Conceptos de probabilidad

1. Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Unidad 2. Teoría de la probabilidad.
Docente. Angela Rangel Tobilla.
Actividad 1. Foro.
Alumno: Víctor Hugo Velasco Gómez
Matricula. ES1821016112
San Cristóbal de Las Casas, Chiapas a 9 de noviembre de 2022

2. Espacios de Probabilidad
Este modelo consiste en una terna ordenada, denotada usualmente por
(Ω, ℱ, 𝑃), en donde Ω es un conjunto arbitrario, ℱ es una 𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 de
subconjuntos de Ω, y 𝑃 es una medida de probabilidad definida de ℱ.
Espacio muestral
El conjunto Ω es llamado espacio
muestral o espacio muestra y tiene
como objetivo agrupar a todos los
posibles resultados del experimento
aleatorio en cuestión.
𝝈 − 𝒂́ 𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂
Una clase o colección no vacía de
ℱ de subconjuntos de Ω es una
𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 si es cerrada bajo las
operaciones de tomar
complementos y uniones
numerables. A los elementos de
𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 se les llama eventos o
conjuntos medibles. En particular,
un evento es simple si consta de a
los más un elemento de Ω y es
compuesto cuando consta de dos
o más elementos Ω.
Medidas de probabilidad
Una función 𝑃 definida sobre 𝜎 −
𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 ℱ y con valores en el
intervalo [0, 1] es una medida de
probabilidad si 𝑃(Ω) = 1 y es 𝜎 −
𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎, es:
𝑃 (⋃ 𝐴𝑛
∞
𝑛=1
) = ∑ 𝑃(𝐴𝑛)
∞
𝑛=1
Cuando 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ son ajenos
dos a dos. El número 𝑃(𝐴)
representa una forma de medir la
posibilidad de observar la
ocurrencia del evento 𝐴 al efectuar
una vez el experimento aleatorio.

3. Definición 1. Un espacio de probabilidad es una
terna (Ω, ℱ, Ρ) en donde Ω es un conjunto
arbitrario, ℱ es una 𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 de subconjuntos
de Ω, y 𝑃 es una medida de probabilidad definida
sobre ℱ.
𝝈 − 𝒂́ 𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂
Definición 2. 𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎. Una colección de ℱ de subconjuntos de Ω es una 𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 si cumple las siguientes condiciones:
1. Ω ∈ ℱ.
2. Si 𝐴 ∈ ℱ entonces 𝐴𝑐
∈ ℱ.
3. Si 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ entonces ⋃ 𝐴𝑛 ∈ ℱ
∞
𝑛=1 .
A la pareja (Ω, ℱ) se le llama espacio medible y a los elementos de ℱ se les llama eventos o conjuntos medibles.
Ejemplo.
Sea Ω un conjunto cualquiera no vacío. Las siguientes colecciones son 𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 de subconjuntos de Ω.
1. ℱ1 = {∅, Ω}
2. ℱ2 = {∅, 𝐴, 𝐴𝐶
, Ω}, en donde 𝐴 ⊆ Ω.
3. ℱ3 = 2Ω
, conjunto potencia.
Cálculo de probabilidades
Sea 𝐸 el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sea Ω una 𝜎 − 𝑎́𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 de sucesos de 𝐸(subconjunto de 𝑆
con buenas propiedades). Diremos que la aplicación 𝑃: Ω → ℝ es una probabilidad si verifica los siguientes axiomas:
Axioma 1. ∀𝐴 ∈ Ω, 𝑃(𝐴) ≥ 0
Axioma 2. 𝑃(𝐸) = 1

4. Axioma 3. Si {𝐴𝑖}𝑖∈𝐼 ∈ Ω, son sucesos incompatibles dos a dos, es decir, 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅∀𝑖 ≠ 𝑗, entonces
𝑃 (⋃ 𝐴𝑖
𝑖∈𝐼
) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)
𝑖∈𝐼
Donde 𝐼 puede ser un conjunto de sucesos finito o infinito numerable.
La función probabilidad asigna a cada suceso 𝐴 un número entre 0 y 1:
➢ Si 𝑃(𝐴) es cercana a 0, indica posibilidad pequeña de que ocurra el suceso 𝐴. Si 𝑃(𝐴) = 0, es imposible que ocurra 𝐴.
En este caso 𝐴 = ∅.
➢ Si 𝑃(𝐴) es cercana a 1, indica posibilidad alta de que ocurra el suceso 𝐴. Si 𝑃(𝐴) = 1, 𝐴 ocurre con total seguridad. En
este caso, 𝐴 = 𝐸.
Propiedades consecuencia de los axiomas
Propiedad 1. Si 𝐴 ∈ Ω, entonces 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
Propiedad 2. 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)(también se escribe 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴̅))
Propiedad 3. 𝑃(∅) = 0
Propiedad 4. Si 𝐴 es un suceso cualquiera, siempre se verifica que 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵
̅) siendo B cualquier suceso.
Propiedad 5. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵
̅) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Propiedad 6. Si 𝐴, 𝐵 ∈ Ω son tales que 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces
➢ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)
➢ 𝑃(𝐵 − 𝐴) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴).
Propiedad 7. Si 𝐴 y 𝐵 son sucesos cualesquiera, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) , si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son sucesos
cualesquiera, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).
Esta propiedad se puede generalizar al caso de más de tres sucesos

