UNIDAD 4

55
Objetivos de la unidad:
Aplicarás correctamente la geometría analítica: parábola, elipse
e hipérbola al encontrar soluciones a diversas problemáticas del
entorno.
Geometría analítica
MATEMÁTICA
Unidad 4

56 Matemática - Segundo Año
Descripción del proyecto:
Una de las aplicaciones de las curvas llamadas cónicas como la parábola se usa en el área de las comunicaciones. Se
plantea un problema aplicado a una antena parabólica.
Figuras
cónicas
Elipse
Elementos
Lado recto
Centro
Focos
Vértices
Ecuaciones
GeneralOrdinaria
Canónica
Elementos
Focos
Vértices
Lados rectos
Eje
conjugado
Eje
transversal
Asíntotas
Ecuaciones
GeneralOrdinaria
Canónica
Hipérbola
sus
sonson
puede ser
son
Parábola
Elementos
Foco
Vértice
Derectriz
Lado recto
GeneralOrdinaria
son
sus
sosonn
Ecuaciones
son son
puede ser
sus
estas son
Circunferencia

Segundo Año - Matemática 57
Cuarta Unidad Lección 1
Motivación
Indicadores de logro
Si la distancia del punto P(x, y) a la recta fija D es igual
que la distancia de P(x, y) al punto F(foco), entonces se
genera la curva llamada parábola. En otras palabras, la
parábola es el conjunto de puntos en un plano tales que
Construirás,conordenylimpieza,parábolaseidentificarásconinterésy
seguridadsuselementos.
Construiráslaecuaciónordinariaconvérticeenelorigenocanónicade
laparábolaapartirdelvérticeyunparámetro,delfocoyunpunto;ydela
directrizyunfoco;conesmeroeinterés.
Determinarás,conesmeroeinterés,laecuacióndelaparábolautilizando
elfoco,elvérticeyladirectriz.
Resolverásyexplicarás,problemasdelentornoaplicandola ecuaciónde
laparábola.
Los extremos del cable de un puente se hallan a
1000 m de distancia entre sí, y a 100 m del piso. El
centro del cable está a nivel del piso.
Encuentra la altura del cable sobre el piso a una
distancia de 300 m de la base de la torre de amarre.
Se supone que el cable resiste una carga de igual peso
en distancias horizontales iguales.
La parábola
Construcción de la parábola
su distancia a una recta fija llamada directriz (D)es igual
a su distancia a un punto fijo llamado foco (F)que no
está en la recta.
Elementos de la parábola
Los elementos principales de la parábola son:
Directriz (D)
Foco (F)
Vértice (V)
Eje ( )FV
La distancia del vértice al foco y del vértice a la
directriz son iguales es decir VF=VD = p
El lado recto (Lr) es la cuerda focal perpendicular al eje
de simetría Lr = 4p
P
Eje de simetría
vértice
Directriz
L
F

UNIDAD 4
Ecuación de la parábola con vértice en
el origen
Para obtener la ecuación más sencilla de la parábola
llamada canónica, colocamos el eje y a lo largo del eje de
la parábola, con el origen en el vértice, como se muestra
en la figura. En este caso, el foco F tiene coordenadas
(0, p) y la ecuación de la directriz es y = –p. (En la figura
se muestra el caso p > 0) por la fórmula de la distancia,
un punto P(x, y) está en la gráfica de la parábola si
d(P, F) = d(P, D); es decir, si:
( ) ( ) ( ) ( ( ))x y p x x y p− + − = − + − −0 2 2 2 2
Eleva al cuadrado ambos lados y simplifica:
x y p y p
x y py p y
2 2 2
2 2 2 2
2
+ = +
+ + =
( – ) ( )
– + +
=
2
4
2
2
py p
x py
La parábola x2
= 4py se abre hacia arriba, como en la
figura anterior. Además, la parábola x2
= –4py se abre
hacia abajo. Ambas son parábolas verticales.
Si intercambias las variables x e y obtienes y2
= 4px. Ésta
sería la ecuación canónica de la parábola horizontal que
se abre hacia la derecha.
Además la parábola x2
= –4py se abre hacia la izquierda.
Es importante que repares en estas preguntas y sus
respuestas: si la variable que aparece elevada al cuadrado
es la x, ¿la parábola es vertical u horizontal? ¿Y cómo es la
parábola si la variable al cuadrado es la y? Las siguientes
figuras te presentan un resumen de lo anterior.
x
y
x2=4py
P(x,y)F(0,p)
V (0,0)
y =-p
F(p, 0)
y2=4px
F(-p, 0)
y2= -4px
F(0,-p)
x2= -4py
F(0, p)
x2=4py
Horizontal a
la derecha
Vertical
hacia arriba
Horizontal a
la izquierda
Vertical
hacia abajo

UNIDAD 4
Ejemplo 1
Resuelve la situación planteada al inicio de la lección el
cual consiste en: encontrar la altura de un cable sobre
el piso a una distancia de 300 m de la base de la torre de
amarre. Se supone que el cable resiste una carga de igual
peso en distancias horizontales iguales.
Solución:
Traza los ejes cartesianos tal que el origen coincida con
el punto de contacto del cable con el piso.
Nota que el cable forma una parábola vertical hacia
arriba con vértice en el origen. Luego, es de la forma
x2
= 4py. Como el punto (500, 100) pertenece a la
parábola, satisface su ecuación. Luego:
( ) ( )
,
( )
500 4 100
4 2 500
2
2
500
100
=
= =
p
p
Entonces, la ecuación es:
x2
= 2,500y
Observa que deben ser 300 m desde la base de la torre
de amarre y como del origen a la torre hay 500 m;
entonces del origen a la altura que buscas hay
x = 500 – 300 = 200. Sustituyes x = 200 m, en la
ecuación anterior y obtienes:
(200)2
= 2,500y y =
( )
,
200
2 500
2
y = 16
Por lo tanto la altura del cable es de 16 m.
Ejemplo 2
Determina el foco y la directriz de la parábola x2
= –6y.
Traza su gráfica.
Solución:
La ecuación es de la forma x2
= –4py. Luego, 4p = 6 o sea,
p = =
6
4
3
2
En consecuencia, la parábola abre hacia abajo y tiene
foco F 0
3
2
, −



 como se ilustra en la figura.
La directriz es la recta horizontal y =
3
2
que está a una
distancia
3
2
por arriba de V.
(-500,100)
(-500,0)
(500,100)
(500,0)
300 m
x
y
y
x0
0
1
-2-4 2 4 6
2
8 10-6-8-10
-1
-2
-3
-4
-5
y =
3
2
V
F

UNIDAD 4
Ejemplo 3
Determina la ecuación de la parábola que tiene su
vértice en el origen, se abre a la derecha y pasa por el
punto P (7, –3).
Solución:
Como se abre a la derecha, es una parábola horizontal.
Por lo tanto, es de la forma y2
=4px.
Si P (7, –3) es un punto de la parábola, puedes sustituir
dicho punto en su ecuación.
y px
p
p
2
2
4
3 4 7
9 28
=
− =
=
( ) ( )
luego p =
9
28
Esto significa que las coordenadas del foco son:
9
28
0,




Luego, su ecuación es: y x2
4
9
28
=



 , o sea,
y x2 9
7
=
Ejemplo 4
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el
origen y cuya directriz es la recta x = –1.
Solución:
Con los datos que se dan puedes hacer una gráfica para
obtener información. En este caso trazas el vértice
V(0, 0) y la directriz x = –1.
Observa que la directriz es una recta vertical. Por
lo tanto, la parábola es horizontal, pues su eje es
perpendicular a su directriz. También por la ecuación
de la directriz x = –1, sabes que p = 1, ya que la parábola
se abre hacia la derecha y p es la distancia que existe del
vértice de la parábola a la directriz. Entonces, la ecuación
de la parábola se obtiene sustituyendo el valor de p = 1
en la fórmula:
y2
= 4px
y2
= 4(1)x
y2
= 4x que es la ecuación de la parábola
Para conocer todos los elementos de la parábola,
encuentras las coordenadas del foco, la ecuación del
eje de la parábola y la longitud del lado recto. Las
coordenadas del foco son F(1, 0), la ecuación del eje es
y = 0 y el lado recto es Lr = 4(1) = 4
F(1,0)
p
v
p
d
x=-1
y
x
y
x0
0
0.5
1
-0.5
-1
21
1.5
2
-1.5
-2
0.5 1.5 2.5-0.5-1-1.5-2-2.5
F (9/28,0)
x =−9/28

