1. Vicerrectorado Académico
Universidad Nacional Abierta
Selección de Lecturas
Didáctica del Álgebra
y la Trigonometría
Caracas, 2005

3. Índice
Introducción ........................................................................................................ 3
Lecturas
1 Comprensión de la igualdad por parte de los niños: El fundamento del
álgebra .................................................................................................. 5
2 Ecuaciones radicales ............................................................................ 15
3 Concepciones del álgebra escolar y usos de variables ....................... 33
4 Desarrollo del razonamiento algebraico en los primeros grados ......... 45
5 Enseñanza y aprendizaje del álgebra desde el preescolar hasta el último
año de la secundaria ........................................................................... 53
6 Una nueva álgebra: Herramientas, temas, conceptos ......................... 77
7 Ayudar a realizar la transición al álgebra ............................................. 93

5. Introducción
Esta selección de lecturas corresponde a la asignatura Didáctica del
Álgebra y la Trigonometría. Estas fueron escogidas de diversas fuentes y de
manera tal que le ayuden a usted en el logro de los objetivos planteados. El
campo de investigación en la didáctica del álgebra y la trigonometría ha crecido
enormemente en las últimas dos décadas. Especialmente en el área de álgebra.
Este crecimiento es de tal magnitud que resulta muy difícil conocer todas las
investigaciones producidas y publicadas hasta ahora. Por ello, nos ocupamos de
ofrecerle a usted una selección de investigaciones y propuestas didácticas que le
sirvan de orientación para iniciarse en este vasto campo.
En nuestro país se abandonó la idea de un curso separado de álgebra en
la escuela a finales de la primera mitad del siglo XX. La reforma curricular de
entonces agrupó contenidos de aritmética, álgebra, geometría, y trigonometría
plana y esférica bajo el término Matemáticas. Más tarde, a comienzos de los
años setenta, esa denominación de los bloques de contenido desapareció y la
asignatura pasó a denominarse Matemática, en singular. Ese cambio se realizó
bajo la influencia de la llamada “matemática moderna”, la cual enfatizaba la
unidad de las matemáticas en una sola ciencia llamada Matemática. La idea
central de esta propuesta curricular era la enseñanza de las estructuras
matemáticas, tales como la de espacio vectorial. A partir de esta reforma se
produjo una “algebrización” del currículo. Es decir, el álgebra, entendida como
el estudio de las estructuras, pasó a ocupar el lugar central. Tenemos entonces
que el conocimiento del álgebra y la trigonometría así como de su didáctica
constituye un conocimiento fundamental para ser un buen profesor de
matemáticas.
En términos generales, tenemos que las lecturas están organizadas en el
mismo orden de las lecciones a las que corresponden. Aunque a lo largo de las
lecciones se hace referencia a lecturas tratadas en otras lecciones. Podemos decir
que la Lectura 1 se corresponde con la Lección 1. En esta lectura se trata las
concepciones que los niños y niñas tienen del signo de igualdad. La
comprensión del significado del mismo es vital para el aprendizaje del álgebra.
La Lectura 2 corresponde a la Lección 2. En esta lectura se introduce al lector a
la consideración del acceso a oportunidades de estudio del álgebra en la escuela
como un derecho civil. Como se verá en la lectura, en ésta se plantea una
situación muy particular al sistema escolar estadounidense. Sin embargo, en ella
se mencionan asuntos que nos ayudan a reflexionar sobre nuestros propios
problemas de injusticia social en la escuela y el papel que juegan las
matemáticas en la promoción de esa injusticia. Las lecturas 3 y 4 están
relacionadas con la Lección 3. En esta lectura se tratan las diferentes
3

6. concepciones del álgebra así como los diferentes usos de las variables en esta
rama de las matemáticas. Usiskin sostiene que nuestra manera de concebir la
enseñanza del álgebra en la escuela está influenciada por estas concepciones y
usos. El contenido de la Lectura 4 tiene que ver con el desarrollo del
pensamiento algebraico en los primeros grados. Esta lectura complementa a la
anterior en el sentido que en ella se discuten asuntos relacionados con las
estrategias que usan los estudiantes para resolver problemas de matemáticas.
Con esta lectura completamos entonces una discusión acerca de concepciones
del álgebra, usos de las letras en álgebra y las estrategias que usan los
estudiantes para resolver problemas. La Lectura 5 se corresponde con la Lección
7 y está dedicada a una nueva concepción del álgebra escolar. Picciotto y Wah
plantean que resolver el problema del aprendizaje del álgebra pasa por cambiar
nuestras concepciones de la misma. No se trata entonces de continuar enseñando
lo que tomamos hoy por álgebra a todos los estudiantes. La Lectura 6 está
relacionada con la Lección 10. En esta lectura se presenta un panorama general
de la enseñanza y aprendizaje del álgebra desde el preescolar hasta el último año
de la educación secundaria. Una vez nos encontramos con una lectura que nos
presenta el problema de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra en los Estados
Unidos. Esto se debe en parte a que en ese país se produce una gran cantidad de
investigaciones en este campo y se genera una variedad enorme de propuestas
curriculares. Nuestros programas se han diseñado bajo la influencia de los
Estados Unidos desde los años veinte del siglo pasado. Por tanto, es importante
conocer las propuestas curriculares y las investigaciones en didáctica del álgebra
y la trigonometría que en ese país se generan. Por último, tenemos la Lectura 7
la cual está asociada a la Lección 11. En esta lectura retomamos el problema de
la enseñanza del álgebra en relación con la transición desde la aritmética. Al
discutir este asunto, la transición de la aritmética al álgebra, se retoman algunas
de las ideas ya discutidas en lecturas anteriores, tales como los distintos usos de
las letras o variables en el álgebra. A continuación mostramos en una tabla la
correspondencia entre las lecturas y las lecciones.
Las lecturas incluidas en esta selección deben ser consideradas como un
todo. Ellas se complementan unas a las otras. La lectura de cada una tal vez le
lleve a reconsiderar las lecturas anteriores. Esperamos que le sean de utilidad
para comprender mejor los procesos de enseñanza y aprendizaje del álgebra y la
trigonometría en la escuela.
Las lecturas 1, 3, 4, 5 y 6 fueron traducidas por María Eugenia Pirela y
las lecturas 2 y 7 fueron traducidas por Noemy Gómez. La selección de las
lecturas, la revisión técnica de todas las traducciones, así como la diagramación
y las gráficas, son de mi responsabilidad.
Julio Mosquera

7. Lectura 1
Comprensión del Signo de Igualdad en los Niños: El
Fundamento del Álgebra*
La Comprensión de los Niños de la Igualdad: El Fundamento del Álgebra
Muchas escuelas estadales y distritales, así como Los Principios y
Estándares para las Matemáticas Escolares: Versión para Discusión (Principles
and Standars for School Mathematics: Discussion Draft) (NCTM 1998)
recomiendan que el álgebra sea enseñada en los años de la primera infancia.
Aunque los niños pequeños con frecuencia entienden mucho más de lo que se
tradicionalmente cree, los adultos pueden tener problemas conceptualizando lo
que constituiría álgebra apropiada para la primera infancia. En la actualidad 15
profesores y tres universidades están involucradas en un proyecto para definir lo
que la instrucción del álgebra puede y debe ser para niños pequeños. En este
artículo, analizamos el concepto de igualdad, la cual es una idea crucial para el
desarrollo del razonamiento algebraico en niños pequeños.
Errores o Falsas Ideas acerca del Signo Igual
No obstante los profesores frecuentemente usan el signo igual con sus
estudiantes, es interesante explorar lo que los niños entienden acerca de igualdad
y el signo igual. Al comienzo de este proyecto muchos profesores les pidieron a
sus estudiantes que resolvieran el siguiente problema:
8 + 4 =  + 5
Al inicio este problema parecía trivial para muchos profesores. Por
ejemplo, una profesora de sexto grado dijo: “Seguro, colaboraré y le pondré este
problema a mis estudiantes, pero no tengo idea porque esto será de interés para
ustedes”. Esta profesora halló que sus veinticuatro estudiantes pensaron que 12
era la respuesta que debía ir en el cuadro. Ella encontró este resultado tan
interesante que antes de que pudiéramos ponernos en contacto con ella, le pidió
a los otros profesores de sexto grado que les pusieran este problema a sus
estudiantes. Como se muestra en la tabla 1, los 145 estudiantes de sexto grado a
quienes se les dio el problema pensaron que bien 12 o 17 debían en el cuadro.
¿Por qué tantos estudiantes tienen dificultades con este problema?
Claramente, los niños tienen una comprensión limitada de la igualdad y del
* Falkner, K. 1999). Children’s understanding of equality: A foundation for algebra.
Teaching Children Mathematics, 232-236.
5

8. 6  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
signo igual si piensan que 12 o 17 es la respuesta que va en el cuadro. Muchos
niños pequeños, sin embargo, comprenden como modelar una situación que
involucra hacer las cosas iguales. Por ejemplo, Mary Jo Yttri, una maestra de
kindergarten, les puso a sus estudiantes el problema 4 + 5 =  + 6. Todos los
niños pensaron que 9 debía ir en el cuadro. Yttri entonces modeló esta situación
con los niños. Juntos, hicieron una pila de cuatro cubos, luego una pila de cinco
cubos. En otro espacio hicieron pilas de nueve y seis cubos. Yttri les preguntó a
los niños sí cada conjunto tenía el mismo número de cubos. Los niños sabían
que el conjunto no tenía el mismo número de cubos y fueron capaces de decirle
a la maestra como podían hacer que ambos agrupamientos tuvieran el mismo
número de cubos. Sin embargo, aun después de realizar esta actividad los niños
pensaban que 9 debían ir en el cuadro de la ecuación.
Este incidente sorprendió a Yttri y a los investigadores. Ellos habían
pensado que los niños de kindergarten tendrían poca experiencia con el signo
igual y no se habrían formado las falsas ideas acerca de la igualdad, demostrada
por niños más grandes. Sin embargo, aun los niños de kindergarten parecen tener
concepciones erróneas estables acerca del significado del signo igual que no se
eliminan con uno o dos ejemplos o una simple explicación. Este incidente
también demuestra que niños tan jóvenes como los de edad de kindergarten
tienen una comprensión adecuada de situaciones de igualdad que involucran la
compilación de objetos pero tienen dificultades para relacionar esta comprensión
con representaciones simbólicas que involucran el signo igual. Un esfuerzo
concertado por un período extendido es requerido para establecer las nociones
apropiadas de igualdad. Los docentes también deben preocuparse por las
concepciones de los niños de igualdad tan pronto como sean introducidos
símbolos para operaciones de números repetitivas. Otras falsas ideas acerca de la
igualdad pueden hacerse firmemente intrincadas (ver "Acerca de las
Matemáticas” p. 234).
Behr, Erlwanger y Nichols (1975); Erlwanger y Berlanger (1983); y
Anenz-Ludlow y Walgamuth (1998) han documentado, generalmente los niños
en la primaria piensan que el signo igual significa que debería realizar el cálculo
que lo precede y después del signo igual está la respuesta. Los niños de primaria
generalmente ven el signo igual como un símbolo que se refiere a la relación "es
lo mismo que".
No hay mucha variedad evidente en como el igual es usado típicamente
en la escuela primaria. El signo igual se coloca al final de una ecuación y sólo un
número viene después de él. Con frases numéricas tales como 4 + 6 = 10 ó 67 -
10 - 3 = 54, los niños están en lo correcto en pensar en el signo igual como un
signo para calcular.
Primero y Segundo Grado
Karen Falkner en la actualidad enseña en Primero y Segundo Grado. Los
niños usualmente están en la clase por dos años. El resto de este artículo muestra

