Ecuación de un lugar geométrico

2. Dada una
ecuación,
interpretarla
geométricamente
Dada un figura
geométrica,
determinar su
ecuación

4. Intersección con
los ejes
Construcción
de la curva
Extensión de la
curva o Campo
de Variación
AsíntotasSimetría
Cálculo de
coordenadas
PASOS PARA GRAFICAR UNA ECUACION O
ENCONTRAR EL LUGAR GEOMETRICO

6. Debemos observar cuidadosamente lo que implica
este enunciado: expresa una condición necesaria y
suficiente para la existencia del objeto definido.
Por definición de un objeto entendemos una descripción de
ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de
una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.

7. Así , consideremos que estamos definiendo
una curva plana del tipo por medio de
una propiedad , que únicamente posee .
Entonces, entre todas las curvas planas,
una curva es del tipo si y solamente
C
P C
C si
posee la propiedad .P

8. Como un ejemplo especifico, consideremos una
curva plana muy conocida: la circunferencia.

9. Definimos una circunferencia como
una curva plana que posee la
propiedad única , que todos
sus puntos están a igual distancia
de un punto fijo en su plano.
P

10. Esto significa que toda circunferencia
tiene la propiedad , y reciprocamente,
toda curva plana que tenga la
propiedad es una circunferencia.
P
P
Definimos una circunferencia como una curva plana
que posee la propiedad única , que todos sus puntos
están a igual distancia de un punto fijo en su plano.
P

11. Así, una circunferencia puede definirse como
el lugar geométrico de un punto que se mueve
en un plano de tal manera que su distancia a
un punto fijo de ese plano es constante.
De acuerdo con esto se define frecuentemente una
curva como el lugar geométrico descrito por un
punto que se mueve siguiendo una ley específica.

13. Estudiaremos ahora el problema de la
determinación de la ecuación de un
lugar geometrico en el caso que la
interpretación analítica de la condición
o condiciones geometricas definen el
lugar geométrico.

14. El método es el indicado claramente
por las dos definiciones previas
siguientes:

15.  
Definición 1: El conjunto de los
puntos, y solamente de aquellos
puntos, cuyas coordenadas
satisfagan una ecuación
, =0
se llama gráfica de la ecuación
o su lugar geométrico.
f x y
Definición:
Una curva es el lugar
geométrico de todos
aquellos puntos, y
solamente de aquellos
puntos, que satisfacen
una o más condiciones
geométricas dadas.

16. Combinando estas dos definiciones
tenemos una nueva:

17.  
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una
ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes
de e son todas coordenadas de aquellos puntos,
y solam
f x y
x y

ente de aquellos puntos, que satisfacen la
condición o condiciones geométricas dadas que
definen el lugar geométrico.

18. 1. Se supone que el punto , de coordenadas ( , ), es un punto cualquiera
que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del
lugar geométrico.
2. Se expresa, analíticamente, la c
P x y
 
ondición o condiciones geométricas dadas,
por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables e .
3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior 2 de
tal mane
x y
1 1
1 1
ra que tome la forma ( , ) 0
4. Se comprueba el reciproco: Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto
que satisfacen ( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es
verdadera. Si de la
f x y
x y
f x y f x y

 
   
1 1
1 1
ecuación ( , ) 0 se puede deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al
punto , , entonces , 0 es la ecuación buscada del lugar geométr
f x y
x y f x y

 ico.

20. Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de todos los puntos que están a una distancia
1 del origen.

21. Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de todos los puntos que están a una distancia
1 del origen.
¿Cuál es el lugar geométrico?

22. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos
los puntos que están a una distancia 1 del origen.
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y

23.  
2 2
2 2
La distancia del punto , generico
al origen es
Esa distancia siempre es igual a 1.
Por lo tanto, la ecuación es
1x
P x
y
y
d x y





24.  
3. Se simplifica, si hace falta,
la ecuación obtenida en el paso
anterior 2 de tal manera que
tome la forma
( , ) 0f x y 

25. 2 2
1x y 
2 2
Se simplifica la ecua
1
ción,
0x y  

26. 1 1
1 1
1 1
4. Se comprueba el reciproco:
Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen
( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es
verdadera.
Si de la ecuación ( , ) 0 se puede
x y
f x y f x y
f x y
 

   1 1
deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geométricas dadas,
cuando se aplica al punto , , entonces , 0 es la
ecuación buscada del lugar geométrico.
x y f x y 

27.  
 
1 1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1 1
1 1
Sea , un punto que satisface la ecuación;
es decir, 1 0 es verdadera.
Entonces
1
1
que es la condición geo
, , 1
métrica.
P x
d
y
x y
x y
x y
P x y O 
  
 





29.  
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
       
   
2 2
Ahora
, , 2,4 , , 3
es
2 4 3
d P x y A d P x y Y
x y x
 
    

30.      
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Elevando al cuadrado:
2 4 3
Desarrollando los cuadrados:
4 4 8 16 6 9
Pasando todo al primer miembro:
4 4 8 16 6 9 0
x y x
x x y y x x
x x y y x x
    
       
        
   
2 2
2 4 3x y x    

31. 2 2 2
4 4 8 16 6 9 0x x y y x x        
2
2
2 2
Reduciendo términos semejantes:
8 0
8 10 11 0
4 4 16 96x y y
y y x
x x x   
  
 



32. 2
8 10 11 0y y x   

33.  
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
A Y
2
La ecuación del lugar geométrico es:
8 10 11 0y y x   