UNIDAD 4
Ejemplo 5
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el
origen y foco en (5, 0).
Solución:
Debido a que el foco está en (5, 0) y el vértice en el
origen, p = 5. Una parábola con foco en el eje x y vértice
en el origen, es de la forma y2
= 4px.
La ecuación es y2
= 20x.
¿Por qué la parábola no se abre hacia la izquierda?
Ejemplo 6
Halla la ecuación de la parábola con vértice V (0, 0) y
foco F (3, 0).
Solución:
Como la ordenada del foco es y = 0, entonces la parábola
es horizontal, ya que el foco está en el eje x. La ecuación
que debes utilizar es: y2
= 4px
Como p es la distancia del vértice al foco,
p = 3 – 0 = 3
Luego, la ecuación de la parábola es:
y2
= 4(3)x
y2
= 12x
Para graficarla, determina la longitud del lado recto Lr:
Lr p=
=
=
| |
| ( )|
4
4 3
12
Con estos datos trazamos la parábola sin recurrir a la
tabla de valores.
¿Cuál es la ecuación de la directriz?
Ejemplo 7
De las distintas formas de arco usados en
construcciones, uno tiene la forma de arco parabólico,
como lo muestra la figura de la derecha.
Determina la ecuación del arco parabólico cuya altura
es 6 m y su claro o luz 12 m.
12 m
6 m
y
x0
0
2
21
4
-4
-1
-2
-6
-8
6
8
3 654 7
F(5,0)
y
x0
0
2
21
4
-4
-1
-2
-6
6
3 54-2-3
Lr=12
F(3,0)

UNIDAD 4
Ejemplo 9
Determina todos los elementos de la parábola y2
= –3x.
Solución:
La ecuación indica que la parábola es horizontal con
vértice en el origen, y abre a la izquierda por el signo
negativo.
Tienes: 4 3
3
4
p
p
=
=
Luego, el foco es F −




3
4
0, y la directriz es x =
3
4
.
El eje de la parábola es el eje x, o sea, y = 0.
La longitud del lado recto es 4 34
3
4
p =



 =
Solución:
Haces coincidir el vértice del arco parabólico con el
origen. La ecuación del arco parabólico es de la forma
x2
= –4py.
En la figura puedes observar que A − −( )6 6,
pertenece a la parábola por lo que satisface su ecuación:
−( ) = − −( )
=
= =
2
6 4 6
36 4
3
2
2
36
24
p
p
p
Luego, la ecuación del arco es:
x y
x y
2
2
4
3
2
6
=




= −
−
Ejemplo 8
Encuentra todos los elementos de la parábola cuya
ecuación es x2
+ 8y = 0
Solución:
x2
+ 8y = 0
x2
= – 8y
Esta ecuación representa una parábola vertical con
centro en el origen y abierta hacia abajo, ya que el
coeficiente de y es negativo.
x2
= –8y
4p = 8
p = 2
Luego, el foco es F (0, – 2) y la directriz es y = 2. El eje
de la parábola es el eje y o sea x = 0. La longitud del lado
recto es Lr p= = ( ) =4 4 2 8
0
BA (-6,-6)
y
x
C(6,-6)
12 m
6 m
y
x0
0 2
-2
-2
-1
4-4
-3
-4
1
2
3
Y=2
Lr=8
F(0,-2)
Lr=3
x=3/4
y
x0
0 2
-2
-1 1-4
-4
2
4
-6
6
-2-3-5-6-7

UNIDAD 4
1. Encadaparábola,determinasieshorizontaloverticalyhaciadondeseabre.
a) y2
=6x c) x2
=–10y
b) x2
=–8y d) y2
=–4x
2. Encuentraelfocoyladirectrizdelaparábolax2
=–10y,construyesugráfica.
3. Determinalaecuacióndelaparábolasisuvérticeestáenelorigen,seabrehaciaarribaypasapor (–5,9).Hazlomismoconsiderando
quelaparábolaseabrehacialaizquierda.
4. Graficayencuentralaecuacióndelaparábolaconvérticeen(0,0)si:
a) F(0,–2) b) D:x=3 c) F −




3
4
0,
Resumen
Parábola es el conjunto de puntos tales que la distancia de cualquiera de ellos a un punto fijo llamado foco, es
igual a la distancia a una recta fija llamada directriz.
Ecuación Canónica Abre hacia Forma de la Gráfica
x2
= 4py Arriba
x2
= –4py Abajo
y2
= 4px La derecha
y2
= –4px La izquierda
Actividad1

UNIDAD 4
Autocomprobación

Laecuacióndeladirectrizenlaparábolax2
=–20y
es:
a) x=–5
b) y=–5
c) y=5
d) x=5
4 Elfocodelaparábolay2
=
8
3
xes:
a)
2
3
0,



 c) −




2
3
0,
b) 0
2
3
,



 d) 0
2
3
, −




2
Ladistanciafocaldelaparábolay2
=12xes:
a) 4
b) –4
c) 3
d) –3
31 Delassiguientesparábolas,laqueseabrehacia
arribaes:
a) y2
=–4x
b) x2
=–4y
c) y2
=4x
d) x2
=4y
La superficie de los focos o silbines de un carro
tienen forma parabólica. Lo anterior se debe a
que al colocar una fuente de luz en el punto F, la
totalidad de la luz que se refleja en la superficie
del silbín parece ser esa fuente luminosa. Esta
misma propiedad (o su inversa) se ocupa en
el diseño de antenas parabólicas, linternas,
telescopios, radares, etc.
En las lupas esta propiedad se aplica para
concentrar los rayos luminosos lo cual tiene
aplicación en la industria, como el calentamiento
de hornos.
Soluciones1.d. 2.a. 3.c. 4.c.
APLICACIONES PARABÓLICAS

Cuarta Unidad
Motivación
Si las coordenadas del vértice se convierten en (h, k)
en lugar de (0, 0), la ecuación de la parábola vertical
x2
= 4py, se convierte en (x – h)2
= 4p (y – k). De igual
forma, la ecuación de la parábola horizontal se convierte
en (y – k)2
= 4p(x – h).
Estas formas se conocen como ecuación ordinaria de la
parábola.
Ejemplo 1
Analiza y grafica la parábola (y + 4)2
= 2(x – 3).
Construirás,conordenylimpieza,parábolaseidentificarásconinterésy
Construiráslaecuacióngeneraldelaparábolaapartirdelvérticeyun
parámetro,delfocoyunpunto;ydeladirectrizyunfoco;conesmeroe
interés.
Determinarás,conesmeroeinterés,laecuacióndelaparábolautilizando
elfoco,elvérticeyladirectriz.
Determinarásconprecisiónlaecuacióngeneraldelaparábola.
1.2 m
2.5 m
2 m
Se está remodelando una biblioteca y se considera
la entrada con una puerta en forma parabólica la cual
tendrá 2.5 metros de altura en el centro y 2 metros de
ancho en la base. Además se introducirán libreras de
1.2 metros de ancho.
¿Puedes encontrar la altura máxima de las libreras?
Ecuación ordinaria y general de la parábola con
vértice diferente de (0, 0)
Lección 2
Ecuación ordinaria de la parábola
y
x0
0 2
-2
-4
4
-6
6-2 8
F(7/2,-4)
D: x=5/2

UNIDAD 4
Ejemplo 2
Determina la ecuación de la parábola si el foco es F (6, 8)
y la directriz y – 2 = 0.
Solución:
La ecuación de la directriz es y – 2 = 0, si despejas y = 2.
El punto medio entre y = 2, y el valor 8 de la ordenada del
foco, es:
8 2
2
5
+
= , este valor representa la ordenada del
vértice. La abscisa es 6.
Luego, p = 8 – 5 = 3. Resumiendo los datos anteriores,
tienes: V (6, 5) y p = 3. Luego, como la ecuación es de la
forma (x – h)2
= 4p (y – k), esta queda:
(x – 6)2
= 4(3) (y – 5)
(x – 6)2
= 12(y – 5)
Solución:
En este caso tienes una parábola horizontal hacia
la derecha, ya que la variable que aparece elevada
al cuadrado es y, además el signo del coeficiente es
positivo. Observa que las coordenadas del vértice van
cambiadas de signo, ya que:
x – h = x – 3, de aquí h = 3
y – k = y + 4, de aquí k = -4.
Luego las coordenadas del vértice son (3, –4). Además,
4p = 2, por lo que p =
1
2
Ejemplo 3
Determina la ecuación de la parábola con vértice
V (2, 3) y foco (5, 3), construye su gráfico y define sus
elementos.
Solución:
Al analizar los datos observas que se trata de una
parábola horizontal, ya que el vértice y el foco tienen
la misma ordenada: y = 3. Esta es la ecuación de su eje
principal.
Como es una parábola horizontal y abierta a la derecha
(el foco está a la derecha del vértice), su ecuación es de la
forma:
(y – k)2
= 4p(x – h)
Para encontrarla, además del vértice que ya tienes,
necesitas el valor de p.
Por diferencia de valores entre las abscisas, p = 5 – 2 = 3.
Sustituye las coordenadas h = 2, k = 3 del vértice y el
valor de p = 3, obtienes:
(y – k)2
= 4p(x – h)
(y – 3)2
= 4(3)(x – 2)
(y – 3)2
= 12(x – 2)
Ecuación ordinaria de la parábola
El lado recto es Lr =4p = 4 (3) = 12
La directriz es perpendicular al eje principal. Recuerda
que la directriz es una recta vertical cuya distancia al
vértice es igual que la del foco al vértice. En este caso
p = 3
Su ecuación la encuentras a partir del vértice con h = 2,
tres unidades a la izquierda por lo que restas 2 – 3 = –1 y
así la ecuación de la directriz es x = –1.
y
x
0
0 2-2
5
10
4 6 8 10 12 14-4-6
F(6,8)
V(6,5)
D: y=2

