Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo fenómenos determinísticos y aleatorios, experimentos aleatorios, sucesos elementales, espacio muestral, sucesos, sucesos seguros, imposibles y complementarios. También cubre operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia. Explica los principios de la adición y la multiplicación para calcular probabilidades. Por último, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.

1. Guía III Estadística
Probabilidad, Principios de la adición y la
multiplicación.

2. Probabilidad
Conceptos Básicos
2
Fenómeno determinístico. Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones
iniciales se obtienen siempre los mismos resultados.
Fenómeno aleatorio. Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones
iniciales no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: cuando
lanzamos una moneda al aire observando la sucesión de caras y cruces
que presentan.
Experimento aleatorio. Operación que repetimos bajo idénticas
condiciones iniciales y no se obtienen siempre los mismos resultados.
Ejemplo: lanzamiento de un dado observando la sucesión de números que
se presentan {1, 2, 3, 4, 5,6}.

3. Probabilidad
Conceptos Básicos
3
Suceso elemental. Cada uno de los resultados posibles del experimento
aleatorio; luego un suceso elemental consta de un solo elemento del
espacio muestral (E). En el ejemplo dado: {1}.

4. Probabilidad
Conceptos Básicos
4
Espacio muestral. Conjunto de todos los sucesos elementales del
experimento aleatorio y lo designaremos como (E). Ejemplo del dado:
{1,2,3,4,5,6}
Suceso. Conjunto formado por uno o más sucesos elementales, es decir,
un subconjunto de resultados elementales del experimento aleatorio.
Ejemplo del dado: nos interesa saber si el resultado a sido un número impar
A={1, 3,5}.
Suceso seguro. Coincide con el suceso elemental, ya que al realizar el
experimento aleatorio se obtendrá con seguridad uno de los posibles
resultados o sucesos elementales, y por tanto ocurrirá (E).
Dos sucesos se dice que son iguales, cuando todo suceso elemental de
uno está en el otro, y viceversa.

5. Probabilidad
Conceptos Básicos
5
Suceso imposible. Es el que no tiene ningún elemento del espacio
muestral (E), y por tanto no ocurrirá nunca, y se representa como ∅.
Ejemplo: En el lanzamiento del dado no puede darse el 7.
Suceso complementario a un suceso A: Es el suceso que se verifica si,
como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Se acostumbra a
denotar con el símbolo Ā.
Sucesos incompatibles: Los sucesos A y B son incompatibles o
mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.
A = {a, b}, B = {d, e}

6. Probabilidad
Operaciones con Sucesos
6
Al ser los sucesos aleatorios nada más que subconjuntos de un conjunto E
(espacio muestral), podemos aplicarles las conocidas operaciones con
conjuntos, como son la unión, intersección y diferencia:
Suceso contenido en otro. Un suceso A se dice que está contenido o
inducido en otro B si siempre que se verifica A se verifica B. Se representa
A ⊂ B.
Ejemplo: Considerando el
experimento aleatorio del lanzamiento
de un dado, si designamos por:
A= que aparezca el 2 ó el 4 = {2, 4}
B= que aparezca un número par: {2,
4, 6}
El suceso A ⊂ B, pues los resultados
o sucesos elementales 2 y 4 de A,
pertenecen a B. Diremos también que
A implica a B y lo denotaremos A⇒B.

7. Probabilidad
Operaciones con Sucesos
7
Igualdad de sucesos. Dados dos sucesos A y B, diremos que son iguales,
si siempre que ocurre el suceso A también ocurre el suceso B, y siempre
que ocurre el suceso B ocurre el suceso A, y lo indicaremos por A = B. Es
decir, si se verifica:
Ejemplo: Sean los sucesos:
A = obtener un número par al lanzar un dado = {2, 4, 6}
B = obtener un múltiplo de 2 = {2, 4, 6}
Aquí se verifica que:
A ⊂ B pues siempre que ocurre A ocurre B
B ⊂ A pues siempre que ocurre B ocurre A

8. Probabilidad
Operaciones con Sucesos
8
Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos aleatorios A, B ∈ E, se llama
suceso diferencia de A y B y se representa mediante A/B, o bien, A-B al
suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a A, pero no a B.
Unión de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama unión de A y B, y
se representa por A∪B, al suceso que se realiza cuando se realiza alguno
de ellos, A o B, es decir, a todos los elementos que están en A ó están en B.
Ejemplo: Sean los sucesos:
A = obtener el lanzamiento de un dado
un número impar = {1, 3, 5}
B = obtener un número mayor que 4 =
{5, 6}
El suceso unión será:
A∪B = {1, 3, 5} ∪ {5, 6} = {1, 3, 5, 6}

