Este documento describe la parábola geométrica, incluyendo su definición, ecuación y propiedades. También explica cómo se usan las parábolas en la vida cotidiana y en la arquitectura, con ejemplos como arcos, antenas parabólicas y puentes diseñados por arquitectos como Gaudí y Calatrava.

1. PARÁBOLA

2. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SINALOA
FACULTAD DE ARQUITECTURA
GEOMETRIA ANALÍTICA
MAURICIO SATARAIN
PARABOLA
GASTÉLUM IBARRA CAROLINA
GPO. 1 SEM 3
Culiacán, Sin a 19 de Octubre 2012

3. LA PARABOLA
DEFINICION: Y
UNA PARABOLA ES EL LUGAR GEOMETICO c
E
DE UN PUNTO QUE SE MUEVE EN UN D
PLANO DE TAL MANERA QUE SU
DIRECTRIZ
DISTANCIA DE UNA RECTA
FIJA(DIRECTRIZ), SITUADA EN EL PLANO,
ES SIEMPRE IGUAL A SU DISTANCIA DE UN v F e X
PUNTO FIJO DEL PLANO (FOCO) Y QUE
NO PERTENECE A LA RECTA.
c’
e: eje de la parábola: recta que pasa por el foco.
v: vértice: punto medio entre la directriz y el foco. E’
D’
F: foco: punto fijo de la parábola.
Directriz: recta fija de la parábola que es encuentra
a la misma distancia que el foco.
E-E’: lado recto: cuerda focal paralela a la directriz.
C-C’: cuerda: segmento que uno dos puntos
cualquieras de una parábola.
D-D’: cuerda focal: cuerda que pasa por el foco.

4. DEDUCCION DE LA ECUACION DE LA PARABOLA
Y
Por definición de parábola, el punto P
Debe satisfacer esta condición geométrica
A(-p,y) P(x,y)
P(x,y), A(-p,y), F(p,0), F1 (-p,0), V (0,0)
DIRECTRIZ
PF = PA
v F(p,0)
X
PF = (x-p)2 + y2 F1(-p,0)
PA= (x-p)2
(x-p)2 + y2 = (x-p)2
Si elevamos al cuadrado ambos miembros
de esta ecuación y simplificamos obtenemos:
y2=4px
La ecuación ordinaria de la parábola si su eje coincide con el eje x
(parábola horizontal).

5. si el eje de la parábola coincide con el eje y (parábola vertical)
entonces la ecuación seria:
x2=4py
Abertura de la parábola
Parábola horizontal y2=4px Parábola vertical x2=4py
P< 0 abre P> 0 abre P< 0 abre P> 0 abre
A la izquierda A la derecha Hacia abajo Hacia arriba
Directriz x = -p Directriz y = -p
Longitud del lado recto 4P Longitud del lado recto 4P

6. PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN
Teorema 1
PARABOLA HORIZONTAL PARABOLA VERTICAL
y2=4px x2=4py
V (0,0) V (0,0)
F (P,0) F (0,P)
Directriz x = -p Directriz y = -p
Longitud del lado recto 4P Longitud del lado recto 4P
P> 0 abre a la derecha P> 0 abre hacia arriba
P< 0 abre a la izquierda P< 0 abre hacia abajo

7. PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN
Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una
parábola cuyo vértice no este en el origen y cuyo eje sea paralelo, Y
y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados. Y’
De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice (h,k)
y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes coordenados son
trasladados de tal manera que el nuevo origen 0’ coincida con el
vértice (h,k), se sigue la ecuación de la parábola con referencia a
los nuevos ejes X’ y Y’ esta dada por X
y2= 4px’ 0
En donde las coordenadas del foco F son (p,0) referido a Los V X’
F
nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los (h,k)
ejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación (1) usando las
ecuaciones de transformación del teorema 1
De donde, x = x’ + h, y = y’ + k,
x’= x - h, y’= y – k.
Si sustituimos estos valores de x’ y y’ en la ecuación 1, obtenemos
(y – k)2 = 4p (x - h). ………..(ecuación 2)
Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h,k) y cuyo eje es paralelo al eje Y
Tiene por ecuación
(x – h)2 = 4p (y – k) ………(ecuación 3)
En donde l P l es la longitud de aquella proporción del eje comprendida entre el foco y el vértice.
Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, segunda ecuación ordinaria de la parábola.

8. PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN
Teorema 2
PARABOLA HORIZONTAL PARABOLA VERTICAL
(y – k)2 = 4p (x –h) (x –h)2= 4p (y – k)
V (h,k) V (h,k)
F (h + p, k) F (h + k, p)
Directriz x = h - p Directriz y = k - p
Longitud del lado recto 4P Longitud del lado recto 4P
P> 0 abre a la derecha P> 0 abre hacia arriba
P< 0 abre a la izquierda P< 0 abre hacia abajo

9. PARABOLA HORIZONTAL PARABOLA VERTICAL
Y Y
F= (h, k + p)
X X
DIRECTRIZ x= h - p
F = (h + p, k) V= (h,k)
V= (h,k)
DIRECTRIZ y= k - p
P> 0 abre a la derecha P> 0 abre hacia arriba

10. PARABOLA HORIZONTAL PARABOLA VERTICAL
Y Y
DIRECTRIZ y= k - p
V= (h,k)
X X
DIRECTRIZ x= h - p
F= (h, k + p)
F = (h + p, k) V= (h,k)
P< 0 abre a la izquierda P< 0 abre hacia abajo

11. LA PARABOLA EN LA VIDA COTIDIANA
La parábola esta presente
Rebote de pelota
en muchos aspectos de
nuestra vida cotidiana,
aunque no le prestemos
mucha atención a ello.
Se encuentra presente
cuando rebota una pelota,
cuando hay alguna fuente
luminosa cerca de un plano
recto, en las antenas
parabólicas, cuando
brincamos la cuerda,
cuando pateamos una
pelota, en los faros de los
autos y lámparas de mano,
en los radares y antenas
para radioastronomía y
televisión por satélite,
entre muchas otras.

12. APLICACIONES
EN LA ARQUITECTURA Y EJEMPLOS

13. ARCOS
*Isostasia: es la
condición de
equilibrio que
presenta la
superficie
terrestre debido a
la diferencia
de densidad de
Arco de medio punto Arco parabólico sus partes.
Los arcos parabólicos son unos elementos muy usados en arquitectura.
Se pueden utilizar, por ejemplo, como puentes o vigas. Normalmente, estos puentes son
isostáticos*. La peculiaridad del arco parabólico es que en el arco sólo actúan esfuerzos axiles y
momentos flectores, no presentándose esfuerzos cortantes. Esto se produce cuando el arco es
sometido a una carga uniformemente distribuida y ambos extremos son apoyos fijos. Esto hace
posibles arcos ejecutados con piezas sin mortero, tal como se construyen ya desde hace muchos
siglos. Dentro del arco, los esfuerzos son principalmente de compresión
Este tipo de arcos fue utilizado primero por los hititas (población indoeuropea de los siglos XVII y
XII a.C.) y después fue recuperado por Antonio Gaudí (arquitecto español) en el siglo XIX.

14. Gaudí y los arcos parabólicos
Una de las innovaciones que constituye un rasgo característico y
distintivo del lenguaje arquitectónico de Gaudí es la utilización de
arcos parabólicos con función tanto constructiva como ornamental.
Lo introdujo por primera vez en la Casa Vicens en la que diseña una
cascada con arco parabólico, que posteriormente se convirtió en una
arco ornamental y al final fue demolida. Posteriormente utilizó este
elemento arquitectónico en obras como la casa Batlló, el Colegio de
Santa Teresa, el Palacio Güell o las Bodegas Güell de Garraf.
Colegio de Santa Teresa El acceso al colegio ya se inicia
en un porche con un arco parabólico. Pero el elemento
más notable de esta obra, probablemente el de mayor
belleza, es el sistema de corredores con arcos
parabólicos de la planta baja y el primer piso que
permiten aprovechar la luz y distribuirla hacia los patios
interiores