UNIDAD 4
Al graficar la parábola considerando todos sus elementos, tienes:
Ejemplo 4
Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en V(5, 4) y su directriz es la
recta x = 7.
Solución:
Como la directriz es vertical, la parábola es horizontal y se abre hacia la izquierda, ya
que la directriz está a la derecha del vértice. La distancia entre la abscisa del vértice y la
abscisa de la directriz es 7 – 5 = 2, p = 2. Luego, las coordenadas del foco son (3, 4). La
ecuación del eje de la parábola es y = 4.
Con las coordenadas del vértice h = 5, k = 4 y el valor de p = 2, formas la ecuación.
(y – k)2
= –4p(x – h) Porque se abre a la izquierda
(y – 4)2
= –4(2)(x – 5)
(y – 4)2
= –8(x – 5)
La longitud del lado recto es Lr = 4 (2) = 8 con los elementos anteriores graficas la
parábola de forma más exacta.
y
x
0
0 2-2
5
10
4 6 8 10-4-6-8-10
-5
F(5,3)
Lr=12
V(2,3)
D:x=-1
y
x
0
0-2
5
4 6 8 10-4-6-8-10 122
10
F(3,4)
V(5,4)
Lr=8
D:x=7

UNIDAD 4
Ecuación general de la parábola
Considera la ecuación ordinaria de la parábola:
(y + 4)2
= 2(x – 3) Es una parábola horizontal.
y2
+ 8y + 16 = 2x – 6 Efectuando el desarrollo del
binomio.
y2
+ 8y – 2x + 16 – 6 = 0 Transponiendo términos.
y2
+ 8y – 2x + 10 = 0 Reduciendo términos.
Esta expresión se conoce con el nombre de ecuación
general de la parábola. Puedes ver que ésta toma la forma
y2
+ Dx + Ey + F = 0. En el ejemplo anterior, ¿cuáles son
los valores de D, E y F?
De manera similar, si la parábola es vertical, su ecuación
general adquiere la forma:
x2
+ Dx + Ey + F = 0
Ejemplo 6
Determina el vértice, foco y directriz de la parábola
y2
+ 14y + 4x + 45 = 0
Solución:
y2
+ 14y = – 4x – 45
y y x2
2 2
14 4 45
14
2
14
2
+ +



 = − − +




Completas el trinomio cuadrado perfecto
y2
+ 14y + 49 = – 4x – 45 + 49
(y + 7)2
= – 4x + 4 Factorizas
(y + 7)2
= – 4(x – 1) Obtienes factor común – 4
¿Hacia dónde se abre la parábola?
Luego, las coordenadas del vértice son V (1, –7).
Además, 4p = 4, por lo cual p = 1.
Ejemplo 5
Grafica la parábola con vértice V (3, 1) y foco (3, –1) y
determina su fórmula y elementos.
Solución:
Como el vértice y el foco tienen la misma abscisa, x = 3.
La parábola es vertical y la ecuación de su eje es dicha
abscisa, o sea, x = 3. La parábola se abre hacia abajo, ya
que el foco está abajo del vértice.
Además, p = 2, ya que la distancia del foco al vértice es:
1– (– 1) = 1 + 1 = 2
Luego la ecuación es: (x – h)2
= –4p (y – k)
Sustituyendo: (x – 3)2
= –4(2) (y – 1)
(x – 3)2
= – 8(y – 1)
La ecuación de la directriz es y = 3, y la longitud del lado
recto es Lr = 8.
Con los elementos anteriores trazamos la gráfica de la
parábola.
Determina las coordenadas del foco y la ecuación de
la directriz.
y
x
Lr=8
F(3,-1)
x=3
eje
V(3,1)
D: y=3
y
x0
0
-2
2
4
-4
-6
-8
-10
2-2-4-6-8
-12
-10
V(1,-7)

UNIDAD 4
Ejemplo 7
Determina todos los elementos de la parábola
x2
– 8x + 5y – 4 = 0.
Solución:
Habrás analizado que esta ecuación corresponde a una
parábola vertical, ya que la variable x está elevada al
cuadrado.
Para encontrar los elementos de la parábola, transformas
esta ecuación a su forma ordinaria.
x2
– 8x = – 5y + 4 Escribes los términos en x
en un lado y los de y en
otro lado.
x2
– 8x + 16 = – 5y + 4 + 16 Completas el trinomio
cuadrado perfecto.
x2
– 8x + 16 = – 5y + 20 Sumas las constantes en
el miembro de la derecha.
(x – 4)2
= – 5(y – 4) Expresas como un
binomio cuadrado y
sacas factor común –5
El vértice es V (4, 4). Como 4 5
5
4
p p= =, .
Para conocer las coordenadas del foco, por ser una
parábola vertical, éste tiene la misma abscisa que el
vértice; o sea, x = 4.
Para determinar la ordenada, a la ordenada del vértice
restas el valor de p =
5
4
, es decir,
4
16 5
4
5
4
11
4
−



 =
−
=
El foco es F 4
11
4
,



 .
Para determinar la ecuación de la directriz, se suma a la
ordenada del vértice el valor de p, o sea:
4 4
5
4
21
4
5
4
+



 = + =
De esta forma determinas los elementos de la parábola.
Ahora construye su gráfica y represéntalos en ella.

UNIDAD 4
Ejemplo 8
Considera la situación presentada al inicio de la lección y
encuentra la altura máxima de las libreras.
Solución:
Dibujas un corte longitudinal del reflector, mostrando el
vértice de la sección longitudinal en el origen y el foco a
9
4
unidades del vértice sobre el eje x. entonces, el foco es
F
9
4
0,



 , como se muestra en la figura.
Solución:
Observa el gráfico. Colocas el vértice de la parábola
sobre el eje y; la base sobre el eje x.
Así es una parábola vertical hacia abajo con
vértice en (0, 2.5). Por lo tanto la ecuación es:
x p y
x p y
−( ) = − −( )
= − −( ) ( )
0 4 25
4 25 1
2
2
.
.
Como (1, 0) pertenece a la parábola, lo sustituyes en la
ecuación (1) y encuentras el valor de 4p. Así:
1 4 0 25
1 4 25
1 4 25
2
( ) = − −( )
= − −( )
= ( )
p
p
p
.
.
. ; 4
1
25
04p = =
.
.
Por lo tanto sustituyes 4p en la ecuación (1) y obtienes:
ancho de la libreta x2
= – 0.4(y – 2.5)
Despeja “y” de la ecuación anterior y compara con:
y x= − ( )25 25 22
. .
Observa el gráfico; si divides el ancho de la librera entre
2. Entonces
12
2
06
.
.= , obtienes el valor de “x”, para el
cual la ordenada del punto (x, y) de la parábola te da la
altura. Sustituye x = 0.6 en la ecuación (2) y comprueba
que y = 1.6. Así, la altura máxima que puede tener la
librera es de 1.6 metros.
Ejemplo 9
Se debe diseñar un reflector parabólico con una fuente
de luz en su foco, que está a
9
4
cm del vértice. Si el
reflector debe tener 10 cm de profundidad, ¿Cuál debe
ser el ancho de su boca y a qué distancia está el borde de
la fuente de luz?
Tienes:
La ecuación de la parábola es y2
= 4px.
Como p =
9
4
entonces y x y x2 2
4
9
4
9=



 =;
La ecuación del reflector es y2
= 9x.
y
x0
0
2
6
-2
4-2
4
2
-4
-6
6 8 10 12 14 16-4-6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5-1 0.5 1

UNIDAD 4
Resumen
Cuando el vértice de la parábola es V (h, k), su ecuación ordinaria es:
(x – h)2
= 4p (y – k) para la parábola vertical.
(y – k)2
= 4p(x – h) para la parábola horizontal.
Determinalascoordenadasdelfocoyvérticeylaecuación
deladirectrizdelassiguientesparábolas.
a) x2
–12x+4y+12=0
b) y2
–4x–12y+12=0
c) y2
–8x–32=0
d) x2
+2x–2y–5=0
e) x2
–6y–12=0
Parábola abierta hacia: Fórmula Vertice Foco Directriz
arriba (x – h)2
= 4p(y – k) v (h, k) F(h, k + p) y = k – p
abajo (x – h)2
= – 4p(y – k) v (h, k) F(h, k – p) y = k + p
derecha (y – k)2
= 4p(x – h) v (h, k) F(h + p, k) x = h – p
izquierda (y – k)2
= – 4p(x – h) v (h, k) F(h – p, k) x = h + p
Como el reflector debe tener 10 cm de profundidad
un punto de la parábola es P ( 10, k), que representa el
borde exterior del reflector. Sustituyes x = 10 y y = k en la
ecuación, K2
= 9 (10) = 90, o sea, k = 90 cm. El ancho
total es 2 90 cm
Por definición de parábola, el radio focal de cualquier
punto de la curva es igual a la distancia de dicho punto a
la directriz.
Luego: FP x p cm= + = + =10
9
4
49
4
El borde está a 49
4
cm de la fuente de luz.
Actividad1
Al desarrollar la ecuación ordinaria de la parábola se obtiene la ecuación general,
que es de la forma x2
+ Dx + Ey + F = 0 para la parábola vertical; y2
+ Dx + Ey + F = 0
para la parábola horizontal.
Para determinar los elementos de la parábola debes convertir la ecuación general a la
ecuación ordinaria.

