 2.9 Matriz Unidad/ Identidad: Toda matriz diagonal donde los elementos de la diagonal son iguales a 1. Se representa I o In Ejemplo: I 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 01 I3 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 001 2.10 Matriz Triangular Superior: Toda matriz cuadrada en la que los elementos situados por debajo de la diagonal principal son iguales a 0. Ejemplo: B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 200 110 031 2.11 Matriz Triangular Inferior: Toda matriz cuadrada en la que los elementos situados por encima de la diagonal principal son iguales a 0. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 745 031 001
  • 6. Colegio Vizcaya Matemáticas II 6 3. OPERACIONES CON MATRICES 3.1 SUMA Y RESTA Definición: Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden mxn, se define su suma como otra matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen sumando los respectivos elementos de A y B que se encuentran en el mismo lugar, es decir (aij) + (bij) = ( aij + bij) Ejemplo: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 501 312 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 061 734 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 560 446 Propiedades 1. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 2. Conmutativa: A + B = B + A 3. Elemento Neutro: La matriz nula O del mismo orden (A+O = O+A = A) 4. Elemento Opuesto de A: Toda matriz A = (aij) tiene una matriz opuesta -A = (-aij) ya que: (aij) + (-aij) = O Por cumplir estas cuatro propiedades, se dice que el conjunto de matrices de orden mxn, es un Grupo Abeliano respecto a la suma. Definición de RESTA: Suma con la matriz opuesta A – B = A + (-B) 3.2 PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Definición: Dada una matriz A=(aij) de orden mxn y un nº real p, se define el producto p · A como otra matriz de orden mxn cuyos elementos se obtienen multiplicando cada elemento de A por p, es decir, p · A = p (aij) = (p · aij) Ejemplo: 3 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 35 02 11 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 915 06 33 Propiedades 1. Distributiva respecto a la suma de matrices p (A + B) = p · A + p · B 2. Distributiva con respecto a la suma de escalares
  • 7. Colegio Vizcaya Matemáticas II 7 (k + p) · A = k · A + p · A 3. Asociativa mixta (k · p) · A = k (p · A) 4. 1 · A = A (1 es el elemento neutro del producto de nos reales) siendo p,k números reales cualesquiera y A,B matrices de orden mxn. Por cumplirse estas 4 propiedades respecto al producto de una matriz por un escalar, y por ser un grupo abeliano respecto a la suma, se dice que el conjunto de matrices de orden mxn es un Espacio Vectorial. Actividades 1. Escribe, si es posible: a) La matriz unidad de orden 5 b) Una matriz diagonal de orden 3 c) La matriz nula de orden 3x2 d) Una matriz simétrica de orden 2x4 2. Hallar x e y para que: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 021 1x3 + 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4x5 312 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 8y11 737 3.3 PRODUCTO DE MATRICES Veamos primero algunos ejemplos: a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 43 12 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 75 01 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ −+−+ 7·40·35·41·3 7)·1(0·25)·1(1·2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− 2823 73 b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 104 312 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 78 26 53 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+++− +−−++−+− 7·1)2·(05·48·16·0)3·(4 7·3)2)·(1(5·28·36)·1()3·(2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 274 3312 c) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 104 312 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 75 01 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+ ·?35)·1(1·2 No es posible Se observa que cada fila de la matriz resultante se obtiene multiplicando escalarmente dicha fila de la primera matriz, por cada columna de la segunda. También se observa que para que dicho producto escalar sea posible, es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual que el número de filas de la segunda. Además, la matriz producto tendrá tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda. Por tanto:
  • 8. Colegio Vizcaya Matemáticas II 8 Definición: Dos matrices A de orden mxn y B de orden sxt son multiplicables, si el nº de columnas de A coincide con el nº de filas de B, es decir, n = s. Definición: Dadas dos matrices A = (aij) de orden mxn y B = (bij) de orden nxp, se define el producto de A y B como otra matriz C = (cij) de orden mxp, donde cada elemento cij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B. Es decir: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mn2m1m in2i1i n11211 a...aa ............ a...aa ............ a...aa · ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ npnj1n p2j221 p1j111 b...b...b ............... b...b...b b...b...b = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mp1m ij p111 c...c ...c... c...c donde cij = a njinj22ij11i b·a...b·ab· +++ Actividades 3. Dadas las matrices A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 103 112 011 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 011 113 210 calcula: a) A+B b) A+2B c) A·B d) A2 e) A2 - B2 f) B·A g) A·B·A h) (A+B)·(A-B) 4. Encuentra el valor de x e y para que se verifique cada igualdad: a) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 011 302 113 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 22y 111 1x2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 001 481 628 b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − tz yx · 11 23 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 11 01 5. Calcula A·B y B·A siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 22 10 31 y B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 310 112 Propiedades 1. Asociativa (A · B) · C = A · (B · C) 2. Distributiva respecto a la suma A · (B + C) = A · B + A · C
  • 9. Colegio Vizcaya Matemáticas II 9 (A + B) · C = A · C + B · C Se deduce que sólo se puede sacar factor común una matriz en una suma, si dicha matriz multiplica en todos los sumandos por el mismo lado (derecha o izquierda) ya que: 3. NO se cumple la conmutativa De hecho, es posible que no exista A·B o B·A según la dimensión de cada matriz. Por ello, es importante mantener el orden en el que aparezcan las matrices que se van a multiplicar. Si A es de orden mxn A·B es de orden mxp ⇒ B·A no existe B es de orden nxp Se hace necesario entonces hablar de multiplicación por la izquierda o por la derecha. Como consecuencia de esto, no se cumplen las igualdades notables: (A ± B)2 ≠ A2 ± 2 AB + B2 (A + B) · (A –B) ≠ A2 – B2 porque (A+B)2 = (A+B)·(A+B) = A 22 BA·BB·A +++ , como A·B es distinto de B·A, no se puede sustituir por 2A·B. 4. Si A · B = A · C ⇒ B = C Busca un ejemplo que lo confirme 5. Si A · B = O ⇒ A = O ó B = O Ejemplo: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 00 00 11 1-1- · 11 11 3.4 POTENCIA DE UNA MATRIZ Definición: Se define la potencia n-ésima de A, matriz cuadrada, como: An = 43421 vecesn A·...·A·A Es evidente que si A es rectangular no se podrá multiplicar por sí misma.
  • 10. Colegio Vizcaya Matemáticas II 10 Para calcular An dada la matriz A, nos serviremos del método de inducción. Ejemplo: Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 , hallar An . El método de inducción requiere tres pasos: 1) Calculamos las primeras 3 ó 4 potencias: A2 , A3 , A 4 … A2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 141 A 3 = A2 · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 141 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 211 A 4 = A 3 · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 211 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 281 2) Suponemos, aplicando la misma regla, que An = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 n71 3) Demostramos que la siguiente potencia A 1n+ sigue también la misma regla en cuyo caso, como n representa cualquier potencia, demostraríamos que si una potencia sigue ese patrón, la siguiente también, por lo que sería un patrón válido para todo valor de n. Es decir, se debería cumplir: A 1n+ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 10 )1n(71 vamos a comprobarlo: A 1n+ = An · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 n71 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 10 n771 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 10 )1n(71 c.q.d. Actividad 6. Calcula la potencia n-ésima de las matrices: a) A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 71 b) B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 102 010 001
  • 11. Colegio Vizcaya Matemáticas II 11 4. MATRIZ INVERSA Definición: Se define matriz inversa de A cuadrada y de orden n, y se escribe A-1 , como la matriz de orden n que cumple: A · A-1 = A-1 · A = I No todas las matrices cuadradas tiene inversa. Descubriremos la causa en la siguiente unidad sobre determinantes. Ejemplo: Calculo Directo: Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 12 11 , hallar A-1 Llamamos A 1− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ tz yx . Se debe cumplir: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 12 11 · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ tz yx = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 01 ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ −− ty2zx2 tyzx = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 01 ⇒ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =− =+ =− 1ty2 0ty 0zx2 1zx Luego la matriz inversa es: A 1− = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 1 3 2 3 1 3 1 En la siguiente unidad estudiaremos otra manera más ventajosa de calcular la matriz inversa, pues si la matriz es de orden 3 o superior, habría que manejar un número elevado de incógnitas (9, 16 …) Actividad 7. Calcula la matriz inversa de B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 62 31 3x = 1 ⇒ x = 3 1 , z = - 3 2 3y = 1 ⇒ y = 3 1 , t = 3 1
  • 12. Colegio Vizcaya Matemáticas II 12 5. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son aquellos en los que las incógnitas son matrices. Ejemplos: 1) Hallar la matriz X tal que A·X = B dadas A y B 2) Hallar las matrices A y B tales que: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− =− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+ 531 001 B2A2 210 113 BA Se procede de la misma forma que con ecuaciones lineales teniendo en cuenta la no conmutatividad. Ejemplo: 1) A·X = B si utilizamos la matriz inversa y la multiplicamos en ambos miembros: A 1− ·A·X = A 1− ·B ⇒ I·X = A 1− ·B ⇒ X = A 1− ·B (Es importante multiplicar A 1− en ambos miembros por la izquierda o en ambos por la derecha para que la ecuación no varíe dada la no conmutatividad) 2) X·A = B ⇒ X·A· A 1− = B· A 1− ⇒ X·I = B· A 1− ⇒ X = B· A 1− Comprueba que siempre se verifica: A · I = I · A = A (es decir, la matriz unidad actúa de elemento neutro del producto) Actividad 8. Resuelve el sistema matricial: 2X – 3Y = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 411 15 X + Y = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 1 2 1 2 1 3 1
  • 13. Colegio Vizcaya Matemáticas II 13 MATRICES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Escribe una matriz de orden 3 que cumpla: aij = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < jisi1- jisi3 2. Resolver el sistema matricial: 5X – Y = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 302 211 4X – 5Y = - ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 412 310 3. Realiza las siguientes operaciones: a) 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 15 00 13 - 6 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 24 12 01 7 14 13 21 = b) 2 11 02 3 1 10 13 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − c) - 2 05 21 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 12 30 11 010 213 4. Realiza todas las multiplicaciones posibles entre las matrices: A = ( )231 − B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 0 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 145 210 213 5. Dadas las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 31 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 50 31 12 comprobar que (B·A) t = A ·t B t 6. Calcula el valor de m y n para que se cumpla la igualdad: A2 - m·A – n·I = O siendo A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 17 52 , I la matriz identidad de orden 2 y m,n ∈R. (Observa que O no puede ser el número 0 pues la igualdad no podría cumplirse. Lógicamente es la matriz nula de orden 2)
  • 14. Colegio Vizcaya Matemáticas II 14 7. Hallar A2 - B2 siendo A + B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 21 12 y A – B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 01 10 8. Hallar, en cada caso, la matriz X que verifique: a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − 11 12 + 3X = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 12 21 2 1 b) X · ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 26 0 2 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 3 3 1 c) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 32 11 · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 4944 2411 9. Dadas las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 412 321 y B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 505 1371 , hallar la matriz C tal que B = C · A. 10. Demostrar que las matrices de la forma ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ab ba y ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ cd dc conmutan para cualquier valor de a,b,c,d ∈ R. 11. Halla el conjunto de matrices que conmutan con: a) A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 32 11 b) B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 11 c) C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 110 010 001 12. Calcula la potencia n-ésima de las matrices: a) C = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 01 10 b) D = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ a0 1a c) E = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 111 111 111 d) F = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 101 e) G = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 000 100 010 13. Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 01 21 , ¿es posible hallar una matriz B tal que A · B = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 5 ? , ¿y una matriz C tal que C · A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 5 ? Razónalo. 14. Dada la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− 431 541 430
  • 15. Colegio Vizcaya Matemáticas II 15 a) Demuestra que verifica la igualdad A3 + I = O, siendo I la matriz unidad y O la matriz nula. b) Calcula razonadamente A10 . 15. Dada la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 25 13 , halla la matriz B tal que B = 3A t ·A – 2I y resuelve la ecuación A·X = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 02 . 16. Hallar el valor de k para que la matriz (A-kI)2 sea la matriz nula, siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− 311 201 210 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 17. (JUNIO 2008) Sean A y M las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 31 23 M = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ qp nm . Encontrar las condiciones que deben cumplir m, n, p y q para que se verifique que el producto de ambas matrices efectuado en las dos formas posibles, sea el mismo. 18. (JULIO 2007) Sean A, I y B las matrices dadas por A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 001 011 110 I = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 001 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− 514 123 436 Contestar razonadamente la siguiente pregunta: ¿existe algún valor de λ ∈R tal que la igualdad (A - λ I) 2 = B sea cierta? En caso afirmativo, encontrar dicho valor de λ . 19. (JUNIO 2003) Sea A la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 13 01 y sea n un nº natural cualquiera. Encontrar el valor de An para cada n y hallar A350 - A 250 . 20. (JULIO 2004) Encontrar todas las matrices cuadradas de orden 2 que conmutan respecto al producto con la matriz A dada por A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 21 .
