Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios y deterministas, espacio muestral, sucesos, frecuencias relativas y definiciones de probabilidad desde un enfoque frecuentista, según Laplace y axiomático de Kolmogorov. Explica que la probabilidad mide la ocurrencia teórica de un suceso y cómo se asignan probabilidades en la práctica aunque la definición axiomática no proporcione un método.

1. Estad´
ıstica 36
Tema 3: Probabilidad. Teorema de Bayes.
1 Definiciones b´sicas.
a
En Estad´ ıstica se utiliza la palabra experimento para designar todo acto que proporciona unos
datos.
Se van a distinguir dos tipos de experimentos: deterministas y aleatorios. Los primeros se
producen en aquellas situaciones, en las que la realizaci´n sucesiva de un experimento en las mismas
o
condiciones, produce el mismo resultado (durante siglos la ciencia se ha ocupado de fen´menos o
que daban origen a situaciones deterministas, por ejemplo es un fen´meno determinista la caida
o
libre de los cuerpos). Los segundos son aquellas situaciones en las que la realizaci´n sucesiva de
o
un experimento en las mismas condiciones produce resultados distintos (son fen´menos aleatorios:
o
rendimiento de una semilla, duraci´n de la vida de una componente, consumo mensual de energ´
o ıa
en una casa, resultado de lanzar una moneda, etc.) En los experimentos deterministas las mismas
causas producen los mismos efectos, mientras que en los experimentos aleatorios las mismas causas
producen distintos efectos.
Esta distinci´n lleva a destacar que los resultados de un experimento determinista, se pueden
o
predecir, no as´ los de un experimento aleatorio. Al realizar un experimento aleatorio llevamos a
ı
cabo una operaci´n, al final de la cual obtenemos un resultado, cuyo valor es, “a priori”, impredecible,
o
pero pertenece a un conjunto que se puede describir completamente antes de realizar el experimento.
Definici´n 1 Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio al conjunto de todos
o
los posibles resultados del experimento. Lo representaremos por Ω, y a sus elementos, que se llamar´n
a
puntos muestrales, por ω.
Observaci´n 1 El espacio muestral puede ser finito o infinito:
o
• El espacio muestral para el experimento de tirar una moneda es finito; Ω = {cara, cruz}.
• El espacio muestral para el n´mero de aver´as de una m´quina en un determinado intervalo de
u ı a
tiempo es te´ricamente infinito (puede tener ninguna, 1 2, 3, ... aver´as).
o ı
• El espacio muestral para la medida del di´metro interior de un determinado tipo de rodamientos
a
es tambi´n infinito, aunque en este caso, los posibles valores son un intervalo de IR.
e
Definici´n 2
o 1. Diremos que el espacio muestral es discreto si los posibles resultados del ex-
perimento son una cantidad finita o numerable. (Los dos primeros ejemplos corresponden a
espacios muestrales discretos).
2. Se dice que el espacio muestral es continuo si el conjunto de posibles resultados es infinito, pero
no numerable. (El tercer ejemplo corresponde a un espacio muestral continuo).
Al asignar a un experimento aleatorio un espacio muestral estamos haciendo una simplificaci´n.
o
Adem´s esta asignaci´n no es unica.
a o ´
Definici´n 3 Llamaremos suceso a un subconjunto cualquiera del espacio muestral A ⊂ Ω.
o
Llamaremos suceso elemental a aquellos sucesos que s´lo contienen un punto muestral.
o
Se llama suceso compuesto, al que contiene m´s de un punto muestral.
a
Se llama suceso imposible a aquel que nunca ocurre, A = ∅.
Se llama suceso seguro a aquel que ocurre siempre, A = Ω.

2. Estad´
ıstica 37
Por ejemplo, salir par, impar, m´ltiplo de 3, etc. son sucesos compuestos correspondientes al
u
experimento aleatorio de tirar un dado. Salir 3 es un suceso elemental del mismo experimento.