UNIDAD 4
Autocomprobación
La aplicación de la parábola en muchas áreas de
la ciencia y tecnología es muy amplia.
Por ejemplo, los cables de un puente como el
mundialmente famoso Golden Gate ubicado en la
bahía de San Francisco, describen una parábola.
Esto se debe a que el peso del puente se
reparte uniformemente sobre los cables.
Esta propiedad le permitió a principios del
siglo XX, a un equipo de ingenieros diseñar el
majestuoso puente Golden Gate, en la Bahía de
San Francisco
1.b. 2.c. 3.a. 4.b. Soluciones

Elvalordepes:
a) 8 c) –16
b) 4 d) –8
1
Elfocoeselpunto:
a) (–3,–5) c) (–3,5)
b) (3,–5) d) (3,5)
3
Elvérticeeselpunto:
a) (–1,5) c) (1,–5)
b) (–5,1) d) (5,–5)
2
4 Ladirectrizestádadapor:
a) x=–5 c) y=5
b) x=5 d) y=–5
Sealaparábola(y+5)2
=–16(x–1).
LOS CABLES DE UN PUENTE
y
x0
0
2
-2
-2 2
-4
-6
1 3 4-1-3-4-5
-8
-12
-14
-10

Cuarta Unidad
Motivación
Puedes construir una elipse utilizando una cuerda y dos
tachuelas. Se ponen las dos tachuelas un poco alejadas
la una de la otra. Después se ata la cuerda a las dos
tachuelas. Con lápiz o pluma se jala y se tensa la cuerda.
Mientras se conserva la cuerda tensada, se dibuja la
elipse moviendo el lápiz alrededor de las tachuelas. Esto
lo puedes observar en la figura de la derecha.
Construirás,coninterésyseguridad,laecuacióncanónicadelaelipse
utilizandoelcentro,unvértice,unfocoylaslongitudesdelosejesmayory
menor.
Construiráselipsesconordenylimpieza,eidentificarásconinterésy
Construirásconseguridadlaecuacióncanónicadelaelipseconcentroen
elorigen.
Para sostener un puente se construye un arco de
forma elíptica. El puente pasa por un río de 80 pies
de ancho. El centro del arco está a 24 pies por arriba
de la superficie del agua. El arquitecto que diseñó
el puente necesitó conocer la ecuación de la elipse.
¿Cuál es esa ecuación?
La Elipse
Lección 3
Construcción de la elipse
Comparando con la cuerda, ¿podrías decir cuál es la
suma de las distancias, de cualquier punto de la curva, a
los puntos fijos?
Muy bien, de seguro respondiste que esa suma es
siempre la longitud de la cuerda. O sea que:
d1 d2
d2
d1
F1 F2
F2F1
La elipse es el conjunto de puntos en el plano, de tal
forma que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
es una constante.
Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

UNIDAD 4
Elementos de la elipse
Los puntos V (a, 0) y V’ (– a, 0), se llaman vértices de
la elipse.
El punto C (0, 0) es el centro
Lr: longitud del lado recto
El segmento de recta V’V = 2a es el eje mayor, y 2b es el
eje menor.
Los puntos F’ (– c, 0) y F(c, 0) son los focos:
F’F = 2c; F’C = CF = c
Ecuación canónica de la elipse
Ésta es la ecuación más simple, es decir, cuando el centro
de la elipse coincide con el origen.
La distancia entre los focos es F’F = 2c. La suma PF’ y PF
es constante, por definición de elipse.
Tienes: PF’ + PF= 2a. En la figura puedes ver que 2a > 2c,
por lo cual a > c. Luego, PF + P’F = 2a.
Pero PF x c y= ( ) ( )− + −
2 2
0 y
PF x c y,
( ) ( )= + + −2 2
0
Tienes entonces:
( ) ( )x c y x c y a− + + ++ =2 2 2 2
2
Al trabajar algebraicamente la ecuación anterior, se
obtiene:
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = , cuando el eje mayor pasa sobre el eje x.
Si la elipse es vertical, la ecuación que la describe es:
x
b
y
a
2
2
2
2
1+ = , cuando el eje mayor pasa sobre el eje y.
Ejemplo 1
Retoma la situación dada al principio de la lección y
encuentra la ecuación.
Solución:
Haces coincidir el origen del sistema de coordenadas
con el punto medio del plano de la superficie del río. En
la figura observa que a = 40 y b = 24.
Luego la ecuación de la elipse es:
x b2
2
2
2
40 24
1
( ) ( )
+ =
M
M
Lr
F V x
y
C(0,0)
Lr
FV1
a
c
b
P(x,y)
x
y
F(c,0)F(-c,0)
x
y
(0,24)
(40,0)(-40,0)
0

UNIDAD 4
Ejemplo 2
Grafica la ecuación 20x2
+ 9y2
= 180.
Solución:
Si divides ambos lados de la ecuación entre 180, tienes:
20 9
180
180
180
20
180
9
180
1
9
2 2
2 2
2
x y
x y
x
+
=
+ =
++ =
y2
20
1
Como en este caso 20 > 9, tienes que el eje mayor 2a es
2 20 , y el eje menor 2b es 2 2 3 69 = ( ) =
En este caso la elipse es vertical, como puedes ver en la
figura de la derecha.
Su ecuación es de la forma
x
b
y
a
2
2
2
2
1+ = , ya que el eje
mayor es el denominador de y2
.
Ejemplo 3
Encuentra la ecuación de la elipse mostrada en la
siguiente figura.
Solución:
Como el eje mayor está en y, la elipse es de la forma
x
b
y
a
2
2
2
2
1+ =
En la figura se observa que a = 12 y b = 10 . Luego, la
ecuación de la elipse es:
x y
x y
2
2
2
2
2 2
10
10 144
12
1
1
( )
+ =
+ =
x
y
(0, 20)
(0,- 20)
(-3,0) (3,0)
y
x
0
0 2 4-2 6 8-4-6-8
a =12
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
-12
12
− 10 10

UNIDAD 4
Ejemplo 4
Encuentra la ecuación que relacione a, b y c.
Solución:
Cuando el punto P(x, y) coinciden con el eje y se obtiene la figura de la derecha. Luego,
por Pitágoras,
a2
= c2
+ b2
De donde
c2
= a2
– b2
b2
= a2
– c2
Observa que estas tres
ecuaciones son equivalentes, y
establecen la relación entre
a, b y c.
Ejemplo 5
Construye la gráfica de 2x2
+ 9y2
= 18 y encuentra los focos.
Solución:
Dividiendo entre 18, tienes.
2
18
9
18 18
9 2
2 2
2 2
18
1
x y
x y
+ =
+ =
En este caso a = =9 3 y b = 2 . El eje mayor es 2(3) = 6 y el eje menor 2 2 .
Con los valores de a y b dibujas la elipse.
Puedes ver que como 2 3< , el eje
mayor está en el eje x.
⇒
Para encontrar los focos, tienes que a = 3 y b = 2
c a b2 2 2 2 2
3 2 9 2 7= − − ( ) = − =
Luego, c = 7 , y los focos son 7 0,( ) y −( )7 0, .
x
y
(-3,0) (3,0)
(0, 2)
(0,- 2)
x
y
(0,b)
F(-c,0) F(c,0)
a a

UNIDAD 4
Ejemplo 6
Determina la ecuación de la elipse con vértices (4, 0) y focos (2, 0).
Excentricidad e
c
a
= , Como c < a, e < 1
Lado Recto Lr
b
a
=
2 2
Relación entre a, b y c a2
= b2
+ c2
Solución:
Como los focos están en el eje x, el eje mayor también está en x. La ecuación de la elipse
es de la forma
x y
a b
2
2
2
2
1+ = . Los vértices son (–4, 0) y (4, 0), entonces a = 4.
Si los focos son (– 2, 0) y (2, 0), entonces: c = 2
Sia y c
b a c
b
b
= =
= −
= −
=
4 2
4 2
1
2 2 2
2 2 2
2
66 4
12
12
2
−
=
=
b
b
La ecuación de la elipse es:
x y2 2
16 12
1+ =
Excentricidad y lado recto de la elipse
La excentricidad se define como el cociente
c
a
.
El lado recto de la elipse Lr, es la cuerda que pasa por un foco su valor se calcula por
2 2
b
a
Usando las ecuaciones de
la elipse, según ésta sea
horizontal o vertical y las
ecuaciones anteriores, se
resuelven problemas sobre
esta curva.
y
x0
0
2
1 2 3 4-1
4
6
8
-2
-6
-8
5-2-3-4-5
-4

