2. Capítulo VI: Probabilidades 2
¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?
¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme con un
taxi cuando voy a clase?
Todos los días nos hacemos preguntas donde
utilizamos el concepto de probabilidad.
Probabilidad es una medida de la
posibilidad de que ocurra un suceso futuro.
3. Capítulo VI: Probabilidades 3
Experimentos. Proceso o fenómeno, cuyos
resultados dependen del azar
Determinísticos
Aleatorios
AZAR
4. Capítulo VI: Probabilidades 4
Experimento - Espacio muestral
E1 Se arroja un dado :
Si observamos su cara superior, el conjunto
de resultados posibles es
Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
5. Capítulo VI: Probabilidades 5
E2 Se arrojan dos dados y se observa la
suma de sus caras.
Ω 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
6. Capítulo VI: Probabilidades 6
E3 :Se arroja una moneda hasta que
aparezca cara.
Ω { C, XC, XXC, XXXC, XXXXC, ..., X..XC, .... }
7. Capítulo VI: Probabilidades 7
Ejemplo : Sea el experimento arrojar dos dados.
El conjunto de resultados posibles es:
= {(x,y)/ x = 1, 2 .. 6, y = 1, 2 ..
6 }
Ω
Ω
A = {(x,y) / x + y = 5 }
A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
A
X1 2 3 4 5 6
Y
6
5
4
3
2
1
8. Capítulo VI: Probabilidades 8
Sucesos
E espacio muestral
E espacio muestral
A
A’
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son
posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio
muestra (Ω).
Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados.
Se llama suceso complementario de un suceso A, A’,
al formado por los elementos que no están en A
9. 9
Realmente lo compró
Planea comprarlo Sí No Total
Sí 200 50 250
No 100 650 750
Total 300 700 1,000
¿Qué es un espacio muestral? Dé ejemplos de eventos simples
y eventos conjuntos.
Ejemplo. Encuesta para compra de un televisor
Solución: El espacio muestral consiste en las 1,000 persona
encuestadas. Los eventos simples son “si planea comprarlo”, “no
planea comprarlo”. “si compra”, y “no compra”. El complemento del
evento “planea comprarlo” es “no planea comprarlo”. El evento
“planea comprarlo y realmente lo compra” es un evento conjunto.
10. Capítulo VI: Probabilidades 10
E espacio muestral
A
B
Se llama suceso unión de A con B, AUB, al formado por los
resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los
que están en ambos).
E espacio muestral
A
B
UNIÓN
Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente
AB, al formado por los resultados experimentales que están
simultáneamente en A y B
E espacio muestral
A
B
INTERSEC.
11. Capítulo VI: Probabilidades 11
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.
Sea A un subconjunto de Ω, simbolizando con #A al cardinal de
A que indica el número de casos favorables al suceso A,
calculamos la probabilidad de dicho suceso (siempre que sea
equiprobable) como el cociente:
P A
A número de resultados favorables
número de resultados posibles
( )
#
#
= =
Ω
13. Capítulo VI: Probabilidades 13
PROPIEDAD 4 P (A∪B) = P(A) + P(B), si A∩B =∅
P A B
A B A B A B
P A P B( )
#( )
#
# #
#
#
#
#
#
( ) ( )∪ =
∪
=
+
= + = +
Ω Ω Ω Ω
Si A∩B = ∅, entonces #(A∪B) = #A + #B.
PROPIEDAD 5 P (A∪B) = P(A) + P(B)- P(A∩B) si A∩B ≠∅
∴ ∪ = =
+ − ∩
= + −
∩
∴ ∪ = + − ∩
P A B
AUB A B A B A B A B
P A B P A P B P A B
( )
#( )
#
# # #( )
#
#
#
#
#
#( )
#
( ) ( ) ( ) ( )
Ω Ω Ω Ω Ω
PROPIEDAD 6 P( ) = 1 - P(A)A
P A
A A A
P A( )
#( )
#
# #
#
#
#
#
#
( )= =
−
= − = −
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω Ω
1
A
A’
A
B
A
B
14. Capítulo VI: Probabilidades 14
Ejemplo:
En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y
B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B
funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de
cada 10 atracos.
¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco
funcione al menos una de estas alarmas?
Solución:
Se definen los sucesos
A:”El sistema A funciona”
B:”El sistema B funciona”
9,06,08,07,0)(
6,0)(8,0)(7,0)(
=−+=
=∩==
BUAP
BAPBPAP
15. Capítulo VI: Probabilidades 15
DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD.