  • 16. Colegio Vizcaya Matemáticas II 16 21. (JULIO 2002) Dos alumnos de 2º curso discuten sobre el valor de la potencia n-ésima de la matriz A dada por A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 31 . Uno afirma que para cada n natural se verifica que An = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − n n 20 )12(31 y el otro dice que la verdadera fórmula de An es An = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n 20 31 . ¿Alguno de ellos está en lo cierto? Razonar la contestación. 22. (JUNIO 2002) Encontrar las matrices A y B sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones matriciales: 2A+3B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1338 61118 748 -A+5B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1359 10117 1629 23. (SEPTIEMBRE 98/99) Sean A y B las matrices dadas por: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 052 025 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 0cc 0ba encontrar las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, b y c para que se verifique A·B = B·A 24. (JUNIO 98/99) Calcular la matriz A sabiendo que se verifica la igualdad: A · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 300 320 321 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 y explicar el método seguido. 25. (SEPTIEMBRE 98) Sea la matriz A = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 00 030 001 . Calcular la forma general de la matriz An donde n es un número natural cualquiera.
  • 17. Colegio Vizcaya Matemáticas II 17 CUESTIONES 26. Siendo A y B dos matrices de orden 3 tales que: A= (aij ) = (i-j) y B= (bij )= [ ]1jji 2)1( ++ +− calcula las matrices A+B, 2A-3B y A·B. 27. Si A es una matriz de orden 3 prueba que A+A t es una matriz simétrica. ¿Se puede generalizar a orden n? 28. Sean A,B y C tres matrices cuadradas de orden n. ¿Son ciertas las igualdades siguientes? Razónalo. a) (A+B)2 = A2 +2AB+B2 b) AB+CA = (B+C)A c) AB+ABC = AB(I+C) d) AB+CA = A(B+C) 29. Si A es una matriz tal que A2 = A (idempotente) y B = 2A-I, demuestra que B2 = I. 30. Si A·B = A·C, ¿se puede asegurar que B=C? Si A·B = O, ¿se puede asegurar que A=O ó B=O? Razónalo en caso afirmativo y, en caso negativo, escribe un contraejemplo. 31. Demuestra que si A·B =A y B·A = B siendo A y B matrices cuadradas de orden n, entonces A2 =A. 32. Justifica por qué no es cierta la igualdad (A+B)·(A-B) = A2 - B 2 33. Indica por qué no pueden efectuarse las siguientes operaciones: a) ( ) ( )258712 3 1 1 +⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − b) 2 560 041 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 402 311
  • 18. Colegio Vizcaya Matemáticas II 18 c) 1 00 21 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ · ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 11 53 34. Si la matriz A tiene orden nxm y la matriz B, mxn, indica si pueden realizarse las siguientes operaciones y, en caso afirmativo, di el orden de la matriz resultante: a) A·B b) B·A c) 3·A d) A·B+In e) A+B f) A2 35. Razona si es verdadero o falso: a) Toda matriz diagonal es simétrica b) La matriz nula de orden 2x4 es simétrica c) La matriz unidad es triangular superior d) Toda matriz triangular superior e inferior es diagonal e) Toda matriz nula es diagonal 36. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, razona cuáles de las siguientes propiedades son ciertas: a) A·B = B·A b) (A+B)+C = A+(B+C) c) (A·B) t = A t ·B t d) A3 = A ·2 A = A·A2 e) (A+B) t = A t +B t f) p·(q·A) = (p·q)·A g) (A+B) 2 = A2 +2AB+B2 h) B·A+C·B = B·(A+C) 37. Dada una matriz A: a) ¿Existe una matriz B tal que A·B sea una matriz fila? En caso afirmativo, ¿qué orden tendrá B si A es una matriz mxn? b) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una matriz fila? En caso afirmativo, ¿qué orden tendrá B si A es una matriz mxn? Pon un ejemplo en cada caso siendo A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 031 211 38. Definimos la traza de una matriz cuadrada A de orden 2 como: tr(A) = a11 +a 22 . Prueba que si A y B son dos matrices cuadradas de orden 2, entonces se cumple: tr(A·B) = tr(B·A)
  • 19. Colegio Vizcaya Matemáticas II 19 UNIDAD 2 DETERMINANTES 2º BACHILLER
  • 20. Colegio Vizcaya Matemáticas II 20 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer el concepto de determinante de una matriz cuadrada. 2. Conocer y aplicar las propiedades de los determinantes. 3. Calcular el valor de un determinante de cualquier orden empleando la regla de Sarrus y el desarrollo por los elementos de una línea. 4. Utilizar los determinantes para asegurar la existencia de la inversa de una matriz y para calcular dicha inversa. 5. Hallar el rango de una matriz por medio de sus menores. CONCEPTOS 1. Determinantes de orden 2 y 3: concepto y cálculo. 2. Propiedades de los determinantes. 3. Menores complementarios y matriz adjunta. 4. Cálculo del valor de un determinantede cualquier orden por el desarrollo de una línea. 5. Determinación de la matriz inversa. 6. Rango de una matriz.
  • 21. Colegio Vizcaya Matemáticas II 21 1. INTRODUCCIÓN Para llegar a la definición de determinante de una matriz son necesarios algunos conocimientos previos. Definición 1 Se llaman permutaciones de n elementos (nos naturales) a las distintas maneras en que pueden ordenarse. De entre ellas, se llama permutación principal a la que respeta el orden natural creciente de sus elementos. Ejemplo: 3,1,2,4 1,4,3,2 2,1,4,3 … son permutaciones de 4 elementos. 1,2,3,4 es la permutación principal. Con 2 elementos hay 2 permutaciones: 1,2 y 2,1. Con 3 elementos hay 6 permutaciones: 1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1 Con 4 elementos hay _______ permutaciones. Escríbelas. Determina, en general, el número de permutaciones para n elementos. Definición 2 Se dice que 2 elementos de una permutación cualquiera de n elementos presentan una inversión, si están en orden contrario al de la permutación principal, y se dice que presentan permanencia si están en el mismo orden. Ejemplo: 2 1 4 5 3 Permanencia inversión Para contar todas las inversiones de una permutación, se compara cada elemento con todos los que le siguen. Ejemplo: 2 4 1 3 Inv. Inv. Inv. Esta permutación tiene 3 inversiones en total.
  • 22. Colegio Vizcaya Matemáticas II 22 Definición 3 Se dice que una permutación es de clase par si tiene un nº par de inversiones y de clase impar si tiene un nº impar de inversiones. Indica la clase de las siguientes permutaciones: 2 5 3 1 4 2 4 3 1 5 De las n! permutaciones de 1, 2, …, n, la mitad ( 2 n! ) son de clase par y la otra mitad son de clase impar. Ejemplo: Veámoslo con las permutaciones de tres elementos: 1 2 3 — 0 inversiones — PAR 1 3 2 — 1 inversiones — IMPAR 2 1 3 — 1 inversiones — IMPAR 2 3 1 — 2 inversiones — PAR 3 1 2 — 2 inversiones — PAR 3 2 1 — 3 inversiones — IMPAR Definición 4 Se llama signatura de una permutación al nº ( )ν 1− donde ν representa al nº de inversiones de la permutación. Por tanto, las permutaciones pares tendrán signatura 1 y las impares -1. PROPOSICIÓN Si en una permutación intercambiamos entre sí 2 elementos cualesquiera, ésta cambia de clase. Ejemplo: 2, 5, 3, 1, 4 5 inversiones: Clase IMPAR Intercambiamos el 4 con el 5: 2, 4, 3, 1, 5 4 inversiones: Clase PAR Demostración 1) Si intercambiamos dos nos consecutivos, lo único que se altera es el orden establecido entre ellos porque su situación respecto a los restantes no varía. Por tanto, aumenta o disminuye 1 unidad el nº de inversiones y cambia la clase. 2) Si no son consecutivos, hay h espacios intermedios entre ambos nos . Para pasar el 1º hasta el lugar del 2º hay que realizar h cambios con su inmediato a la derecha, y para pasar del 2º al lugar del 1º, h-1 cambios con el consecutivo a su izquierda. Son en total 2h-1 cambios consecutivos y en cada uno de ellos cambia la clase. Por ser un nº impar de cambios, el resultado final (par o impar) es contrario al inicial.
  • 23. Colegio Vizcaya Matemáticas II 23 Utilizaremos el ejemplo anterior para comprender la idea. Partimos de la permutación 2. 5, 3, 1, 4 de clase impar e intercambiamos el 5 con el 4 a través de sucesivos cambios consecutivos. Para llevar el 5 al lugar del 4 hay que hacer 3 cambios con su inmediato a la derecha y para retroceder el 4 hasta el lugar del 5 se necesitan 2 cambios consecutivos con el inmediato a la izquierda. cambios5 osconsecutivcambios2 51342 51432 osconsecutivcambios3 54132 45132 41532 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎭ ⎬ ⎫ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Como en cada intercambio cambia la clase e inicialmente era impar, quedará finalmente par (IMPAR-par-impar-par-impar-PAR) 2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinante de una matriz es, en definitiva, un número real. El cálculo de dicho número en cada matriz, se realiza de la siguiente forma: 1) se hacen todos los productos posibles de elementos de distinta fila y columna 2) se suman (restan) todos los productos adjudicándoles un signo + o – según un criterio que se explica a continuación. Según este procedimiento, sólo las matrices cuadradas tendrán determinante. DETERMINANTES DE ORDEN 2 Para expresar el determinante de una matriz ésta se escribe entre barras. a·aa·a aa a 21122211 2221 1211a −= a11 · a22 y a12 · a21 son los dos únicos productos de elementos de fila y columna distinta. El primer subíndice es 1,2 en ambos, lo que garantiza que hay uno de cada fila y no se repite ninguna. Igualmente, los segundos subíndices son 1,2 y 2,1 (permutaciones de 1,2) que indican que hay uno de cada columna sin repetición y que se han contemplado todas las posibilidades. Los sumandos cuya permutación sea par llevarán signo + y aquellos de permutación impar, signo -. Ejemplo: ( ) 115·1-3·2 35 1-2 =−=
  • 24. Colegio Vizcaya Matemáticas II 24 DETERMINANTES DE ORDEN 3 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 = a11 · a22 · a33 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31 - - a13 · a22 · a31 + a13 · a21 · a32 Se comprueba que los 6 sumandos son todos los posibles ya que 1,2,3 son los primeros subíndices (uno de cada fila) y los segundos subíndices son todas las permutaciones de 1,2,3. El signo de cada sumando se corresponde con la clase de la permutación de la siguiente forma: 1 2 3 PAR (+) 1 3 2 IMPAR (-) 2 1 3 IMPAR (-) 2 3 1 PAR (+) 3 2 1 IMPAR (-) 3 1 2 PAR (+) Ejemplo: 032 110 311 − − = 0 + 0 + 2 – 6 – 0 – (-3) = -1 Ahora podemos generalizar la definición a matrices cuadradas de cualquier orden. Definición Dada una matriz A cuadrada de orden n, se llama determinante de A y se escribe |A|, al nº real que se obtiene al sumar todos los posibles productos de elementos de fila y columna distintas, es decir, suma de productos de la forma a j11 · a j22 · … · a jnn donde j1, j2, …, jn representa las n! permutaciones de 1, 2, …, n siendo el signo de cada sumando positivo o negativo, dependiendo de si la permutación es par o impar. Es decir, |A| = ∑ (-1) ν · a j11 · a j22 · … · a jnn Se agrupan los 3 sumandos positivos y los 3 negativos mediante el siguiente esquema conocido como REGLA DE SARRUS.