UNIDAD 4
Ejemplo 7
Halla la ecuación de la elipse con vértices V (0, 5) y
V’(0, –5) y focos F(0, 4) y F’(0, –4).
Solución:
Por los datos del problema puedes ver que la elipse tiene
su centro en el origen, ya que es el punto medio entre
los vértices (o entre los focos). Además es una elipse
vertical, ya que tanto los vértices como los focos tienen
abscisa cero.
Luego, la ecuación es de la forma.
x
b
y
a
2
2
2
2
1+ =
Por las coordenadas de los vértices, a = 5, y por las
coordenadas de los focos, c = 4. Luego,
b2
= a2
– c2
b2
= 52
– 42
b2
= 9; b = 3
Luego, sustituyendo en la ecuación de la elipse, tienes.
x y2 2
9 25
1+ =
El lado recto y la excentricidad son:
Lr
a
e
c
a
b
= =
( )
=
= =
2 22
9
5
18
5
4
5
;
Ejemplo 8
Halla la ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y
V’(–4, 0) y excentricidad
3
4
.
Solución:
Por los vértices la elipse es horizontal, con centro en el
origen y a= 4.
Como e
c
a
= =
3
4
, entonces c = 3, ya que a = 4
Luego, b2
= a2
– c2
b2
= 42
– 32
= 7 y a2
= 16
Con los datos que se tienen se forma la ecuación de la
elipse:
x y2 2
16 7
1+ =
Como c = 3, los focos son F (0, 3) y F’ (0, –3) y el lado
recto
2 2 7
4
7
2
2
b
a
= =
( )
x
y
5
4
-4
-5
3-3

UNIDAD 4
Ejemplo 9
Halla la ecuación de la elipse con vértices en V (0, 7) y
V’ (0, –7) y con el lado recto Lr = 6.
Solución:
Los vértices indican que la elipse es vertical con centro
en el origen y a = 7.
Como Lr = 6, Lr
b
a
=
2 2
o sea, 6
2
7
2
=
b
Despejando b: b2 6 7
2
21= =
( )
Con a2
y b2
escribes la ecuación de la elipse:
x y2 2
21 49
1+ =
El valor de c es:
c a b
c c
2 2 2
2
49 21 28 28
= −
= − = =;
De esta forma, los focos son F ( , )0 28 y
F ’ ( , )0 28− y la excentricidad es e
c
a
= =
28
7
Grafica la elipse.
1. Dibujalaselipsessiguientes.
a)
x y2 2
4 1
1+ =
b)
x y2 2
9 4
1+ =
c) x y2 2
4 9
1+ =
d) 9x2
+4y2
=36
e) 25x2
+16y2
=400
2. Determinalaecuacióndelaelipsesi:
a) V(0,3)yV’(0,-3);F(0,2)yF’(0,-2)
b) V(0,4)yV’(0,–4)y e =
1
2
c) V(3,0)yV’(–3,0)y Lr =
8
3
Actividad 1
Resumen
La elipse es el conjunto de puntos en el plano tales que la suma de sus distancias a
dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.
Donde 2a es el eje mayor y 2b es el eje menor.
Ecuación Canónica Relación entre a, b y c Focos Forma de la Gráfica
x y
a b
2
2
2
2
1+ = a b c= +2 2
( c, 0 ) y (– c, 0 )
x y
b a
2
2
2
2
1+ = a b c= +2 2
( 0, c ) y ( 0, – c )

UNIDAD 4
Autocomprobación
El hombre siempre se ha sentido atraído por los
astros y sus movimientos. Esto, tanto por fines
científicos como para conocer el futuro. Tan
es así que la astrología es la precursora de la
astronomía. Este interés llevó a los astrónomos
y matemáticos a buscar un modelo algebraico
que explicara los movimientos de los planetas y
el Sol. Fue así como el alemán Johannes Kepler
(1571-1630) descubrió que los planetas giran
alrededor del Sol en órbitas elípticas, donde el
Sol no está en el centro sino en uno de
sus focos.

1.c. 2.a. 3.b. 4.c. Soluciones
Elladorectodelaelipsedelejercicioanteriores:
a)
5
32
c) 32
5
b)
16
25
d)
4
5
4
Losfocosdelaelipsedelnumeralanteriorson:
a) (– 7, 0) y ( 7, 0)
b) (0, 7) y (0, 7)
c) (–5,0)y(5,0)
d) (0,–5)y(0,5)
2
Laexcentricidaddelaelipse:
x y2 2
16 25
1+ = es:
a)
4
5
c)
5
32
b)
3
5
d)
16
25
3 Losvérticesdelaelipse
x y2 2
16 9
1+ = son:
a) (3,0)Y(–3,0)
b) (0,3)Y(0,–3)
c) (4,0)y(–4,0)
d) (0,4)y(0,–4)
1
ORBITAS ELÍPTICAS
Johann Kepler

Cuarta Unidad
Motivación
Si en la ecuación canónica de la elipse:
x y
a b
2
2
2
2
1+ =
sustituyes a x por (x – h) y a y por (y – k), tienes:
( ) ( )x h
a
y k
b
−
+
−
=
2
2
2
2
1 cuando el eje mayor está sobre
el eje x. Esta ecuación representa una elipse horizontal con
centro en (h, k).
Si la elipse es vertical, la ecuación es:
( ) ( )x h
b
y k
a
−
+
−
=
2
2
2
2
1 cuando el eje mayor está sobre
el eje y.
En ambas, la longitud del eje mayor es 2a y la longitud del eje
menor es 2b.
Resolverásproblemasdelentornoutilizandolaelipsesuselementos,
gráficoyecuaciones.
Construiráselipsesconordenylimpieza,eidentificarásconinterésy
Construirásconseguridadlaecuacióncanónicadelaelipseconcentro
diferentede(0,0)
La primera ley de Kepler establece que la órbita
descrita por cada planeta es una elipse, donde el Sol
es uno de los focos.
Mirna y Laura construyen un modelo planetario en
el plano cartesiano. Ubican al Sol en (5, 3) y para la
órbita del planeta Tierra establecen que el centro es
(2, 3) con el vértice correspondiente en (7, 3). Ellas
necesitan conocer la ecuación para representar la
órbita de la Tierra. ¿Cuál es dicha ecuación?
Ecuación ordinaria de la elipse con centro
diferente a (0, 0)
Lección 4
Ecuación ordinaria de la elipse cuando el centro
es diferente (0, 0)

UNIDAD 4
Ejemplo 2
Halla la ecuación de la elipse con focos en (4, – 2) y
(10, –2) y con un vértice en (12, –2)
Solución:
El centro, que es el punto medio de los focos, está en
(7, –2) y la distancia entre los focos es 6 unidades. El
vértice dado está a 5 unidades del centro.
Luego, c = 3, a =5
b2
= 52
– 32
b2
= 25 – 9
b2
= 16
Como el eje mayor es paralelo al eje x, sustituyes
a2
= 25 y b2
= 16 y el centro (7, –2) en la ecuación
ordinaria y obtienes la ecuación:
( ) ( )x y− +
+ =
7
25
2
16
2 2
1
Ejemplo 3
Transforma la siguiente ecuación a su forma ordinaria y
dibuja la curva: 4y2
+ 9x2
– 24y – 72x + 144 = 0
Solución:
Agrupas los términos en x e y. Luego completas
cuadrados.
4 9 24 72 144 0
4 24 9 72
2 2
2 2
y x y x
y y x x
+ − − + =
− +( )+ − +( )=−
− +( )+ − +( )=− + ( )+ ( )
144
4 6 9 9 8 16 144 4 9 9 162 2
y y x x
44 3 9 4 144 36 144
4 3
36
9 4
36
2 2
2 2
y x
y x
−( ) + −( ) =− + +
−( ) +
−( )
==
−( ) +
−( )
=
36
36
3
9
4
4
1
2 2
y x
Donde a2
= 9 y b2
= 4.
Puedes ver que tienes una elipse vertical con centro en
(4, 3). En consecuencia: a = 3,
b = 2 y c a b= =−2 2
5
Los vértices están en (4, 0) y (4, 6), y los extremos del eje
menor están en (2, 3) y (6, 3). Las coordenadas de los
focos son 4 3 5, −( ) y 4 3 5, +( ). Dibujas la curva
como en la figura dada. Verifica los datos anteriores.
Ejemplo 1
Grafica y analiza la elipse
( ) ( )x y+
+
−
=
2
9
1
16
1
2 2
Solución:
El centro de la elipse es C(–2, 1). El eje mayor está sobre
una recta paralela a y, ya que 9 < 16. Como b2
= 9, b = 3; y
como a2
= 16, a = 4. Con estos datos construyes la elipse
de la derecha.
Ejemplo 4
Transforma la ecuación x2
+ 4y2
+ 4x = 0 a la forma
ordinaria.
x
y
(-2,-3)
(-2,5)
(-5,1) (5,1)
C
x
y
V (4,6)
V´(4,0)
F (4,3+ 5)
F (4,3− 5)