9. Lectura 1  7
como los niños en esta clase han progresado en su comprensión de la igualdad
en el último año y medio.
Por algún tiempo, la resolución de problemas sobre anécdotas ha sido
una parte integral de la enseñanza de las matemáticas en la clase de Falkner. Con
regularidad a los estudiantes se les pide que escriban expresiones numéricas que
muestren como resuelven problemas sobre anécdotas. Falkner espera que sus
estudiantes sean exitosos, en consecuencia, al principio cuando ella le pidió a sus
estudiantes que resolvieran la expresión numérica 8 + 4 =  + 5. Para su
sorpresa los estudiantes respondieron como la investigación indicó que lo harían.
La mayoría coloco 12 en el cuadro y algunos extendieron la expresión añadiendo
= 17. La discusión que prosiguió fue interesante. La mayoría dijo que 12 debería
ir en el cuadro porque “ocho mas cuatro es igual a doce”. El siguiente pasaje
ilustra la discusión que tuvo lugar en clase después de que los estudiantes habían
trabajado el problema.
Tabla 1. Porcentaje de niños que produjeron diversas soluciones a 8 + 4 = + 5
Grados Respuestas dadas Número
de niños
7 12 17 12 y 17 otras
1 0 79 7 0 14 42
1 y 2 6 54 20 0 20 84
2 6 55 10 14 15 174
3 10 60 20 5 5 208
4 7 9 44 30 11 57
5 7 48 45 0 0 42
6 0 84 14 2 0 145
Falkner: ¿Es lo mismo 8 + 4 que 12 + 5?
Anna: No
Falkner: Entonces ¿por qué colocaste 12 en el cuadro?
Anna: Porque 8 + 4 es igual a 12, ¿lo ve? (contando con sus dedos, muchos de
los niños asintieron con la cabeza).
Falkner: ¿Alguien tiene otra respuesta?
Adam: Es 7
Falkner: ¿Por qué?
Adam: Porque hay que tener la misma cantidad a cada lado del signo igual. Eso
es lo que significa el signo igual.
Falkner: Ya veo Adam, ¿podrías repetir eso? (Adam repite su explicación. Otros
niños, consideran a Adam un líder de clase, lo escuchan atentamente).

10. 8  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Falkner: (señalando las expresiones numéricas en el pizarrón) Entonces Adam
tú dices que el signo igual significa que no obstante la cantidad que esté de un
lado del signo igual, la misma cantidad tiene que estar en el otro lado del signo.
(Mirando al resto de la clase) ¿Qué piensan acerca de lo que dijo Adam?
Anna: Si pero tiene que ser 12, porque 8 + 4 es igual a 12.
Dan: No, Adam tiene razón. Lo que sea que esté de un lado del signo igual tiene
que igualar lo que esté del otro lado 8 + 4 = 12 y 7 + 5 = 12, así que 7 va en el
cuadro.
La clase se fajó con este problema por algún tiempo. El signo igual es
una convención, el símbolo escogido por los matemáticos para representar la
noción de igualdad. Como no existe ninguna explicación lógica por la que el
signo igual no signifique “calcular”, Falkner pensó que era apropiado decirle a la
clase que ella estaba de acuerdo con Adam y con Dan. Sin embargo, decirle a la
clase lo que el signo igual significaba no era suficiente para que muchos niños
estuvieran en capacidad de adoptar el uso estándar del signo.
Entonces Falkner optó por desarrollar la comprensión de sus estudiantes
del signo igual a través de análisis de expresiones numéricas de verdadero y
falso; estos análisis están basados en el trabajo de Robert Davis (1964). Falkner
presentó expresiones numéricas, similares a las siguientes a sus estudiantes y les
preguntó si las expresiones numéricas eran verdaderas o falsas:
4 + 5 = 9 12 – 5 = 9 7 = 3 + 4
8 + 2 = 10 + 4 7 + 4 = 15 - 4 8 = 8
Las reacciones de los niños fueron interesantes. Todos estuvieron de
acuerdo en que la primera expresión era verdadera y en que la segunda era falsa.
Pudieron probar estas aseveraciones por varios medios. Estuvieron menos
seguros acerca de las expresiones restantes.
Falkner: ¿Qué hay acerca de esta expresión 7 = 3 + 4, es cierta o falsa? (intentos
de librarse de hacerlo alrededor, caras de alarma y refunfuños de la clase)
Gretchen: Si, 3 + 4 es igual a 7.
Ned: Pero la expresión esta mal.
Anna: Esta al revés.
Falkner: Pero Adam nos ha dicho que el signo igual significa que la cantidad de
cada lado del signo tiene que ser igual. ¿Eso es cierto aquí?
Anna: si, pero esta en el sentido incorrecto.

11. Lectura 1  9
Falkner: tratemos esto (ella modela el problema dándole a un niño siete cubos
Unifix* en una pila y pidiéndole que se parara a un lado de ella. Le dio a otro
niño una pila de cuatro cubos Unifix para una mano y una pila de tres para la
otra mano. Ese niño está parado al otro lado de ella. Ahora, ¿estos niños tienen
la misma cantidad de cubos?
Clase: Si.
Falkner: ¿Hace alguna diferencia a cual de mis lados ellos se paren? (ella les
pide que se cambien de lugares, lo cual ellos hacen)
Clase: No, pero…
Como pueden imaginarse, la cuarta expresión numérica causó confusión
a muchos niños. Algunos niños creyeron que la expresión numérica era cierta
porque 8 + 2 es igual a 10. Los niños que tienen una firme comprensión de la
igualdad estuvieron en capacidad de explicar que esta expresión numérica no era
verdad porque 8 + 2 es 10 y 10 + 4 es 14 y 10 no es lo mismo que 14.
Cuando Falkner llegó a la última expresión, 8 = 8, la clase estaba
bastante perturbada. Anna habló por los estudiantes cuando dijo: “bueno, si,
ocho es igual a ocho, pero usted no debería escribirlo de esa forma”. Durante las
pocas semanas de clases restantes, Falkner continuó dándoles problemas con el
signo igual en varios ubicaciones a sus estudiantes.
El Año Siguiente
En otoño, Falkner puso el mismo problema, 8 + 4 =  + 5, a su clase.
Unos pocos, pero no todos, de los niños quienes habían estado en el salón la
primavera anterior resolvieron el problema correctamente. Muchos nuevos en el
primer grado orgullosamente colocaron 12 en el cuadro; otros miraron la
expresión confundidos y pidieron ayuda. Una discusión similar a la de la
primavera siguió. Esta vez, sin embargo, unos pocos niños entendieron la noción
de igualdad y entusiasmados explicaron por qué el número 7 correspondía al
cuadro. Lilie dio la explicación más enérgica: “El signo igual significa que tiene
que ser parejo. La cantidad tiene que ser la misma en cada lado del signo igual
(gesticulando con las manos) es como un subibaja, tiene que estar nivelado".
Esta discusión de clase fue la primera de varias acerca de expresiones
numéricas similares abiertas. Cada discusión tenía niños dudosos, así como
niños que una vez más explicaron la idea de que cada lado del signo igual tenía
que "igualar" la misma cantidad. Mientras Falkner escuchaba las discusiones,
notó quien hablaba y observó las expresiones faciales, parecía que los niños
empezaban a asir esta noción de igualdad pero que el concepto no era fácilmente
o rápidamente comprendido. Falkner estaba convencida que la noción de
* Los “cubos Unifix” es un material instruccional manipulable que consiste de un juego
de cubos de varios colores que se pueden encajar uno con otros por varias de sus caras.

12. 10  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
igualdad tomaría algún tiempo para ser comprendida por todos los niños, y
regresaba a ella con frecuencia mientras transcurría el año.
Falkner integró la discusión de igualdad a lo largo del año escolar de dos
maneras. La primera continuó presentando expresiones numéricas abiertas en las
cuales ella modificaba la ubicación de la incógnita. Algunos ejemplos de estas
expresiones numéricas abiertas incluían lo siguiente:  = 9 + 5, 7 + 8 =  + ___
(ilegible) y 7 +  = 6 + 4. La segunda, presentó expresiones numéricas de
verdadero y falso, como las de los ejemplos, para alentar a los niños a
reflexionar sobre el significado del signo igual. También hizo que los niños
escribieran sus propias expresiones numéricas de verdadero o falso. Las tareas
que Falkner uso para construir la comprensión de los niños de la igualdad
también fueron tareas para construir su comprensión de operaciones numéricas.
Mientras el año trascurría, más y más niños comenzaron a comprender
la igualdad. En marzo la clase tenía la siguiente discusión:
Falkner: observen esta expresión numérica: 8 + 9 =  + 10. ¿Que debería ir en
el cuadro?
Carrie: Debería ser 17
Skip: Pero 8 + 9 es igual a 17, y 17 + 10 sería igual a 27, así que no está bien
colocar 17 en el cuadro.
Myra: Creo que debe ir 7 en el cuadro, 7 + 10 es 17 y 8 + 9 es 17. Ambos lados
están parejos. (Hay consenso general en la clase, aunque Carrie aun no está
convencida).
Falkner: Piensen acerca de lo que sabemos sobre el signo igual. Observen esta
expresión numérica: 4898 + 3 = 4897 + . ¿Pueden solucionar esta sin hacer la
suma?
Larry: Creo que 4 va en el cuadro, 4897 es 1 menos que 4898, así que se
necesita añadir 1 más a 3.
Falkner: ¿Alguien lo hizo de manera diferente? (Los niños sacuden las cabezas.
En general la clase concuerda que la manera de Larry da la respuesta correcta y
es fácil).
Tales discusiones acerca de expresiones numéricas les dan a los niños
un contexto importante para analizar la igualdad a lo largo del año escolar. A
medida que el año progresa, discusiones acerca de la igualdad se integran a las
discusiones sobre otros conceptos aritméticos algebraicos. En el siguiente
ejemplo, los niños analizan problemas mucho más sofisticados que involucran
una comprensión de variables y operaciones, así como la igualdad.
Falkner le pidió a la clase que observara la expresión a = b + 2. Ella les
dijo que la expresión era verdad y le preguntó a la clase ¿cual era mayor a o b?
Los niños que piensan en el signo igual como una señal para hacer algo tendrán

13. Lectura 1  11
dificultades con este problema. En virtud de que 2 es sumado a b y a nada es
adicionado a a, ellos pueden pensar que b es mayor. Primero la clase estuvo de
acuerdo en que a y b eran símbolos para variables, igual que lo eran un cuadro o
un triangulo. Luego la clase rápidamente estuvo de acuerdo en que a era mayor
y sus argumentos para tal posición indicaban claramente una sofisticada
comprensión de la igualdad.
Falkner: ¿Por qué piensan que a es mayor?
Anna: Ellos dividieron la b y 2 aparte; a los reúne a ambos.
Jerry: Creo que a (es mayor), Eso más 2 es parte de a.
Myra: Si, a tiene que ser mayor porque lo que sea b + 2 tiene que ser mayor que
b, porque se combinan los dos.
Anna: Exacto, a tiene en sí mismo el +2 y b no.
Lillie: Juntos ellos tiene que ser iguales; b+2 tiene que ser igual que a.
Conclusión
Discusiones como estas, las cuales involucran una cantidad siempre
creciente de niños, indica que los niños han aprendido a ver el signo igual como
un símbolo descriptivo de una relación en lugar de una señal para “hacer algo”.
En vista de que este artículo fue escrito antes del fin del año escolar, no hemos
recolectado el sumario de la data de la comprensión de los niños del problema 8
+ 4 =  + 5 en esta clase. Sin embargo, en un estudio piloto que involucra
salones de clase de Primero y Segundo Grado similares, en la misma ciudad,
encontramos que al final del año, catorce de dieciséis niños respondieron
correctamente que 7 debía ir en el cuadro.
Como un reflejo de nuestra introducción a la noción de igualdad y del
signo igual a esta clase y otras, continuamos asombrados por el interés y
emoción que los niños traen a las discusiones. Lillie usa su metáfora del subibaja
con el entusiasmo de un niño listo para jugar en uno. Skip esta genuinamente
escandalizado de que alguien llene el cuadro de modo que la ecuación se lea 17
= 27. Esto no son los comentarios aburridos de niños esperando el recreo, sino
las contribuciones entusiastas de niños que están explorando un nuevo mundo de
pensamiento y comunicación matemática y que están disfrutando el poder de ese
nuevo conocimiento. Estos niños están desarrollando una comprensión de la
igualdad mientras aprenden sobre números y operaciones. Esta comprensión les
permitirá reflexionar sobre ecuaciones y fijará bases firmes para el aprendizaje
posterior del álgebra.