9. Probabilidad
Operaciones con Sucesos
9
Intersección de sucesos. Dados dos sucesos A y B, se llama suceso
intersección de A y B, y se representa por A ∩ B, al suceso que se realiza
si y sólo si se realizan simultáneamente A y B.
Ejemplo: Utilizando el ejemplo de la unión, la intersección viene dada por:

10. Probabilidad
Operaciones con Sucesos
10
Sucesos Incompatibles. Dos sucesos A y B cuya intersección es el suceso
imposible se llaman sucesos incompatibles. Obsérvese que un suceso y
su contrario son siempre incompatibles.
A ∩ B = ∅
Sucesos Complementarios. Dado un suceso A, se llama suceso
contrario o complementario de A, y se representa por Ā, al suceso que se
realiza cuando no se realiza A y recíprocamente.
El suceso contrario de E es ∅ y
recíprocamente.
Ā = E – A.
Ejemplo: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A= {1, 2} ҧ𝐴 = {3, 4, 5, 6}
B= {2, 4, 6} ത𝐵 = {1, 3, 5}

11. Propiedades de la Unión e Intersección de
Sucesos
11
Leyes de Morgan 𝐴 ∩ 𝐵 = ҧ𝐴 ∪ ത𝐵; 𝐴 ∪ 𝐵 = ҧ𝐴 ∩ ത𝐵

12. Probabilidad
12
Es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En
otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar
cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

13. Probabilidad
13
Concepto Frecuentista. Dado un suceso A que se repite un número de veces,
si observamos la frecuencia con que se repite ese suceso, obtendremos las
probabilidades asociadas asignando la frecuencia relativa a cada suceso.
Se llama frecuencia absoluta de un suceso A al número de veces que se
verifica A al realizar el experimento un número determinado de veces.
Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre su frecuencia
absoluta y el número de veces que se realiza el experimento, que viene dada
por:
𝒇 𝒓 𝑨 =
𝒇 𝒂(𝑨)
𝒏
donde n el número de veces que se repite el experimento.

14. Probabilidad
Definición de Laplace
14
La probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el número de
resultados favorables o resultados que integran el suceso A y el número total
de elementos o posibles resultados del espacio muestral E.
𝑷(𝑨) =
𝒏° 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝒏° 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Ejemplo: Sea un experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire dos
dados que no están cargados, y se considera espacio muestral el resultado de
la suma de los valores obtenidos:
Espacio Muestral : E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 11 elementos
1. La probabilidad del suceso A= {2} 𝑃 𝐴 =
1
11
= 0,09 = 9%

15. Ejemplo
15
Espacio Muestral : E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 11 elementos
2. La probabilidad del suceso B = {par} 𝑃 𝐵 =
6
11
= 0,54 = 54%
3. La probabilidad del suceso C = {3, 5, 8, 12 } 𝑃 𝐶 =
4
11
= 0,36 = 36%
4. La probabilidad del suceso D = {3, 5, 7, 9,12} 𝑃 𝐶 =
5
11
= 0,45 =
45%
5. P(B∪D)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,12}=
10
11
= 0,91 = 91%
6. P( ҧ𝐶 ∩ 𝐵)={2,4,6,10}=
4
11
= 0,36 = 36%
7. 𝑃 𝐶 ∩ 𝐷 = 𝑃 ҧ𝐶 ∪ ഥ𝐷 = {2,4,6,7,8,9,10,11} =
8
11
= 0,72 = 72%

16. Principio de la Multiplicación
16
Si un suceso se puede realizar de «m» formas diferentes y luego se
puede realizar otro suceso de «n» formas diferentes, el número total de
formas en que pueden ocurrir es igual a m x n. Es decir, ambos eventos
se realizan, primero uno y luego el otro. El «y» indica multiplicación.
Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3
pantalones y 4 camisas?
Para vestirse, la persona se pone el pantalón y luego la camisa, es
decir tiene 3 x 4 = 12 opciones diferentes de vestirse.

17. Principio de la Adición
17
Si un suceso «A» se puede realizar de «m» maneras diferentes, y otro
suceso «B» se puede realizar de «n» maneras diferentes, además, si
ocurre uno no puede ocurrir el otro, entonces, el evento A o el evento B,
se realizarán de m + n formas. Es decir, aquí ocurre A o ocurre B. El
«o» indica suma.
Ejemplo: ¿De cuántas formas se puede cruzar un río, sabiendo que se
dispone de 3 botes y 4 barcos?
El río se puede cruzar en bote o en barco, es decir, tiene 3 + 4 = 7
opciones diferentes para cruzar el río. El río se cruza en bote o en
barco.