5. 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖) − ∑ 𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗) + ∑ 𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑘) − ⋯ (−1)𝑛+1
𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛)
𝑛
𝑖≠𝑗≠𝑘
𝑛
𝑖≠𝑗
𝑛
𝑖=1
Propiedad 8 (Regla de Laplace). Sea 𝐸 un espacio muestral finito 𝐸 = {𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛} asociado a un experimento aleatorio. Si
se asignan probabilidades a cada suceso elemental {𝐴𝑖}𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 entonces para cualquier suceso 𝐵 de Ω, la probabilidad
de 𝐵 se calcula como
𝑃(𝐵) = ∑ ({𝐴𝑗})
𝐴𝑗∈𝐵
Probabilidad condicional
En general, dado un experimento y su espacio muestral asociado, queremos determinar como afecta a la probabilidad de 𝐴 el
hecho de saber que ha ocurrido otro evento 𝐵.
Sea 𝐴 y 𝐵 eventos tales que 𝑃(𝐵) > 0, la probabilidad del evento 𝐴 condicional a la ocurrencia del evento 𝐵 es:
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Propiedades de la Probabilidad Condicional. Dado un suceso 𝐵 fijo tal que 𝑃(𝐵) > 0, 𝑃(∙ |𝐵) es una probabilidad, en el sentido
que satisface los axiomas de probabilidad y por lo tanto todas las propiedades que se deducen a partir de ellos. Por ejemplo:
Axioma 1. 𝑃(𝐴|𝐵) ≥ 0 para todo suceso 𝐴.
Axioma 2. 𝑃(𝑆|𝐵) = 1.
Teorema de la probabilidad total
Sea 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 una partición del espacio muestral 𝑆 y sea 𝐵 un
suceso cualquiera,
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1

6. Demostración:
𝐵 = 𝐵 ∩ 𝑆 = 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝑖
𝑘
𝑖=1
) = ⋃(𝐵 ∩ 𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
Como (𝐵 ∩ 𝐴𝑖) ∩ (𝐵 ∩ 𝐴𝑗) = ∅∀𝑖 ≠ 𝑗, entonces
𝑃(𝐵) = 𝑃 (⋃(𝐵 ∩ 𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
) = ∑ 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
= ∑ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
Teorema de Bayes
Sea 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 una partición del espacio muestral 𝑆 y sea 𝐵 un suceso cualquiera tal que 𝑃(𝐵) >
0,
Demostración;
𝑃(𝐴𝑗|𝐵) =
𝑃(𝐴𝑗 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
𝑃(𝐵|𝐴𝑗)𝑃(𝐴𝑗)
∑ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖)
𝑘
𝑖=1
En el numerador se aplicó la regla del producto y en el denominador el Teorema de la Probabilidad
Total.
El Teorema de Bayes describe cómo es posible “revisar” la probabilidad inicial de un evento o
probabilidad a priori (𝑃(𝐴𝑖)) para reflejar la información adicional que nos provee la ocurrencia de
un evento relacionado. La probabilidad revisada se denomina a posteriori.

7. Eventos independientes
La definición de probabilidad condicional
nos permite “revisar” la probabilidad de
𝑃(𝐴) asignada a un suceso, cuando se
sabe que otro suceso 𝐵 ha ocurrido. Hay
casos en los que 𝑃(𝐴|𝐵) ≠ 𝑃(𝐴) ,
mientras que en otros 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴), es
decir que la ocurrencia del suceso 𝐵 no
altera la probabilidad de ocurrencia de
𝐴.

8. Fuentes de consulta
Probabilidad I. Segundo semestre. Unidad 2. Teoría de la Probabilidad. Universidad Abierta y a Distancia de México. México.
Bianco, A. (2004). Probabilidades y Estadística (Computación). Universidad de Buenos Aires. Argentina. Texto recuperado en:
http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2011/1/PyEC02.pdf
Rincón, L. (2006). Curso intermedio de Probabilidad. Facultad de Ciencias UNAM. México. Texto recuperado en:
https://lya.fciencias.unam.mx/lars/pub/proba2.pdf
Tema 1. Probabilidad. Curso 2017-2018. Texto recuperado en:
https://www.cecyt3.ipn.mx/estudiantes/plan%20continuidad/Archivo%20comprimido3/MATERIAL_APOYO_%20PROBA
BILIDADTM.pdf
Axiomas de la probabilidad. Video recuperado en:
https://www.youtube.com/watch?v=pwzWhCpirec&index=10&list=PLc_ATubXG-SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl
Consecuencias inmediatas de los axiomas. Teoremas fundamentales. Video recuperado en:
https://www.youtube.com/watch?v=N2b2YQCG0dM&list=PLc_ATubXG-SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl&index=11
Definición de probabilidad Condicional. Video recuperado en:
https://www.youtube.com/watch?v=ovDmEn3ARFY&index=20&list=PLc_ATubXG-SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl
Eventos independientes. Video recuperado en: https://www.youtube.com/watch?v=P19uMLllpAs&index=23&list=PLc_ATubXG-
SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl
Sigma álgebra de Borel y ejemplos. Video recuperado en:
https://www.youtube.com/watch?v=E5pSRgIXiC4&list=PLc_ATubXG-SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl&index=13
Sigmas algebras y ejemplos. Video recuperado en: https://www.youtube.com/watch?v=jeMQNByiGTg&list=PLc_ATubXG-
SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl&index=12
Teorema de Bayes. Video recuperado en: https://www.youtube.com/watch?v=4BUTGqMQEtI&list=PLc_ATubXG-
SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl&index=22

9. Teorema de probabilidad Total. Video recuperado en:
https://www.youtube.com/watch?v=077sZTdjqBY&index=21&list=PLc_ATubXG-SSBl1JtXZHGvKLfyqUs6ETl