Portafolio de algebra listo1234

UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI
ALGEBRA Yadira Fuertes Página 1
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EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES __________________________________________ 8
Introducción ____________________________________________________________________8
Conjunto de los números reales_____________________________________________________8
Conjunto de los números naturales__________________________________________________9
Conjunto de los números enteros ___________________________________________________9
Conjunto de los números racionales _________________________________________________9
Conjunto de los números reales____________________________________________________10
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES _______________________________________ 10
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL________________________________________ 12
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 15
Propiedad conmutativa. _______________________________________________________15
Propiedad Anti conmutativa ______________________________________________________16
Ejemplos ____________________________________________________________________________17
Propiedad distributiva. ________________________________________________________18
Divisores del cero _______________________________________________________________19
Elementos distinguidos _______________________________________________________19
Elemento neutro________________________________________________________________19
Elemento involutivo _____________________________________________________________20
Elemento absorbente ____________________________________________________________21
Operación inversa_______________________________________________________________21
POTENCIACION Y RADICACION________________________________________________ 21
POTENCIACION ____________________________________________________________ 21
Propiedades de la potenciación ____________________________________________________23
Potencia de potencia ____________________________________________________________________23
Multiplicación de potencias de igual base ___________________________________________________23
División de potencias de igual base_________________________________________________________23
Propiedad distributiva ___________________________________________________________________23
Propiedad conmutativa __________________________________________________________________24

Potencia de exponente 0 _________________________________________________________________24
Potencia de exponente 1 _________________________________________________________________24
Potencia de base 10 _____________________________________________________________________24
RADICACIÓN ______________________________________________________________ 25
Raíz cuadrada __________________________________________________________________25
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.______ 27
SUMA: ________________________________________________________________________27
RESTA: ________________________________________________________________________30
MULTIPLICACIÓN: _______________________________________________________________32
DIVISION:______________________________________________________________________39
División entre fracciones _________________________________________________________________39
División de polinomios entre monomios. ____________________________________________________40
División entre polinomios. ________________________________________________________________41
PRODUCTOS NOTABLES _____________________________________________________ 42
Otros casos de productos notables (o especiales): _____________________________________45
Cubo de una suma ______________________________________________________________47
Cubo de una diferencia___________________________________________________________47
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS_____________________________________ 48
Aplicaciones del m.c.m. __________________________________________________________53
1. Reducir fracciones a común denominador. ________________________________________________53
2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________54
Aplicaciones del m.c.d. ___________________________________________________________54
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. _______________________________________________54
2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________55
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN __________________ 56
Descripción:____________________________________________________________________56
Ecuaciones de primer grado __________________________________________________ 58
Ecuaciones literales de primer grado ___________________________________________ 59
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) _____________________________ 62

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ________________________________________62
Solución de ecuaciones cuadráticas___________________________________________________63
Solución por completación de cuadrados ____________________________________________65
Solución por la fórmula general ____________________________________________________68
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES ________________________ 69
Inverso aditivo _________________________________________________________________69
Propiedad del doble negativo _____________________________________________________69
Operaciones con los números Reales _______________________________________________________70
1. Sumar números reales_______________________________________________________________70
Restar números reales_________________________________________________________________71
Multiplicar números reales _____________________________________________________________71
Propiedades de los números reales. ________________________________________________72
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES _______________________________________ 73
Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________________76
a) ecuaciones lineales propiamente tales ____________________________________________________77
b) ecuaciones fraccionarias _______________________________________________________________77
c) ecuaciones literales ___________________________________________________________________78
Sistemas de ecuaciones lineales _______________________________________________79
Sistema compatible indeterminado _________________________________________________80
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas____________________________________80
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 81
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales _________________ 85
Método de reducción ____________________________________________________________85
Ejemplo ______________________________________________________________________________85
Ejemplo ______________________________________________________________________________87
Método de sustitución_________________________________________________________87
Ejemplo ______________________________________________________________________________88
Método de Gauss _____________________________________________________________89
Ejemplo ______________________________________________________________________________89
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ___________________________________________ 91