UNIDAD 4
Ejemplo 5
Dada la elipse de ecuación
4x2
+ 9y2
– 48x + 72y + 144 = 0, halla su centro, el eje
menor y el eje mayor, vértices y focos.
Solución:
Esta ecuación se puede escribir en la forma
( ) ( )x h
a
y k
b
− −
+ =
2
2
2
2
1, de la manera
siguiente: 4(x2
– 12x + 36) + 9(y2
+ 8y + 16) = –144 +
4(36) + 9(16). Factorizas y completas el trinomio.
4(x – 6)2
+ 9(y + 4)2
= 144. Factorizas y
simplificas.
( ) ( )x y− +
+ =
6 42 2
36 16
1 Divides entre 144.
Por tanto, el centro de la elipse es el punto de
coordenadas (6, –4); a = 6, b = 4; los vértices son los
puntos (0, –4), (12, – 4), y los focos (6 + 20 , –4),
(6 – 20 , –4). Verifica los datos anteriores.
Ejemplo 6
Encuentra ahora la ecuación que representa la órbita de
la tierra en el modelo planetario que construyen Mirna y
Laura al inicio de la lección.
Solución:
Como la distancia del centro al vértice es siempre “a”,
entonces a = 5. Además, CF = c = 3
Luego,
b2
= a2
– c2
b2
= 52
– 32
b2
= 16 = 42
Como las coordenadas del centro son h = 2, k = 3,
entonces la ecuación de la elipse es:
( ) ( )x y− −
+ =
2
5
3
4
2
2
2
2
1
La longitud del lado recto es
2 2 42 2
5
32
5
b
a
= =
( )
Por lo cual el punto L es L 5 3
16
5
, +



 , o sea,
L 5
31
5
,



 de manera similar, R 5 3
16
5
, −



 , o sea,
R 5
1
5
, −




Con estos datos completas el trazo de la curva.
Solución:
x2
+ 4x + 4 + 4y2
= 4
(x + 2)2
+ 4y2
= 4, Divides por 4
( )x
y
+
+ =
2
4
2
2
1; o sea,
( ) ( )x y+
+
−
=
2
4
0
1
1
2 2
grafica en tu cuaderno la elipse.
x
y
(6,0)
(6,-8)
(0,-4) (1.5,-4) (6,-4) (10.5,-4) (12,-4)
x
y
V(7,3)
F(5,3)
C(2,3)
L1
F1
R1
V1
R 5,−
1
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
L 5,
31
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

UNIDAD 4
Ejemplo 7
Halla la ecuación de la elipse de centro (–1, –1), uno de los vértices el punto (5, –1) y
excentricidad e =
2
3
Como el centro es el punto (–1, –1) y el vértice es (5, –1) a = 6, e
c
a
c
= = =
6
2
3
,
de donde c = 4. Por otra parte, b2
= a2
– c2
= 36 – 16 = 20.
La ecuación pedida es
( ) ( )x y+
+
+
=
1
36
1
20
1
2 2
Ejemplo 8
Un arco tiene forma de semi-elipse con una longitud de la base de 150 metros siendo su
máxima altura de 45 metros.
Halla la longitud de dos soportes verticales situados cada uno de ellos a un tercio de la
longitud del semieje a partir del centro.
Considera que en el eje x está la base del arco y el origen es su punto medio.
La ecuación del arco será,
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = , siendo a = 75, b = 45.
Para hallar la altura de los soportes, haces x = 25 en la ecuación y despejamos el valor
de y.
Es decir,
625
5625 2025
8 225 30 2
2
2
1,+ = = ( ) =
y
y y, metros.
Ejemplo 9
La tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de
los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1.485 × 108
kilómetros y que
la excentricidad es, aproximadamente,
1
62
, hallar la máxima y la mínima distancia de
la Tierra al Sol.
Solución:
Excentricidad e
c
a
= . Luego
1
62 148 500 000
=
c
, ,
, o sea c = 2, 400, 000
La máxima distancia es a + c = 1.509 × 108
km
La mínima distancia es a – c = 1.461 × 108
km
x
y
(-25,0)(-75,0) (75,0)(25,0)
(0,45)

UNIDAD 4
Ejemplo 10
Halla la ecuación de la elipse con centro en (2, 3), foco en (2, 5) y con el vértice
correspondiente en (2, 7). Dibuja la curva.
Solución:
Será de mucha ayuda dibujar primero y luego encontrar la ecuación de la elipse. La
distancia del centro al vértice es siempre igual a “a” y, entonces, en consecuencia,
b2
= a2
– c2
= 42
– 22
= 12. Ahora puedes obtener la ecuación.
Sabes que tienes que emplear la ecuación
( ) ( )x h
b
y k
a
−
+
−
=
2 2
1 porque el eje
principal o mayor es paralelo al eje y. También sabes que las coordenadas del centro
son h = 2 y k = 3; entonces puedes escribir:
( ) ( )x y−
+
−
=
2
12
3
16
1
2 2
Ejemplo 11
Encuentra la ecuación de la elipse cuyos vértices son V (6, 4) y V´(–2, 4) y cuyos focos son F
(5, 4) y F´(–1, 4).
Marca los focos en el siguiente gráfico:
Solución:
Por los datos sabes que se trata de una elipse horizontal, pues tanto sus vértices como los
focos tienen la misma ordenada. El centro de la elipse se determina obteniendo el punto
medio entre los vértices o entre los focos. Entonces el centro es C(2, 4). Como sabes que “a”
es la distancia del centro a cualquiera de los vértices, entonces a= 4. También sabes que c es
la distancia del centro a cualquiera de los focos, así, c =3. Para calcular b usas la ecuación
a2
= b2
+ c2
b2
= a2
– c2
y
x0
0
1
1 2 3 4-1
-1
5-2-3-4 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
FF1
Sustituyes los valores de a y c:
b2
= (4)2
– (3)2
= 16 – 9 = 7; b = 7
Con estos datos puedes escribir la ecuación de
la elipse en su forma ordinaria:
( ) ( )x y−
+
−
=
2
16
4
7
1
2 2
Punto medio de P(x1
, y1
) y Q(x2
, y2
) es
Pm
x x y y1 2 1 2
2 2
+ +


,
Observa

UNIDAD 4
Se pueden calcular los elementos que todavía no se conocen:
Lr
b
a
e
c
a
y= =
( )
= = =
2 2 7
4
7
2
3
4
2
También, en caso que se desee, puedes transformar la ecuación obtenida. Suprimiendo
denominadores, desarrollando los binomios al cuadrado, reduciendo términos
semejantes y ordenando la ecuación resultante. Así por ejemplo:
( ) ( )
( ) (
x y
x y
−
+
−
=
− + −
2
16
4
7
1
7 2 16
2 2
2
44
16 7
1
7 4 4 16 8 16
2
2 2
)
( )
( ) ( )
=
− + + − +x x y y ==
− + + − + −
1 112
7 28 28 16 128 256 12 2
( )
x x y y 112 0
7 16 28 128 172 02 2
=
+ − − + =x y x y
Esta ecuación se conoce como forma general de la ecuación de la elipse.
Ejemplo 12
Calcula la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(1, 7) y V’(1, 1) y cuyos focos son
F(1, 6) y F’(1, 2).
Solución:
Como los vértices y los focos tienen la misma abscisa, la elipse es vertical. El centro, que
es el punto medio entre los vértices o entre los focos es C(1, 4) y los valores de a y c son:
a = 3, c = 2. Calculas b sustituyendo los valores de a y c en b2
= a2
– c2
.
b b2 2 2
3 2 9 4 5 5= − = − = =( ) ( ) ; y la forma general se obtiene después de
efectuar los pasos a continuación:
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
−
+
−
=
− + −
1
5
4
9
1
9 1 5 4
2 2
2 22
2 2
5 9
1
9 2 1 5 8 16 1 4
( )
( ) ( ) (
=
− + + − + =x x y y 55
9 18 9 5 40 80 45 0
9
2 2
2
)
x x y y
x
− + + − + − =
+ 5 18 40 44 02
y x y− − + =
Ejemplo 13
Encuentra la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(1, –2) y V’(9, –2) y cuya
excentricidad es e =
1
2
.

UNIDAD 4
Solución:
Es una elipse horizontal; los vértices tienen la misma ordenada, su centro es C(5, –2) y
a = 4. Como e =
1
2
, escribimos:
1
2 4
1 4
2
2y= =
( )
=
c
c Sustituyes los valores
de a y c en b2
= a2
– c2
, y obtienes: b2
= (4)2
– (2)2
= 16 – 4 =12 y b = 12 . Ya puedes
escribir la ecuación pedida, pero antes vamos a encontrar los elementos que nos faltan.
La longitud del lado recto es Lr
b
a
= = =
2 2 12
4
6
2
( )
y las coordenadas de
los focos son F(3, –2) y F’(7, –2). Las ordenadas de los focos son las mismas que las
ordenadas de los vértices y las del centro. Las abscisas de los focos se encuentran
sumando y restando c a la abscisa del centro.
La ecuación de la elipse es:
( ) ( )x y−
+
+
=
5
16
2
12
1
2 2
1. Determinalaecuacióndelaelipseconcentroenelorigensisatisfacelassiguientescondiciones:
a) V(8,0)yF(5,0) b) V(0,5)yelejemenormide3.
2. Encuentralaecuacióndelaelipsequecumpleconlassiguientescondiciones:
a) V(–2,8)yV’(–2,0);F(–2,6)yF’(–2,2)
b) V(2,10)yV’(2,2)y e =
3
4
c) F(3,8)yF’(3,2)y e =
3
4
d) V(3,1)yV’(3,7)y Lr =
2
3
3. Graficalaselipsesdelnumeralanterior.
Actividad 1
Resumen
Cuando la elipse tiene su centro en C(h, k), sus ecuaciones ordinarias son:
( ) ( )x h
a
y k
b
−
+
−
=
2
2
2
2
1 Para la elipse horizontal
( ) ( )x h
b
y k
a
−
+
−
=
2
2
2
2
1 Para la elipse vertical
Donde a > b. La excentricidad está dada por c
c
a
= , y la longitud, del lado recto
por
2 2
b
a
.

