Este documento describe la distribución binomial. Explica que sigue un modelo de n experiencias idénticas independientes, donde cada experiencia tiene dos resultados posibles (éxito o fracaso) con probabilidades constantes p y q. La variable aleatoria binomial cuenta el número total de éxitos obtenidos.

1. Tema 10
Distribuciones discretas
Distribución binomial

2. Índice
➢
Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos
➢
Pobabilidad. Propiedades
➢
Regla de Laplace
➢
Recuentos ( Combinatoria)
➢
Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes e
independientes
➢
Distribuciones de probabilidad discretas
➢
Distribución binomial o de las pruebas de Bernoulli

3. 1.1 Experimentos aleatorios
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar
lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar
con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del
experimento.
Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles
de un fenómeno o experimento aleatorio. Lo denotaremos con la
letra E.
Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio, es cada uno de
los subconjuntos que podemos tomar en un espacio muestral E
Definiciones

4. 1.2 Sucesos
Algunos tipos de sucesos son:
Sucesos elementales son los formados por un solo resultado del
espacio muestral.
Sucesos compuestos son los formados por varios sucesos
elementales.
Suceso seguro es el que siempre se verifica al realizar el
experimento. Coincide con el espacio muestral (E).
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por Ø.
Suceso contrario de un suceso A es el suceso que se verifica
cuando no se verifica A . Se representa por A

5. 1.3 Operaciones con sucesos
.
Unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando
lo hacen A ó B . Se representa por
Intersección de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza
cuando lo hacen A y B . Se representa por
Diferencia de A y B es el suceso que se realiza cuando lo hace
A y no lo hace B. Se representa por
Diferencia simetrica de A y B es el suceso que se verifica
cuando lo hace uno de los dos pero no los dos a la vez
A∪B
A∩B
A−B=A∩B
A B=A∩B∪ B∩A

6. 1.4 Propiedades de las
operaciones
Propiedad: Unión intersección
Asociativa
Conmutativa
Idempotente
Absorción
Distributiva
Neutralidad
Complementación
Ley de De Morgan
Además se cumple:
A∪B∪C=A∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
A∪A=A A∩A=A
A∪ B∩A=A
A∪ B∩C=A∪B∩ A∪C
A∪∅=A
A∪E=E
A∪A=E
A∪B=A∩B
A∩ B∪A=A
A∩ B∪C=A∩B∪ A∩C
A∩∅=∅
A∩A=∅
A∩B=A∪B
A∩E=A
A=A; A−B∪C=A−B∩ A−C; A−B∩C= A−B∪A−C

7. 2. Probabilidad.Propiedades
Asignar probabilidad a un suceso de un experimento aleatorio consiste en
cuantificar mediante un número la ocurrencia de ese suceso.
La probabilidad de un suceso A es el límite al que tiende la frecuencia relativa
de A cuando el número de experiencias es muy grande.
Las propiedades más importantes de la probabilidad son:
Probabilidad del suceso seguro :
Probabilidad de un suceso cualquiera :
Probabilidad de la unión de sucesos A y B incompatibles ( ):
Probabilidad del suceso imposible :
Probabilidad del suceso contrario :
Probabilidad de la unión de sucesos A y B compatibles ( ):
P  A=lím
n∞
hi A
PE=1
P A≥0
A∩B≠∅
PA∪B=PAPB
PA=1−PA
PA∪B=PAPB−PA∩B
P∅=0
A∩B=∅

8. 3. Regla de Laplace
Cuando el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio tiene un
número limitado de resultados y todos los sucesos elementales tienen la
misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables, en la práctica el
cálculo de probabilidades se hace mediante la conocida Regla de Laplace. La
probabilidad de un suceso A formado por k sucesos elementales es igual al
cociente entre el número de resultados favorables y el número n de
resultados posibles.
Siempre que vayamos a aplicar la regla de Laplace, debemos tener en cuenta
lo siguiente:
●
Sólo puede aplicarse cuando los sucesos elementales del experimento
aleatorio son equiprobables.
●
Los casos posibles son todos los resultados del experimento; es decir,
todos los sucesos elementales que componen el espacio muestral.
●
Los casos favorables son todos los sucesos elementales que componen el
suceso dado, del cual queremos calcular su probabilidad.
P A=
númerode casos favorables al suceso A
númerode casos posibles
=
k
n

9. 4.1 combinatoria
es la rama de la matemática que estudia la enumeración,
construcción y existencia de propiedades de configuraciones de
elementos tos de nun conjunto
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se
repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los
elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de
colocación de los elementos.
Estas formas son:
●
Variaciones sin repetición.
●
Variaciones con repetición.
●
Permutaciones sin repetición.
●
Permutaciones con repetición.
●
Combinaciones sin repetición.
●
Combinaciones con repetición.
Definición