15. Palacio Güell
Uno de los elementos más
singulares del Palacio Güell
es la gran cúpula parabólica
y estrellada (agujeros en
forma de estrella por los
que penetra la luz) situado
sobre el amplio vestíbulo.
Casa Batlló y Casa Milá (La Pedrera)
En estas dos edificaciones
Gaudí utiliza los arcos
parabólicos como
sustentación de la cubierta
para formar los espacios
correspondientes a las
buhardillas o áticos.

16. ARCO PARABÓLICO
El arco parabólico es un
monumento ubicado en el Centro
Cívico de la ciudad de Tacna, Perú.
Fue inaugurado el 28 de agosto de
1959 durante el gobierno
de Manuel Prado Ugarteche con el
nombre de Monumento a los
héroes almirante Miguel Grau
Seminario y Coronel Francisco
Bolognesi.

17. Calatrava y los arcos parabólicos
Auditorio Tenerife
El Auditorio de Tenerife "Adán Martín" es obra del
arquitecto Santiago Calatrava . Se ubica en Santa Cruz
de Tenerife, Islas Canarias, España, y al lado del Océano
Atlántico en la parte sur del Puerto de Santa Cruz de
Tenerife. Su construcción comenzó en 1997 y finalizó
en 2003.
El edificio se encuadra dentro de los postulados de
la arquitectura tardomoderna de finales del siglo XX. El
Auditorio de Tenerife es sede de la Orquesta Sinfónica
de Tenerife.
Arco parabólico

18. La Ciudad de las Artes y las Ciencias
La Ciudad de las Artes y las Ciencias es un
complejo arquitectónico, cultural y de entretenimiento
de la ciudad de Valencia(España).
El complejo, diseñado por Santiago Calatrava y Félix
Candela, junto con los ingenieros Alberto
Domingo y Carlos Lázaro autores del diseño estructural
de las cubiertas del L'Oceanografic, fue inaugurado
el 16 de abril de 1998 con la apertura de El
Hemisférico. El último gran componente de la Ciudad
de las Artes y las Ciencias es el Ágora, situado entre el
puente de l'Assut de l'Or y l'Oceanogràfic. Actualmente
se está finalizando su construcción.

19. L'Oceanogràfic

20. La Llotja de Sant Jordi (Alicante, España)
Bodegas Ysios
(Laguardia, España)
Edificio BCE (Toronto, Canadá) OTRAS OBRAS DE CALATRAVA

21. Puentes de calatrava
El Zubizuri, popularmente
llamado puente de
Calatrava, es un puente en
arco (cuya pista cuelga de
él) sobre el rio
del Nervión, en la
ciudad vasca de Bilbao, en
el norte de España..

22. EL PUENTE DE LA CONSTITUCIÓN es un puente de la
ciudad de Venecia. Inicialmente conocido como Cuarto
Puente sobre el Canal Grande o Puente de Calatrava. El
puente fue conocido coloquialmente por alguno de estos
dos nombres ya que durante todo el tiempo que duró su
construcción y hasta poco tiempo antes de la fecha
prevista para su apertura no se le había asignado un
nombre oficial.
Fue diseñado por el arquitecto español Santiago
Calatrava y comunica el Piazzale Roma con la zona de
la Estación de trenes Santa Lucia.