  • 25. Colegio Vizcaya Matemáticas II 25 - Hay n! sumandos con n factores cada uno. - 2 n! sumandos son positivos y 2 n! son negativos. -Cada sumando puede tener los factores ordenados por columnas permutando las filas. |A| = ∑ (-1) ν · a 11j · a 22j · … · a nnj Actividades 1. Calcula los siguientes determinantes: a) 31 15 − b) 1ba ab + c) 132 050 211 −− − d) 110 231 035 − −− e) 021 x30 y1x − − 2. Resuelve las ecuaciones: a) x23 xx5 − + = 15 b) x34 1xx2 011 − − = -47 c) a10 0aa aa1 2 2 =8 Definición Una matriz cuadrada A se dice regular si su determinante es distinto de 0. En caso contrario se llama singular. Parece evidente que calcular determinantes de orden 4 o superior, sería excesivamente laborioso si seguimos la definición, pues habría que calcular 24 productos de 4 elementos cada uno, 120 de 5 etc. Se hace necesario entonces encontrar un método equivalente para determinantes de orden superior a 3 y, para ello, haremos previamente un estudio de sus propiedades. 3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1) El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. |A| = |At | Ejemplo: |A|= 521- 431- 001 − =1·3·5 + (-1)·2·0 + 0·(-4)·(-1) – 0·3·(-1) – 0·(-1)·5 – 1·(-4)·2= 23 |A t |= 54-0 230 1-11 − =1·3·5 + 0·(-4)·(-1)+ (-1)·2·0 – (-1)·3·0 – (-1)·0·5 – 2·(-4)·1=23 De hecho, coinciden uno a uno todos los sumandos.
  • 26. Colegio Vizcaya Matemáticas II 26 2) Si se intercambian entre sí dos líneas (filas o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. Ejemplo: 001 4-31- 521- = (-1)·3·0 + 5·(-1)·0 + 2·(-4)·1 – 5·3·1 – 2·(-1)·0 – 0·(-4)·(-1) = -23 Se han intercambiado la fila 1 y la fila 3. Justificación Al intercambiar dos líneas, se intercambian dos elementos en cada permutación, por lo que ésta cambia de clase. Por ello, cada sumando cambia de signo y con ello el resultado final. 3) Si en una matriz cuadrada hay 2 líneas iguales, su determinante es 0. Al intercambiar entre sí las dos líneas iguales el determinante no varía pero, por otro lado, debe cambiar de signo, según la propiedad nº 2, es decir |A| = - |A| ⇒ |A| = 0 4) Si se multiplican todos los elementos de una misma línea (fila o columna) por un nº k, todo el determinante queda multiplicado por dicho número. Se debe a que en todos los sumandos del determinante aparecerá un solo elemento de esa línea, luego todos los sumandos estarán multiplicados por k que puede sacarse como factor común. Ejemplo: 521- 431- 001 − = 1·3·5 + (-1)·2·0 + 0·(-4)·(-1) – 0·3·(-1) – 0·(-1)·5 – 1·(-4)·2= 23 521- 862- 001 − = 1·6·5 + (-2)·2·0 * 0·(-8)·(-1) – 0·6·(-1) – 0·(-2)·5 – 1·(-8)·2= 46 Igualmente, esto indica que si una línea completa es múltiplo de un número, éste puede sacarse como factor común. Ejemplo: 642 903- 321 = 2 · 3 · 321 301- 321
  • 27. Colegio Vizcaya Matemáticas II 27 5) Si todos los elementos de una línea de una matriz son ceros, su determinante será cero. Lógicamente, en todos los sumandos del determinante aparecerá un elemento de esa línea, por lo que todos los sumandos serán nulos y, por tanto, el determinante será 0. 6) Si en una matriz cuadrada hay dos líneas proporcionales, su determinante es 0. Puede salir como factor común la constante de proporcionalidad, quedando 2 líneas iguales. Ejemplo: 642 401- 321 = 2 · 321 401- 321 = 2 · 0 = 0 7) Si todos los elementos de una línea de una matriz se descomponen en una suma de dos sumandos, su determinante se descompone en la suma de dos determinantes de la siguiente forma: fed cba + + = fd ca + fe cb 8) El determinante de una matriz no varía si cambiamos una línea por la suma de ella más una combinación lineal de otras. Ejemplo: 521- 4-31- 001 = 23 3-84- 4-31- 001 = -9 + 32 = 23 Esto es debido a que en base a las propiedades anteriores: 3-84- 4-31- 001 = 2·(-4)0-52·30-22(-1)1-1- 4-31- 001 +++ = = 521- 4-31- 001 + 001- 4-31- 001 + 2(-4)2·32(-1) 4-31- 001 = 23 + 0 + 0 = 23 f 3 - f1 + 2·f 2
  • 28. Colegio Vizcaya Matemáticas II 28 9) Si en una matriz una de las líneas es combinación lineal de otras, su determinante es 0. (Engloba las propiedades 3, 5, 6) Ejemplo: 37-3- 132 51-1 = 51-1 132 51-1 + (-2)1(-2)3(-2)2 132 51-1 = 0 + 0 = 0 10) |A · B| = |A| · |B| ( | A + B | ≠ | A | + | B | ) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes. Actividades 3. Si se cumple que ihg fed cba A = = 4, halla: a) A3 b) A− c) if2c he2b gd2a d) cba ihg fed e) i 2 1 h 2 1 g 2 1 f3e3d3 cba −−− 4. Comprueba, sin desarrollarlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 30: 2820 51510 369 − − −− 5. Comprueba, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15: 552 522 051 6. Calcula, sin desarrollar, el determinante: caca cbcb baba + + + f 3 = f 1 - 2·f 2
  • 29. Colegio Vizcaya Matemáticas II 29 4. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA Definición 1 Dada una matriz cuadrada de orden n, A = (aij), se llama menor complementario del elemento aij y se escribe ijα , al determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i y la columna j. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 225 041 213 Cada elemento tendría su menor complementario. Definición 2 Se llama adjunto del elemento aij y se escribe Aij, al producto: Aij = (-1)i+j · ijα Ejemplo: A12 = (-1)3 · 12α = - (-2) = 2 En la matriz del ejemplo anterior: A23 = (-1)5 · 23α = - (-11) = 11 A22 = (-1)4 · 22α = 25 23 = -4 Se observa que a cada elemento de la matriz le corresponde su adjunto y que éste, es igual al menor complementario si la suma de subíndices es par y es opuesto si dicha suma es impar. PROPOSICIÓN Si A es una matriz cuadrada de orden n, su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de UNA línea (fila o columna) por sus adjuntos correspondientes. Ejemplo: Si desarrollamos por la fila 2: = (-1) · A21 + 3 · A22 + (-4) · A23 = = (-1) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 52 00 + 3 · 51- 01 + (-4) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 21- 01 = 0 + 15 + 8 = 23 12α = 25 01- = -2 23α = 2-5 13 = -11 521- 4-31- 001
  • 30. Colegio Vizcaya Matemáticas II 30 Si desarrollamos por la columna 3: = 0 · A13 + (-4) · A23 + 5 · A33 = 0 + (-4) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 21- 01 + 5 · 31- 01 = = (-4)·(-2) + 5·3 = 23 Si desarrollamos por la fila 1: = 1 · A11 + 0 · A12 + 0 · A13 = 52 4-3 = 15 + 8 = 23 Se observa que se puede calcular un determinante de orden 3 a través de 3 determinantes de orden 2 (para calcular un determinante de orden n es necesario calcular n determinantes de orden n-1) y que, además, el resultado es el mismo independientemente de la línea que se elija para desarrollar. Por su evidente ventaja, elegiremos siempre la línea que tenga mayor número de ceros. Es más, podemos pensar en conseguir más ceros usando las propiedades de los determinantes, sobre todo la nº 8. Ejemplo: [ ] 1210 1121 1111 1101 −− − = 1210 2221 2011 0001 −− = 1 · A11 +0 + 0 + 0 = 1 · [ ] 121 2-22 201 = = 1-21 6-22 001 = 1 · A11 = 1-2 6-2 = 10 Se fija una fila o columna (que ya tenga el mayor número de ceros) y dentro de ella se elige un elemento que llamaremos pivote (por comodidad se elegirá, si existe, un 1). Si se decide hacer ceros en la fila del pivote, se fija su columna y viceversa (se fija la fila si se decide hacer ceros en la columna del pivote) El resto de las columnas (filas en el segundo caso) se cambiarán sin variar el determinante, a través de la propiedad 8. c3 – c1 c4 + c1 Desarrollo por f1 Pivote Pivote c3 – 2c1 521- 4-31- 001 521- 4-31- 001
  • 31. Colegio Vizcaya Matemáticas II 31 Actividades 7. Resuelve los determinantes: a) 0320 1125 1102 3011 −− − − b) 1302 1031 1022 1110 − − − − c) 0013 2100 4111 2012 − −− − d) 3051 2101 3120 0214 − − − e) 00131 10122 51300 11202 11310 − −− − − f) 02111 34032 10125 31102 00311 − −− − − 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x213 2x13 32x1 321x = 0 b) x011 1x11 11xx 011x − − −− −− = 0 9. Resuelve los siguientes determinantes: a) 1aaaa a1aaa aa1aa aaa1a + + + + b) x101 1x10 01x1 101x − − − − c) c00x 0b0x 0aax 1111 5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Definición Se llama matriz inversa de una matriz dada A cuadrada, a otra matriz del mismo orden A-1 tal que: A · A-1 = A-1 · A = I Para calcular la matriz inversa introduciremos algunos conceptos. Proposición La suma de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea paralela a ella es 0.
  • 32. Colegio Vizcaya Matemáticas II 32 Ejemplo: Dado el determinante 2-54 102 31-1 Multiplicamos los elementos de la fila 1 por los adjuntos de la fila 3: a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 1 · 10 31− + (-1) · ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 12 31 + 3 · 02 1-1 = = -1 – 5 + 6 = 0 ya que en realidad, a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 31-1 102 31-1 = 0 En realidad es el desarrollo de un determinante con dos líneas iguales Definición Se llama matriz adjunta de la matriz A y se escribe Adj(A) a la matriz que resulta de sustituir en A cada elemento por su adjunto Aij. Adj(A) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ AAA AAA AAA 333231 232221 131211 Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2-54 102 31-1 Adj(A) = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 251- 9-14-13 1085- PROPOSICIÓN Toda matriz conmuta con la traspuesta de su adjunta y además el resultado de ese producto es |A| · I, es decir: A · ( )t Adj.(A) = ( )t Adj.(A) · A = |A| · I
  • 33. Colegio Vizcaya Matemáticas II 33 Demostración A · ( )t Adj.(A) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ aaa aaa aaa 333231 232221 131211 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ AAA AAA AAA 332313 322212 312111 = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++++++ ++++++ ++++++ AaAaAaAaAaAaAaAaAa AaAaAaAaAaAaAaAaAa AaAaAaAaAaAaAaAaAa 33 3332 3231 3133 2332 2231 2133 1332 1231 11 23 3322 3221 3123 2322 2221 2123 1322 1221 11 13 3312 3211 3113 2312 2211 2113 1312 1211 11 = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ |A|00 0|A|0 00|A| = |A| · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 010 001 = |A| · I ya que en la diagonal se encuentran los productos de los elementos de una línea por sus propios adjuntos (lo que da lugar al determinante de la matriz), y el resto son productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una paralela ( que equivalen a 0 por la proposición anterior) Definición Se llama Matriz Inversa de una matriz dada, A cuadrada, a otra matriz del mismo orden A-1 tal que: A · A-1 = A-1 · A = I PROPOSICIÓN Si A es una matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de 0 (regular), existe su inversa A-1 y coincide con: A-1 = [ ] |A| Adj.(A) t Demostración La afirmación se deduce de la proposición anterior, teniendo en cuenta que |A|, por ser un nº real, puede pasar dividiendo al otro miembro de la igualdad. (Por supuesto sólo si es distinto de 0) A · [ ]Adj.(A) t = [ ]Adj.(A) t · A = |A| · I A · [ ] |A| )A(Adj t = [ ] |A| )A(Adj t · A = I Se observa entonces que la matriz que verifica las condiciones de la inversa (conmuta con A y el producto es la identidad), es: [ ] |A| )A(Adj t . Las matrices singulares (cuyo determinante es 0) no tienen inversa.