14. 12  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Acerca de las Matemáticas
Los niños deben entender que la igualdad es una relación que expresa la
idea de que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor. Es importante
para los niños comprender esta idea por dos razones: La primera, los niños
necesitan esta comprensión para pensar en relaciones expresadas mediante
expresiones numéricas. Por ejemplo, la expresión numérica 7 + 8 = 7 + 7 + 1,
expresa una relación matemática que es central para la aritmética. Cuando un
niño dice: “no recuerdo cuanto es 7 + 8, pero recuerdo que 7 mas 7 son 14 y 1
mas harían 15", el o ella está explicando una relación muy importante que es
expresada mediante una expresión numérica. Los niños que entienden la
igualdad tendrán una forma de representar dichas ideas aritméticas. Un niño que
tiene muchas oportunidades para representar y reflexionar sobre dichas
expresiones numéricas como 17 – 9 = 17 - 10 + 1 podría estar en capacidad de
usar el mismo principio matemático para resolver problemas más difíciles, tales
como 45 – 18, expresando 45 – 18 = 45 – 20 + 2. Este ejemplo muestra las
ventajas de integrar la enseñaza de la aritmética con la enseñanza del álgebra.
Haciendo eso, los profesores pueden ayudar a los niños a aumentar su
comprensión de la aritmética al tiempo que aprenden conceptos algebraicos.
Una segunda razón por la que la comprensión de la igualdad como una
relación es importante, es que la falta de dicha comprensión es una de los
mayores obstáculos con los que tropiezan los estudiantes cuando pasan de la
aritmética al álgebra (Kieran 1981; Matz 1982). Considere por ejemplo la
ecuación 4x + 27 = 87. ¿Cómo comienza resolver esta ecuación? Su primer paso
probablemente involucre restarle 27 a 87. ¿Por qué podemos hacer eso?
Podemos hacer eso porque restamos 27 de ambos lados de la ecuación. Sí el
signo igual significa una relación entre dos expresiones, tiene sentido que si dos
cantidades son iguales, entonces 27 menos de la primera cantidad iguale 27
menos de la segunda cantidad. Que pasa con los niños que creen que el signo
igual significa que deben hacer algo. ¿Qué oportunidad tienen de estar en
capacidad de entender la razón de que sustrayendo 27 de ambos lados de una
ecuación mantiene la relación de igualdad? Estos estudiantes sólo pueden tratar
de memorizar una serie de reglas para resolver ecuaciones. En virtud de que
dichas reglas no están arraigadas en comprensión, los estudiantes probablemente
las recordaran de forma incorrecta y no estarán en capacidad de aplicarlas
flexiblemente. Por estas razones, los niños deben comprender que la igualdad es
una relación más que una señal para hacer algo.

15. Lectura 2
Ecuaciones Radicales
¿Álgebra y Derechos Civiles?
Para que podamos, en nuestra condición de gente pobre y
oprimida, convertirnos en parte significativa de la sociedad, el
sistema bajo el que actualmente existimos debe cambiar
radicalmente. Esto significa que vamos a tener que aprender a
pensar en términos radicales. Utilizo el término radical en su
significado original – dirigir la atención a la causa fundamental
y comprenderla. Esto significa hacer frente a un sistema que no
se presta a sus necesidades e idear los medios por los cuales se
cambia ese sistema. Esto es más fácil decirlo que hacerlo. No
obstante, en el proceso de querer cambiar ese sistema, una de las
cosas que hay que enfrentar es cuánto tendríamos que hacer
para descubrir quiénes somos, de donde venimos y hacia dónde
vamos... Estoy diciendo lo que ustedes deben decir, también, que
para ver hacia donde vamos, no solo debemos recordar dónde
hemos estado, sino que debemos entender donde hemos estado.
13
Ella Baker
Las manifestaciones de protesta me hicieron despertar.
Hasta entonces, mi vida de negro se debatía en un conflicto. Yo era un
profesor de veintiséis años en Horace Mann, una escuela privada elitesca del
Bronx, que me movía de un lado al otro entre los mundos fuertemente
contrastantes del colegio universitario de Hamilton, la universidad de Harvard,
Horace Mann, y Harlem.
Las manifestaciones de desobediencia civil en las cuales la población
negra ocupaba asientos y se negaba a moverse me golpearon con fuerza, tanto en
el alma como en la mente. Estaba hipnotizado por las imágenes que veía casi
todos los días en las primeras páginas del New York Times - rostros negros
jóvenes y comprometidos, sentados en las barras donde se sirven almuerzos o
formando piquetes, abiertamente y con gran dignidad, desafiando la supremacía
de los blancos en el sur. Su apariencia reflejaba mi sentir.
Fue precisamente el movimiento de protesta lo que me condujo a
Mississippi por primera vez en 1960. Y ese viaje cambió mi vida. Volví a ese
estado al año siguiente y durante los cuatro años siguientes, me fui
transformando en la medida en que participé en el movimiento de registro de
votantes en ese estado. Las grandes campañas de protesta, identificadas así con

16. 14  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
el Dr. Martin Luther King, Jr., se arremolinaban a nuestro alrededor, inspirando
a inmensas muchedumbres en amplios espacios públicos. Sin embargo, junto
con los estudiantes del movimiento de protesta en Mississippi, me sumergí y me
comprometí con la tradición más antigua pero menos conocida de la
organización de la comunidad. A mi modo de ver, Ella Baker, quien ayudó a
fundar la organización del Dr. King, simboliza esa tradición organizativa
representada por un trabajo callado en lugares remotos y el compromiso de
acción sostenida de los organizadores en las comunidades locales.
Ella fue nuestra “fundi”. En Tanzania, en donde viví por un tiempo en
los años 70, la palabra fundi de origen suahili es un concepto que indica
transmitir el conocimiento a través del contacto directo con las personas que son
fundis -- artesanos e instructores expertos. Ella Baker, al igual que otros, fue
nuestra fundi en la tradición de organización de la comunidad. Partiendo de otra
tradición africana, siento la necesidad de mencionar los nombres de al menos
algunos de estos líderes adultos e importantes de los pueblos negros de origen
rural que dieron forma no solamente al movimiento de los derechos civiles de
Mississippi, sino también al movimiento de los derechos civiles de la región del
sur, en su totalidad: Amzie Moore, Fannie Lou Hamer, Hartman Turnbow, Irene
Johnson, Victoria Gray, Vernon Dahmer, Unita Blackwell, Henry Sias, Aylene
Quin, C. 0. Chinn, C. C. Bryant, Webb Owens, E. W. Steptoe, Annie Devine, y
Hazel Palmer. Su labor, que también me educó a mí y a otra gente joven, cambió
el contexto político de un estado, y de la nación. Ellos fueron lo que nosotros
somos ahora.
En esos días, por supuesto, el tema principal fue el derecho al voto, y el
problema era el acceso político. El registro de los votantes no era de ninguna
manera el único asunto por el que podíamos luchar, pero era un problema crucial
y urgente: La gente negra no tenía un control verdadero sobre sus vidas políticas,
y era el tiempo propicio para organizar un movimiento que permitiera cambiar
esta situación. Existía un consenso sólido sobre el tema de ganar el derecho al
voto, y el movimiento para el registro de votantes – especialmente en donde se
desarrolló en la franja negra del Sur, captó la imaginación de los
estadounidenses, especialmente de los afroamericanos. De este modo, por un
período corto de tiempo, como había un acuerdo entre todas las personas que
actuaban para cambiar a Mississippi, pudimos obtener los recursos y captar
gente de todo el país para que fueran a trabajar con nosotros en un programa
común para obtener el voto. Hubo un consenso que estableció las bases para la
estrategia y la acción.
Hoy quisiera hacer mis comentarios sobre el problema social más
urgente que afecta a la gente pobre y a la gente de color que es el acceso
económico. En el mundo actual, el acceso económico y la ciudadanía plena
dependen de manera decisiva de las habilidades matemáticas y científicas. Creo
que la ausencia de conocimientos matemáticos en comunidades urbanas y
rurales de este país es un problema tan urgente como lo fue la falta de votantes

17. Lectura 2  15
negros registrados en Mississippi en 1961. Creo además que podemos conseguir
la misma clase de consenso que tuvimos en los años 60 para hacer un esfuerzo
por enmendar esta situación. Y creo que para solucionar este problema se
requiere exactamente del tipo de organización de la comunidad que cambió el
Sur en los años 60. Este ha sido mi trabajo -- y el del Proyecto Álgebra – en los
últimos veinte años.
Sé cuán extraño puede sonar el decir que la instrucción de
conocimientos matemáticos -- y el álgebra en particular – es la llave para el
futuro de las comunidades privadas de derechos civiles, pero eso es lo que
pienso, y creo con todo mi corazón. Permítame decirle cómo y por qué.
CÓMO LLEGARON LAS MATEMÁTICAS A CONVERTIRSE EN EL
CAMPO DE BATALLA DE LOS DERECHOS CIVILES
Cuando vine por primera vez a Mississippi, la mayoría de la gente negra
que vivía en esa tierra rica en algodón ubicada en el Delta – en la que ellos
constituían la mayoría de la población - trabajaba como servidumbre en las
plantaciones. No tenía ningún control sobre su vida política, su vida económica,
ni su vida educativa. Dentro de la sociedad industrializada de Estados Unidos, se
había permitido el crecimiento de un microcosmos de servidumbre. El
movimiento de los derechos civiles utilizó el voto y el acceso político para
intentar acabar con esa situación.
Estamos desarrollando hoy en día comunidades de siervos similares
dentro de nuestras ciudades. Esto comenzó a hacerse manifiesto en la medida en
que el movimiento de los derechos civiles del sur obtenía algunos de sus logros
más importantes. En 1965, Los Ángeles y otras áreas urbanas hicieron explosión
por tan sólo un segundo y todos se preocuparon por el tema. Los que vivimos en
esas áreas hoy en día estamos viendo cómo implosionan todo el tiempo. La
violencia y la criminalidad hacen que la gente se devore entre sí. La mayor parte
de lo que se propone en respuesta son “paños calientes”- construir más cárceles,
poner más policías en la calle. Eso implica tratar de resolver el problema de la
forma errada.
Lo fundamental en estos momentos es la necesidad de acceso
económico; el proceso político se ha abierto -- no hay barreras formales al voto,
por ejemplo, pero el acceso económico, aprovechándose de las nuevas
tecnologías y de la oportunidad económica, exige tanto esfuerzo como la lucha
política que se requirió en los años 60.
Se ha producido un gran cambio tecnológico que ubica la necesidad de
instrucción matemática como uno de los pilares fundamentales de toda
actividad. Tomemos por ejemplo el caso de dos máquinas que fueron muy
significativas a mediados del siglo XX y cuánto ha cambiado la sociedad desde
que fueron creadas. .