Cuando se realiza un experimento, el resultado que se obtiene es un punto muestral, entonces,
diremos que ha ocurrido un suceso cualquiera, cuando ocurre un punto muestral contenido en el
mismo. Es decir, diremos que ha ocurrido el suceso A, si el valor obtenido ω, verifica ω ∈ A. Lo
que estamos haciendo es, por tanto, trabajar con conjuntos, lo cual nos va a permitir usar todas las
relaciones existentes entre conjuntos, recordemos las m´s usuales:
a
Operaciones entre sucesos:
Complementario de un suceso Sea A un suceso, tal que A ⊂ Ω, llamaremos suceso complemen-
tario de A, y se denota por Ac o tambi´n por A, al formado por los puntos muestrales que no
e
c
pertenecen a A:A = {ω ∈ Ω/ω ∈ A}.
/
Uni´n de dos sucesos Sean A y B tal que A, B ⊂ Ω, se define la uni´n de los sucesos A y B y
o o
se denota por A ∪ B, al suceso formado por todos los puntos muestrales que pertenencen, al
menos, a uno de los sucesos: A ∪ B = {ω ∈ Ω/ω ∈ A ´ ω ∈ B}.
o
Intersecci´n de sucesos Sean A y B tal que A, B ⊂ Ω, se define la intersecci´n de los sucesos A
o o
y B y se denota por A ∩ B ´ por AB, al suceso formado por todos los puntos muestrales que
o
pertenencen a ambos sucesos: A ∩ B = {ω ∈ Ω/ω ∈ A y ω ∈ B}.
Inclusi´n de sucesos Sean A y B tal que A, B ⊂ Ω, se dir´ que el suceso A est´ contenido o
o a a ´
incluido en el suceso B, si todos los puntos muestrales de A pertenencen a B. A ⊂ B si
ω ∈ A ⇒ ω ∈ B.
Sucesos incompatibles, disjuntos o mutuamente excluyentes Sean A y B tal que A, B ⊂ Ω,
´
se dir´ que el suceso A es incompatible con el suceso B, si no tienen puntos muestrales en
a
com´ n: A ∩ B = ∅.
u
Leyes de Morgan Sean A y B tal que A, B ⊂ Ω, entonces:
• (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
• (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
2 Introducci´n al concepto de probabilidad.
o
A lo largo de la historia se han dado varias definiciones de probabilidad, tratando de superar en cada
caso los inconvenientes de las anteriores.
Definici´n 4 Si realizamos un experimento N veces, llamamos frecuencia absoluta del suceso A al
o
n´mero de veces que ocurre A y lo designamos por nA .
u
nA
La frecuencia relativa de A ser´ entonces fr(A) =
a .
N
Propiedades 1 1. 0 ≤ fr (A) ≤ 1.
2. fr(Ω) = 1.

3. Estad´
ıstica 38
3. fr(A ∪ B) = fr(A) + fr(B) si A ∩ B = ∅.
Esta ultima propiedad se puede hacer extensible a la uni´n de un n´mero finito o infinito nume-
´ o u
rable de sucesos.
Si lanz´ramos al aire sucesivamente una moneda perfecta, comprobar´
a ıamos que en la medida que
aumente el n´ mero de tiradas, la frecuencia relativa del suceso A = {salir cara} se ir´ acercando a
u a
1/2. Esto constituye un hecho emp´ ırico que se conoce como Ley de Regularidad Estad´ ıstica y que
se puede enunciar del siguiente modo:
“La frecuencia relativa de un suceso se estabiliza cuando el n´ mero de experimentos crece
u
indefinidamente”
Esto permite dar una definici´n frecuentista o emp´rica de probabilidad:
o ı
Definici´n 5 Definici´n emp´
o o ırica.
Dado un experimento aleatorio se define la probabilidad de un suceso como el l´ ımite de las fre-
cuencias relativas de aparici´n de dicho suceso, al repetir indefinidamente el experimento. Es decir,
o
nA
p(A) = lim fr(A) = lim .