23. O E
T D Edificio Espíritu
R I Santo en Miami,
Florida
O F
S I
C
I
O Iglesia de
San Francisco de
S asís (1942),
Pampulha, Brasil
Con parábolas

24. Nossa Senhora do Aparecida
en Brasília, brasil. (catedral de Brasília)

25. LOS HANGARES DE ORLY
(1924) , FRANCIA.
DE EUGÉNE FREYSSINET

26. ESTACIÓN DE AUTOBUSES DE CASAR
DE CÁCERES, ESPAÑA.
ARQ. JUSTO GARCIA RUBIO
Un edificio concebido como una doble
parábola que se pliega sobre sí misma y
genera dos espacios nítidamente
diferenciados. De un lado un andén
cubierto para el autobús y los viajeros
que lo esperan; de otro, un espacio que
aloja una breve sala de espera y una
cafetería.
Todo ello se concibe empleando un
material, el hormigón armado y
generando una superficie continua que
produce dos bucles, de manera que el
conjunto se pliega sobre si mismo, sin
perder la continuidad de una misma
línea curva

27. Gateway Arch de San Luis, Missouri, EUA.
Obra del arquitecto norteamericano de origen finlandés Eero Saarinen
que constituye una maravilla de la construcción, sobre todo si tenemos
en cuenta que fue construido en el siglo XX antes de la invencion de las
computadoras.

28. BERLINER BOGER OFFICE
BUILDING, Alemania
BRT Architekten

29. Edificio compuesto
Solamente de
parábolas

30. Puentes con parábolas
COMO FUNCIONAN LOS PUENTES
Cualquier puente sólo puede
mantenerse si puede soportar
su propio peso (llamado el
peso muerto) y el peso de todo
el tráfico que le atraviesa
(llamada carga viva). La carga
crea dos fuerzas principales
que actúan sobre las partes de
un puente.
Puente - Para los peatones y / o tráfico de COMPRESIÓN - La fuerza de compresión empuja hacia abajo
automóviles. la cubierta del puente. porque es un camino suspendido, los
Las torres son los soportes que se apoyan
en los cimientos. cables transfieren la compresión a las torres, que disipa la
Los cables largos de alambre son colocados compresión directamente en la tierra donde están
sobre las torres y se fija a los anclajes en firmemente arraigadas.
tierra.
Las Perchas, mantiene en su sitio al cable. TENSION - Los cables de soporte, que corren entre dos
anclajes, son los afortunados destinatarios de las fuerzas de
tensión. Los cables extienden el peso del puente y su tráfico a
medida que corren de extremo a extremo. Los anclajes están
también bajo tensión, pero ya que, al igual que las torres,
están ancladas firmemente en la tierra, la tensión que
experimentan se disipa.

31. Los puentes colgantes son los únicos puentes
que pueden atravesar largas distancias.
Esto es debido a la forma del puente de
suspensión que es en realidad una de las
estructuras más estables que hay.
El cable del puente es inherentemente
estable frente a cualquier perturbación si es lo
suficientemente grueso como para resistir
cualquier tensión.

32. Puentes con parábolas ejemplos
Longitud total 8,981 pies
Longitud entre torres
4,200 pies
Altura de las torres 746 pies
ingeniero Joseph B. Strauss
GOLDEN GATE, SAN FRANCISCO, CA. costo $27 millones de dolares

33. PUENTE GEORGE WASHINGTON, NY, EUA.
Longitud total 4,760 pies
Longitud entre torres 3,500 pies
Altura de torres 604 pies
ingenieros Othmar H. Ammann
costo $59 millones de dolares

34. PUENTE DE BROOKLYN , EUA.
Longitud total 3,455 pies
Distancia entre torres 1,595 pies
Altura de las torres 276 pies
John Roebling,
ingenieros
Washington A. Roebling
Costo $15 millones de dolares

35. PUENTE HUMBRE, INGLATERRA.
Longitud total 2,220 m
Distancia entre torres 1,410 m
Altura de las torres 155.5 m
ingeniero Hull City Council
Costo £151 millones

36. Es el mas largo, alto y caro de los PUENTE AKASHI KAIKYO, JAPON
Puentes suspendidos en el mundo!
Longitud todal 12,828 pies
Distancia entre torres 6,527 pies
Altura de las torres 928 pies
Honshu-Shikoku Bridge
ingenieros
Authority
Costo $4.3 billones

37. PARABOLA EN FUENTES