18. 16  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
La plantación Hopson, a unas millas al sur de Clarksdale en la Carretera
49 (Highway 49), es una de las más grandes y más viejas de Mississippi. En
nuestro trabajo pasábamos a menudo por allí, en los años 60, sin estar
conscientes de su significado. En una parte de los terrenos de la plantación,
apenas a cierta distancia de la carretera principal a las orillas de un riachuelo y
cerca de una granja de cerdos, hay una vieja máquina oxidada, una de las
primeras máquinas algodoneras, usadas en el estado de Mississippi. En una señal
vieja situada en las cercanías se dice que el 2 de octubre de 1944, la plantación
de Hopson fue el sitio en el que se hizo la primera demostración de una máquina
algodonera de funcionamiento seguro. Ese día, una muchedumbre de casi tres
mil aparceros, terratenientes, y gente del pueblo se reunieron para mirar ocho
máquinas de rojo brillante recogiendo la cosecha en un campo de algodón.
Cada máquina recogió cerca de mil libras en una hora. Un bracero que
haga bien su trabajo podría recoger cerca de veinte a treinta libras de algodón
por hora. En ese primer día las máquinas recogieron todo el algodón que había
en el campo, unas sesenta y dos balas. En dólares y centavos de dólar, según los
cálculos notablemente exactos de Howell Hopson, el dueño de la plantación, el
costo de recolección del algodón con máquinas era de $5,26 mientras que el
costo de recogerlo a mano era de $39,41.
Luego, en una nota, Hopson hizo la comparación de la introducción de
la nueva máquina segadora con la introducción de la despepitadora de algodón
hace más de dos siglos. Pero Hopson restó importancia a las implicaciones
sociales de la máquina nueva. Al acelerar el procesamiento del algodón en rama,
la despepitadora de algodón había dado origen a la demanda de mano de obra
barata que fue cubierta por la esclavitud y servidumbre proveniente de África.
La aparcería dio continuidad a relaciones fundamentales de la esclavitud tales
como la mano de obra negra, el poder blanco. Aunque la esclavitud fue abolida,
en las décadas posteriores a la Guerra Civil todas las leyes y las autoridades
policiales del Estado estaban orientadas a asegurar que la vida económica de los
negros se restringiera al trabajo en los campos de algodón; y a que no se previera
ninguna otra posibilidad. La segregación en este sentido de la dependencia en la
mano de obra negra era una cuestión de supervivencia económica para los
blancos en estados como Mississippi. Con la cosechadora mecánica de algodón,
esta realidad cambió. Y este hecho no solamente comenzaría lentamente a
cambiar la economía de Mississippi, sino también su política. Dicho de una
manera simple, el trabajo manual negro llegó a ser cada vez más innecesario. La
cosechadora mecánica de algodón fue quizás la razón más importante por la que
el Consejo de Ciudadanos Blancos (White Citizens Council) pudo impulsar la
“exportación” de gente negra fuera del estado después de la decisión del
Tribunal Supremo de 1954 con muy poca objeción de parte de los grandes
dueños de plantaciones. La necesidad económica dejó de ser un factor limitante
frente a la virulencia del racismo blanco.

19. Lectura 2  17
La máquina recolectora de algodón era parte de una mayor
transformación tecnológica que afectaría la nación entera. El año antes de que el
algodón fuera recogido por primera vez con máquinas en Mississippi, en la
Universidad de Pensilvana el ejército de Estados Unidos contrató a algunos de
los mejores ingenieros de la escuela para desarrollar una máquina electrónica
con el fin de calcular las configuraciones usadas por las armas de artillería para
mejorar la precisión. El resultado fue la creación del Integrador y Computador
Electrónico Numérico (ENIAC, según sus siglas en inglés) que fue la primera
computadora programable del mundo. Era una máquina monstruosa, pesaba
treinta toneladas, medía diez pies de alto y ochenta pies de ancho y contaba con
más de dieciocho mil tubos de vacío o tubos electrónicos reemplazables. Aunque
tenía mucho menos capacidad que las computadoras portátiles típica de hoy en
día, ENIAC marcó el comienzo de la era de la computadora. Así como la
automatización y la cosechadora mecánica de algodón cambiaban los campos de
algodón y la agricultura del sur del país, igualmente, de manera inexorable, la
computadora llevó a que dejáramos de lado la línea de montaje al promover un
cambio en el trabajo que dejó de basarse en la tecnología basada en la industria
para pasar a la tecnología basada en las computadoras. Tanto en el campo como
en la fábrica, el Siglo XXI estaba siendo desarraigado.
Con la unión de la ciencia, la “alta” tecnología y el comercio, la
producción y la economía pasaron a ser dominadas por algo muy diferente a las
industrias de chimenea que surgieron en el siglo pasado. Entre los frutos de la
nueva tecnología estuvieron la fibra óptica, las computadoras y la electrónica,
los polímeros, “la investigación y desarrollo”, y una gama de tecnologías de la
información. Casi todo el que conduce un auto hoy en día conduce una
computadora rodante. Casi todas las personas que manejan un auto hoy en día lo
hacen conduciendo una computadora sobre ruedas Los fabricantes de autos de
Detroit ahora invierten más dinero en la instalación de computadoras y
microprocesadores dentro de los autos que en acero. En zonas industriales como
el área de Chicago, las plantas de acero y los mataderos cerraron o comenzaron a
trasladarse a otras áreas aproximadamente en el mismo momento en que la gente
comenzó a salir del Sur debido a la mecanización. El corredor industrial de las
grandes ciudades fabriles que se encuentran entre los Grandes Lagos y el
Atlántico que una vez impulsaron la economía adquirió un nuevo nombre: el
cinturón oxidado.
En vista de que ya no era tan necesario contratar a obreros para trabajar
en las líneas de montaje, aumentó la necesidad de contratar a lo que los
economistas han denominado “trabajadores del conocimiento”. Estos
trabajadores tienen habilidades técnicas relacionadas con las computadoras y
con la maquinaria automatizada, y habilidades interpersonales tales como la
capacidad de comunicarse con eficacia y de trabajar como parte de un equipo.
La necesidad de tales trabajadores continúa incrementándose al igual que sus
sueldos. La Asociación Estadounidense de Empresas Electrónicas (American

20. 18  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Electronics Association, AEA) define a los trabajadores de alta tecnología como
aquellos que trabajan con computadoras, equipos electrónicos de consumo,
equipos de comunicaciones, componentes electrónicos, semiconductores,
electrónica industrial, fotónica, servicios del software, procesamiento de datos,
equipos electrónicos para la defensa. Esta industria pagó un total de $280 mil
millones en salarios entre 1997 y 1999 según la AEA. Voceros de la Asociación
señalaron que durante ese mismo período, los trabajadores de alta tecnología
ganaron 82 por ciento más de lo percibido por aquellos que trabajaban en otras
industrias.
El sesenta por ciento de los nuevos empleos requerirá habilidades que
habrán desarrollado sólo 22 por ciento de los jóvenes que se están incorporando
al mercado de trabajo. Estos trabajos requieren el uso de computadoras y en
ellos se paga alrededor de un 15 por ciento más que los trabajos que no lo
requieren. Y los trabajos que no requieren ese tipo de habilidades están
disminuyendo. Hoy en día, según informes del Departamento del Trabajo de
EEUU, 70 por ciento de todos los trabajos requiere la instrucción de la
tecnología; para el año 2010 todos los trabajos requerirán habilidades técnicas
significativas. Y si eso le parece inimaginable, considere este dato: el
Departamento del Trabajo afirma que el 80 por ciento de esos trabajos futuros
aún no existen. Sin embargo, ya existe una demanda para contratar a
trabajadores de alta tecnología. “Si vamos a hablar de una nube negra”, señaló a
un reportero el anterior presidente de AEA, Ed Bersoff, “tendríamos que decir
que de continuar la tendencia [y la industria tecnológica sigue creciendo],
debemos encontrar a un mayor número de trabajadores.” Se espera que el año
próximo, 1,3 millones de empleos en el sector de alta tecnología estén vacantes
y se prevé que la demanda de trabajadores con habilidades de alta tecnología se
duplique para el 2006.
Estas tendencias imponen nuevos requisitos en materia educativa y
resaltan un problema que no es nuevo. “El factor más importante que afecta la
producción de científicos, a largo plazo, es la terrible insuficiencia de nuestros
programas de educación de ciencia y matemáticas, a nivel de educación primaria
y secundaria”, según afirmó al Washington Post James J. Duderstadt, presidente
de la Fundación Nacional de la Ciencia. La función tradicional de la educación
matemática era identificar jóvenes brillantes con potencial en matemáticas y
encauzarlos hacia programas de matemáticas en los campus universitarios. El
proceso era casi autoselectivo. Antes de que pudieran sentirse atraídos por algo
interesante en el campo de las matemáticas, los estudiantes tenían que absorber
mucha matemáticas abstracta, a diferencia de, por ejemplo, los estudios sociales
o incluso de inglés, que en las manos de profesores creativos se podrían
presentar con eficacia y de manera interesante a través de la literatura, historias,
y acontecimientos. Estas materias no tenían que ser aburridas; mientras que se
esperaba que las matemáticas sí lo fueran.

21. Lectura 2  19
Y en la propia cultura, en nuestra cultura, la falta de conocimientos en
matemáticas es aceptable del mismo modo que es inaceptable el
desconocimiento de la lectura y la escritura. Se acepta que los estudiantes
reprueben matemáticas pero no en inglés. Los padres por lo general están atentos
a lo que ocurre con sus hijos si estos tienen problemas con el ensayo que deben
entregar al final del trimestre para su clase de inglés, o con el informe del libro
que le exigen, para cerciorarse de que lo estén escribiendo, y verificar la
ortografía y la gramática. Pero si un hijo está lidiando con una ecuación mientras
hace su tarea de álgebra, lo más probable es que su padre lo mire sobre su
hombro, arrugue la frente mostrando perplejidad, y luego diga algo como “Yo
nunca logré entender ese problema; haz lo mejor que puedas y trata de no
equivocarte.” Esto es un problema viejo. En efecto, la instrucción de la
matemáticas va descartando a los estudiantes ignorantes y los escogidos
terminan perteneciendo a una especie de sacerdocio formado por maestros de los
misteriosos secretos de las matemáticas gracias a lo que pareciera ser algún
talento o magia otorgado por Dios. Cuarenta por ciento de estudiantes que toman
cursos de cálculo para estudiantes del primer año en las universidades
estadounidenses no aprueban, Sin embargo, el no ser “bueno” en matemáticas de
ninguna manera implica inferioridad, más bien confirma que eres simplemente
como la mayoría de los estudiantes.
La relación de amor y odio que la gente negra tiene con la tecnología,
así como la presencia de escuelas pobres concentradas en comunidades negras
pobres incrementan el problema. Aunque la innovación tecnológica tiene raíces
profundas en la historia general del pueblo africano, tomemos por caso el
antiguo Egipto y algunos aparatos como el cigoñal; hay todo un historial de
inventores afroamericanos; incluso – según algunos - la idea de la despepitadora
de algodón fue esbozada por primera vez por un esclavo africano - en la mayor
parte de los últimos quinientos años la relación de la población negra con la
tecnología ha sido destructiva, y se ha convertido en una destrucción de
aspiraciones. La brújula condujo a los exploradores portugueses a África, las
armas de fuego ayudaron a conquistar el continente. El comercio de esclavos por
el Atlántico fue facilitado por la innovación en el diseño de las naves. Las
máquinas desplazaron al hombre que trabajaba en el campo, por lo que éstos se
fueron hacia el norte, y sus hijos fueron desplazados por una maquinaria de alta
tecnología más nueva.
Obviamente es una simplificación exagerada decir que la opresión negra
existe debido a la tecnología, por la invención de la carabela de tres mástiles, la
despepitadora, la máquina recolectora de algodón o la computadora. O decir que
esos zapatos deportivos de alta tecnología, anunciados por los jugadores de
baloncesto, son la causa de la delincuencia juvenil. Es necesario comenzar a
entender la tecnología; la gente negra no lo ha hecho así por lo que para la
mayoría es un problema. En los barrios marginales o en los pueblos rurales del
sur no hay mejoras en los garajes, con la ambición de diseñar algo mejor que