UNIDAD 4
Autocomprobación
La excentricidad te da la forma de la elipse. Para
una elipse casi circular, los focos están cerca del
centro y e es pequeño. Para una elipse alargada
los focos están cerca de los vértices y e es
casi 1. La siguiente tabla te muestra la
excentricidad de las órbitas de los nueve
planetas y la Luna.
Soluciones1.c. 2.c. 3.d. 4.d.

Lascoordenadasdelcentroson:
a) (–2,–1) c) (2,1)
b) (2,–1) d) (–2,1)
1
Elvalordelsemiejemenores:
a) 9 c) 3
b) 4 d) 2
3
Elvalordelsemiejemayores:
a) 9 c) 3
b) 4 d) 2
2
4 Elvalordelaexcentricidades:
a)
4
3
c)
3
8
b)
2
3
d)
5
3
Dadalaelipse
( ) ( )x y−
+
−
=
2
9
1
4
1
2 2
Planeta e
Mercurio 0.2056
Venus 0.0068
Tierra 0.0107
Marte 0.0934
Júpiter 0.0484
Planeta e
Saturno 0.00543
Urano 0.00460
Neptuno 0.0082
Plutón 0.2481
Luna 0.0549
EXCENTRICIDAD DE LOS PLANETAS
y
x0
0 2 4-2-4 6
2
4
-2
-3 -1 1 3 5
1
-3
-1

Cuarta Unidad
Motivación
La hipérbola es el conjunto de todos los puntos del
plano tales que, la diferencia entre las distancias a dos
puntos fijos llamados focos, es constante e igual a 2a.
Esto significa que los puntos de la hipérbola satisfacen la
igualdad PF PF a´− = 2
En la siguiente figura se muestra una hipérbola
horizontal, con centro en el origen, en la que se marcan
todos sus elementos:
Construirásyaplicarás,coninterésyseguridad,laecuacióndela
hipérbolautilizandoelcentro,unvérticeyunpunto,lasasíntotasyun
vértice,unpuntoysusvértices.
Resolverásproblemas,utilizandolaecuacióndelahipérbola,su
gráficoysuselementos.
Construirásconordenylimpieza,hipérbolas,eidentificarásconinterésy
Construirásyaplicarásconinterésyseguridadlaecuacióndelahipérbola
utilizandolalongituddelejetransversoydelejeconjugado,losfocosyla
excentricidad.
E
La figura de la par te muestra dos conos iguales que
coinciden en sus vértices, los conos son interceptados
por un plano E, perpendicular a las bases ¿Cuántas
ramas tiene la curva que resulta de esa intersección?
La hipérbola
Lección 5
Descripción de la hipérbola
x
y
b
-b
F2(-e,0) F1(e,0)a-a
x
y
F
V
y
V FV1F1
C
C
x
V1
F1

UNIDAD 4
Observa que c > a.
La posición de la hipérbola, la determina la posición
de su eje transverso, y puede ser: horizontal o vertical.
A continuación se muestra la hipérbola en ambas
posiciones.
De acuerdo con la definición, si consideras como un
punto cualquiera de la hipérbola a uno de los vértices,
observarás que el valor absoluto de la diferencia de su
distancia a los focos es la distancia entre los vértices
igual a 2a.
|V’F – FV| = V V’= 2a
Porque V’F’ = FV
En la hipérbola, la longitud del semieje conjugado
es tal que en el triángulo rectángulo que tiene por
catetos el semieje conjugado y el semieje transverso
y por hipotenusa la distancia c, que es la distancia del
centro al foco, se establece la relación entre a, b y c. Esa
relación está dada por la ecuación que resulta al aplicar
el teorema de Pitágoras a éste triángulo rectángulo y es:
c2
= a2
+ b2
.
Observa que la hipérbola es una curva abierta que
consta de dos secciones, cada una de extensión infinita.
Centro de la hipérbola: C
Vértices : V y V´
Focos: F y F´
Longitud de los lados rectos: Lr
Eje transverso = 2a = V´V
Eje conjugado= 2b
Distancia entre los focos = 2c= F´F
Semi-eje Transverso = a
Semi-eje Conjugado = b
Distancia del centro al foco = c.
x
y
V
b
C
V F
Lr
V1F1
Lr
asíntota
asíntota
x
y
F
V
V1
F1
C(h,k)
x
y
a
V FV1F1
-a
C(h,k)
x
y
F
V
V1
F1
C(h,k)
x
y
a
V FV1F1
-a
C(h,k)
x
y
F1 FV1
V
c
b c b
a

UNIDAD 4
Ecuación canónica de la hipérbola
Ésta se refiere a una hipérbola horizontal o vertical en su
forma más simple, es decir, con su centro en el origen. La
ecuación para la hipérbola horizontal es:
x
a
y
b
2
2
2
2
1− =
Para la hipérbola vertical, su ecuación es:
y
a
x
b
2
2
2
2
1− =
Observa que en la hipérbola horizontal, el cociente
positivo es
x
a
2
2
, mientras que en la hipérbola vertical el
cociente positivo es
y
a
2
2
En una hipérbola, la longitud del lado recto es:
Lr
a
b
=
2 2
Mientras que las asíntotas de la hipérbola vertical están
dadas por:
y
a
x
b
ó by ax
y
a
x
b
ó
by
+ = + = − =0 0 0;
− =ax 0
Ecuaciones de las asíntotas
Las asíntotas de la hipérbola horizontal, están dadas por:
x
a
y
b
ó bx ay
x
a
y
b
ó+ = + = − =0 0 0, bx ay- = 0
asíntota
asíntota
x
y
V F
Lr
V1F1
Lr
asíntota
asíntota
4x-3y=0
x
y
V1 VF(-c,0) F(c,0)
y =
b2
a
P(x,y)
x
y
V1
V
F(0,c)
F(0,-c)
x =
b2
a

UNIDAD 4
Ejemplo 1
Halla la ecuación de la hipérbola si sus vértices son V(3, 0) y V’(–3, 0) y sus focos son:
F(5, 0) y F’(–5, 0)
Solución:
Como las coordenadas de los focos y de los vértices son iguales, la hipérbola es
horizontal, para comprobarlo, traza en tu cuaderno el sistema de coordenadas
cartesianas y ubica los vértices y focos de la hipérbola.
Por los vértices sabes que a = 3, y por los focos, que c =5. Recuerda que a2
+ b2
= c2
,
entonces b2
= c2
– a2
= 52
– 32
= 25 – 9 = 16; o sea, b = 4.
Luego, con los valores a = 3 y b = 4 formas la ecuación:
x
a
y
b
x y2
2
2
2
2 2
1 1
9 16
− = − =;
El valor del lado recto es
2 2 42 2
3
32
3
b
a
=
( )
=
Las asíntotas están dadas por:
x
a
y
b
y
x
a
y
b
ó sea
x y
+ = − = + =0 0
3 4
0: ;;
x y
3 4
0− =
Para hacer la gráfica de la hipérbola, primero trazas las asíntotas
x y
x y
3 4
0 4 3 0+ = + =
x y
x y
3 4
0 4 3 0− = − =
Fíjate que las dos asíntotas deben cruzarse en el centro de la hipérbola, en este caso, el
origen (0,0).
La excentricidad de la hipérbola se denota por e, y es igual al cociente
c
a
Tendrás: e
c
a
= como c > a,
c
a
> 1.
Así, en el ejemplo anterior, e
c
a
= =
5
3
x 0 3
y 0 –4
x 0 3
y 0 4
x
y
V F
Lr
V1F1
Lr
asíntota
asíntota
4x-3y=0