10 Ejemplos de Términos Semejantes: _________________________________________92
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA________________________________ 92
MONOMIO. ____________________________________________________________________92
BINOMIO______________________________________________________________________93
TRINOMIO. ____________________________________________________________________93
POLINOMIO. ___________________________________________________________________93
GRADO DE UN MONOMIOS __________________________________________________ 93
GRADO DE UN POLINOMIO___________________________________________________ 94
ORDENAR UN POLINOMIO ___________________________________________________ 94
NOMENCLATURA ALGEBRAICA________________________________________________ 97
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL_____________________________________________________99
Métodos para la factorización de polinomios ________________________________________100
Binomios_____________________________________________________________________________100
Trinomios ____________________________________________________________________________100
Polinomios ___________________________________________________________________________100
Factorizar un monomio _________________________________________________________________100
Factorizar un polinomio_________________________________________________________________100
Factor común. _________________________________________________________________101
Factor común de un polinomio____________________________________________________102
Factor común por agrupación de términos __________________________________________102
Trinomio cuadrado perfecto______________________________________________________103
Raíz cuadrada de un monomio____________________________________________________103
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ______________________104
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto __________________________104
Trinomios de la forma x2 + px + q _________________________________________________________104
Regla práctica para factorizar el trinomio ______________________________________105
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)______________________________________________106
CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M _______________________________________ 108

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios ________________________ 108
Ejercicios ___________________________________________________________________110
OPERACIONES CON FRACCIONES _____________________________________________ 114
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES __________________________________________ 114
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ________________________________ 119
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________________________ 120
ECUACIONES CUADRATICAS _________________________________________________ 122
Factorización: _________________________________________________________________122
Raíz cuadrada: ________________________________________________________________________123
Completando el cuadrado: _______________________________________________________123
Fórmula cuadrática: ____________________________________________________________124
Clasificación___________________________________________________________________126
Completa____________________________________________________________________126
Completa General ___________________________________________________________________126
Completa Particular _________________________________________________________________126
Incompleta __________________________________________________________________126
Incompleta Binomial ________________________________________________________________126
Incompleta Pura_____________________________________________________________________127
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas ____________________ 127
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS_____________________________________ 129
Propiedades de la suma de números enteros________________________________________________129
Multiplicación de números enteros _______________________________________________________130
Regla de los signos _____________________________________________________________________130
Propiedades de la multiplicación de números enteros ________________________________________131
Propiedades de la división de números enteros______________________________________________132
Potencia de números enteros ____________________________________________ 132
Propiedades: _______________________________________________________________________132
Potencias de exponente entero negativo ___________________________________________133
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 136

Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado ____________139
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ___________________________141
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS _______________________________ 142
EVALUACIONES ______________________________________ ¡Error! Marcador no definido.
Bibliografia ______________________________________________________________ 145

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el
llamado sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,√ , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los
números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de
una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los
números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de
propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los
números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los
números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:

Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta
así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es
x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
{ }
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Conjunto de los números reales
Se define como. ℜ= ∪
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas
también axiomas de campo). (Peano, 1889)
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numérico a partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se
avanza y mejora respecto de la anterior.
Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a- b) si a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al
unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los números enteros
(Z). Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no
dividir si a no es múltiplo de b.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los números racionales.
Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto
o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras
decimales que se repiten

Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b ¹ 0).
Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para
realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden
considerar dentro de él ( , , p , entre otros). Surgen los números irracionales
para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas
cifras decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
números reales (R).
Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías:
propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades
algebraicas establecen que los números reales pueden ser sumados, restados,
multiplicados y divididos (excepto por cero) obteniéndose otro número real.

LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia
entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen
los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una
correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el
conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único
punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número
real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre
la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud
para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se
llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real
entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
 Se asocia al origen el número 0,
 Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p
unidades del origen en la dirección positiva,
 Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de
distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número
real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa
del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica
o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje
real.

El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al
númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la
derecha del que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.

La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el número real a es menor que el número real b
(a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:
son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o,
más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de
ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos
sistemas matemáticos

Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición
interna *:
se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de
operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es
conmutativa en A si:
Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto
de operar b con a.