  • 34. Colegio Vizcaya Matemáticas II 34 Ejemplo: Hallar la matriz inversa de A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 420 441 |A| = 2 ≠ 0 1) Adj(A) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ++ 24-8 0-14- 00-2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 24-8 014- 002 2) [ ]Adj.(A) t = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 4-10 84-2 3) A-1 = [ ] |A| Adj.(A) t = 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 4-10 84-2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 2- 2 10 42-1 4) Comprobar que A · A-1 = I Actividades 10. Halla, si es posible, la matriz inversa en cada caso: a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− 13 21 b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 26 13 c) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 142 030 121 11. Dada la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 200 11a 1a1 a) ¿Para qué valores de a tendrá inversa (será inversible) la matriz? b) Halla dicha matriz inversa para a=2. PROPOSICIÓN La matriz inversa de A, si existe, es única. Demostración Por reducción al absurdo, supongamos que A posee 2 matrices inversas B y C, es decir: ⎭ ⎬ ⎫ == == IA·CC·A IA·BB·A entonces:
  • 35. Colegio Vizcaya Matemáticas II 35 C = C · I = C (A · B) = (C · A) · B = I · B = B asociativa Se deduce entonces, que no puede haber dos inversas distintas, pues suponiendo que las hubiera, serían la misma. 6. RANGO DE UNA MATRIZ Definición Se llama menor de orden p de una matriz A, a cualquier determinante de orden p que se obtiene al suprimir en A alguna fila y/o columna. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1220 0314 2511 menores de orden 1: |4|, |-1|, |0|… hay 12 en total menores de orden 2: 2-0 51 , 12 01− , 20 14 − … menores de orden 3: 120 01-4 21-1 , 120 034 251 − … hay 4 en total Esta matriz no puede tener menores de orden 4 o superior por contener sólo 3 filas. Es evidente que si A es de orden mxn y p es el orden de cualquiera de sus menores, entonces p ≤ n y p ≤ m, o lo que es lo mismo: p ≤ min{ }n,m Si la matriz es cuadrada se entiende que el menor de mayor orden posible es ella misma. Definición Se llama rango de una matriz al orden del mayor de los menores distinto de cero de dicha matriz. Se escribe rg(A). Ejemplo: En la matriz anterior por existir un menor de orden 3 distinto de 0, diremos que rg(A) = 3 120 01-4 21-1 = -1 + 16 + 4 = 19 ≠ 0 pues 3 es el orden del menor más grande posible distinto de 0.
  • 36. Colegio Vizcaya Matemáticas II 36 Para calcular el rango de una matriz se comienza por los menores de mayor orden posible p. Si alguno de ellos es ≠ 0, entonces rg(A) = p. Si todos son nulos, se estudian los menores de orden p-1 y se repite el proceso. Ejemplo: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 6333 1022 5311 Para hallar el rango estudiaremos primero los menores de orden 3 (los de mayor orden posible). Si alguno de ellos es distinto de 0, el rango de la matriz es 3. Si todos ellos son iguales a 0 (rg(A) 3≠ ), analizaremos los de orden 2 idénticamente. 333 022 311 − − − = 0, 633 102 531 = 0, 633 122 511 − − − = 0, 633 102 531 − − − = 0, Observamos que todos son 0 lo que significa, como sabemos, que alguna línea es combinación lineal de otras (en este caso f 213 ff += ). Pasamos a los menores de orden 2: 22 11 − − = 0, 02 31 = -6 ≠ 0 Por tanto, rg(A) = 2 Según las propiedades de los determinantes si uno de ellos es distinto de cero es porque todas sus líneas son independientes entre si, puesto que si una fuese combinación lineal de otra, su determinante sería 0. Es por ello que el rango indica el número (máximo) de filas o columnas independientes de una matriz. Actividades 12. Halla el rango de las siguientes matrices: a) A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 50 31 b) B= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − 642 321 c) C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1142 1073 d) D= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 114 521 031 e) E= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− 4651 5341 4231 f) F= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2212 1300 1145 1003 13. Halla el rango de las siguientes matrices según los valores de t: A= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − t11 1t1 11t B= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − − t9t36t 0112 0111
  • 37. Colegio Vizcaya Matemáticas II 37 DETERMINANTES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Demuestra las siguientes igualdades utilizando las propiedades de los determinantes: a) b1ac a1cb c1ba + + + = 0 b) 333 222 cba cba cba = a·b·c· 222 cba cba 111 c) tzyx zzyx yyyx xxxx = x·(y-x)·(z-y)·(t-z) d) n 2 1 x1...111 ............... 1...x111 1...1x11 1...111 + + + = x1 ·x2 · … ·xn 2. Resuelve los siguientes determinantes: a) 0yx1 z0x1 zy01 zyx1 −−− −− − b) a00b ba00 0ba0 00ba c) 22 22 22 22 aababb ababab abbaab bababa d) 3xxx x3xx xx3x xxx3 e) 3333 2222 dcba dcba dcba 1111 (Determinante de Vandermonde) 3. Halla, si es posible, la matriz inversa en cada caso: d) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 550 211 132 e) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 111 320 101 4. Halla los valores de t para los que la matriz A no es inversible siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 160 0t1 11t
  • 38. Colegio Vizcaya Matemáticas II 38 5. Dadas las matrices A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− 111 t21 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 20 0t 31 donde t es un nº real: a) Halla los valores de t para los que A·B tiene inversa b) Halla los valores de t para los que B·A tiene inversa 6. Resolver la ecuación det(A - xI) = 0, siendo A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 211 422 001 y x∈R. 7. Dadas las matrices A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 32 01 , B= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 02 18 , C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 53 21 y D= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 02 11 resuelve, despejando, las siguientes ecuaciones matriciales: a) AX + 2B – C = D b) (B+C)X – A = D c) 4AX – B – 2D = C d) ABX – CX = 2C 8. Despejar X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) ABX = C+A d) AC+3X = Bt g) XA + B = A·B t b) AX – B = XC e) B(2A+I)=AXA+B c) AB + CX = A f) BX + 3C = C(B+3I) 9. Halla el valor de k para que el rango de la matriz A sea 2 siendo: A= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 461k4 20312 13201 10. Calcular el rango de la matriz A= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 931 421 aa1 2 según los valores de a. 11. Hallar los valores de k para los cuales la matriz ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−−− −−− − − 1kkk 10kk 321k 654k a) No tiene inversa b) Tiene rango 3
  • 39. Colegio Vizcaya Matemáticas II 39 12. Sabiendo que zyx cba 111 =5, halla: a) 3 z 3 y 3 x 2c2b2a 111 +++ b) xzy acb 111 c) z2y2x2 z2cy2bx2a z1y1x1 +++ −−− PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 13. (JUNIO 2007) Sea A la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2781 941 321 Sea B la matriz que resulta de realizar en A las siguientes transformaciones: primero se multiplica A por sí misma, después se cambian de lugar la fila segunda y la tercera y finalmente se multiplican todos los elementos de la segunda columna por -2. Calcular el determinante de la matriz B, usando para ello las propiedades de los determinantes. 14. (JULIO 2006) La matriz cuadrada B es el resultado de efectuar en la matriz cuadrada A las transformaciones que se describen a continuación. Primero se cambian entre sí la fila segunda y la tercera. Luego se multiplica por -2 a la segunda columna. Finalmente se suma a la primera fila, la segunda fila multiplicada por 5 más la cuarta fila multiplicada por -3. Si se sabe que el determinante de la matriz A vale 5, calcular razonadamente el determinante de la matriz B. 15. (JUNIO 2006) Sea A la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 10 a1 Para cada numero natural n, halla An . Calcula también A22 -12A2 +2A 16. (JULIO 2005) Para cada a se considera la matriz A(a) dada por: A(a) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0a1 10a a10 Encontrar el valor de a para el cual el determinante de A(a) vale 9. Con el valor encontrado antes calcular la matriz A2 (a)+A(a).
  • 40. Colegio Vizcaya Matemáticas II 40 17. (JUNIO 2005) Sean A y B las matrices dadas por A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3b00 1a00 a110 ba11 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5020 0100 0001 b0a0 Se sabe que las dos tienen determinante igual a 1. ¿Hay datos suficientes para calcular los valores de a y b? Si la contestación es afirmativa hallar dichos valores, si no lo es razonar el motivo. 18. (JULIO 2004) Sabiendo que ad - bc = 3 calcular, de forma razonada, los determinantes de las siguientes matrices: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0d0b 0010 0c0a 1000 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ bd00 ac00 0001 0010 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0001 0010 ba00 dc00 19. (JUNIO 2004) Para cada a se considera la matriz A(a) dada por A(a) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 a10 1a1 Encontrar el rango de la matriz A2 (a) - A t (a) en función del valor de a. Se recuerda que A2 (a) es la matriz multiplicada por sí misma y que A t (a) es la matriz traspuesta. 20. (JULIO 2003) Dadas las matrices A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 421 421 001 y B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 022 002 estudiar el rango de la matriz A - λ B en función del valor de .λ 21. (JUNIO 2003) Sea A la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 13 01 y sea n un número natural cualquiera. Encontrar el valor de An para cada n y hallar A350 -A250 . 22. (JULIO 2002) Sean A y B las matrices que siguen: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 5x610 5x2 x32x2 B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x65 4x1 32x Sabiendo que el determinante de B vale 7, utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor del determinante de A.
  • 41. Colegio Vizcaya Matemáticas II 41 23. (JULIO 2001) Encontrar el valor del siguiente determinante en función de a, b y c: 333 222 cba cba 111 24. (JUNIO 1997) ¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para que exista su matriz inversa? Calcular la inversa de la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α α 00 01 021 cuando exista. CUESTIONES 25. a) Demostrar que si A y B son matrices inversibles, se cumple que: (A·B) 1− =B 1− ·A 1− b) ¿Sería cierto que (A2 ) 1− = (A 1− ) 2 ?, ¿y (A3 ) 1− = (A 1− )3 ? 26. Si A es una matriz tal que A3 = I , ¿Cuánto vale A ? 27. Indica las propiedades de los determinantes que justifican las siguientes igualdades: a) 131 242 693 = 6· 131 121 231 b) 130 122 033 120 112 033 150 132 063 += c) 0312 3001 1532 1123 − − − = 6 1 0936 3001 21064 1123 − − − 28. ¿A qué es igual el determinante de una matriz diagonal?, ¿y triangular? 29. Razona si es cierta la siguiente afirmación: 412 073 − = 3· 41 07 − -2· 41 07 −
  • 42. Colegio Vizcaya Matemáticas II 42 30. Una matriz cuadrada A se llama idempotente cuando verifica A2 =A. Demuestra que si A es idempotente, entonces |A|=0 ó |A|=1. 31. Sean A,B y C matrices cuadradas del mismo orden tales que |A| 0≠ y A·B=A·C ¿Podemos asegurar que B=C? Justifica tu respuesta. 32. ¿Es cierta la siguiente igualdad? Razónalo sin realizar los cálculos. 25 12` − = 253 123 001 − 33. Si A es una matriz cuadrada de orden 4, puedes saber el valor de: a21 ·A11 +a22 ·A12 +a 23 ·A13 +a24 ·A14 34. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden , ¿se verifica que |A·B| = |B·A|? Razónalo. 35. Si la matriz A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ fed cba tiene rango 2, ¿qué rango tendrá la matriz B? B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ f2ce2bd2a fed cba
  • 43. Colegio Vizcaya Matemáticas II 43 UNIDAD 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2º BACHILLER
  • 44. Colegio Vizcaya Matemáticas II 44 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales respecto a sus soluciones. 2. Profundizar en el método de Gauss para resolver y clasificar sistemas de ecuaciones lineales. 3. Enunciar, comprender y aplicar la regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones. 4. Discutir sistemas, dependientes de 1 ó 2 parámetros, aplicando el teorema de Rouché. CONCEPTOS 1. Ecuaciones lineales. Soluciones. 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación según sus soluciones. 3. Sistemas equivqlentes. 4. Método de Gauss. Clasificación de sistemas por el método de Gauss. 5. Regla de Cramer. 6. Teorema de Rouché. 7. Discusión de sistemas con uno o dos parámetros.