22. 20  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Microsoft Windows. No hay ningún equivalente en programación por
computadora a las prácticas que se realizan todos los días en las canchas de
baloncesto o al mejoramiento diario del estilo rap por grupos de adolescentes. Es
incontable el número de jóvenes negros que desean convertirse en el próximo
Michael Jordan, o en Whitney Houston, o en Master P. Pocos tienen como meta
ser el próximo Steve Jobs u otro George Washington Carver. Los negros
conforman quizás 15 por ciento de la población de este país. En 1995,
obtuvieron el 1,8 por ciento de los doctorados en informática; 2,1 por ciento en
ingeniería; 1,5 por ciento en ciencias físicas; y 0,6 por ciento en matemáticas.
Oí recientemente el siguiente comentario que me hizo una mujer que
enseña matemáticas en la Universidad de Arkansas en Monticello. Ella me
comentaba que cerca del 80 por ciento de los estudiantes de primer año deben
tomar cursos de recuperación en matemáticas, en los cuales no pueden conseguir
créditos en la universidad. Otra persona, el jefe de un centro de asesoría
académica para estudiantes de las minorías en la Universidad de Kentucky en
Louisville, me informó que aproximadamente 90 por ciento de los estudiantes
pertenecientes a las minorías que ingresan a ese centro de estudios tuvieron que
tomar clases de recuperación de álgebra durante su primer año de estudios,
materia en la cual no consiguieron créditos. Un miembro del cuerpo docente de
la carrera de física experimental en Rutgers lamentaba recientemente la ausencia
de los estudiantes de las minorías en sus clases. Él comentaba: “Están en toda la
universidad, en las clases de recuperación”.
La tecnología industrial creó las escuelas que educaban a una élite para
que dirigiera la sociedad, mientras que el resto se preparara para el trabajo en las
fábricas realizando tareas repetitivas que imitaban lo que se hacía en las fábricas.
La nueva tecnología exige nuevos conocimientos: mayores destrezas
matemáticas para todos, tanto en las zonas urbanas como en las rurales. En el
almacén de un servicio de envíos del delta de Mississippi , que es la empresa que
genera más empleos en el área, por ejemplo, todos los montacargas tienen
computadoras. La compañía necesita trabajadores que entienden esas
computadoras y puedan decirles qué hacer para organizar mejor el trabajo.
La falta de conocimientos en matemáticas no es exclusiva de la
población negra como lo fue la negativa a otorgarle el derecho a voto en
Mississippi. Sin embargo, afecta de una manera mucho más intensa a la
población negra y a otros grupos minoritarios, convirtiéndolos en los siervos
designados de la era de la información, así como las personas con la que
trabajamos en los años 60 en las plantaciones eran los siervos de Mississippi.
Esta situación es apremiante. Piensen en las prisiones, la industria del
sector público que registra actualmente la tasa de más rápido crecimiento en este
país. Las filas de presos vienen creciendo cada año lo suficiente como para
llenar el estadio de los Yankees de Nueva York hasta desbordarlo. Una persona
que nazca este año tendrá una oportunidad en veinte de vivir una parte de su

23. Lectura 2  21
vida en la cárcel...a menos que sea negro, porque de ser así tendría una
oportunidad en cuatro. En su ensayo sobre “niños encarcelados”, los abogados
de Washington, D.C., José B. Tulman y Maria G. Hynes, tocan el tema de los
jóvenes en prisión: “en mayor porcentaje se trata de niños pobres, y de niños de
color.” Citan una relación entre la capacidad de leer y escribir y la prisión así
como entre la pobreza y la prisión. “Un alto porcentaje de jóvenes que se
encuentran recluidos en retenes y de adultos presos en penitenciarías son
personas con muy poca educación, y las habilidades de lecto-escritura en estas
poblaciones son muy bajas”.
Así pues hoy en día, como en los tiempos cuando el Partido Demócrata
por la Libertad de Mississippi (Mississippi Freedom Democratic Party, MFDP)
desafió a los demócratas de Mississippi en Atlantic City en 1964, siguen
planteándose la misma interrogante: ¿Cómo la gente que se encuentra en la parte
inferior de la pirámide social logrará salir de ese marasmo? En los años 60, en
Mississippi, eran los aparceros. En nuestros tiempos, a lo largo de todo el país,
son los estudiantes negros, latinos, y blancos pobres los que se encuentran
atrapados en el fondo con las prisiones haciendo las veces de plantaciones.
¿Tendremos una sociedad donde solamente un pequeño grupo de gente
esté preparado para el futuro, donde haya una gran brecha de conocimientos?
¿Cómo se estabiliza una sociedad como esa?
LAS MATEMÁTICAS COMO INSTRUMENTO DE LIBERACIÓN
La instrucción matemática y el acceso económico son la manera de dar
esperanza a las jóvenes generaciones. La lección que extraigo de la historia y de
las estadísticas que acabo de presentar es que la idea de ciudadanía requiere
ahora no solamente la instrucción en lectura y escritura sino la instrucción en
matemáticas y ciencia. Y la manera de garantizar esta instrucción necesaria es a
través de la educación concebida de una manera mucho más amplia que como
sucede en las aulas de clase.
Las nuevas tecnologías procesan la información a una velocidad y
cantidades sin precedentes, filtrándose en todas las partes no previstas de las
disposiciones económicas de la sociedad (de hecho, del mundo) -- piensen en la
relativa rapidez con la que las computadoras se han convertido en algo personal,
popular, y económico, creando de esta manera una demanda de trabajadores
competentes que entienden estas nuevas herramientas tecnológicas. “Las
empresas” se han visto forzadas a ejercer presión sobre la “educación” para
producir estudiantes con la comprensión y competencias indispensables.
Pero este cambio tecnológico y la atención que genera también crea un
cierto espacio estrecho para aquellos preocupados por otras cosas diferentes a las
necesidades de las corporaciones. Dentro de este estrecho espacio, el Proyecto
Álgebra ha delimitado la meta de establecer la instrucción matemática para la
libertad y la ciudadanía.

24. 22  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
¿Y por qué concentrarnos en el álgebra, entre todas las demás
disciplinas?
La computadora es, por supuesto, el símbolo del gran cambio
tecnológico que se ha producido desde la II Guerra Mundial. Todo el mundo
sabe que se está haciendo algo que implica el uso de computadoras; el correo
electrónico, Internet, los bits de memoria, y los bytes forman parte del uso
común. En el tiempo transcurrido entre ENIAC y Windows 2000, la
computadora se ha convertido en una fuerza cultural así como en un instrumento
de trabajo. (El único equivalente de un impacto similar en el que puedo pensar
es el automóvil). Estrictamente hablando, “la cultura” no es visible; lo que
vemos son las maneras como se manifiesta la cultura en sí. Todo el mundo está
dispuesto a aceptar que lo qué está accionando estas computadoras, hoy en día
imprescindibles, es el lenguaje matemático, simbólico. Así pues, mientras que la
manifestación visible del cambio tecnológico es la computadora, la cultura
oculta tras las computadoras es la matemática.
Eso sienta las bases; así se tiene algo que se puede organizar cuando el
estudiante esta preocupado por la instrucción matemática.
Al álgebra se le asignó un cierto papel y un cierto lugar en el sistema
educativo. Los estudiantes aprendieron cómo manipular las representaciones
simbólicas abstractas para los conceptos matemáticos fundamentales. Aquí es
donde aparece la historia, en la que se introduce una tecnología que coloca las
representaciones simbólicas en un lugar preponderante. Estas representaciones
son las herramientas para controlar la tecnología, y con el fin de utilizar esta
tecnología para organizar el trabajo hay que entender estas representaciones
simbólicas y el lugar que la sociedad ha asignado para que la gente joven
aprenda este simbolismo -esto es el álgebra. Así pues, ahora el álgebra se
convierte en una enorme barrera.
Antes, en el viejo sistema, el álgebra era una barrera en el sentido de que
junto con los idiomas extranjeros, actuaba como una de las puertas a través de la
cual se entraba a las instituciones de educación superior. Si los estudiantes no
estudiaban álgebra tenían que tomar un idioma y hacerlo bien. El álgebra no
podría detener su ingreso a la universidad – no estudiar álgebra podría significar
un obstáculo pero no podría detener el ingreso del estudiante. Y era aceptable
estar en la universidad sin tener capacidad para las matemáticas. La gente se
jactaba como el padre del que hablé anteriormente: “Nunca podría hacer ese
problema” dijeron en el campus.
Pero esos días quedaron en el pasado. Ya no es tan chévere ni está de
moda ser un ignorante total de matemáticas. La generación anterior podía salir
triunfante con esas carencias, pero la generación más joven que surge ahora no
puede; no si van a funcionar en la sociedad, si quieren tener viabilidad
económica, si quieren estar en posición de participar de manera significativa, y
de tener algo que decir en la toma de decisiones que afecta sus vidas. No pueden

25. Lectura 2  23
darse el lujo de ser totalmente ignorantes de estas herramientas e idiomas
tecnológicos.
De esta manera, el álgebra, que en un momento dado fuera el guardián
que impedía exclusivamente la entrada a las matemáticas superiores y el espíritu
religioso que permitía el acceso a ella, es ahora el guardián de la ciudadanía; y la
gente que no la tiene es similar a las personas que no podían leer y escribir en la
era industrial. Pero debido a la manera como se organizó el acceso al aprendizaje
del álgebra en la era industrial, su lugar en la sociedad bajo la vieja jurisdicción,
se ha convertido no en una barrera para el ingreso a la universidad, sino en una
barrera a la ciudadanía. Esta es la importancia del álgebra que ha surgido con la
nueva tecnología superior. No tenía que ser el álgebra.; esa es la decisión que
tomó la comunidad matemática con los años. En Francia, la geometría es la
fuerza impulsora de la educación matemática y tecnológica. Así pues, no hay
nada que diga que tiene que ser el álgebra. No hay nada que diga que tiene que
ser la geometría. Podría ser una mezcla de una serie de cosas -- y algunas
personas argumentarían que debería ser. Hay educadores y personas en general
que están impulsando una reforma de las matemáticas que desea hacerle una
mezcla, pero ellos están relacionándose con profesores y padres que entienden
que la geometría es una materia, y el álgebra otra. No entienden que haya
matemáticas unificadas. Por esta razón, no creo que se produzca un cambio
cultural en torno a esto muy pronto. Por ahora, tendrá que ser el álgebra.
LA ORGANIZACIÓN DEL ÁLGEBRA: LA NECESIDAD DE HACER UNA
EXIGENCIA
El Proyecto Álgebra se fundamenta en la idea de que la lucha en curso
por la ciudadanía y la igualdad para las minorías ahora está ligada a un problema
como lo es la instrucción en matemáticas y ciencias. . Esta idea determina una
serie de estrategias y opciones sobre la organización, la difusión y el contenido
del programa de estudios. Es importante aclarar que incluso el desarrollo de un
nuevo y excelente plan de estudios - un verdadero avance - no nos haría felices
si no tratara profundamente y seriamente el aspecto del acceso a la instrucción
para todo el mundo. Esa es la fuerza que impulsa el proyecto. El Proyecto
Álgebra no se trata de una simple transferencia de un conjunto de conocimientos
a los niños. Se trata de utilizar ese conocimiento como una herramienta para un
fin mucho más grande.
Una de las repercusiones de esta posición ha sido que no hemos
invertido una parte importante de nuestro tiempo en el desarrollo de un plan o
programa de estudios completo para ningún nivel. Lo que hemos hecho es tomar
lo que pensamos que era una intervención mínima para tratar de maximizar sus
efectos. En ese proceso comenzamos por definir lo que denominamos un
“piso’‘- una base, una meta o estándar aceptable para el componente matemático
de la instrucción de la matemática y las ciencias a nivel de la escuela media. El
piso es éste: hay que tener a todos los estudiantes de la escuela media listos para