La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales,
reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b
elementos de mismo cualquier conjunto indicado
La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos
La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para
1 y -1.
El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.
Propiedad Anti conmutativa
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de
operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.
Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:
Se tiene con el producto vectorial :
Y
En general, para cualquier par de vectores a, b:
Para los enteros, se ve que la sustracción

Es anti conmutativa, pues si:
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:
Se dice que * es asociativa si, solo si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual
a operar a con el resultado de operar b con c.
También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:
Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es
distinto de operar a con el resultado de operar b con c.
Ejemplos
La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.
La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa
La adición en el conjunto Z[i] es asociativa
el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw
≠ ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.
Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R.
(α)

Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si
se cumple:
Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w)
=uxv + uxw
Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN
+ MQ.
Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se
cumple:
Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P=
MP+ NP, la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.
La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de
funciones: (f +g)º=, donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.
Una operación es distributiva sobre otra si es distributiva por la derecha y por la
izquierda.
Los conjuntos numéricos gozan de la distributiva por ambos lados.
Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas
a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semi
grupo multiplicativo no se exige la conmutatividad.
Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operación definida en (α) y , + la
suma usual en R.
Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado
a por la izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por

la derecha. Si se puede simplificar por ambos lados se haba
de simplificación o cancelación.
En el caso de la suma de números (de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando
a, resulta b=c
En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para
el caso, los grupos simétricos.
Divisores del cero
.Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se
dice que a y b son divisores del 0.
Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de
restos, resulta 2*3=0.
Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x≥0 y g(x)
=0 en otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.
Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que
en este caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".
Elementos distinguidos
Elemento neutro
Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que
indicaremos: (A,*),
Diremos que el elemento es el elemento
neutro por la derecha si:
Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e =
e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:

En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el
elemento neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.
En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento neutro
multiplicativo. a.1 = 1.a = a.
En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento neutro
es 0.
En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, el elemento neutro es
la matriz que tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero.
En la composición de funciones de variable real, el elemento neutro es la función I(x)
= x para todo x.
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria:
Diremos que a' es simétrico de a si:
Donde es el elemento neutro.
El 2 es el simétrico de -2 en Z con la adición; 1/2 es el simétrico de 2 en Q* con la
multiplicación. En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simétrico se
llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso
multiplicativo.
Elemento involutivo
Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.
el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de
los enteros.

Elemento absorbente
Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la
operación *.
0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.
El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el
conjunto de partes de U.
Operación inversa
Sea A un conjunto con una operación binaria *:
Por lo que cabe la ecuación:
Pero si se da el caso de que:
Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite
elementos simétricos, se define: (S.R)
POTENCIACION Y RADICACION
POTENCIACION
ROF. José Luis Gallardo
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él
mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el
exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:

Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y
obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces
es una potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X
8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85
.
En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a
multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces
que se va a multiplicar al ocho por sí mismo).
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:
85
= 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768
Elevar a una potencia el número 10
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104
= 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000
Observa que 104
es igual a un uno con cuatro ceros.
Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones
(100.000.000)...

Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no
lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.

Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos
casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1
= a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades posee el exponente.
101
= 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un
exponente
106
= 1000000
104
= 10000

RADICACIÓN
ROF. José Luis Gallardo
Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es
la operación inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama “radicación”.
Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.
De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un
número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:
Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al
exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en
cursos posteriores.
Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en
grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o
lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al
cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale 5
-4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de
la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número
que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos
buscando se acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese
número será el siguiente número de la raíz.
En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se
aproxima más a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que
queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el
número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que se
aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376

En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que
se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto
es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación
mejor utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación
2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos
del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro
término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede

completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2.
Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden
los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2
+ 2x4
- 8 - x3
+ 1/2 x
B = -5x4
- 10 + 3x + 7x3
2x4
- x3
- 3x2
+ 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4
+ 7x3
+ 0x2
+ 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4
+ 6x3
- 3x2
+ 7/2 x - 18
A + B = -3x4
+ 6x3
- 3x2
+ 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con
ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,
para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2
+ 5x - 4 (grado 2)
B = 4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (grado 3)
0x3
- 3x2
+ 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
+
4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
4x3
- 8x2
+ 7x - 3

A + B = 4x3
- 8x2
+ 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3
- 4x2
+ x
B = 4x2
- 3 - 2x
5x3
- 4x2
+ x + 9
+
0x3
+ 4x2
- 2x - 3
____________________
5x3
+ 0x2
- x + 6
A + B = 5x3
- x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios
con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes.
Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos
polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener
otro término semejante.
EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3
+ 5
B = -2x + x2
4x3
+ 0x2
+ 0x + 5