  • 45. Colegio Vizcaya Matemáticas II 45 1. INTRODUCCIÓN Definición 1 Se llama ecuación lineal a toda igualdad del tipo: a1x1 + a2x2 + … + anxn = b donde a1, a2, …, an son los coeficientes (datos conocidos), x1, x2, …, xn son las incógnitas (datos por conocer) y b es el término independiente. Ejemplos: 3x - 2y = 1 x + 3y - 2z + t – 5 = 0 3x – 1 = 2 Definición 2 Se llama solución de una ecuación lineal a un conjunto de números (s1,s2, …,sn) que sustituidos en el lugar de las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Cada solución se llama solución particular y el conjunto de todas ellas se denomina solución general. Ejemplo: Dada la ecuación 2x – y + z = 3 , (1,0,1) es una solución Particular La solución general es: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = −+ = zz yy 2 zy3 x y,z R∈ 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición 3 Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones de la forma: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ bxa...xaxa .......................................... bxa...xaxa bxa...xaxa mnmn2m21m1 2n2n222121 1n1n212111 Ejemplos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =+− =+− 7z4y2x3 1y2x 0zy3x2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −=+ =− =+− =+ 2yx4 1y2x3 4y2x 5yx ⎩ ⎨ ⎧ =−+− =−+− 2t4zy3x2 0tzy2x donde: aij ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ nj1 mi1 son los coeficientes, xi ni1 ≤≤ son las incógnitas bj mj1 ≤≤ son los términos independientes
  • 46. Colegio Vizcaya Matemáticas II 46 Definición 4 Se llama solución del sistema a un conjunto de n números reales (s1, s2, …, sn) que sustituidos en las incógnitas hacen que se verifiquen todas las ecuaciones simultáneamente. El conjunto de todas las soluciones se llama solución general y cada una de ellas solución particular. Ejemplos: 1) (1,2,0) es la solución del sistema ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++− =++ 0z2yx2 3z3y2x 3zyx 2) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= −= zz z21y z32x z R∈ es la solución general del sistema ⎩ ⎨ ⎧ =++− =+− 0zy2x 1zyx Definición 5 Un sistema se dice homogéneo si todos los términos independientes son nulos (bi = 0, ∀ i). Ejemplo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+− =− 0zy2x3 0zy2x 0y3x Observa que los sistemas homogéneos siempre tienen, al menos, la solución trivial (0,0…,0) Definición 6 Se dice que un sistema es compatible si tiene solución. En caso contrario se dice que es incompatible. En el primer caso, si la solución es única se trata de un sistema compatible determinado. Por el contrario, si tiene infinitas soluciones, se le llama compatible indeterminado. Ejemplos: En el caso de los dos ejemplos citados anteriormente en esta página, se puede observar que el sistema del ejemplo 1) es COMPATIBLE DETERMINADO (solución única) y el del ejemplo 2) es COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones en función del parámetro z) Un ejemplo de sistema INCOMPATIBLE (ecuaciones contradictorias) podría ser: ⎩ ⎨ ⎧ =− =− 0y4x2 3y2x
  • 47. Colegio Vizcaya Matemáticas II 47 3. SISTEMAS EQUIVALENTES Definición 7 Dos sistemas se dicen equivalentes si, teniendo las mismas incógnitas, tienen las mismas soluciones (No necesariamente el mismo nº de ecuaciones). Ejemplo: Los sistemas ⎩ ⎨ ⎧ =− =+ 1yx2 2yx y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− =+ =+− 1y2x3 5yx4 2y3x son equivalentes pues ambos tienen la misma solución (1,1) De hecho, al utilizar los métodos de reducción, Gauss etc. para resolver sistemas, se emplea la estrategia de cambiar el sistema inicial por otro equivalente más sencillo de resolver, a través de una serie de transformaciones que, aunque varían el sistema, no cambian su solución. Estas transformaciones son las siguientes: Transformaciones Equivalentes 1) Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema 2) Despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en las demás 3) Multiplicar(dividir) una ecuación por un nº real distinto de 0. 4) Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otras ecuaciones del sistema. 5) Cambiar una ecuación por la suma de ella mas una combinación lineal de otras. 4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MÉTODO DE GAUSS Consiste en utilizar el método de reducción para triangularizar el sistema, es decir, anular las incógnitas por debajo de la diagonal, de forma que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. De esta forma, la última ecuación tendría una sola incógnita que, una vez resuelta, se llevaría a la ecuación anterior para despejar sucesivamente el resto de incógnitas. Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema: ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+− =−− =++ 5z2y2x 0z3yx2 1zyx ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−=−+− =−− −=++ 5z2y2x 0z3yx2 )2(1zyx ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −=−− =++ 4zy3 2z5y3 1zyx ⇒ ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −=−− =++ 6z6 2z5y3 1zyx ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = 1z 1y 1x sistema de Gauss (equivalente al inicial)
  • 48. Colegio Vizcaya Matemáticas II 48 Pueden darse los siguientes casos: 1) Si la última ecuación es de la forma axn = b, el sistema es compatible determinado. 2) Si la última ecuación es de la forma 0 = 0, el sistema es compatible indeterminado. 3) Si la última ecuación es de la forma 0 = k siendo k ≠ 0, el sistema es incompatible. Hasta aquí se han recordado aspectos sobre los sistemas de ecuaciones lineales y su resolución, ya vistos en cursos anteriores. La novedad consistirá en aplicar a la resolución de sistemas lo aprendido sobre matrices y determinantes, para introducir métodos o sistemáticas que aporten alguna mejora. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Sabemos que una igualdad matricial se transforma en un sistema de ecuaciones: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 21- 01 tz yx · 13 21 ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ −=+ =− =− 2ty3 1zx3 0t2y 1z2x De la misma manera podemos pensar en el proceso inverso, es decir, en obtener una igualdad matricial a partir de un sistema de ecuaciones dado. Para ello definiremos las siguientes matrices: Dado el sistema genérico: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ bxa...xaxa .............................................. bxa...xaxa bxa...xaxa mnmn2m21m1 2n2n222121 1n1n212111 Llamamos A a la matriz de los coeficientes: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ a...aa ............ a...aa a...aa mnm2m1 2n2221 1n1211 de orden mxn Llamamos X a la matriz columna de las incógnitas: X = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x ... x x n 2 1 de orden nx1
  • 49. Colegio Vizcaya Matemáticas II 49 Llamamos B a la matriz columna de los términos independientes: B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b ... b b m 2 1 de orden mx1 Entonces se cumple que el sistema es equivalente a la ecuación matricial A · X = B Comprueba que dicha igualdad da lugar al sistema de ecuaciones inicial y observa que la forma que adoptan las matrices es necesaria para que su orden respectivo permita la multiplicación. Es evidente que la matriz X de las incógnitas quedaría directamente despejada si multiplicamos la igualdad por la matriz inversa de A (evidentemente por la izquierda) En eso se basa el método de Cramer para resolver sistemas. REGLA DE CRAMER Definición Se llama sistema de Cramer a todo sistema con el mismo nº de ecuaciones que de incógnitas, donde el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de 0. (|A| 0≠ ) 1) sabemos que la expresión matricial del sistema es A · X = B. 2) Como A es regular, existe A-1 . 3) A-1 · A · X = A-1 · B ⇒ I · X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B Si multiplicamos A-1 · B con matrices genéricas, obtendremos una regla de aplicación que evitará que tengamos que calcular en cada sistema la matriz A-1 . Lo haremos suponiendo n=3 para simplificar las operaciones. X = A-1 · B ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x x x 3 2 1 = |A| 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ AAA AAA AAA 332313 322212 312111 · ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b b b 3 2 1 ⇒
  • 50. Colegio Vizcaya Matemáticas II 50 ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x x x 3 2 1 = |A| 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ ++ 333232131 323222121 313212111 AbAbAb AbAbAb AbAbAb ⇒ x1 = A AbAbAb 313212111 ++ = aaa aaa aaa aab aab aab 333231 232221 131211 33323 23222 13121 El numerador es el producto de los elementos b 1 , b 2 , b 3 por los adjuntos de la columna 1, es decir, es el desarrollo por la c 1 de un determinante en el que los elementos de la primera columna son b1 , b 2 , b 3 . x2 = A AbAbAb 323222121 ++ = A aba aba aba 33331 23221 13111 (desarrollo por la columna 2) x3 = A AbAbAb 333232131 ++ = A baa baa baa 33231 22221 11211 (desarrollo por la columna 3) Ejemplo. Resolver ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =−− =−+ =+− 3-zyx 2zy2x 1zyx Sea la matriz A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 111 112 111 Por la regla de Cramer: x = 1-1-1 1-12 11-1 1-1-3- 1-12 11-1 = 121121 123321 −−−+−− −−+−−− = 6 6 − − = 1 y = 6- 1-3-1 1-22 111 = 6 12 − − = 2 z = 6- 3-1-1 212 11-1 = 6 12 − − = 2 solución (1,2,2)
  • 51. Colegio Vizcaya Matemáticas II 51 Actividades 1. Resuelve por el método de Cramer, cuando sea posible, los sistemas: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− −=+− =−+ 0z2yx 2z3y3x2 0zy2x b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++ =+− 2z2y2x3 0zyx2 1zy3x c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−−− =−+ −=+− 0z3yx 5z2yx 1zyx2 d) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++− =+− =−+ 0zy2x 0zyx3 0z2yx 2. Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++− =+− =++ 1zy2x 0z3yx2 3zyx a) Expresarlo en forma matricial b) Resolver matricialmente Observa los sistemas: a) ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 2y2x2 1yx b) ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 5y2x2 1yx c) ⎩ ⎨ ⎧ =− =+ 0yx3 1yx En el caso a) las dos ecuaciones son iguales, luego se trata de un sistema COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones). Observa que, por esa razón, la matriz de los coeficientes tiene rango 1 A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 22 11 . Como los términos independientes mantienen la misma proporción, si los incorporamos a la matriz, ésta seguirá teniendo rango 1. C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 222 111 En el caso b) el sistema es INCOMPATIBLE, pues las ecuaciones son contradictorias. Observa que la matriz de los coeficientes sigue teniendo rango 1 pero la matriz ampliada (con los términos independientes) tiene rango 2 pues la última columna es independiente de las anteriores: A= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 22 11 C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 522 111 Por último, el sistema c) es COMPATIBLE DETERMINADO pues las dos ecuaciones son independientes entre sí, y por ello, tanto la matriz de los coeficientes como la ampliada tienen rango 2. A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 13 11 C= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 013 111