26. 24  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
hacer la secuencia matemática de la preparatoria universitaria cuando los
estudiantes llegan a la escuela secundaria.
Hay dos cosas que aclarar sobre este piso. Primero, es el piso, no el
techo. No estamos intentando poner restricciones o límites sobre lo que podría
aprender cualquier grupo de niños. En segundo lugar, en muchas maneras el
programa de estudios en matemáticas de la preparatoria universitaria es un
blanco móvil. Difiere de lugar a lugar, y está cambiando. Entonces, para cada
escuela, hay un blanco local. Mi metáfora es que “la gente está corriendo para
tomar el autobús”. El autobús se está moviendo, y la persona no puede
alcanzarlo desde una posición detenida. En la medida en que su velocidad
comienza a acercarlo a la velocidad del autobús, la persona tiene la posibilidad
de saltar.
En términos del plan de estudios, esto significa que para cada estudiante
de la escuela media hay un plan de estudios estándar, que es la secuencia de la
preparatoria universitaria en la educación media.. Lo que uno desea para los
estudiantes del Proyecto Álgebra es esto: independientemente del sistema que
esté vigente, ellos se comprometerán en el proyecto. En su sistema escolar,
independientemente de lo que esté vigente como programa de estudios estándar
de la preparatoria universitaria, uno querrá que los estudiantes se comprometan
con ese programa. Sin embargo, es importante que cualquier otra cosa que venga
a suplir o a sustituir el plan de estudios tiene que ser una preparación auténtica
para la universidad. No puede ser algo que se ponga en marcha para continuar
una tradición de vías separadas para algunos estudiantes.
No está claro que la frase “programa estándar de matemáticas en una
preparatoria universitaria” signifique algo coherente en términos de contenido
matemático. Sin embargo, la expresión significa, ciertamente, algo en relación a
lo que las instituciones universitarias van a aceptar como requisitos de admisión.
Debe significar, como mínimo, que cuando un estudiante termine ese programa
pasa a la universidad preparado para estudiar matemáticas a nivel universitario.
Ese es otro nivel por el que tenemos que preocuparnos, aunque nuestro trabajo
tiene que ver, en gran parte, con las escuelas de educación media. Nuestro
objetivo es cambiar la situación que existe actualmente, en la que un gran
porcentaje de estudiantes de las minorías que aprueban la escuela secundaria y
logran ser admitidos en una universidad tiene que tomar cursos de recuperación
en matemáticas para ingresar a una institución en la que puedan incluso
conseguir cursos de matemáticas con créditos universitarios.
En consecuencia, una parte de los estándares de instrucción elemental,
como lo es la base de conocimientos de todos los estudiantes, debe ser ésta:
cuando un alumno sale de la educación media debe estar listo para abordar en la
escuela secundaria la secuencia a realizar en la preparatoria universitaria.
Aunque es una meta móvil está definida, por lo que debe ser vista como otro
nivel: cuando un estudiante sale de la escuela secundaria, debe estar listo para

27. Lectura 2  25
emprender el programa de estudios universitario en matemáticas y ciencias, para
obtener todos los créditos universitarios.
Consideremos aquí el papel de los matemáticos. No hay ningún
elemento en la capacitación de los matemáticos que los prepare para conducir un
esfuerzo instruccional como ese. Sin embargo, el esfuerzo instruccional
realmente no puede tener éxito a menos que logre la participación activa de una
cierta masa crítica de la comunidad matemática. La interrogante sobre cómo
aprendemos a trabajar en diversas áreas está sin resolver. Esas áreas son amplias
y complicadas. Incluyen el plan de estudios, la filosofía instruccional, escuelas,
sistemas escolares, y aulas de clase individuales. Las comunidades y sus
procesos de cambio social también deben estar involucradas de una manera
fundamental, y en un sentido amplio, las políticas nacionales y locales. Para
trabajar realmente en todas estas áreas se requerirá que muchas personas adopten
una perspectiva más holística que la que hayan tenido anteriormente.
La organización en torno al álgebra tiene el potencial de abrir una puerta
que estaba cerrada. La instrucción matemática y el acceso económico son el
centro de atención del Proyecto Álgebra con el fin de brindar esperanzas a la
generación joven. Esto constituye un nuevo problema para los educadores. Es un
nuevo problema para el país. El papel que tradicionalmente cumplía la
educación en ciencias y matemáticas ha sido capacitar a una élite, crear un
apostolado, encontrar a algunos estudiantes brillantes y llevarlos a la
investigación universitaria. Esto no ha sido un esfuerzo de la instrucción.
Estamos poniendo sobre el tapete la instrucción, y más específicamente la
instrucción matemática. En lugar de eliminar las matemáticas avanzadas a todos
los alumnos menos a los mejores estudiantes, las escuelas deben comprometer a
todo aquel que obtiene esta instrucción así como han comprometido a todo aquel
que ha recibido una instrucción de lecto-escritura.
Se trata de una lucha cultural, la creación de una cultura de instrucción
matemática que va a funcionar dentro de la comunidad negra como lo hace la
cultura de la iglesia. Y esto quiere decir que las matemáticas no sólo estarán
basadas en la escuela, sino que estarán tan disponibles como la lectura y la
escritura. Los niños ahora asumen rutinariamente que alguien podrá explicarles
alguna palabra, o que alguien les enseñará a leer una oración si no la entienden.
También toman como cosa corriente que nadie pueda ayudarlos con sus estudios
superiores de matemáticas. Si proyectamos varias generaciones hacia el futuro
podremos ver un joven que ha crecido en una comunidad negra que ha podido
encontrar fácilmente en su propio vecindario las respuestas a sus preguntas sobre
matemáticas.
Es un poco como la guerra de guerrillas. Uno avanza. Retrocede. Mira el
lugar en el que se encuentra. Vuelve a avanzar. Busca una oportunidad. Busca
un punto débil, intentando descubrir dónde puede penetrar. Y trabaja a favor y

28. 26  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
en contra de varias estructuras. Está dentro de ellas, pero trabaja contra ellas en
varios niveles.
En varios sitios del Proyecto Álgebra los estudiantes han formado el
Proyecto de la Gente Joven (Young People´s Project - YPP). Lo bueno del YPP
radica en que sus miembros están en las escuelas, pero organizacionalmente no
es parte del sistema escolar. Los miembros de YPP han abierto su propio espacio
en las escuelas, lo que les permite funcionar y conseguir una cierta presencia,
una cierta visibilidad allí, una cierta legitimidad. Conseguir un espacio en la
escuela es un paso grande para la gente joven. No va a ser fácil desalojarlos.
Mucha gente verá nuestra visión como algo imposible. Hay un aspecto
en el cual la mayoría de las personas no va a creer ni aceptar nada de este
programa hasta que se enfrenten al producto de tal esfuerzo: estudiantes que
salen de las aulas de clase armados con una nueva comprensión de las
matemáticas y con una nueva comprensión de sí mismos como líderes,
participantes, y estudiantes. Como he dicho anteriormente, en los años 60 todos
veían a los aparceros como apáticos hasta que logramos que exigieran su
derecho a votar. Eso finalmente llamó la atención. Aquí, donde los niños están
cayendo en masa hasta perderse de vista en grietas o abismos, convirtiéndose en
pasto para las cárceles, la gente dice que no desean aprender. Los únicos que
pueden disipar esa idea son los propios niños. Ellos, como la señora Hamer, la
señora Devine, E.W. Steptoe, y otros que cambiaron el rostro político de
Mississippi en los años 60, tienen que exigir lo que todo el mundo dice que no
quiere.
ACERCARSE AL PASADO: LAS RAÍCES DE NUESTRO MOVIMIENTO
El Proyecto Álgebra es antes que nada un proyecto de organización -- un
proyecto para organizar la comunidad más que un programa tradicional de
reforma escolar. Toma su inspiración y sus métodos de la tradición organizativa
del movimiento de los derechos civiles. Al igual que los derechos civiles, el
Proyecto Álgebra es un proceso, no un acontecimiento.
Hay dos aspectos claves de la tradición organizativa de Mississippi que
son la base del Proyecto Álgebra: la posición central que tienen las familias en el
trabajo de organización, y la organización en el contexto de la comunidad en la
que uno vive y trabaja. Como trabajadores de los derechos civiles en
Mississippi, fuimos absorbidos para formar familias mientras nos mudábamos de
un lugar a otro con apenas un dólar en nuestros bolsillos, y esta credencial –la de
ser uno de los niños de la comunidad – nos negaba los esfuerzos de la estructura
de poder blanco para etiquetarnos como “agitadores externos”. De esta manera
podíamos hundir nuestras raíces profundas en la comunidad, agrandando y
consolidando los nexos en y entre diversas comunidades, absorbiendo en nuestra
conciencia las memorias de la comunidad de “dónde hemos estado”,
forzándonos a comprender nuestra propia experiencia colectiva.

29. Lectura 2  27
Estamos luchando para enmarcar algunas preguntas importantes: ¿Hay
una manera de hablar hoy con la gente joven como lo hicieron Amzie Moore y
Ella Baker con nosotros en los años 60? ¿Hay un consenso para que los jóvenes
negros, latinos, y los blancos pobres tengan acceso a lo que impulsará ese
esfuerzo de instrucción? ¿Qué precio deben pagar para emprender tal lucha?
Al igual que Ella Baker, creemos en esta gente joven, que tiene la
energía, el valor, la esperanza de idear medios para cambiar su condición.
Aunque se expresa mucha preocupación por la educación de la gente joven
afroamericana hoy en día, con frecuencia me preguntan por qué he pasado a dar
clases en la escuela y a diseñar planes de estudios – enseñar en la educación
media y en la preparatoria, no menos que ello. Hay algo de crítica en esta
interrogante, la sugerencia de que estoy perdiendo mi tiempo, de que he
abandonado los esfuerzos en procura del cambio social verdadero, significativo.
Después de todo, al final, este trabajo “simplemente” conduce a los jóvenes a
encontrar un lugar cómodo en el sistema con un buen trabajo. No hay nada
“radical” en esto, me dicen. No se entiende lo que significa realmente “radical”,
por lo que podría ser útil repetir lo que Ella Baker postula como necesario para
la lucha de la gente pobre y oprimida: “Esto significa enfrentar un sistema que
no se ajusta a sus necesidades e idear medios a través de los cuales se cambia ese
sistema”
La palabra clave aquí es usted. Nuestros esfuerzos con la población
objetivo son los que definen la naturaleza radical del Proyecto Álgebra, y no las
especificidades del programa. Para ser mucho más claro, incluso el desarrollo de
un nuevo programa de estudios de excelente calidad – un verdadero avance -- no
nos haría felices si no le otorga un poder profundo y serio a la población
objetivo para exigir el acceso a la educación para todos. Eso es lo que está
impulsando el proyecto. Lo que es radical en lo que respecta al Proyecto Álgebra
son los estudiantes a los que estamos intentando llegar y la gente con la que
trabajamos para llevar a cabo un amplio esfuerzo de enseñanza de las
matemáticas -- los estudiantes negros y pobres y las comunidades en las que
viven, los generalmente excluidos. Las palabras de Ella en definitiva quieren
decir, bien sea para el derecho al voto o para el acceso económico, “Ustedes que
son pobres y oprimidos: ustedes deben, ustedes necesitan hacer cambios.
Ustedes deben moldear una lucha”. La gente joven que encuentra su voz en vez
de esperar que hablen en nombre de ellos constituye una parte crucial del
proceso. Tanto entonces como ahora se espera que los designados como siervos
se mantengan paralizados, incapaces de tomar una acción e incapaces de
expresar una exigencia, por lo que sus vidas dependen de la buena voluntad y las
buenas obras de otros. Creemos que el tipo de cambio sistémico necesario para
preparar a nuestra gente joven para las exigencias del siglo XXI requiere que la
gente joven tome las riendas de ese cambio.
Éstas son ideas radicales así como fue radical la manera como hace
cuarenta años se construyera el MFDP para que los aparceros y los jornaleros