N →∞ N →∞ N
Esta definici´n hoy en desuso, no es operativa y presenta muchos problemas:
o
• No es posible conocer el valor de la frecuencia relativa para cualquier N, lo que no permite un
c´lculo real del l´
a ımite.
• Las circunstancias del experimento pueden variar con el tiempo, y por tanto lo har´ las
ıan
frecuencias, y el valor de la probabilidad.
• El suceso puede ocurrir una s´la vez. (Por ejemplo, la probabilidad de que un determinado
o
avi´n se estrelle no es calculable de esta forma).
o
• Tambi´n hay problemas con respecto al concepto matem´tico de l´
e a ımite.
M´s adelante, Laplace dio una nueva definici´n de probabilidad:
a o
Definici´n 6 Definici´n seg´n Laplace.
o o u
Si en un experimento aleatorio se pueden dar N resultados igualmente posibles y mutuamente
excluyentes (es decir, dos cualesquiera no pueden darse a la vez) y si nA de estos N resultados tienen
la caracter´stica A, se define la probabilidad de A como:
ı
nA casos favorables
p(A) = = .
N casos posibles
Un ejemplo en el que esta situaci´n se da, y por tanto esta f´rmula es aplicable, es en el expe-
o o
rimento de tirar un dado: los 6 posibles resultados son “igualmente posibles ” (salvo que el dado
est´ trucado) y dos cualesquiera no pueden darse a la vez, por tanto, la probabilidad de obtener un
e
resultado cualquiera de estos 6 ser´ 1 .
a 6
Sin embargo, esta definici´n no es aplicable a otras muchas situaciones, en las que los resultados
o
no son igualmente probables o no son un n´ mero finito; por ejemplo, que en la fabricaci´n de
u o
determinadas piezas, una sea aceptable o defectuosa.

4. Estad´
ıstica 39
3 Definici´n axiom´tica de probabilidad.
o a
La definici´n de probabilidad con la que se suele trabajar es la definici´n axiom´tica de probabilidad
o o a
que introdujo en 1933 el matem´tico ruso Kolmogorov:
a
Definici´n 7 Si Ω es el espacio muestral de un experimento aleatorio, se define una probabilidad
o
en Ω como una aplicaci´n p, que asigna a cada suceso A un n´mero real p(A) y que cumple las
o u
siguientes propiedades:
1. Si A es un suceso, 0 ≤ p(A) ≤ 1.
2. p(Ω) = 1.
3. Si A1 , A2 , . . . , An , . . . son sucesos mutuamente excluyentes, (es decir Ai ∩ Aj = ∅, i = j)
∞
entonces p (∪∞ Ai ) =
i=1 p(Ai ).
i=1
Observaci´n 2
o 1. Notar que las propiedades de la probabilidad son paralelas a las de la frecuencia
relativa. As´, mientras la frecuencia relativa es una medida emp´rica de la ocurrencia de un
ı ı
suceso, la probabilidad es una medida te´rica.
o
2. La idea com´n de probabilidad como “n´mero de casos favorables partido por el n´mero de
u u u
casos posibles” introducida por Laplace es un caso particular de la definici´n de Kolmogorov.
o
3. Cualquier aplicaci´n que verifique la definici´n anterior es una probabilidad, no teniendo porqu´
o o e
ajustarse a un experimento aleatorio real. Lo que interesa, es que ante un determinado experi-
mento se construya una probabilidad que lo describa lo mejor posible. Asignar una probabilidad
“buena” a un experimento aleatorio es el problema central de la Inferencia Estad´ ıstica.
A partir de la definici´n de probabilidad, se pueden deducir las propiedades siguientes:
o
Propiedades 2 1. p(∅) = 0.