  • 52. Colegio Vizcaya Matemáticas II 52 Parece evidente que existe una relación directa entre la compatibilidad del sistema y los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, pues dicho rango revela la dependencia o independencia entre las ecuaciones. De ello trata el teorema de Rouché-Frobenius. Así como la regla de Cramer permite resolver sistemas, el teorema de Rouché permite clasificarlos es función de los rangos de la matriz de los coeficientes A y de la ampliada C. 5. TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS Dado el sistema: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ bxa...xaxa .............................................. bxa...xaxa bxa...xaxa mnmn2m21m1 2n2n222121 1n1n212111 donde A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ a...aa ............ a...aa a...aa mnm2m1 2n2221 1n1211 es la matriz de los coeficientes y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ba...aa ............... ba...aa ba...aa mmnm2m1 22n2221 11n1211 es la matriz ampliada, entonces se cumple que: La condición necesaria y suficiente para que el sistema tenga solución es que el rango de la matriz A de los coeficientes y el de la matriz C ampliada, sean iguales, es decir El sistema tiene solución ⇔ rg(A) = rg(C) Demostración ⇒ Si el sistema tiene solución (s1, s2, …, sn) entonces. C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +++ +++ sa...sasaa...aa ............... sa...sasaa...aa sa...sasaa...aa nmn2m21m1mnm2m1 n2n2221212n2221 n1n2121111n1211 por tanto la última columna es combinación lineal de los anteriores y por tanto no aumenta el rango, es decir: rg(A) = rg(C)
  • 53. Colegio Vizcaya Matemáticas II 53 ⇐ Si el rg(A) = rg(C), la última columna de C es combinación lineal de las anteriores y por tanto existen n números reales s1, s2, …, sn tales que B = s1C1 + s2C2 + … + snCn por lo que (s1, s2, …, sn) es una solución del sistema. c.q.d. Pueden darse 3 casos: 1) Si rg(A) ≠ rg(C) el sistema es incompatible. (la última columna es independiente y no mantiene las combinaciones lineales de los primeros miembros) 2) Si rg(A)=rg(C) = nº de incógnitas n, el sistema es compatible determinado. (Hay tantas ecuaciones independientes como incógnitas) 3) Si rg(A)=rg(C) < nº de incógnitas n, el sistema es compatible indeterminado. (Hay menos ecuaciones que incógnitas, pues existen combinaciones lineales entre ellas) ** Observa que en realidad el rg(C) sólo puede ser igual al de A o una unidad mayor, pues C sólo incorpora una columna más que puede ser dependiente o independiente de las anteriores** Si el sistema es homogéneo (todos los términos independientes iguales a 0), el rg(A)=rg(C) obligatoriamente, puesto que la última columna de ceros no puede aumentar el rango (es dependiente de las anteriores). Luego todo sistema homogéneo es compatible. La solución trivial (0, 0, …, 0) será única si es compatible determinado y estará acompañada de otras infinitas soluciones si es indeterminado. 6. DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON UN PARÁMETRO Veamos un ejemplo de aplicación del teorema de Rouché al estudio de la compatibilidad de un sistema: Ejemplo: Discutir y resolver (cuando sea posible) según los valores del parámetro a, el sistema: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+ =++ 2azyx3 1zyx2 1zayx Obtenemos previamente las matrices A y C. A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − a13 112 1a1 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2a13 1112 11a1 Analizamos el rango de A para compararlo con el de C
  • 54. Colegio Vizcaya Matemáticas II 54 |A| = a+2-3a-3-2a2 +1 = -2a2 -2a = -2a(a+1)=0 ⇒ a=0 ó a=-1 Se distinguen entonces 3 posibles casos: 1er Caso: a ≠ 0,-1 En este caso rg(A) = 3 ( pues |A| ≠ 0) y rg(C) =3 necesariamente, pues no puede ser menor que el de A y tampoco puede ser 4 por ser C de orden 3x4. Según el teorema de Rouché, para cada valor de a ≠ 0,-1, se trataría de un sistema compatible determinado ya que rg(A) = rg(C) = nº de incógnitas. Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer: x = a13 112 1a1 a12 111 1a1 − − = )1a(a2 1a2a21a 2 +− +−−−+ = )1a(a2 aa2 +− −− = )1a(a2 )1a(a +− +− = 2 1 y = )1a(a2 a23 112 111 +− − = )1a(a2 2a2334a +− +−−−+ = )1a(a2 a +− − = )1a(2 1 + z = )1a(a2 213 112 1a1 +− = )1a(a2 1a43a322 +− −−−++ = )1a(a2 a +− − = )1a(2 1 + Hemos obtenido así la solución única para cada posible sistema según cuál sea el valor de a. 2º Caso: a=0 A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 013 112 101 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2013 1112 1101 En este caso rg(A) 3≠ puesto que |A|=0. Como 0 12 01 ≠ entonces rg(A) = 2. Igualmente, rg(C) = 2 pues todos los menores de orden 3 son 0, al ser la última fila la suma de las dos primeras. Se trata entonces de un sistema compatible indeterminado ya que: rg(A) = rg(C) < nº incógnitas. Para resolverlo podemos prescindir de la tercera ecuación por ser una combinación lineal de las anteriores. ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =+ 1zyx2 1zx
  • 55. Colegio Vizcaya Matemáticas II 55 Por tratarse de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, dejaremos una cualquiera de ellas como parámetro o variable (z por ejemplo en este caso) x = 1 – z y = 1 – 2x + z = 1 – 2(1 – z) + z = -1 + 3z z = z luego su solución es: (1 - z, -1 + 3z, z) donde z∈R 3er Caso: a = -1 A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 113 112 111 C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 2113 1112 1111 Sabemos que rg(A) 3≠ puesto que |A|=0. Como 0 12 11 ≠ − entonces rg(A) = 2. Sin embargo rg(C) = 3 ya que 213 112 111 − = 1 ≠ 0 Por el teorema de Rouché el sistema es incompatible puesto que rg(A) ≠ rg(C) y por tanto, no tiene solución. Actividades 3. Discute según los valores de los parámetros a ó m los sistemas: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−− =−− =+− a4zy2x3 3z2yx azyx2 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 1zayx 1zyx 1zyax c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=+++ =−+ −=+++ 1az)1a(x)1a( 0y)a2(x2 2a2z2ayx)2a2( 7. DiSCUSIÓN DE SISTEMAS CON 2 PARÁMETROS Ejemplo: Discutir y resolver, según los valores de a y b el sistema: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =−+ =−+ =+− b2zayx 3zy2x 1z2yx Consideramos las matrices A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2-a1 1-12 12-1 y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − b2a1 3112 1121
  • 56. Colegio Vizcaya Matemáticas II 56 |A| = -2+2a+2–1–8+a = 3a–9 = 0 ⇒ a = 3 Caso 1: a ≠ 3 Como |A| ≠ 0, rg(A) = 3 y rg(C) = 3 necesariamente. Por el teorema de Rouché se trata de un sistema Compatible Determinado. Resuélvelo por el método de Cramer Caso 2: a = 3 A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2-31 1-12 12-1 y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b2-31 31-12 112-1 Sabemos que rg(A) 3≠ puesto que |A|=0. Como 0 12 21 ≠ − entonces rg(A) = 2. Para hallar el rango de C estudiamos primero los menores de orden 3. b1-1 312 111 − = -b – 4 + 3 + 1 – 2b + 6 = -3b +6 = 0 ⇒ b = 2 Establecemos dos subcasos, pues el rg(C) depende de si b es igual o distinto a 2. Caso 2.1: En este caso rg(A) = 2 rg(C) = 3 Por el teorema de Rouché se trata de un Sistema Incompatible. a = 3 b ≠ 2
  • 57. Colegio Vizcaya Matemáticas II 57 Caso 2.2: C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 22-31 31-12 112-1 En este caso rg(A) = 2 rg(C) = 2 ya que la segunda ecuación es la suma de las otras dos. Por tanto, rg(A) = rg(C) = 2 < nº incógnitas: Sistema Compatible Indeterminado dependiente de un parámetro Halla, en este caso, la solución del sistema a = 3 b = 2
  • 58. Colegio Vizcaya Matemáticas II 58 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Dado el sistema: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ azay2x 2azayx2 1zy2x calcula los valores del parámetro a para que el sistema sea: a) compatible determinado b) compatible indeterminado c) incompatible 2. Halla para qué valor de m el siguiente sistema tiene solución distinta de la trivial (0,0,0): ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− =++ =+− 0zy2x 0mzyx 0z3yx2 3. Discute y resuelve cuando sea posible, según los valores de los parámetros a ó m los sistemas: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =+− =++ 0z4yx8 0zyax 0z2y3xa2 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ +−=++ +=++ mzymx )1m(2mzyx 2mzmyx c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− +=+ =− a2z)aa(yx 1a2zax ayx 2 2 d) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=+++ −=+−+ −=+++ 1mz)1m(x)1m( 1mzy)1m(mx 1mzyx)2m( e) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −=+− =−− =−+ =++ 2zyx 1zymx 8z3y2x 2zyx PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 4. (JULIO 2007) Sea S el sistema de ecuaciones lineales ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ A 7 10 Azy8x 14z9y4x 6z3y2x Estudiar la compatibilidad del sistema en función de A. Resolver para A=0.
  • 59. Colegio Vizcaya Matemáticas II 59 5. (JUNIO 2007) Sea S el sistema de ecuaciones lineales ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ Azy2x2 3z2y3Ax 0zyx Estudiar la compatibilidad del sistema en función de A. Resolver para A=5. 6. (JULIO 2006) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =−+ =+− aazy3x3 1zyx azyx 7. (JUNIO 2006) Se considera el sistema de ecuaciones lineales S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=++ =++ =++ )1m(2mzy4x3 9z4y3x2 6z3y2x ¿Existe algún valor de m para el cual el sistema sea compatible indeterminado? En caso negativo razonar la respuesta. Si la respuesta es positiva, hallar la solución del sistema en ese caso. 8. (JULIO 2005) Dado el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ Azyx 0z3Ayx 0z3y2x Discutir su compatibilidad en función del parámetro A. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado. 9. (JUNIO 2005) Dado el sistema de ecuaciones S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 2azyx3 azyx2 1zyx Discutir su compatibilidad en función del parámetro a. 10. (JULIO 2004) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+ =++ 2azyx3 1zyx2 1zayx en función del parámetro a. 11. (JUNIO 2004) Dado el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =+ =++ a2azy2x3 0yx2 2zyx Demostrar que es compatible para todos los valores de a. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado.
  • 60. Colegio Vizcaya Matemáticas II 60 12. (JULIO 2003) Dado el sistema de ecuaciones S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =++ =++ Czyx Bzyx Azy2x demostrar que es compatible determinado para cualquier valor de A,B y C y encontrar la solución en función de dichos valores. 13. (JUNIO 2003) Discutir el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 3z2yx 2zyax 0zyx en función del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatible. 14. (JULIO 2002) Se considera el sistema de ecuaciones S dado por: S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− −=− =+− 0yx2 azx azyx Discutir la compatibilidad en función de a. Resolver en los casos de Compatibilidad. 15. (JUNIO 2002) Discutir el sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 3z3yx2 a2z2yx2 azyx2 en función del valor de a. Resolver en los casos en que sea compatible. 16. (JULIO 2001) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del valor de a. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =++ =−+ 5azx4 5azayx3 1zyx Resolverlo cuando sea compatible determinado. 17. (JUNIO 2001) Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema S = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 1azyx2 1zyax a2z2y2x4 en función del parámetro a. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado.