+
0x3
+ x2
- 2x + 0
____________________
4x3
+ x2
- 2x + 5
A + B = 4x3
+ x2
- 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que
son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte
literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias
entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"
los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy
B = 8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y
A + B = (-3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy) + (8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y) =
-3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy + 8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y =
-3xy2
- 6x2
y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2
+ 4x3
y - 7x2
y2
=
-9xy2
+ 14 + 3xy - 2xy2
+ 4x3
y - 7x2
y2
RESTA:
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2
+ 9x4
- 8 - 4x3
+ 1/2 x
B = 5x4
- 10 + 3x + 7x3
9x4
- 4x3
- 3x2
+ 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
-

5x4
+ 7x3
+ 0x2
+ 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4
- 4x3
- 3x2
+ 1/2 x - 8
+
-5x4
- 7x3
+ 0x2
- 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4
- 11x3
- 3x2
- 5/2 x + 2
A - B = 4x4
- 11x3
- 3x2
- 5/2 x + 2
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del
polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar
es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los
coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede
hacer en la suma.
EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2
(grado 2)
B = 2x + 4x3
- + 1 + 5x2
(grado 3)
0x3
- 3x2
+ 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
-
4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
0x3
- 3x2
+ 5x - 4
+

-4x3
+ 5x2
- 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3
+ 2x2
+ 3x - 5
A - B = -4x3
+ 2x2
+ 3x - 5
Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los
primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de
uno de los polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro
polinomio.
MULTIPLICACIÓN:
¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se
aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de
aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones
algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema
"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada
término de una expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".
"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En
este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.
Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de
juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con
los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado".
(ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15

Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de
la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener
muchos términos. Por ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del
otro.
EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2
+ 2x4
- 8 - x3
+ 5x
B = -5x4
-3x2
+ 2x4
- 8 - x3
+ 5x
X -5x4
______________________________
15x6
- 10x8
+ 40x4
+ 5 x7
- 25x5
A x B = 15x6
- 10x8
+ 40x4
+ 5 x7
- 25x5
Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra
con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y
luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos
resueltos de las dos maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3
- 5x2
+ 2x + 1
B = 3x - 6
4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)
X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
-24x3
+ 30x2
- 12x - 6
+
12x4
- 15x3
+ 6x2
+ 3x
_________________________
12x4
- 39x3
+ 36x2
- 9x - 6
A x B = 12x4
- 39x3
+ 36x2
- 9x - 6
A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer
polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también
completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en
orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un
procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de
que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al
empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la
multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado
queden en la misma columna.

explicación ejemplo 2
EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,
completándolos y ordenándolos)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4
+ 0x3
- 9x2
+ x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2
+ 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4
+ 0x3
- 27x2
+ 3x + 0
0x5
+ 0x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x
-10x6
+ 0x5
+ 18x4
- 2x3
+ 0x2
________________________________________
-10x6
+ 0x5
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x + 0
A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es
más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque
todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo
polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir
cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se
preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha
esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4
- 9x2
+ x (polinomio A incompleto pero ordenado)
X -2x2
+ 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2
+ 3x
-10x6
+ 18x4
- 2x3
____________________________
-10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado
de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que
queden en columnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas,
borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes
prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso
es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos
polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden y no haya qué
pensar en dónde ponerlos.

EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2
y3
+ 4 - 7x2
y2
- 6x3
y3
B = 5x4
y + 8x - 2x3
y - 10
A x B = (-3x2
y3
+ 4 - 7x2
y2
- 6x3
y3
).(5x4
y + 8x - 2x3
y - 10) =
-15x6
y4
- 24x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x - 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+ 14x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
+ 60x3
y3
=
-15x6
y4
+ 12x6
y4
- 24x3
y3
+ 60x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x
- 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+ 14x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
=
-3x6
y4
+ 36x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x - 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+
28x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el
mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los
términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la
Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos
semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo
dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están.
EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no
completando el segundo)
A = -9x2
+ x + 5x4

B = 3 - 2x2
5x4
+ 0x3
- 9x2
+ x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2
+ 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4
+ 0x3
- 27x2
+ 3x + 0
-10x6
+ 0x5
+ 18x4
- 2x3
+ 0x2
________________________________________
-10x6
+ 0x5
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x + 0
A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -
27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás
salió ordenado por grado.
EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
9x2
+ x + 5x4
(polinomio A incompleto y desordenado)
X 3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4
- 2x3
+ 15x4
- 27x2
+ 3x
_________________________________________

- 10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
A x B = - 10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos
el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado
que obtenemos es -10x6
, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más
para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,
dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer
en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio
entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan
más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los
resultados debajo en la columna correspondiente.
DIVISION:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para
crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:

