Ecuación canónica de la parábola con vértice en h,k
1. EXPOSICIÓN DE MATEMÁTICAS
integrantes:
KENDRY CAMARGO
ROSA SOLANO
ELVIA GUTIÉRREZ
I.E.D MADRE LAURA
11ª2
2013
2. Sea h,k un punto distinto del origen del plano
cartesiano.
para deducir la ecuación de una parábola con
vértice en h,k se consideran dos casos:
La parábola con eje de simetría paralela al eje X y
la parábola con eje de simetría paralelo al eje Y
3. Ecuación canoníca de la parábola con vértice
en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje X
y M (h-p,y)
Y=k v
(h,k) F(h +p, k)
x
X=h-p
4. Sea P la distancia del vértice al foco de una
parábola con vértice en (H,K) y eje paralelo al
eje X. Entonces, las coordenadas del foco son:
F(h+p,k).
Además, la directriz esta dada por x=h-p y la
ecuación del eje de simetría y=k.
Como se muestra en la figura anterior.
5. ahora, si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces su
proyección sobre la directriz, es de la forma M(h-p,y). Luego,
d(M,P) = √[ x- (h – p )² + ( y – k )² = √( x – h + p ) = x - h + p
Y por definición de la parábola se tiene que :
d ( P,F) = d ( M,P)
√[ x - ( h - p ) ]² + ( y – k )² = x – h + p
6. ( √[ x - ( h + p ) ]² + ( y – k )² )² = ( x – h + p )²
[ x - ( h + p )² + ( y – k )² = ( x - h + p )²
x² - 2x( h + p ) + ( h + p )² + y² - 2 yk + k² = [ x - (h - p)]²
x²- 2xh – 2xp + h² + 2hp + p² + y² - 2yk + k² = x² - 2x( h - p) + ( h - p)²
// = x² - 2xh + 2xp – h² - 2hp + p²
x² - 2xh – 2xp – h² + 2hp + p² + y² - 2yk +k² = x² - 2xh + 2xp - h² - 2hp +p²
y² - 2yk + k² = 2xp - 2hp + 2xp - 2hp
y² - 2yk + k² =4xp – 4p
( y – k )² = 4p( x – h )
7. Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha
si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda
8. Ecuación canoníca de la parábola con vértice en
(h,k) y eje de simetría paralelo al eje Y
y
F (h, k+ p)
V (h, k)
y=k-p
M(x, k-p)
x
9. Sea P la distancia del vértice al foco de
una parábola con vértice en (H,K) y eje
paralelo al eje X. Entonces, las
coordenadas del foco son: F(h +p, k).
Como la distancia del vértice al foco es
igual a la distancia del vértice a la
directriz, entonces, la ecuación de la
directriz es y = k-p . Además, la
ecuación del eje de simetría es x = h
Como nos muestra la figura anterior
10. La ecuación canoníca de la parábola con eje focal paralelo
al eje y vértice en (h, k) es;
(x-h)² = 4p(y-k)
La ecuación (x-h)² = 4p(y-k) representa una parábola que:
Se abre hacia arriba, si p > 0
Se abre hacia abajo. Si p < 0
11. Ejemplos
Encontrar la ecuación canoníca de la parábola que cumple las
condiciones dadas:
• Vértice en ( -3, 4 ) y foco en ( -5, 4 )
• Vértice en ( 2, -3) y pasa por el punto que 5, - 3
2
12. Solución
V( -3, 4 ) y F( -5, 4 )
Hallamos P.
P= -5 – (-3) = -2
Remplazamos en la formula los valores para encontrar la ecuación de la
parábola.
( y – k)² = 4p ( x – h )
( y – 4)² = 4( -2) (x- (-3) )
( y – 4 )² = -8 ( x + 3)
Y así obtenemos la ecuación canoníca cuyo eje de simetría es paralelo al eje x.