30. 28  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
pudieran expresarse. Lo que la hizo radical fue el trabajo, el esfuerzo por
estimular a este grupo a conferirse poder a sí mismo. Esta fue la gran lección de
Ella Baker, y aún un excelente ejemplo para nosotros hoy en día: que la
población objetivo también debe plantear sus demandas en lugar de hacer que
sus necesidades sean defendidas por reformadores “radicales” bien
intencionados. Usted puede decir que esto radicaliza al radicalismo. Esto fue lo
que aprendimos en Mississippi, que si logramos que la gente que está en la parte
inferior haga exigencias, primero a sí mismo, luego al sistema, se podrán hacer
algunos de los cambios más importantes. Ellos tienen que encontrar sus voces.
Independientemente de cuán grande fue Martin Luther, Jr., él no pudo ir y
desafiar la posición de los demócratas de Mississippi en Atlantic City. Él pudo
abogar por ellos y pudo apoyarlos, pero no pudo liderar el desafío. Los únicos
que podían hacerlo eran las personas de Mississippi. Y la gente no organizará
ese tipo de esfuerzo seminal en torno a la agenda de alguien más. Es algo que
debe ser internalizado. Se trata de nuestro programa.
Hubo personas que abogaron por los derechos civiles mucho antes de
que las secretarias de campo de SNCC (Student Non-Violent Coordinating
Committee, comité estudiantil de coordinación para la no violencia) y de CORE
(Congress Of Racial Equality – Congreso para la Igualdad Racial) llegaran a
Mississippi. De hecho, la decisión del Tribunal Supremo de 1954 fue una
victoria importante ganada por personas que abogaban por los derechos civiles.
Y quizás porque fue una decisión ganada fundamentalmente por los que
abogaban por los derechos civiles, procedió “con toda velocidad deliberada”.
Nadie discute la importancia de tales victorias, pero, no obstante, cuando los
aparceros, los jornaleros y los trabajadores domésticos encontraron su voz, se
alzaron, y exigieron un cambio, fue cuando culminó el juego político de
Mississippi. Cuándo esta gente, gente por la que otros habían hablado y abogado
tradicionalmente, se alzó y dijo: “Exigimos el derecho a votar”, refutando a
través de sus voces y sus acciones la idea de que no estaban interesados en hacer
eso, no pudieron ser rechazados, y de esta manera llegó a su fin el juego de
opresión que duró un siglo a través de la negación del derecho político.
Para entender el Proyecto Álgebra se debe comenzar con la idea de
nuestra gente joven considerada como objetivo, que encuentra su voz como
aparceros y jornaleros, criadas, granjeros, y trabajadores de todo tipo que
encontraron su propia voz en los años 60. Por supuesto hay diferencias entre los
años 60 y lo que el Proyecto está haciendo actualmente. Por una parte, el período
transcurrido entre el inicio de las manifestaciones de protesta caracterizadas por
la toma pacífica de ciertos lugares y el desafío por parte del MFDP en Atlantic
City fue sumamente breve, y estuvo intercalado entre dos elecciones
presidenciales (Kennedy-Nixon y Johnson- Goldwater). Cuando miro hacia
atrás, siento como si fueran veinte años multiplicados por cuatro; aún me resulta
difícil creer cuán corto fue ese período. Sin embargo, la instrucción de las
matemáticas requerirá un tiempo más largo. Hay una curva de aprendizaje

31. Lectura 2  29
pronunciada y lo que vemos en AP es algo que se desarrolla en varias
generaciones en la medida en que los trabajadores/organizadores de la
instrucción en matemáticas adquieren las habilidades y la capacitación a través
del estudio y la práctica y comienzan a abordar el sistema. Sin embargo, la gente
joven puede apresurar este proceso como lo hizo claramente la juventud en el
movimiento de los derechos civiles. Y, mientras que la campaña por el derecho
al voto se llevó a cabo en los estados sureños del país, el problema de la
instrucción de las matemáticas se está presentando en toda la nación.
Sin embargo, para entender el Proyecto Álgebra, se necesita entender el
espíritu y las lecciones cruciales que ofrece la tradición organizativa del
movimiento de los derechos civiles. En Mississippi, el mudo encontró su voz, y
una vez que la alzó, no pudo ser ignorado. Los organizadores aprendieron a
localizar los vastos recursos en las comunidades que parecían empobrecidas y
paralizadas a primera vista. Las lecciones del movimiento en Mississippi son
exactamente las que necesitamos aprender y poner en práctica para transformar
la educación de nuestros niños y sus perspectivas para el futuro. Al igual que en
los derechos al voto hace cuatro décadas, tenemos que fortalecer un consenso
sobre la instrucción de las matemáticas. Sin ella, sería casi imposible llevar al
país a un cambio sistémico en torno a la educación matemática. No se puede
cambiar este país a menos que haya un consenso. El país es demasiado grande,
demasiado enorme, demasiado diverso, demasiado confuso. Esto es parte de lo
que aprendimos en Mississippi. Lo aprendimos sobre el terreno,
experimentándolo.
En el presente trabajo presento las voces de otras personas como la mía
propia. Voces del movimiento: la de Ella Baker, por mencionar alguna. Voces
de mis colegas: la de Dave Dennis, especialmente. Y voces de niños: la de los
jóvenes del Proyecto Álgebra. Parte de lo que sucedió en Mississippi fue la
creación de una cultura de cambios en el clima de la conciencia de la gente
negra en ese estado. Es el establecimiento de este clima y cambio de conciencia
sobre las matemáticas en la comunidad más grande lo que en gran medida hará
posible cambiar el salón de clases; no obstante, estamos hablando de cambio
sistémico y como país aún no sabemos cómo hacer un cambio sistémico.
Nosotros no podemos señalar ningún sistema escolar en el que hayamos
establecido un cambio sistémico en torno a la educación matemática.
Este es un libro muy personal. Las historias y lecciones de Mississippi a
las que me refiero son historias y lecciones de la transformación en la gran
emoción que representa la lucha por el cambio. La historia que cuento sobre
cómo comenzó el Proyecto Álgebra es la continuación de esa historia de lucha y
transformación, en mi familia y en mi comunidad. Vemos en este libro las
nuevas necesidades del Siglo XXI, y que para cubrir esas necesidades nos
adentraremos en nuevos territorios de la misma manera como el registro de
electores nos llevó a las zonas rurales de Mississippi. Existe incluso una política:
¿Quién va a ganar el acceso a la nueva tecnología? ¿Quién va a controlarla?

32. 30  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
¿Qué tenemos que exigir del sistema educativo para prepararnos para la nueva
era tecnológica? ¿Qué oportunidades tendrán nuestros hijos? Éstas son las
preguntas que en última instancia desafían al poder como lo hizo el movimiento
de los derechos civiles, a pesar de que ese movimiento precursor estaba más
relacionado con los mostradores de los restaurantes y las votaciones.

33. Lectura 3
Concepciones de Álgebra Escolar y Usos de Variables1
¿Qué es el Álgebra Escolar?
No es fácil definir el álgebra. El álgebra que se enseña en la escuela
tiene un contenido diferente del álgebra que se enseña en carreras matemáticas.
Dos matemáticos cuyos escritos han influenciado grandemente la instrucción de
álgebra a nivel universitario, Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967)
comenzaron su Álgebra con un intento de enlazar el álgebra escolar con la de la
universidad:
El álgebra comienza como el arte de manipular cantidades,
productos y el poder de los números. Las reglas para esta
manipulación sostenida por todos los números, de modo que la
manipulación puede ser llevada a cabo con letras en
representación de los números. Entonces parece que las mismas
reglas contenidas para varios tipos de números diferentes… y
que las reglas incluso se aplican a las cosas... las cuales no son
para nada números. Un sistema algebraico, como el que
estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en
los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicación
operan, siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas
básicas. (p. 1)
Si la primera oración en la cita anterior es pensada aritméticamente,
entonces la segunda oración es álgebra escolar. Entonces, a los fines de este
artículo el álgebra escolar tiene que ver con la comprensión de "letras" (hoy en
día usualmente las llamamos variables) y sus operaciones, y consideramos que
los estudiantes estudian álgebra cuando se encuentran por primera vez con las
variables.
Sin embargo, siendo que el concepto de variable en si mismo es
multifacético, reducir el álgebra al estudio de variables no responde la pregunta
"¿Qué es álgebra escolar?”. Considere estas ecuaciones, las cuales todas tienen
la misma forma, el producto de dos números es igual a un tercero:
31
1. A = LW
2. 40 = 5x
1 Usiskin, Z. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. En A. Coxford
y A. P. Schulte (Comps.) Ideas of algebra, K-12 (1988 Yearbook) (pp. 8-19). Reston,
VA: National Council of Teachers of Mathematics.

34. 32  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
3. sin x = cos x · tan x
4. 1 = n (1/n)
5. y = kx
Cada una de ellas tiene un sentido diferente. Usualmente llamamos al (1)
una fórmula, (2) una ecuación (u oración abierta) a resolver, (3) una identidad,
(4) una propiedad y (5) una ecuación de una función de variación directa (a no
ser resuelta). Estos diferentes nombres reflejan usos diferentes para los cuales la
idea de variable es colocada. En (1) A, L y W representan el área, longitud y
ancho tienen el sentido de datos conocidos. En (2), tenemos la tendencia a
pensar que x es una incógnita. En (3) x es un argumento de una función. La
ecuación (4) a diferencia de las otras, generaliza un patrón aritmético y n
identifica un ejemplo del patrón. En (5), x es nuevamente un argumento de una
función, y el valor y k una constante (o parámetro dependiendo de cómo sea
usado). Sólo en (5) está allí el sentido de "variabilidad", del cual el término
variable surgió. Aun así, tal sentido no esta presente si pensamos en esa
ecuación como algo que representa la línea pendiente k que contiene al origen.
Las concepciones de variables cambian con el tiempo. En un texto de los
50 (Hart, 1951a), la palabra variable no es mencionada hasta la discusión de
sistemas (p.168) y entonces es descrita como un "número cambiante". La
introducción de lo que hoy llamamos variables viene mucho antes (p.11), a
través de formulas, con estas declaraciones misteriosas: “En cada fórmula, las
letras representan números. El uso de letras para representar números es la
característica principal del álgebra” (itálicas de Hart). En el segundo libro de
esa serie (Hart, 1951b) hay una definición más formal de variable (p. 91): "Una
variable es un número literal que puede tener dos o mas valores durante un
análisis particular".
Los textos modernos de finales de esta década tenían una concepción
diferente representada por esta cita de May y Van Engen (1959) como parte de
análisis cuidadoso de este término:
En líneas generales, una variable es un símbolo por el cual se
sustituyen nombres para algunos objetos, usualmente un número
en álgebra. Una variable está siempre asociada a un conjunto de
objetos cuyos nombres pueden ser sustituidos por ella. Estos
objetos son llamados valores de la variable. (p. 70)
Hoy en día la tendencia es evitar la distinción "nombre-objeto” y pensar en una
variable simplemente como un símbolo por el que se pueden sustituir cosas (mas
precisamente, cosas de un conjunto particular de sustitución).
La concepción de variable de “símbolo para un elemento de un conjunto
de reemplazo” parece tan natural hoy es raramente cuestionada. Sin embargo, no
es la única visión posible de variables. A comienzos de este siglo, la escuela