10. 4.2 Variaciones
Definición:
Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p
se definen como las distintas agrupaciones formadas con p
elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos del
conjunto, considerando una variación distinta a otra tanto si
difieren en algún elemento como si están situados en distinto
orden.
El número de variaciones que se pueden constriur
se puede calcular mediante la fórmula:
Definición:
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en
p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p
elementos, eligiéndolos de entre los n elementos del conjunto,
considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún
elemento como si están situados en distinto orden.
El número de variaciones que se pueden constriur
se puede calcular mediante la fórmula:
V p
n
=
n!
n− p!
VRp
n
=np

11. 4.3 Permutaciones
Definición:
Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como
las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por
lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de
sus elementos.
El número de estas permutaciones será:
Definición:
Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos
tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n
elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a
veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que
a+b+c+...=n.
El número de estas permutaciones será:
Pn=n!
Pn
a , b, c ,⋯
=
n!
a!⋅b!⋅c !⋯

12. 4.4 Conbinaciones
Definición:
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p
en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p
elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que
disponemos, considerando una combinación distinta a otra sólo si
difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de
sus elementos).
Definición:
Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p
en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p
elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n
elementos de que disponemos, considerando una combinación
distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el
orden de colocación de sus elementos).
Cn
p
=
n
p=
n!
n− p!⋅p!
CRn
p
=
n p−1
p =
n p−1!
n−1!⋅p !

14. 5.1. Probabilidad condicionada.
Definición:
Llamamosprobabilidad condicionada del suceso B condicionado al
suceso A, y lo denotamos por al cociente
Despejando en esta expresión obtenemos la fórmula de laprobabilidad
compuesta o del producto :
P B/ A
P B/ A=
P A∩B
P A
P A∩B=P A⋅P B/ A

15. 5.2. Sucesos Dependientes e
Independientes
En ocasiones la ocurrencia de un suceso viene condicionada a la de otro
(sucesos dependientes) y en otras ocasiones no (sucesos independientes).
Definición:
Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos
nomodifica la probabilidad del otro, es decir:
Dos sucesos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos
modifica la probabilidad del otro, es decir:
PA/B=PA
PA/B≠PA

16. 5. 3. Teorema de
probabilidad total
Si A1, A2 ,... , An son Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral ( ).
Y B es otro suceso.
Se verifica que:
Ai∩Aj=∅
∪Ai
i
=E
PB=PA1⋅PB/A1PA2⋅PB/A2⋯PAn⋅PB/An

17. 5. 4. Teorema de Bayes
Si A1, A2 ,... , An son Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral ( ).
Y B es otro suceso.
Se verifica que:
Ai∩Aj=∅
∪Ai
i
=E
PAi/B=
PAi⋅PAi∩B
PA1⋅PB/A1PA2⋅PB/A2⋯PAn⋅PB/An

18. 6.1. DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados
de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de
todos los posibles resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un
experimento aleatorio. Se clasifican como discretas o continuas.
Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número
finito de valores.
se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares
que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde
tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.
xi , pi
pi=P X =xi≥0
p1 p2 p3⋯ pn=1

19. 6. 2. Parámetros
En las distribuciones de probabilidad podemos proceder de forma
similar a las distribuciones estadísticas y definir las medidas centrales
y de dispersión.
Media de una variable discreta X , que toma los valores x1 , x2 , …, xn
, con probabilidades P1 , P2 , …, Pn es el valor de la siguiente expresión,
que denotamos por µ :
La media aritmética de una variable aleatoria también recibe el
nombre de valor esperado o esperanza matemática.
Desviación típica de una variable aleatoria discreta X es el valor de
las siguientes expresiones, que denotamos por σ :
=x1⋅P1x2⋅P2…xn⋅Pn=∑
i=1
n
xi⋅Pi
=
∑i=1
n
xi− 2
⋅Pi=
∑i=1
n
xi
2
⋅Pi−2

20. 7. 1. Distribución binomial
Características
●
Can experiencias idénticas.da situación conlleva n experiencias idénticas.
●
En cada una de las experiencias sólo son posibles dos resultados, que, por
ser contrarios, son incompatibles. Estos sucesos se denominan: cara-cruz,
acierto-fallo, blanco-negro, correcto-incorrecto, etc. En general, éxito
(A)-fracaso (A).
●
Cada experiencia es independiente de las otras.
●
La probabilidad p de que ocurra el éxito(A) es la misma en cada una de las
experiencias.
●
Lo mismo ocurre para la probabilidad q de que se verifica A
Toda experiencia que tiene las características anteriores decimos que sigue
el modelo de la distribución binomial o distribución de las pruebas de
Bernoulli.
Variable aleatoria binomial es la que expresa el número total de éxitos
observados en las experiencias que siguen el modelo de una distribución
binomial.
Designaremos por B(n, p) a la distribución binomial de parámetros n (número
de experiencias) y p (probabilidad del éxito).

21. 7. 2. Distribución binomial
Llamando  a la variable aleatoria binomial que describe el número
de éxitos, se tiene,
La expresión anterior se denomina función de probabilidad de la
distribución binomial B(n , p)
La media o esperanza matemática de una variable asociada a una
distribución binomial es:
La desviación típica de la misma variable es:
Pobtener r éxitos=PX=r=n
rp
r
⋅q
n –r
=n⋅p
=n⋅p⋅q