2. Si A1 , A2 , . . . , An son sucesos mutuamente excluyentes, (es decir Ai ∩ Aj = ∅, i = j) entonces
n
p (∪n Ai ) =
i=1 p(Ai ).
i=1
3. p(Ac ) = 1 − p(A) para todo suceso A.
4. Si A ⊂ B entonces p(A) ≤ p(B).
5. p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).
Asignaci´n de probabilidades en la pr´ctica.
o a
La definici´n axiom´tica de probabilidad no proporciona en la pr´ctica un m´todo para asignar
o a a e
probabilidades a los resultados de un experimento aleatorio. Para ello, en ocasiones puede utilizarse el
m´todo proporcionado por la definici´n seg´ n Laplace; en otras ocasiones puede utilizarse el estudio
e o u
de las frecuencias relativas y la definici´n emp´
o ırica; el m´todo m´s usado es una combinaci´n de
e a o
experimentaci´n y teor´
o ıa.
En cualquier caso, siempre el primer paso que hay que dar es definir con precisi´n la poblaci´n
o o
objeto de estudio, el experimento aleatorio y los sucesos posibles.

5. Estad´
ıstica 40
Ejemplos 1:
1. Una empresa acaba de implantar un nuevo proceso de producci´n. Durante un tiempo, se
o
realiza un control al 100% de la producci´n, que se agrupa en lotes de 50 piezas, y se ha
o
observado que la mayor´ de los lotes presentan dos piezas defectuosas. En principio, una
ıa
asignaci´n razonable de probabilidades ser´ asignar una probabilidad de 0.04 (es decir 2/50)
o ıa
al resultado “pieza defectuosa” y de 0.96 al resultado “pieza aceptable”.
2. Un juego consiste en tirar un dado y observar el resultado. Si este es par, el jugador gana;
sino, pierde. En este caso, los resultados o sucesos elementales son 1, 2, 3, 4, 5, 6 y podemos
asignar probabilidades usando el m´todo de Laplace, de forma que la probabilidad de cualquier
e
resultado es 1/6. El suceso “par” es un suceso compuesto, formado por los sucesos elementales
2, 4 y 6 (mutuamente excluyentes), luego: p(par) = p(2) + p(4) + p(6) = 3 = 1 .
6 2
3. Aunque te´ricamente, la asignaci´n de probabilidades en el ejemplo anterior es v´lida, en la
o o a
pr´ctica se observa que s´lo un 10% de las veces aparecen el resultado 2, el 4, el 5 y el 6
a o
y sin embargo un 30% de las veces aparece el resultado 1 y un 30% el resultado 3. En este
caso, la asignaci´n de probabilidades m´s correcta deber´ ser coherente con la experimentaci´n:
o a ıa o
p(1) = 0.3, p(2) = 0.1, p(3) = 0.3, p(4) = 0.1, p(5) = 0.1, p(6) = 0.1 y por tanto, p(par) = 0.3.
Ejemplo 2:
Se lanza una moneda normal tres veces.
1. Describir el espacio muestral subyacente.
2. ¿Cu´l es la probabilidad de que exactamente dos tiradas den el mismo resultado?
a
3. ¿Cu´l es la probabilidad de una cara y dos cruces?
a
4. ¿Cu´l es la probabilidad de que las tres tiradas den el mismo resultado?
a
El espacio muestral de este experimento ser´ los resultados posibles de las tres tiradas. Si
ıan
denotamos por C el resultado “cara” en una tirada y por X el resultado “cruz”, Ω = {CCC, CCX,
CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. Para asignar probabilidades en este experimento, puesto
que la moneda es normal, podemos considerar que todos estos sucesos son equiprobables y asignar a
cada uno, utilizando Laplace, probabilidad 1 ( N , con N=8). Podemos resolver el resto de apartados
8
1
utilizando tambi´n Laplace:
e
o
p(dos tiradas den el mismo resultado)= nnocasos favorables =
casos posibles
6
8
o
p(una cara y dos cruces)= nnocasos favorables =
casos posibles
3
8
o
p(las tres tiradas den el mismo resultado)= nnocasos favorables =
casos posibles
2
8