35. Lectura 3  33
formalista de matemáticas consideraba a las variables y todos los otros símbolos
matemáticos tan solo como marcas o notas en el papel relacionadas entre ellas
por propiedades asumidas o derivadas que también son notas en el papel
(Kramer, 1981).
Aunque podemos considerar dicha visión defendible por los filósofos
pero impráctica para los usuarios de las matemáticas, los paquetes de álgebra
para computadoras de hoy en día tales como MÁXIMA y muMath (ver Pavelle,
Rothstein y Fitch, 1981) tratan con letras sin necesidad de referirse a valores
numéricos. Esto es, las computadoras de hoy pueden operar de ambas formas
como usuarios experimentados y no experimentados de álgebra que opera
manipulando variables a ciegas sin ninguna preocupación por, o conocimiento
de lo que ellos representan.
Muchos estudiantes piensan que todas las variables son letras que
representan o significan números. Pero los valores que una variable toma no
siempre son números, aun en las matemáticas de bachillerato. En geometría, las
variables con frecuencia representan puntos, como se ve en el uso de las
variables A, B y C cuando escribimos "si AB = BC, entonces ΔABC es isósceles”.
En lógica, las variables p y q con frecuencia significan proposiciones; en análisis
la variable f con frecuencia significa una función; en álgebra lineal la variable A
puede significar una matriz o la variable v para un factor y en álgebra avanzada
la variable * puede representar una operación. Esto último demuestra que las
variables no requieren ser representadas por letras.
Los estudiantes también tienden a creer que una variable siempre es una
letra. Esta visión está apoyada por muchos educadores, por
3 + x = 7 y 3 + Δ = 7
Son usualmente consideradas álgebra, mientras que:
3 + _____ = 7 y 3 + ? = 7
No lo son, aun cuando el espacio y el signo de interrogación son, en este
contexto de una solución deseada para la ecuación, lógicamente equivalentes a la
x y el Δ.
En resumen, las variables tienen muchas definiciones posibles,
referentes y símbolos. Tratar de enmarcar la idea de la variable un una sola
concepción simplifica demasiado la idea y distorsiona el propósito del álgebra.
DOS TEMAS FUNDAMENTALES EN LA INSTRUCCIÓN DEL
ÁLGEBRA
Quizás el tema más importante alrededor de la enseñanza del álgebra en
las escuelas hoy, se refiere al alcance en el que a los estudiantes debería
exigírseles ser capaces de hacer varias habilidades manipulables a mano. (Todo
el mundo parece reconocer la importancia de que los estudiantes tengan alguna

36. 34  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
manera de realizar las destrezas). Un informe de NCTM-MAA de 1977
detallando lo que los estudiantes necesitan aprender de matemáticas en
bachillerato enfatiza la importancia de aprender y practicar estas destrezas. Más
aun informes recientes indican un tono diferente:
La tendencia básica en Álgebra I y II ha sido darle a los
estudiantes facilidades técnicas moderadas… En el futuro, los
estudiantes (y los adultos) puede que no tenga que hacer mucha
manipulación algebraica.... Algunos bloques de ejercicios
tradicionales pueden seguramente ser acortados. (CBMS, 1983, p.
4).
Un segundo tema relacionado con el programa del álgebra es la cuestión
del rol de las funciones y su tiempo de introducción. En el presente, las
funciones son tratadas en la mayoría de los libros de álgebra de primer año como
una materia relativamente insignificante y hacerse una materia importante en
álgebra avanzada o de segundo año. Aun en algunos programas de escuelas
primarias (ej. CSMP, 1975) ideas de funciones han sido introducidas tan
temprano como en primer grado y otros discuten que las funciones deben ser
usadas como el vehículo mas importante a través del cual las variables y el
álgebra son introducidas.
Es claro que estos dos temas se relacionan con el propósito de la
enseñanza y aprendizaje del álgebra, con las metas de la instrucción del álgebra,
con la concepción que tenemos de esta materia. Lo que no es tan obvio es que
ellos, se relacionan con las maneras en las cuales las variables son usadas. En
este trabajo trato de presentar un marco de referencia para considerar estos y
otros temas relacionados con la enseñanza del álgebra. Mi tesis es que el
propósito que tenemos en la enseñanza del álgebra, las concepciones que
tenemos de la materia y los usos de variables están intrincadamente
relacionadas. Los propósitos del álgebra están determinados por, o están
relacionados con, diferentes concepciones del álgebra, lo cual se correlaciona
con la importancia relativa dada a los varios usos de las variables.
Concepción 1: El Álgebra como Aritmética Generalizada
En esta concepción en natural pensar en las variables como patrones
generalizadores. Por ejemplo, 3 + 5 · 7 = 5 · 7 + 3 es generalizado como
a + b = b + a. El patrón:
3 · 5 = 15
2 · 5 = 10
1 · 5 = 5
0 · 5 = 0

37. Lectura 3  35
Se extiende para multiplicar números negativos (lo cual, en esta
concepción, es con frecuencia considerado álgebra no aritmética):
-1 · 5 = - 5
-2 · 5 = - 10
Esta idea es generalizada para dar propiedades como:
- x∙·. y = xy
A un nivel más avanzado, la noción de variable como patrón
generalizador es fundamental en el modelaje matemático. Con frecuencia
hallamos relaciones entre números que deseamos describir matemáticamente y
las variables son herramientas extremadamente útiles en esa descripción. Por
ejemplo, el record mundial T (en segundos) para la carrera de la milla en el año
Y desde 1900 es descrito bien de cerca por la ecuación:
T = -0,4Y + 1020
Esta ecuación solamente generaliza los valores aritméticos hallados en
muchos almanaques. En 1974, cuando el record era 3 minutos 51,1 segundos y
no había cambiado en siete años, usé esta ecuación para predecir que en 1985 el
record sería 3 minutos 46 segundos (para gráficos ver Usiskin, 1976 o Bushaw et
al., 1980). El record real al final de 1985 era 3 minutos 46,31 segundos.
Las instrucciones clave para los estudiantes en esta concepción del
álgebra son traducir y generalizar. Estas son destrezas importantes no solo en
álgebra sino también en aritmética. En un compendio de aplicaciones de
aritmética (Usiskin y Bell, 1984), Max Bell y yo concluimos que es imposible
estudiar adecuadamente aritmética son implícita o explícitamente tratar con
variables. ¿Cuál es más fácil "el producto de cualquier número y cero es cero" o
"para toda n, n · 0 = 0”? La superioridad de las descripciones algebraicas sobres
las del idioma inglés de una cantidad de situaciones es debido a la similitud de
dos sintaxis. La descripción algebraica se parece a la descripción numérica, no
así la descripción en inglés. Un lector inseguro del valor de las variables debe
tratar de describir la regla para multiplicar fracciones primero en inglés, luego en
álgebra.
Históricamente, la invención de la anotación algebraica en 1564 por
Françoise Viète (1969) tuvo efectos inmediatos. En cincuenta años la geometría
analítica habría sido inventada y traída a una forma avanzada. En cien años fue
el cálculo. Tal es el poder del álgebra como aritmética generalizada.

38. 36  Lecturas de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Concepción 2: El álgebra como estudio de procedimientos para resolver
ciertos tipos de problemas.
Considere el siguiente problema:
Cuando se suma 3 a cinco veces un cierto número, la suma es 40.
Halle el número.
El problema es fácilmente traducido al lenguaje del álgebra:
5x + 3 = 40
Bajo la concepción del álgebra como un generalizador de patrones, no
tenemos incógnitas. Generalizamos relaciones conocidas entre números, y ni
siquiera tenemos la sensación de incógnitas. Bajo esa concepción, este problema
esta terminado, hemos encontrado un patrón general. Sin embargo, bajo la
concepción del álgebra como un estudio de procedimientos, solo hemos
comenzado.
Lo resolvemos con un procedimiento. Quizás añadiendo -3 a cada lado:
5x + 3 + -3 = 40 + -3
Luego simplificamos (el número de pasos requeridos depende del nivel
del estudiante y la preferencia del profesor):
5x = 37
Ahora resolvemos esta ecuación de alguna manera, llegando a x = 7,4.
El “cierto numero” en el problema es 7,4 y el resultado es fácilmente revisable.
Resolviendo esta clase de problemas, muchos estudiantes tienen
dificultad moviéndose de la aritmética al álgebra. Mientras que la solución
aritmética (“en su cabeza") involucra restar 3 y dividir entre 5, la forma
algebraica 5x + 3 involucra la multiplicación por 5 y la suma de 3, la operación
inversa. Esto es, para establecer la ecuación debe pensar exactamente lo opuesto
de la manera en que lo resolvería usando la aritmética.
En esta concepción del álgebra, las variables son bien incógnitas o
constantes. Mientras las instrucciones claves en el uso de variables como un
patrón generalizador son traducir y generalizar, las instrucciones clave en este
son simplificar y resolver. De hecho “simplificar” y "resolver” son a veces dos
nombres diferentes para la misma idea: por ejemplo, les pedimos a los
estudiantes resolver |x - 2| = 5 para obtener la respuesta de x = 7 o x = -3. Pero
podríamos pedirle a los estudiantes, “rescriba |x - 2| = 5 sin usar valores
absolutos”. Entonces podríamos obtener la respuesta (x -2)2 = 25, la cual es otra
oración equivalentes.
Polya (1957) escribió, “si no puede resolver el problema propuesto trate
de resolver primero algunos problemas relacionados” (p. 31). Seguimos ese
dictamen literalmente en la resolución de la mayoría de las oraciones, hallando

39. Lectura 3  37
oraciones equivalentes con la misma solución. También simplificamos
expresiones de modo que pueden ser comprendidas y usadas más fácilmente.
Para repetir: simplificar y resolver son más similares de lo que usualmente se las
hace ver.
Concepción 3: el álgebra como el estudio de las relaciones entre cantidades.
Cuando escribimos A = LW, la formula de áreas para un rectángulo,
estamos describiendo una relación entre tres cantidades. No existe la sensación
de una incógnita, porque no estamos resolviendo nada. El significado de
formulas tales como A = LW es diferente del significado de generalización tal
como 1 = n (1/n), aun cuando podemos pensar en una formula como un tipo
especial de generalización.
Por cuanto la concepción de álgebra como el estudio de relaciones
puede comenzar con fórmulas, la distinción crucial entre esto y la concepción es
que, aquí las variables varían. Esa es una diferencia fundamental entre las
concepciones evidenciadas por la respuesta usual de los estudiantes a la
siguiente pregunta:
¿Qué le pasa al valor de 1/x mientras x aumenta?
La pregunta parece simple, pero es suficiente para desconcertar a la
mayoría de los estudiantes. No hemos preguntado el valor de x, así que x no es
una incógnita. No le hemos pedido a los estudiantes que traduzcan. Existe un
patrón para generalizar, pero no es un patrón que parece aritmética. (No es
apropiado preguntar que le pasa al valor de ½ mientras 2 aumenta) es
fundamentalmente un patrón algebraico. Quizás por su naturaleza algebraica
intrínseca, algunos educadores de matemáticas creen que el álgebra debería ser
introducida inicialmente a través de este uso de variables. Por ejemplo, Fey y
Good (1985) ven lo siguiente como las preguntas claves sobre las cuales se base
el estudio del álgebra:
Para una función dada f(x), halle:
1. f(x) para x = a
2. x para que f(x) = a
3. x para que los valores mínimos o máximos de f(x) ocurran.
4. la rata de cambio en f cerca de x = a,
5. el valor promedio de f sobre el intervalos (a, b) (p. 48).
Bajo esta concepción, una variable es un argumento (ej. significa un
valor en el dominio de una función) o un parámetro (ej. significa un número del
cual otro número depende). Solo en esta concepción existen las nociones de
variables dependiente e independiente. Las funciones surgen inmediatamente,
para lo cual requerimos tener un nombre para los valores que dependen del