Si se repite un experimento una gran cantidad de veces y se observa la aparición de
un resultado (suceso A) podrá notarse que la frecuencia relativa del suceso tiende a
estabilizarse en un valor a medida que crece el número de repeticiones del
experimento.
Simbolizando con f a la cantidad de veces que apareció el suceso A como resultado
del experimento, y con n a la cantidad de veces que se repitió el experimento
n
lim
f
n
p
→∞
=
La frecuencia relativa del suceso se estabiliza en un valor que es la probabilidad
teórica del suceso A y la propia frecuencia relativa es la probabilidad empírica del
suceso A.
Asociada a cada suceso existe una probabilidad teórica, a la cual tiende la
frecuencia relativa del mismo a medida que aumenta la cantidad de repeticiones
del experimento.
17. Capítulo VI: Probabilidades 17
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS
P (A∪B) = P(A) + P(B), si A∩B =∅
P (A∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C), si A∩B∩C =∅
Sucesos Excluyentes
Sucesos No Excluyentes
P (A∪B) = P(A) + P(B)- P(A∩B)
18. Capítulo VI: Probabilidades 18
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A
sabiendo que pasa B:
)(
)(
)|(
BP
ABP
BAP =
E espacio muestral
A
B
19. Capítulo VI: Probabilidades 19
Probabilidad condicionada
B
A
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,10
B
A
¿Probabilidad de A dado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,08
20. Capítulo VI: Probabilidades 20
Probabilidad condicionada
A
B
A
B
¿Probabilidad de A dado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0
21. Capítulo VI: Probabilidades 21
Dos sucesos son independientes si la
ocurrencia de uno no añade información sobre
el otro. En lenguaje probabilístico:
A indep. B P(A|B) = P(A)
Dicho de otra forma:
A indep. B P(AB) = P(A) P(B)
22. 22
Ejemplo. En un banco de sangre se
determinaron los grupos sanguíneos:
¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes dos
personas sean del grupo 0?
Grupo n %
0 45 45
A 29 29
B 21 21
AB 5 5
Total 100 100
23. Capítulo VI: Probabilidades 23
El hecho de que la siguiente personas sea
del grupo 0 no impide que la segunda, sea
del grupo 0, por lo tanto es independiente.
Sus probabilidades individuales, se
multiplican: P(OO) = P(O) P(O)
0.45 x 0.45 = 0.2025 = 20.25%
24. Capítulo VI: Probabilidades 24
Ejemplo
100 recién nacidos en un maternidad de
Huánuco
55 fueron mujeres y 45 hombres
La probabilidad de ser mujer fue de 55/100 = 0.5
La probabilidad de ser hombre fue de 45/100=0.4
¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes tres
nacimientos sean mujeres?
Son eventos mutuamente excluyentes, por lo
tanto se multiplican las probabilidades
individuales.
0.55 x 0.55 x 0.55 = 0.1664 = 16.64%
25. Capítulo VI: Probabilidades 25
Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
A1 A2
A3 A4
Son una colección de sucesos
A1, A2, A3, A4…
Tales que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
26. Capítulo VI: Probabilidades 26
A1 A2
A3 A4
B
Todo suceso B, puede ser
descompuesto en componentes
de dicho sistema.
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Nos permite descomponer el problema B en
subproblemas más simples..
27. Capítulo VI: Probabilidades 27
Teorema de la probabilidad total
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
28. Capítulo VI: Probabilidades 28
P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)
= P(F|H) P(H) / P(F)
= 0x2 x 0,3 / 0,13
= 0,46 = 46%
Mujeres
Varones
fumadores
Ejemplo: En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De
ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el
20%.
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman
Un Sist. Exh. Excl.
De sucesos
T. Bayes
¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
= 0,13 =13%
¿Se elije a un individuo al azar y resulta
fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
0.70
0.30
0.10
0.20
29. Capítulo VI: Probabilidades 29
Expresión del problema en forma de árbol
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2
P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)
•Los caminos a través de nodos
representan intersecciones.
•Las bifurcaciones representan
uniones disjuntas.
30. Capítulo VI: Probabilidades 30
Teorema de Bayes
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada
uno de los componentes de un sistema
exhaustivo y excluyente de sucesos,
entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de
cada Ai.
P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
P(B)
Ai)P(B
B)|P(Ai =