6. Estad´
ıstica 41
4 Probabilidad condicionada.
En ocasiones, se dispone de informaci´n adicional sobre el experimento, y la asignaci´n inicial de
o o
probabilidades, debe ser modificada:
Ejemplo 3:
Si se considera el experimento “tirar una moneda dos veces”, el conjunto de posibles resultados
ser´
ıa:
Ω = { CC, CX, XC, XX } (donde C=cara y X=cruz)
Al suceso “obtener cara en la primera tirada y cruz en la segunda” le asignar´ ıamos la probabilidad
1/4 (usando equiprobabilidad). Sin embargo, si disponemos de la informaci´n adicional de que la
o
primera tirada ya se ha realizado y sali´ cara, la probabilidad de este suceso ser´ 1/2. ¿Qu´ diferencia
o ıa e
hay entre una situaci´n y otra? La diferencia es que, al disponer de informaci´n adicional, el espacio
o o
muestral ha cambiado; ahora es un subconjunto del espacio muestral Ω : {CX, CC}
Definici´n 8 Sea Ω el espacio muestral de un experimento aleatorio, A y B dos sucesos con p(B) =
o
0. Se define la probabilidad condicionada del suceso A al suceso B (a que haya ocurrido el suceso B)
como:
p(AB)
p(A/B) = .
p(B)
An´logamente, se define la probabilidad del suceso B condicionado porque haya ocurrido A como:
a
p(B/A) = p(AB) , siempre que p(A) = 0.
p(A)
Se deduce p(AB) = p(A)p(B/A) = p(B)p(A/B). Se tiene en general
p(A1 A2 · · · An ) = p(A1 )p(A2 /A1 )p(A3 /A1 A2 ) · · · p(An /A1 · · · An−1 )
siempre que p(A1 · · · An−1 ) = 0.
Observaci´n 3 La probabilidad condicionada p(A/B) es una probabilidad definida sobre el conjunto
o
de sucesos Ω , cuya intersecci´n con B es no vac´ por tanto, verifica todas las propiedades de la
o ıa;
probabilidad. (Se puede comprobar f´cilmente).
a
Ejemplo 4:
Se realiza un lanzamiento de un dado normal. ¿Cu´l es la probabilidad de obtener un 1 si se sabe
a
que el resultado ha sido impar?
Llamamos A al suceso “obtener un 1” y B al suceso “obtener un impar”. La probabilidad pedida
es p(A/B).
p(AB)
Utilizando la definici´n, p(A/B) =
o p(B)
En este caso A ⊂ B, por tanto el suceso intersecci´n de A y de B es A: obtener un 1.
o
1/6 1
Luego p(A/B) = 3/6
= 3

7. Estad´
ıstica 42
5 Independencia
Unido al concepto de probabilidad condicionada aparece el concepto de independencia de sucesos.
De forma intuitiva dos sucesos A y B del espacio muestral Ω se dice que son independientes si la
ocurrencia de uno no modifica la probabilidad de que el otro ocurra.
Definici´n 9 Diremos que dos sucesos A y B del espacio muestral Ω son independientes, si y s´lo
o o
si p(B/A) = p(B).
Proposici´n 1 Las siguientes condiciones son equivalentes:
o
• A y B son sucesos independientes.
• p(A/B) = p(A).
• p(AB) = p(A) p(B).
Ejemplo 5:
En el experimento “tirar dos monedas”, los sucesos “obtener cara en la primera” y “obtener cara
en la segunda” son independientes:
1
p(CC) = = p(C)p(C).
4
Definici´n 10 Dos sucesos A y B se dicen dependientes si no son independientes.
o
Observaci´n 4 La independencia de dos sucesos no es una propiedad intr´nseca de los mismos, es
o ı
decir, no es una propiedad que dependa de la naturaleza de los sucesos, sino que es una propiedad
ligada a las probabilidades de los mismos.