18. Ejercicios
18
• ¿De cuántas formas se puede ordenar una pizza, si hay 2 opciones
de masa (tradicional y especial), y 4 sabores (hawaiana, carne,
vegetariana y americana)? Solo se puede pedir una masa y un
sabor.
Se pide la maza y luego el sabor por lo tanto seria multiplicación 2 x 4 = 8
formas diferentes de pedir nuestra pizza.
• ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza una moneda o
un dado?
Al lanzar una moneda o un dado seria una suma entre las opciones que
tiene la moneda (2) y las opciones del dado (6) porque si ocurre uno no
puede ocurrir el otro 2 + 6 = 8 resultados.

19. Ejercicios
19
• ¿Cuántos resultados distintos se puede obtener si se lanza una
moneda 3 veces?
Al lanzar la moneda tres veces, en cada lanzamiento se tiene la misma
cantidad de posibilidades (cara y sello) el resultado seria igual a:
2 x 2 x 2 = 8
• ¿Y si se lanza 5 veces?
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
• ¿De cuántas formas distintas puede cenar una persona si hay: 5
aperitivos, 3 entradas, 4 platos de fondo, 3 bebidas y 2 postres?
Tener en cuenta que solo se puede elegir una opción de cada cosa.
La primera elección tenemos 5 posibilidades en la segunda 3
posibilidades, 4, 3, 2 posibilidades para las siguientes
5 x 3 x 4 x 3 x 2 = 360 formas distintas para cenar.

20. Ejercicios
20
• ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar sin repetir
dígitos? Teniendo en cuenta que el número no inicie por 0.
Al no iniciar por 0 en la primera casilla tenemos 9 posibilidades, para la
segunda casilla podemos utilizar el 0 tendríamos 10 números pero como
ya usamos un numero en la primera casilla tendríamos 9 posibilidades y en
la tercera casilla nos quedarían 8 posibilidades.
9 x 9 x 8 = 648
• ¿Cuántas placas diferentes de autos se pueden formar con 3 letras,
seguidas de 3 números del 0 al 9? Considere que el alfabeto cuenta con 27
letras.
Tendremos en cuenta que las placas de los carros, tanto las letras como
los números se pueden repetir por tanto tendríamos:
27 x 27 x 27 x 10 x 10 x 10 = 19.683.000

21. Ejercicios
21
• ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a E sin
pasar ni regresar por el mismo camino?
Tendremos en cuenta que para
viajar de A a E sin repetir
ubicación podemos utilizar tres
caminos
1. A-E directo
2. A-D-E
3. A-B-C-D-E
Vamos a analizar cada uno de los caminos.
1. De A-E 3 posibilidades.
2. A-D-E: de A-D hay 3 posibilidades y de D-E hay 2 posibilidades para un total
de 6 posibilidades.
3. A-B hay 2 posibilidades B-C 3 posibilidades C-D 2 posibilidades D-E 2
posibilidades para un total de 24 posibilidades
Si cojo un camino no puedo coger el otro entonces el total de posibilidades es:
3 + 6 + 24 = 33.

22. Ejercicios
22
• De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras, se extraen sucesivamente 2
bolas. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que las dos sean negras
Probabilidad de que la primera bola sea negra 𝑃 𝑁1 =
5
14
= 0,357
Probabilidad de que la segunda bola sea negra 𝑃 𝑁2 =
4
13
= 0,307
Probabilidad de que las dos bolas sean negras es
𝟓
𝟏𝟒
∙
𝟒
𝟏𝟑
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟖 = 𝟏𝟏%
b) Que las dos sean rojas
Probabilidad de que la primera bola sea roja 𝑃 𝑅1 =
9
14
= 0,643
Probabilidad de que la segunda bola sea roja 𝑃 𝑅2 =
8
13
= 0,615
Probabilidad de que las dos bolas sean rojas es
𝟗
𝟏𝟒
∙
𝟖
𝟏𝟑
= 𝟎, 𝟑𝟗𝟔 = 𝟑𝟗, 𝟔%
c) Que la primera sea roja y la segunda negra
Probabilidad de que la primera bola sea roja 𝑃 𝑅1 =
9
14
= 0,643
Probabilidad de que la segunda bola sea negra 𝑃 𝑁2 =
5
13
= 0,385
Probabilidad de que las dos bolas sean rojas es
𝟗
𝟏𝟒
∙
𝟓
𝟏𝟑
= 𝟎, 𝟐𝟑𝟑 = 𝟐𝟑, 𝟑%
d) Que la segunda sea roja sabiendo que la primera fue negra
𝑷 𝑹𝟐 =
𝟗
𝟏𝟑
= 𝟎, 𝟔𝟗𝟐 = 𝟔𝟗, 𝟐%

23. MUCHAS GRACIAS