División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los
pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:

PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También
sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a2
+ 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2
– 2ab + b2
= (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
– 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos
binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2
– b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:

expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como a2
– b2
Otros casos de productos notables (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
+ (a + b)x + ab = (x + a) (x +
b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2
+ 9 x + 14
Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es
(2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2
+ 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

expresión de la forma x2
+ (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factoriza la como (x + a) (x + b)
x2
+ (a – b)x – ab = (x + a) (x –
b)
Demostración:
+ (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factoriza la como (x + a) (x – b).
x2
– (a + b)x + ab = (x – a) (x –
b)
Demostración:
– (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
mnx2
+ ab + (mb + na)x = (mx +
a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada
binomio (mx y nx).
Demostración:
expresión de la forma mnx2
+ ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= (a + b)3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a + b)3
.
Cubo de una diferencia
a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
= (a – b)3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a – b)3
.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Binomio al cubo

a2
- b2
= (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados
a3
- b3
= (a - b) (a2
+ b2
+ ab) Diferencia de cubos
a3
+ b3
= (a + b) (a2
+ b2
- ab) Suma de cubos
a4
- b4
= (a + b) (a - b) (a2
+ b2
) Diferencia cuarta
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac +
2bc
Trinomio al cuadrado
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
sub problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen
como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,
además de otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo
atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista
del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales
de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco
más sofisticadas.
En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos
(relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos
PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este
último algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y

se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el
90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].
No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del
MCD de dos polinomios.
Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended
Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]
GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente
para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz
que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con
muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.
En la segunda parte, en el próximo número, nos dedicaremos a EZGCD y SPMOD.
Estos algoritmos requieren técnicas más sofisticadas basadas en inversión de
homomorfismos vía el teorema chino del resto, iteración lineal p-ádica de Newton y
construcción de Hensel. Como CGDHEU es un algoritmo modular, aprovechamos
para iniciar con parte de la teoría necesaria para los dos primeros algoritmos.
En este trabajo, primero vamos a presentar los preliminares algebraicos, el algoritmo
de Euclides, el algoritmo primitivo de Euclides, el algoritmo PRS Subresultante y el
algoritmo heurístico, además de el algoritmo extendido de Euclides. Las
implementaciones requieren, por simplicidad, construir un par de clases para manejo
de polinomios con coeficientes racionales grandes ("BigRational'') y para manejo de
polinomios con coeficientes enteros grandes ("BigInteger'').(Escuela de Matemática -
Centro de Recursos Virtuales (CRV). Instituto Tecnológico de Costa Rica)
EJERCICIOS

Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)
–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de
Factorización)
2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la
Solución.
NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de
Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
___________________________________________________________
Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de
Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
___________________________________________________________
Ejercicio 112.

1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
Factorizando las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización.
–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización.
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a
por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución.
_________________________________________________________
2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2
–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplicó el
Caso I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y
por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <–
Solución.
_________________________________________________________
3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3
Faxctorizando las expresiones dadas:
–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplicó el
Caso I)
Factor común de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2

Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 <–
Solución.
__________________________________________________________
4) Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a
–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de b(a +1) y a(a +1) es = (a +1)
Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 <– Solución.
___________________________________________________________
5) Hallar el m.c.d. de x^2 -x y x^3 -x^2
–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1)
Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) <– Solución.
___________________________________________________________
6) Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2
–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de (3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
Por lo tanto el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x <–
Solución.

___________________________________________________________
7) Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4
–> 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2)
–> 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplicó el Caso I para ambas
expresiones.
Factor común para 6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4
Por lo tanto el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es =
6a^2xy^4 <– Solución.
___________________________________________________________
8) Hallar el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2
–> 5a^2 -15a = 5a(a -3)
–> a^3 -3a^2 = a^2(a -3) Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.
Factor común de 5a(a -3) y a^2(a -3) es = a(a-3)
Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 es = a(a -3) <– Solución.
Aplicaciones del m.c.m.
1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22
x 3
9 = 32
18 = 2 x 32
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22
• 32
= 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo
denominador.