Ejemplo 6:
Se lanza una moneda trucada tres veces y el resultado de cada tirada se considera independiente.
Si la probabilidad de cara es 0.8, contestar a las preguntas del ejemplo 2, es decir:
1. Describir el espacio muestral subyacente.
2. ¿Cu´l es la probabilidad de que exactamente dos tiradas den el mismo resultado?
a
3. ¿Cu´l es la probabilidad de una cara y dos cruces?
a
4. ¿Cu´l es la probabilidad de que las tres tiradas den el mismo resultado?
a
En este caso, las probabilidades de cara y cruz no son iguales; la de cara es 0,8 y, por tanto, la
de cruz (suceso complementario de “cara”) es 0,2 (1-0,8).
El espacio muestral de este experimento es id´ntico al del ejemplo 2:
e
Ω = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}
Ahora los sucesos elementales no son equiprobables.

8. Estad´
ıstica 43
¿Cu´l ser´, por ejemplo, p(CCX)? Determinamos la probabilidad del suceso CCX usando la
a a
caracterizaci´n de probabilidad de sucesos independientes:
o
p(CCX) = p(C)p(C)p(X) = (0.8)(0.8)(0.2)
De igual manera podr´ ıamos obtener la probabilidad del resto de suceos elementales o puntos
muestrales. Para resolver el resto de preguntas, utilizamos las propiedades de la uni´n, intersecci´n
o o
y complementario de sucesos:
p(dos tiradas den el mismo resultado)=p(CCX+CXC+XCC+CXX+XCX+XXC)=(*)
como los sucesos anteriores son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la uni´n es la suma
o
de probabilidades:
(*)=p(CCX)+p(CXC)+p(XCC)+p(CXX)+p(XCX)+p(XXC)=
=(0.8)2 (0.2) + (0.8)2 (0.2) + (0.8)2 (0.2) + (0.2)2 (0.8) + (0.2)2 (0.8) + (0.2)2 (0.8)
p(una cara y dos cruces)=p(CXX+XCX+XXC)=
=p(CXX)+p(XCX)+p(XXC)=(0.2)2 (0.8) + (0.2)2 (0.8) + (0.2)2 (0.8)
p(las tres tiradas den el mismo resultado)=p(CCC+XXX)=p(CCC)+p(XXX)=(0.8)3 + (0.2)3
Ejemplo 7:
Se tira 8 veces la moneda trucada del ejemplo 6; ¿Cu´l es la probabilidad de obtener exactamente
a
tres caras?
En este ejemplo el espacio muestral est´ formado por puntos muestrales con “ocho letras” C o X.
a ´
3 5
Cada suceso con exactamente tres caras tiene probabilidad (0.8) (0.2) . Para resolver el problema,
se necesita saber cu´ntos de estos puntos muestrales hay. La respuesta la proporciona el n´ mero
a u
combinatorio
8 8!
= 3!(8−3)!
3
En general, si n y k son n´ meros enteros con n ≥ k, se define el n´ mero combinatorio
u u
n n!
=
k k!(n−k)!
y proporciona el n´ mero de subconjuntos distintos de k elementos de n distintos. En el problema
u
que nos ocupa, es necesario contabilizar cu´ntos puntos muestrales distintos con 3 caras hay, es decir,
a
cu´ntos subconjuntos distintos de 3 posiciones de las 8 posibles, para colocar las tres caras, existen.
a
Por tanto,

9. Estad´
ıstica 44
8 8!
p(obtener exactamente tres caras)= (0.8)3 (0.2)5 = 3!(8−3)!
(0.8)3 (0.2)5
3
6 Teoremas principales en probabilidad
Vamos a tratar en este ultimo punto el Teorema de las Probabilidades Totales y el Teorema de Bayes.