  • 61. Colegio Vizcaya Matemáticas II 61 CUESTIONES 18. Sabemos que el rango de la matriz ampliada en un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, es 4. ¿Qué se puede decir de la compatibilidad del sistema? Razona la respuesta. 19. Si (x=0, y=2, z=-1) es una solución de un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, ¿cuánto valdrá entonces el determinante de la matriz de los coeficientes? 20. En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, ¿qué condición deben cumplir los coeficientes del sistema para que se verifique rg(A)=3 y rg(C) = 2? 21. En un sistema del mismo número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de los coeficientes es 0. Razona: a) ¿Puede ser compatible? b) ¿Puede tener solución única? c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer? 22. El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a 1. ¿Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada? 23. Dado el sistema: ⎩ ⎨ ⎧ =++− =+− 1z2y3x 3zyx2 a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado
  • 63. Colegio Vizcaya Matemáticas II 63 UNIDAD DIDÁCTICA 4 ESPACIO AFÍN 2º BACHILLER
  • 64. Colegio Vizcaya Matemáticas II 64 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer las distintas ecuaciones de la recta. 2. Determinar una recta. 3. Conocer el concepto de plano y sus ecuaciones. 4. Estudiar las posiciones relativas entre los distintos elementos del espacio afín: entre dos rectas, entre dos o tres planos y entre recta y plano. 5. Conocer los haces de planos en el espacio. CONCEPTOS 1. Sistemas de referencia. Espacio afín. 2. Ecuaciones de la recta. Determinación de una recta. 3. Ecuaciones del plano. Determinación del plano. Ecuaciones de algunos planos. 4. Posición relativa recta-recta, plano-plano, recta-plano y entre 3 planos. 5. Haz de planos paralelos. 6. Haz de planos secantes en una recta.
  • 65. Colegio Vizcaya Matemáticas II 65 ESPACIO AFÍN 1. INTRODUCCIÓN Definición: Llamamos V3 al conjunto de los vectores libres del espacio. (Se entiende por vector libre el conjunto formado por un vector a y todos los vectores de su mismo módulo, dirección y sentido) Definición: Llamamos E al conjunto de puntos del espacio. Fijado un punto O∈E llamado origen, cada punto X del espacio forma con O un vector fijo OX . Esto nos permite “localizar” cualquier punto del espacio a través de su vector de posición OX . Definición: Llamamos espacio afín y lo expresamos E3 a la terna (E, V3 ,f) donde f es la aplicación que asocia a cada par de puntos de E, el vector que forman, es decir: f: E x E V3 (A,B) AB de manera que: 1) AB = CBAC + ∀ A,B,C ∈E 2) Fijado un punto O∈E, se cumple que ∀ v 3 V∈ , ∃ ! A E∈ / OAv = Definición: Se llama sistema de referencia de un espacio afín al conjunto { }w,v,u,O donde O es el punto origen y { }w,v,u es una base de V3 . **Recuerda que llamamos base de V3 a cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes { }w,v,u . Se cumple que cualquier otro vector de V3 se podrá escribir como combinación lineal de dichos vectores: 3 Va ∈∀ wvua λ+β+α= siendo Rλ,β,α ∈ ** Observa que podemos utilizar lo aprendido sobre matrices y determinantes para determinar si tres vectores son o no independientes sin más que calcular el determinante de orden tres que forman: si es distinto de 0 serán independientes y formarán base. Definición: Se llaman coordenadas cartesianas de un punto cualquiera A ∈E a las coordenadas del vector OA en la base { }w,v,u , es decir, a la terna (a,b,c) tal que: wcvbuaOA ++= . ** Si no se especifica otra cosa, se entiende que { }w,v,u es la base canónica {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} **
  • 66. Colegio Vizcaya Matemáticas II 66 Dados dos puntos A( 321 a,a,a ) y B( 321 b,b,b ), las coordenadas del vector AB que forman son: 332211 ab,ab,ab(ABAB −−−=−= ) ya que: A B O Se observa que: OBABOA =+ ⇒ OAOBAB −= )a,a,a()b.b,(bAB 321321 −=⇒ ⇒ ⇒ 332211 ab,ab,ab(AB −−−= ) COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dado el segmento AB de extremos A( 321 a,a,a ) y B( 321 b,b,b ), se cumple que las coordenadas del punto medio M de dicho segmento son: B M ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++ 2 ba , 2 ba , 2 ba 332211 ya que: AB 2 1 AM = ⇒ M A ⇒ M-A = 2 1 (B-A) ⇒ M = A+ A 2 1 B 2 1 − ⇒ M = 2 BA +
  • 67. Colegio Vizcaya Matemáticas II 67 Actividad 1. Si M(-1,2,0) es el punto medio del segmento AB , siendo A(2,1,1), calcula las coordenadas de B. 2. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO Hallar la ecuación de una recta es determinar la condición que deben verificar todos sus puntos. Para ello es necesario disponer de algunos datos que la identifiquen de forma única: un punto por el que pase A( 321 a,a,a ) y un vector que le aporte dirección (vector director) )v,v,v(v 321 ( o lo que es lo mismo: dos puntos A y B que igualmente aportarían un vector: AB ) z v X(x,y,z) A a x r y x Suponemos dado el punto A y el vector v , siendo r la recta determinada por ambos. Para conocer la condición que cumplen sus puntos elegimos uno cualquiera de ellos, X. Se cumple que a+ xAX = Es evidente que el vector AX es siempre paralelo al vector v , sea cual sea el punto elegido (X) de la recta. Esa es la condición que cumple cualquier punto de la recta y ninguno fuera de ella. Por tanto, al ser AX y v paralelos, se cumplirá que son proporcionales, es decir, existirá algún nº real t tal que AX = t· v . Si sustituimos en la igualdad a + AX = x , obtenemos x = a + t v . Y sabiendo que x (x,y,z), a(a 21 a, , 3a ), (por ser vectores de posición) y que v (v 321 v,v, ) tendremos finalmente: (x,y,z) = ( 321 a,a,a ) + t )v,v,v( 321 t R∈ Esta expresión recibe el nombre de ECUACIÓN VECTORIAL de la recta. El nº real t será uno u otro dependiendo de cual sea el punto X elegido. Cuanto mayor sea t (positivo), más se aleja X por la derecha de A, y si t es negativo, obtendremos puntos X de la izquierda de A. (El propio punto A se obtendría para t =0).
  • 68. Colegio Vizcaya Matemáticas II 68 Es lógico pensar que los infinitos valores de t posibles, dan lugar cada uno de ellos, a los infinitos puntos (x,y,z) de la recta. Si operamos la igualdad anterior y separamos por coordenadas tendremos las ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la recta: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 33 22 11 tvaz tvay tvax t∈ R Igualmente, si despejamos t en cada ecuación e igualamos los resultados obtenidos llegaremos a la ECUACIÓN CONTINUA de la recta: 3 3 2 2 1 1 v az v ay v ax − = − = − Toda recta puede venir dada también como la intersección de dos planos, es decir puede adoptar la forma: ⎩ ⎨ ⎧ =+++ =+++ 0Dz'Cy'Bx'A 0DCzByAx que se conoce con el nombre de ECUACIÓN IMPLÍCITA O CARTESIANA de la recta. Dicha ecuación se obtendría sin más que desarrollar por separado las dos igualdades de la ecuación continua. Ejemplo: Escribir en todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por A(1,-1,2) y tiene por vector director v (-2,1,3) Ecuación vectorial (x,y,z) = (1,-1,2) + t(-2,1,3) t∈R Ecuaciones paramétricas ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += +−= −= t32z t1y t21x t∈R Ecuación continua 3 2z 1 1y 2 1x − = + = − − Ecuación implícita ⎩ ⎨ ⎧ −=− −=+ 5zy3 1y2x que se obtiene “multiplicando en cruz” las dos igualdades de la ecuación continua.
  • 69. Colegio Vizcaya Matemáticas II 69 El paso de una forma a otra es sencillo en el caso de las formas vectorial, paramétrica y continua, pues el punto y el vector se encuentran visibles. También se ha indicado cómo pasar de la forma continua a la implícita. Para pasar de la forma implícita a las anteriores bastaría con resolver el sistema en función de una variable, lo que daría lugar a la ecuación paramétrica. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Dada la recta ⎩ ⎨ ⎧ =+−− =++ 1z2yx 0zy2x sumando obtenemos: y+3z = 1 ⇒ y = 1–3z z = z x = -2y-z ⇒ x = -2(1-3z)-z ⇒ x = -2+5z es decir: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= +−= zz z31y z52x o lo que es lo mismo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= +−= tz t31y t52x que es la ecuación paramétrica, de donde se deduce que A(-2,1,0) es un punto de la recta y v (5,-3,1) es su vector director. Si la recta viene determinada por dos puntos A y B, puede considerarse como punto uno cualquiera de los dos, y como vector, el formado por ambos puntos: AB o BA indistintamente. Actividades 2. Encuentra dos puntos y el vector director de las rectas: a) 2 z 1 3y 3 1x = − − = + b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= −= +−= t3z t3y t52x c) ⎩ ⎨ ⎧ =+− =+ 4zyx 2zy 3. Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto A(1,0,0) y es paralela a la recta r: 2 z 1 3y 3 1x = − − = + . 4. Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto medio del segmento formado por A(3,-1,4) y B(1,1,0) y es paralela a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =++ =+− 2zyx 0zyx3
  • 70. Colegio Vizcaya Matemáticas II 70 3. ECUACIONES DEL PLANO Hallar la ecuación de un plano es determinar la condición que deben verificar todos sus puntos. Para identificarlo, necesitamos conocer un punto A( 321 a,a,a ) y dos vectores independientes )u,u,(uu 321 y )v,v,v(v 321 . z u X A v a x y x Elegimos un punto cualquiera del plano X(x,y,z). Observamos que se cumple: AXa + = x Por ser AX un vector del plano, tiene que ser una combinación lineal de los vectores u y v (sabemos que no puede haber tres vectores independientes en un plano), y por tanto, AX = t·u + s· v siendo t y s números reales. Sustituyendo en la igualdad anterior: a + t·u + s· v = x es decir, (x,y,z) = ( 321 a,a,a ) + t )u,u,(u 321 + s )v,v,v( 321 t, s ∈ R ECUACIÓN VECTORIAL del plano. Esta ecuación depende del punto y vectores que se hayan elegido y, por tanto, puede haber distintas ecuaciones vectoriales que correspondan al mismo plano. Si operamos la igualdad anterior obtenemos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ++= ++= 333 222 111 svtuaz svtuay svtuax t, s ∈ R ECUACIONES PARAMÉTRICAS Dando valores a t y s obtendríamos todos los puntos del plano. Ya hemos dicho que el vector AX tiene que ser linealmente dependiente de los vectores u y v , es decir, rg( AX , u , v ) = 2 y por tanto debe cumplirse:
  • 71. Colegio Vizcaya Matemáticas II 71 333 222 111 vuaz vuay vuax − − − = 0 Resolviendo el determinante, obtenemos una igualdad en x, y, z de la forma: Ax + By + Cz + D = 0 ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA Ejemplo: Ecuación del plano que pasa por el punto A(1,-1,2) y es paralelo a los vectores u (1,0,-2) y v (3,-2,1). a) (x,y,z) = (1,-1,2) + t (1,0,-2) + s (3,-2,1) Ecuación vectorial b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−= −−= ++= st22z s21y s3t1x t, s ∈ R Ecuaciones paramétricas c) 122z 201y 311x −− −+ − = 0 ⇒ -6y-6-2z+4-y-1-4x+4 = 0 ⇒ -4x -7y -2z +1 = 0 Ecuación general Para calcular los puntos de corte de un plano con los ejes basta tener en cuenta que: 1) Eje X : puntos de la forma (a,0,0) es decir, es necesario y=z=0 2) Eje Y: puntos de la forma (0,b,0) es decir, es necesario x=z=0 3) Eje Z: puntos de la forma (0,0,c) es decir, es necesario x=y=0 Actividades 5. Halla las ecuaciones paramétricas del plano :π x-2y+2z-3=0 6. Halla la ecuación general del plano determinado por los puntos: a) A(0,-1,3), B(4,1,2) y C(1,-1,0) b) A(1,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,2) 7. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto A(-1,1,2) y contiene a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =− =++ 0zx 3zyx
  • 72. Colegio Vizcaya Matemáticas II 72 4. POSICIONES RELATIVAS 4.1 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS Son 4 las posibles posiciones de dos rectas en el espacio: secantes, paralelas, coincidentes y cruzadas. Para determinar la posición entre dos rectas dadas, es necesario conocer un punto y un vector de cada una de ellas. Sea la recta r de la que conocemos el punto A y el vector u , y la recta s cuyo punto y vector son respectivamente B y v . Analizaremos en primer lugar el rango de los vectores u y v : 1) Si rg(u , v ) = 1 los vectores son dependientes o proporcionales, luego las rectas son paralelas o coincidentes, dependiendo de la dirección del vector AB . Si rg (u , v , AB ) = 2 AB es de distinta dirección que u y v luego las rectas son paralelas. r •B A • s Si rg (u , v , AB ) = 1 AB es de la misma dirección que u y v , luego las rectas son coincidentes. r A• •B s 2) Si rg(u , v ) = 2 los vectores son de direcciones distintas, luego las rectas son secantes o cruzadas, dependiendo de la dirección de AB Si rg (u , v , AB ) = 2 el vector AB está en el mismo plano que los vectores u y v , luego las rectas son secantes. r • A B s Si rg (u , v , AB ) = 3 el vector AB es independiente de u y v y está en distinto plano, luego las rectas son cruzadas A r s B
  • 73. Colegio Vizcaya Matemáticas II 73 Ejemplo: Determinar la posición relativa entre las rectas r: z 2 y 3 1x == − y s: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += = += t21z ty t2x La recta r pasa por el punto A(1,0,0) y tiene por vector u (3,2,1) La recta s pasa por el punto B(2,0,1) y tiene por vector v (1,1,2) Hallamos rg (u , v ) rg (u , v ) = rg ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 211 123 = 2 ya que 0 11 23 ≠ Hallamos ahora rg (u , v , AB ) rg (u , v , AB ) = rg ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 101 211 123 = 3 porque 0 101 211 123 ≠ Por tanto, las rectas son CRUZADAS Actividades 8. Halla las posiciones relativas de los tres pares de rectas que se pueden formar con: a) 2 z 1 1y 2 1x − = + = − b) 1 2z 2 y 1 3x + == − c) 2 3z 1 2y 2 4x + = − − = − − 9. Halla el valor de a para el cual las rectas r y s se cortan, y calcula dicho punto de corte. r: x = y = z-a s: 0 2z 2 3y 3 1x2 − = − + = − 4.2 POSICIÓN RELATIVA RECTA-PLANO Consideramos el plano π : Ax+By+Cz+D=0 y la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =+++ =+++ 0''Dz''Cy''Bx''A 0'Dz'Cy'Bx'A Estudiar la posición relativa entre π y r equivale a analizar la compatibilidad del sistema que forman sus ecuaciones, pues es necesario conocer si existen o no puntos comunes.