2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el
destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro
faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el
destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los
dos?
Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a
la vez sea el más cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos
8 y 12:
8 = 23
12 = 22
x 3
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (8, 12) = 23
• 3 = 8 • 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo
cada 24 segundos.
Aplicaciones del m.c.d.
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el M.C.D. (360, 336).
Para ello factorizamos el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360 : 24 = 15
336 336 : 24 14
y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas
cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño
tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas
dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,
y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de
270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina
sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax
2
+ bx + c (a0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva x  32x 1 9 .
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
x  32x 1 9
2x
2
 x  6x 3  9
2x
2
 5x 3 9  0
2x
2
 5x 12  0
2x 3x  4 0
2x 3  0
2x  3
x  3/2

ó x  4  0 x  4
2) Halle las soluciones de x
3
8x
2
16x  0.
Solución:
Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e
igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .
xx
2
8x 16 0
xx 4x 4 0
x  0 ó
x 4 
0
x  4

Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que
aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones
aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la
incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un
lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita
queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la
igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo),
tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2
– (x - 1)2
= 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2
+ 6x + 9 – (x2
– 2x + 1) = 3x – x + 4
x2
+ 6x + 9 – x2
+ 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2
+ 6x – x2
+ 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;

d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales
además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas
letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales
se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el
mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es
que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos
por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos
semejantes y trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2
– x2
= 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2
+ 2x + 1 – x2
= 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman
97. ¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que
la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de
Sergio es 65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:

1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5
1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5
2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7
3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x
2x/2 = 7/2
SOLUCIÓN: x = 7 / 2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x
2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12
3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.

9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16
4º paso: Dividimos por 9
SOLUCIÓN: x = 16 / 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,
llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por
la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo
tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas),
que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una
sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la
siguiente forma:
ax2
+ bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales
que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c
= 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2
+ 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
– 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2
+ 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2
+ bx + c = 0 (o cualquiera de
las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo
grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos
a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus
multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las
incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2
+ 5x − 12 = 0
2x2
+ 5x = 12
2x2
− 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un
cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar
operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2
= n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2
, es el cuadrado de la suma
de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2
+ bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2
+ 8x = 48, que también puede escribirse x2
+ 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2
+ 8x) le falta un término para completar
el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que

ax2
+ 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2
+ 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto,
ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como
en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2
+ 2ab + b2
) el tercer término
corresponde al cuadrado del segundo término (42
= 16) amplificamos ambos
miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2
+ 8x + 16 = 48 + 16
x2
+ 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2
= 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la
ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2
, que es el cuadrado perfecto de un
binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2
+ 6x − 16 = 0

Hacemos
x2
+ 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2
+ 6x (primer miembro de la ecuación) debemos
obtener una expresión de la forma (ax + b)2
(cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2
el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la
ecuación:
x2
+ 6x = 16
x2
+ 6x + 9 = 16 + 9
x2
+ 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2
= 25
La expresión x2
+ 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este
caso (x + 3)2
, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52
= 5 y también (−5)2
= 5
Entonces

x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que
es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el
signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se
limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener
buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2
+ 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir
números Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en
direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número
debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del
doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto

El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el
valor absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no
negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso
aditivo (opuesto9 del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por
ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un
signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro
negativo)

Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo
del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o
cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor
absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor
absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista
un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un
número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida
sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el
hecho siguiente.
Propiedades de los números reales.
Propiedades de los números reales.

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras
palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.

Ejemplos
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como
, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres
aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos
aprobaron el examen?
Solución:
Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplos
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo
el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco
cada uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
x+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20
con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a
pedro 40 y a juanita 100 millones..
Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros
que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán
invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la
inversión total?

Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a
invertir al 6%.
Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total
Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)
Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 =
$15,600 al 6%.
Ecuaciones lineales de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas
a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar
como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es
igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el
otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero
en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente

Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres
da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
a) 2 x + y = 6 2
x - y = 2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2

Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto,
el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más
abajo
.x + y = 3 2
x + 2 y = 6
b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas
soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la
representación más abajo
b) x + y = 3
x + y = - 1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1

Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema
no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la
representación siguiente:

Graficas

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número
de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro
derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las
ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida,
se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,
entonces la ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar
a una ecuación con solo una incógnita, digamos .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución
en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en
dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer
sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera,
para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de
partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida
obtenemos una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy
fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir
las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una
misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación
la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la
siguiente matriz triangular superior:
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera
ecuación ( ), para obtener:

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que
resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por
1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de
una o más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus
factores literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el
término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que
no tiene radical, e irracional el que tiene radical.

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