´
Teorema 1 Teorema de las probabilidades totales:
Sean A1 , A2 , . . . , An , sucesos mutuamente excluyentes y de probabilidad no nula, tales que A1 ∪
A2 ∪ . . . ∪ An = Ω. Si B es un suceso en Ω, entonces:
n
p(B) = p(B/Ai )p(Ai ).
i=1
Para demostrar este resultado basta escribir el suceso B como: B = BA1 + BA2 + . . . + BAn ,
uni´n de sucesos mutuamente excluyentes, y aplicar las propiedades de la probabilidad.
o
El teorema de Bayes corresponde a la siguiente situaci´n, en el contexto en el que nosostros lo
o
vamos a aplicar:
Un experimento se realiza en dos etapas:
- En la primera pueden darse n sucesos A1 , A2 , . . . , An , mutuamente excluyentes, con probabili-
dades conocidas. (Vamos a llamarlos causas).
- En la segunda pueden darse los resultados B1 , B2 , . . . , Bm , (que denominaremos efectos) cuya
ocurrencia depende de los resultados obtenidos en la primera etapa, y se conocen p(Bj /Ai ) (es decir,
la probabilidad de que se presente el efecto Bj cuando se ha dado la causa Ai ); entonces, al realizar
el experimento se ha observado que el resultado final ha sido Bj y se plantea cu´l es la probabilidad
a
de que “la causante” haya sido la causa Ai (es decir, ¿cu´l es la probabilidad de Ai ?).
a
Teorema 2 Teorema de Bayes:
Sean A1 , A2 , . . . , An , sucesos mutuamente excluyentes y de probabilidad no nula, tales que A1 ∪
A2 ∪ . . . ∪ An = Ω. Si B es un suceso en Ω de probabilidad no nula, entonces:
p(B/Ak )p(Ak )
p(Ak /B) = n .
p(B/Ai)p(Ai )
i=1
La demostraci´n de este resultado es muy sencilla y se basa en la definici´n de probabilidad
o o
condicionada y en el teorema de las probabilidades totales.
Ejemplo 8:
El 60% de los tornillos producidos por una f´brica proceden de la m´quina A y el 40% de la
a a
m´quina B. La proporci´n de defectuosos en A es 0.1 y en B es 0.5. ¿Cu´l es la probabilidad de que
a o a
un tornillo de dicha f´brica sea defectuoso? ¿Cu´l es la probabilidad de que, sabiendo que un tornillo
a a
es defectuoso, proceda de la m´quina A?.
a

10. Estad´
ıstica 45
En este ejemplo, tenemos un experimento en dos etapas; en la primera, los sucesos son:
A: tornillo fabricado por la m´quina A
a
B: tornillo fabricado por la m´quina B
a
Los valores de las probabilidades de estos sucesos son conocidos: p(A)=0,6 y p(B)=0,4.
Los resultados de la segunda etapa son:
D: tornillo defectuoso
D: tornillo no defectuoso
Las probabilidades de estos sucesos dependen del resultado de la primera etapa:
p(D/A)=0,1 p(D/B)=0,5
A partir de estos valores podemos determinar tambi´n:e
p(D/A)=1-P(D/A)=1-0,1=0,9
¯ p(D/B)=1-P(D/B)=1-0,5=0,5
¯
El suceso D se puede poner como: D=DA+DB, sucesos mutuamente excluyentes; luego utilizando
el teorema de las probabilidades totales:
p(D)=p(D/A)p(A)+p(D/B)p(B)=(0,1)(0,6)+(0,5)(0,4)=0,26
La otra probabilidad es p(A/D), probabilidad de un resultado de la primera etapa condicionada
a un resultado de la segunda; podemos aplicar el teroema de Bayes para resolverlo:
p(D/A)p(A) (0,1)(0,6) 3
p(A/D)= p(D/A)p(A)+p(D/B)p(B) = (0,1)(0,6)+(0,5)(0,4)
= 13