UNIDAD 4
Ejemplo 2
Los vértices de una hipérbola son los puntos V(0,3) y V´(0,-3) y sus focos son los puntos
F(0,5) y F´(0,-5). Determinar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes
transverso y conjugado, su excentricidad, la longitud de cada lado recto y sus asíntotas.
Además construye el gráfico respectivo.
Solución:
Como las abscisas de los focos y de los vértices son iguales, la hipérbola es vertical, o
sea, la hipérbola es de la forma
y
a
x
b
2
2
2
2
1− =
Observa que la distancia entre los vértices es 2a = 6, que es la longitud del eje transverso:
V V’= 2a = 2(3) = 6
La distancia entre los focos es 2c = 2(5) = 10, luego a = 3 y c = 5 por tanto, b2
= c2
– a2
b2
= 25 – 9 = 16; b = 4
Luego, la longitud del eje conjugado es 2b = 2(4) = 8. La ecuación de la hipérbola es:
y x2 2
9 16
1− =
La excentricidad es: e
c
a
= =
5
3
. La longitud del lado recto es
2 2 4
3
32
3
2 2
b
a
= =
( )
Las asíntotas son:
y
a
x
b
+ = 0 o sea,
y x
3 4
0+ = ;
y
a
x
b
− = 0
o sea,
y x
3 4
0− =
Recuerda trazar primero las asíntotas para graficar la hipérbola respectiva.
y
x0
0 2
-2
-2 4-4
2
6-6 8-8
-4
-6
-8
4
6
8
F(0,5)
V(0,3)
V1(0,-3)
F1(0,-5)

UNIDAD 4
Ejemplo 3
Encontrar la ecuación de la hipérbola con vértices en (2, 0) y (–2, 0) si pasa por el punto
2 2 4,( ) y dibujar su gráfica.
Solución:
Los vértices están en el eje x, la hipérbola, es horizontal, con a = 2. Como es horizontal,
la hipérbola es de la forma:
x
a
y
b
2
2
2
2
1− =
Como a = 2; entonces la ecuación queda así:
x y
b
2
2
2
2
4
1− =
Como el punto ( , )2 2 4 pertenece a la hipérbola, satisface su ecuación:
( )2 2
4
4
1
2 2
2
− =
b
Resuelve la ecuación en tu cuaderno y verifica que b = 4. Luego la ecuación de la
hipérbola es:
x y2 2
4 16
1− =
Para graficar la hipérbola, primero encuentras sus asíntotas:
x
a
y
b
x y
osea+ = + =0
2 4
0;
2 0x y+ =
x
a
y
b
x y
osea− = − =0
2 4
0;
2 0x y− =
Ejemplo 4
Determina la ecuación de la hipérbola cuyos focos son (4, 0) y (– 4, 0) y sus vértices
(1, 0) y (– 1,0) encontrar las ecuaciones de sus asíntotas y construir su gráfica.
x 0 2
y 0 –4
x 0 2
y 0 4
y
x
0 1
-2
-1 2-2
2
3-3 4-4
-4
-6
-8
4
6
8
5-5
0

UNIDAD 4
1. Determinalaecuacióndelahipérbola,quecumpleconlassiguientescondiciones.
a) V(0,3)yV’(0,–3);F(0,4)yF´(0,–4) c) Vértices(3,0)y(–3,0)yexcentricidad=
4
3
b) Vértices(2,0)y(–2,0)yfocos(3,0)y(–3,0) d) Focos(3,0)y(-3,0)y e =
3
2
2. Enlashipérbolasanterioresencuentralasasíntotas,longitudesdeejestransversoyconjugado,excentricidadyladorecto.
Actividad 1
Resumen
La ecuación canónica de la hipérbola se da cuando su centro coincide con el origen. Ésta es:
x
a
y
b
2
2
2
2
1− = si la hipérbola es horizontal
y
a
x
b
2
2
2
2
1− = si la hipérbola es vertical
La distancia entre los focos es 2c y la distancia entre los vértices 2a la relación entre a, b y c se da mediante la
igualdad c2
= a2
+ b2
.
Solución
Como las ordenadas de los focos y vértices son
iguales, la hipérbola es horizontal, luego, es de la forma
x
a
y
b
2
2
2
2
1− =
La distancia entre los focos es 2c = 8, de donde c = 4 la
distancia entre los vértices es 2a = 2 de donde a = 1
Con c = 4 y a = 1 determinamos el valor de b
b2
= c2
– a2
b2
= 16 – 1; b2
= 15; o sea, b = 15
Al sustituir los valores de a y b en la ecuación de la
hipérbola, ésta nos queda así:
x y2 2
1 15
1− =
Las asíntotas son:
x
a
y
b
x y
+ = + =0
1 15
0;
x y15 0+ =
y
x0
0 2-2 4 6-6 8-8
-5
-5
10-10 -4
F1 V1 V F
x
a
y
b
x y
− = − =0
1 15
0;
x y15 0− =
Alconstruirelgráficoobtieneslafiguradeabajo.

UNIDAD 4
Autocomprobación
La circunferencia, parábola, elipse e hipérbola
fueron estudiadas por los griegos: hace más de
2,000 años. Dos matemáticos que las estudiaron
fueron Menecmo y Apolonio de Perga.
Las cónicas esas atractivas curvas matemáticas
estudiadas por Menecmo y Apolonio constituyen
una imprescindible herramienta matemática
para explicar el mecanismo celeste. Kepler pudo
formular su primera ley:
“Los planetas describen órbitas elípticas en uno
de cuyos focos está el sol”
Soluciones1.b. 2.c. 3.d. 4.d.

ElvalordesuejeTransversoes:
a) 1 c) 4
b) 2 d) 8
1
Elvalordesuejeconjugadoes
a) 4 c) 15
b) 2 d) 2 15
3
Ladistanciaentrelosfocoses:
a) 1 c) 8
b) 4 d) 2
2
4 Suecuaciónes:
a)
y x2 2
1 15
0− =
b)
x y2 2
1 15
1− =
c)
y x2 2
15 1
0− =
d)
y x2 2
1 15
1− =
Silosfocosdeunahipérbolason(0,4)y(0,–4)ylos
vértices(0,1)y(0,–1).Entonces:
ORIGEN DE LAS CÓNICAS
y
x
0
0
-1
2-2
1
4 6-4
-2
-3
2
3
4
8-6-8
Apolonio de Perga

Lección 1
Actividad 1: 1. a) Horizontal abierta a la derecha
b) Vertical abierta hacia abajo
c) Vertical abierta hacia abajo
d) Horizontal abierta a la
izquierda
2. f 0
5
2
, −



 D y: =
5
2
Solucionario
3. Como (–5, 9) le pertenece:

(–5)2
= 4p(9). Luego, p =
25
36
.
La ecuación es x y
x y
2
2
4
25
9
25
36
=




=
La directriz es y =−
25
36
Arriba x y2 25
9
=
Izquierda y x2 81
5
= −
4. a) x2
= –8y

c) y2
= –3x
Lección 2:
Actividad 1: a) f(6, 5) v (6, 6) y = 7
b) v(–6, 6) f (–5, 6) x = –7
c) v(–4, 0) f (–2, 0) x = –6
d) v(–1, –3) f − −



1
5
2
,
y = −
7
2
e) v(0, –2) f 0
1
2
, −




y = −
7
2
y
x0
0 2
-2
-2 4-4
2
6-6
y
x0
0 2
-2
-2 4-4 6-6
-4
F
y
x0
0 2
-2
-2 4-4 6-6
-2

Solucionario
Lección 3:
Actividad 1: 1. d)
x y2 2
4 9
1+ =
e) x y2 2
16 25
1+ =
2. a)
x y2 2
5 9
1+ =
b)
x y2 2
12 16
1+ =
c)
x y2 2
9 4
1+ =
Lección 4
Actividad 1: 1. a)
x y2 2
64 39
1+ =
b)
y x2 2
25
4
9
1+ =
2. a)
y x−( ) +
+( )
=
4
16
2
12
1
2 2

y
x0
0 1 3-2-3
1
2
-1
2-1
-2
-3
3
y
x0
0 2 6-4-6
2
4
-2
4-2
-4
-6
6
b) y x−( ) +
−( )
=
6
16
2
7
1
2 2

c)
y x−( ) +
−( )
=
5
16
3
7
1
2 2

d)
y x−( ) +
−( )
=
4
9
3
1
1
2 2

3. a)
d)
Lección 5
Actividad 1: 1. a)
y x2 2
9 7
1− =
b)
x y2 2
4 5
1− =
c)
x y2 2
9 7
1− =
d)
x y2 2
4 5
1− =
y
x0
0 2 6-4-6
2
4
-2
4-2
6
8
-8
y
x0
0 2 6-4
2
4
-2
4-2
6
8
8 9

Proyecto
El equipo de técnicos de una empresa de instalación de antenas necesita ubicar un
dispositivo, como se explica a continuación.
El plato de recepción de señales de televisión transmitida por vía satélite tiene la
forma de un paraboloide que tiene 0.4 metros de profundidad y 2.5 metros de
diámetro en su parte más externa. Atendiendo a la propiedad reflexiva de la parábola
el equipo necesita determinar donde debe de colocarse el receptor (foco) para
detectar las señales de entrada.
Ayúdale al equipo a ubicar el receptor. ¿Dónde les dirías que lo ubiquen?

Recursos
BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill,
tercera edición, Colombia, 1990
FLEMING, Walter y Varberg, Dale, Álgebra y trigonometría con geometría
analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991
JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary. Geometría moderna.
Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972

UNIDAD 4

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