  • 74. Colegio Vizcaya Matemáticas II 74 Consideramos por tanto el sistema: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0''Dz''Cy''Bx''A 0´Dz´Cy'Bx'A 0DCzByAx Sean las matrices M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ''C''B''A 'C'B'A CBA y N = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ''D''C''B''A 'D'C'B'A DCBA Se establecen tres posibilidades: 1) rg(M)= rg(N)= 3 El sistema es compatible determinado según el teorema de Rouché. En ese caso existe un único punto común, luego la recta y el plano serán SECANTES en un punto. • 2) rg(M)= 2 y rg(N)= 3 El sistema es incompatible, no existen puntos comunes. Luego la recta es paralela al plano. 3) rg(M) = rg(N)= 2 El sistema es compatible indeterminado, es decir, recta y plano se cortan en infinitos puntos. Por tanto, la recta está contenida en el plano. Es evidente que no puede haber más posibilidades, pues el rg(M) no puede ser inferior a 2, ya que los dos planos que determinan la recta deben ser necesariamente independientes. Ejemplo: Hallar la posición relativa entre la recta z 2 y 3 1x == − y el plano 3x-y+z=1. Escribimos la recta en forma implícita ⎩ ⎨ ⎧ = =− z2y y32x2 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ =− =− 0z2y 2y3x2 Estudiamos el rango de las matrices: A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 113 210 032 y C = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1113 0210 2032
  • 75. Colegio Vizcaya Matemáticas II 75 Como |A| ≠ 0, rg(A)=3 y rg(C)=3 necesariamente, luego la recta es secante al plano. Si quisiéramos calcular el punto de corte, bastaría con resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que forman, por cualquiera de los métodos conocidos. Actividades 10. Halla la posición relativa entre el plano π : x–y+z–2=0 y la recta r: 3 2z 1 y 2 1x − == − 11. Dada la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =+−− =++ 0zy2x 1zyx determina el valor de a para que el plano 2x+y+az=b sea paralelo a r. Di para que valores de b la recta está contenida en el plano. 12. Halla la posición relativa de la recta r y el plano π según los valores de m. r: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ mmzyx mzymx 2 π : x + y + 2mz = 2 4.3 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS Consideramos los planos π : Ax+By+Cz+D=0 y π ’: A’x+B’y+C’z+D’=0 De nuevo, analizar su posición relativa es equivalente a estudiar la compatibilidad del sistema que forman. Sean las matrices M = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 'C'B'A CBA Y N = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 'D'C'B'A DCBA Se establecen tres casos posibles: 1) rg(M)= rg(N) = 2 En este caso, el sistema es compatible indeterminado y habrá infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Como los dos planos son independientes, serán planos secantes en una recta.
  • 76. Colegio Vizcaya Matemáticas II 76 2) rg(M)=1 y rg(N)=2 El sistema es incompatible, luego no existen puntos comunes y se deduce que son planos paralelos. Si el rg(M) es 1, eso significa que sus filas son proporcionales, es decir, se cumplirá que 'C C 'B B 'A A == . Al incorporar la última columna, aumenta el rango, luego se trata de una columna independiente que pierde la proporcionalidad, es decir: Si los planos son paralelos se cumplirá 'D D 'C C 'B B 'A A ≠== Esta condición nos permitirá reconocer el paralelismo entre dos planos mirando simplemente sus ecuaciones respectivas. 3) rg(M)= rg(N)=1 El sistema es compatible indeterminado y habrá infinitas soluciones dependientes de dos parámetros. Si el rango es 1, todos los coeficientes serán proporcionales, luego se trata de dos ecuaciones iguales, es decir, de dos planos coincidentes. Si los planos son coincidentes se cumplirá 'D D 'C C 'B B 'A A === Se deduce entonces que siempre que no exista proporcionalidad entre los coeficientes, los planos serán secantes. Escribe un par de planos: a) paralelos b) secantes c) coincidentes Actividad 13. Dado el plano π : 2x-y+3z+1 = 0, halla la ecuación del plano paralelo a π que pasa por el punto A(1,0,2). 4.4 POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Determinar la posición entre tres planos requiere estudiar la compatibilidad del sistema que forman. Consideramos los planos: α : Ax+By+Cz+D=0 β : A’x+B’y+C’z+D’=0 π : A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0
  • 77. Colegio Vizcaya Matemáticas II 77 Sean las matrices M = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ''C''B''A 'C'B'A CBA Y N = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ''D''C''B''A 'D'C'B'A DCBA rg(M) Rg(N) CLASIFICACIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 3 3 Sistema compatible determinado 3 planos secantes en un punto 3 Sistema incompatible 3 planos secantes 2 a 2 en 3 rectas paralelas 2 planos paralelos y 1 secante a ambos 2 2 Sistema compatible indeterminado dependiente de 1 parámetro 3 planos secantes en la misma recta 2 planos coincidentes y 1 secante a ambos 2 Sistema incompatible 3 planos paralelos 2 planos coincidentes y 1 paralelo 1 1 Sistema compatible indeterminado de pendiente de 2 parámetros planos coincidentes ** 4 gráficos extraídos de la página www.xtec.es/~fgonzal2/** Siempre que hay dos posibles posiciones, en una de ellas hay planos paralelos o coincidentes, lo que nos permitirá distinguir en cada caso la posición correcta, sin más que comprobar si las ecuaciones tienen los coeficientes proporcionales.
  • 78. Colegio Vizcaya Matemáticas II 78 Actividades 14. Estudia la posición relativa de los siguientes tríos de planos: a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−π =+−π =++π 0z2yx2: 0zy2x: 1zyx: 3 2 1 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+−π =−−π =+−π 1z3yx: 1zyx: 4z6y4x2: 3 2 1 2 c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++−π =+−π =−+π 1zyx: 2zyx: 1zyx: 3 2 1 d) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+−π =−+π =+−π 1z2yx2: 1zyx: 2z4y2x4: 3 2 1 e) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+π =−+π =+−π 3z4yx3: 2zy2x2: 1z2yx: 3 2 1 5 f) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−−π =+−−π −=−+π 1z2yx2: 2zyx: 6z3y3x3: 3 2 1 2 15. Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de m: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++π =++π =++π 0mzymx: 0zmyx: 0mzyx: 3 2 1 ¿Existe algún valor de m para el que los planos se corten en el punto (0,3,3)? 5. HACES DE PLANOS 5.1 HACES DE PLANOS PARALELOS Definición: Es el conjunto de todos los planos paralelos a uno dado. Si el plano dado es Ax+By+Cz+D=0, la ecuación del haz de planos paralelos es: Ax+By+Cz+k= 0 siendo k ∈R Ejemplo: El haz de planos paralelos al plano 3x-2y+z=5, tiene la forma: 3x-2y+z+k=0 k ∈R 5.2 HAZ DE PLANOS SECANTES A UNA RECTA DADA Definición: Es el conjunto de todos los planos que contienen a la misma recta r.
  • 79. Colegio Vizcaya Matemáticas II 79 Si la recta r viene dada por r: ⎩ ⎨ ⎧ =+++ =+++ 0Dz'Cy'Bx'A 0DCzByAx , la ecuación del haz es: α (Ax+By+Cz+D) + β (A’x+B’y+C’z+D’) =0 siendo ∈βα, R no simultáneamente nulos. ya que cualquier plano que contenga a r debe ser una combinación lineal de los dos planos dados, pues tiene que formar con ellos un sistema compatible indeterminado. Ejemplo: El haz de planos secantes en la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ −=− =−+ 1zx 5z3yx es de la forma: α (x+y-3z-5) + β (x-z+1) =0 Cada uno de los planos que pasan por la recta r, se obtendría fijando valores cualquiera de α y β , no simultáneamente nulos. Por ejemplo, si α =1 y β =2 , el plano sería: x+y-3z-5 + 2(x-z+1) = 0 ⇒ 3x+y-5z-3=0
  • 80. Colegio Vizcaya Matemáticas II 80 ESPACIO AFÍN: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II 1. Dados los puntos A(1,0,2), B(7,-6,-4) y C(4,3,5): a) Comprueba que están alineados. b) Divide el segmento AB en tres partes iguales. 2. Calcula el valor de a para que el punto A(1,2,3) pertenezca a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ =−++ =−+ 06zyax 0zayx 3. Determina la ecuación del plano que contiene a los puntos A(-1,0,2) y B(3,4,0) y es paralelo a la recta r: ⎩ ⎨ ⎧ −=+− =−+ 1zyx2 3zyx 4. Comprueba si los puntos A(1,2,0), B(3,4,1), C(-1,0,1) y D(2,1,0) son coplanarios (se encuentran en el mismo plano). 5. Calcula los puntos de corte de la recta r: 2 z 1 1y 2 1x = + = − con los planos coordenados. 6. Halla la posición relativa de la recta r con cada una de las rectas siguientes: r: ⎩ ⎨ ⎧ −=−+ =+− 2z2yx 4yx a) s: ⎩ ⎨ ⎧ =+− =−+ 6z2yx 4z2yx b) t: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ−= λ−= λ−= 22z 2y 21x c) u: 3 3z 3 4y 3 x − = − = 7. Halla a para que las rectas r y s estén en un mismo plano y halla la ecuación de dicho plano: r: ⎩ ⎨ ⎧ = =+ 1y azx2 s: ⎩ ⎨ ⎧ =+ =++− ayx 5z2y2x 8. Estudia, según los valores de m, la posición relativa de los planos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+−π =−+−π =−+−π 0mmzyx: 03mzmy2x: 01zy2mx: 3 2 1 4