Análisis tercer caso de prueba de semejanzas resuelta con geometría analítica.

1. Estudio de Caso
¿Justicia ciega?
o prueba de Semejanza resuelta con Geometría Analítica
I. Introducción
El siguiente informe es el desglose de un caso realista, con el cual podríamos
encontrarnos en el aula, desempeñando nuestra labor como futuros profesores.
El caso presenta las siguientes características y antecedentes previos, descritos para poder
comprender el contexto en el que se desarrolla. Algo muy importante que siempre
debemos considerar en la labor pedagógica.
Resulta que Patricia es una profesora que lleva ya 20 años trabajando en el colegio, un
establecimiento educacional particular. Para ella lo más importante es la enseñanza que la
matemática, y además si bien está abierta a las nuevas propuestas curriculares suele
tomar solo lo que a ella le parece mejor.
En este caso se menciona que Patricia ha intentado con muchos métodos a lo largo de sus
años para enseñar el tema de las funciones, un tema que para ella siempre le ha parecido
complicado.
Patricia ha diseñado una unidad de funciones para el Tercero Medio con mucha
dedicación, y ha comenzado de manera muy positiva, al trabajar con los alumnos, algo
que sin duda la ha motivado mucho, muestra del amor que siente esta profesora por la
enseñanza de la matemática.
A modo general, es importante también conocer que Fernando es un alumno que se ha
caracterizado por ser un alumno muy ordenado y destacado en el trabajo algebraico.
Y Arturo por su parte, es un alumno que se caracteriza por ser creativo y por ahora muy
motivado con la unidad que están trabajando.
II. Resumen del caso
En una clase, ya avanzada la unidad de funciones, y con resultados muy positivos, la
profesora Patricia desea profundizar los conceptos de dominio y recorrido y aprovechar
la ocasión para desarrollar habilidades algebraicas con el tercero medio, para lo cuál les
pide encontrar el dominio y recorrido de la siguiente función: 푓(푥) = 2 + √ , y
resulta que los dos alumnos Arturo y Fernando discrepan en cuanto al resultado del
recorrido, Fernando lo ha obtenido mediante un proceso algebraico y Arturo mediante un
proceso gráfico (geométrico), sin embargo el resultado es único, por lo que uno de los

2. dos o ambos estan cometiendo un error, sin embargo no se aclara cual es error en la clase
y los alumnos se van pensando para continuar una discusión la proxima clase.
III. Objetivos del caso
Reconocer las diferentes representaciones matemáticas para el trabajo con las funciones.
Analizar el cómo piensan y el cómo construyen conocimiento los alumnos involucrados
en el caso.
Discutir los errores que se pueden generar en el aula, en la resolución de problemas y
como este tipo de situaciones.
IV. Conflictos del caso
Por un lado la mecanización a la que acostumbra Fernando, provocada por un trabajo
algebraico recurrente, y por otro lado la representación gráfica de Arturo, que le permite
analizar el problema desde un punto de vista geométrico. Ambas perspectivas se
contraponen, ya que ambos alumnos llegan a resultados diferentes en el problema que se
les ha planteado.
V. Aspectos matemáticos
Los alumnos involucrados en este caso muestran un dominio avanzado de las funciones,
en cuanto a su manipulación, es decir existe un trabajo previo que ha provocado
aprendizajes, sin embargo en la descripción del caso no se muestra ninguna definición
formal del concepto de función, algo muy relevante en cuanto a la comprensión profunda
de las características que debe poseer una función, y para que pueda existir su inversa
(existencia y unicidad).
En cuanto al lenguaje y símbolos en el trabajo realizado que se muestra en el caso, se
puede observar que existe una formalidad en su enseñanza para escribir correctamente la
matemática. Sin embargo se puede apreciar claramente que no hay un dominio en la
utilización y aplicación de restricciones a la hora de un desarrollo algebraico. Error que
se puede detectar en el trabajo realizado por Fernando, aunque esto podría ocurrir porque
a los alumnos les cuesta mucho comprender la real relevancia de estas, o porque la
profesora simplemente no lo ha enseñado.
Aspectos Matemáticos Didácticos
Patricia se ha esforzado por que los alumnos logren visualizar la matemática y enseñar
técnicas que les ayuden a los alumnos a llegar a los resultados obtenidos, como por
ejemplo: reflejar una función dada respecto a la función F(x)=x doblando la hoja sobre
está y calcando la función dada, de modo de obtener otra función que resulta ser la
función inversa, todo esto para obtener el dominio de esta última que resulta ser el
recorrido de la anteriormente dada, sin embargo cabe mencionar que no ha profundizado
en conceptos como inyectividad y sobreyectividad, además de hacer comprender a los
alumnos que así también ocurre lo mismo al reflejar la función inversa, es decir el

3. dominio de ésta también debe ser el recorrido de la otra por lo tanto la resultante también
debe ser una función, y si no lo es se debe restringir.
Patricia evalúa los trabajos realizados por los alumnos mediante trabajo en equipo y
exposiciones, algo que le ha dado muy buenos resultados y se entiende que sea muy
productivo ya que de este modo se puede conocer el cómo estan penando los alumnos.
Cabe mencionar, que Patricia no deja ver quién ni en qué estan equivocados, algo que
todos los profesores deberían hacer, ya que a los alumnos no se les debe frustar en cuanto
al conocimiento y análisis realizado por ellos, por el contrario de los errores es posible
construir también aprendizajes significativos, como así lo corroboran por ejemplo
Bourdieu y Posseron (1970), cuando mencionan que los profesores al bromear acerca de
los disparates, se olvidan de que estos fallos del sistema encierran la verdad.
Por último es importante recalcar que el objetivo que persigue la profesora,
principalmente, con el problema que les ha planteado a sus alumnos es desarrollar
habilidades algebraicas, no dejando muy claro, ni dándole mucha relevancia al trabajo
gráfico que los alumnos deberían realizar siempre para poder visualizar mejor los
resultados que se desean obtener al trabajar con la unidad de funciones. Es tal vez por lo
que los alumnos optan por el trabajo algebraico, y en el caso de Arturo, que es más
creativo, utiliza el método gráfico para realizar el análisis pero no logra relacionarlo con
el desarrollo algebraico que realiza posteriormente. Esto sin duda, por efecto de la falta
de dominio y comprensión de las restricciones como mencionaba más arriba.
Lo anterior queda corroborado en las palabras de Omar Jayyam: “Quienquiera que piense
que el álgebra es un sistema de trucos para obtener los valores de incógnitas, piensa
vanamente. No se debe prestar ninguna atención al hecho de que el álgebra y la
geometría son en apariencia diferentes. Los hechos del álgebra son hechos geométricos
que están demostrados.”
Como así también Joseph-Louis Lagrange dice: “Mientras el álgebra y la geometría han
estado separadas, su progreso ha sido lento y sus aplicaciones limitadas; pero cuando
estas dos ciencias se han unido, han intercambiado sus fuerzas y han avanzado juntas
hacia la perfección.”
Al finalizar la clase, se esperaría conocer la correcta solución, sin embargo la profesora
no da una respuesta o una evaluación para llegar a lo que realmente es correcto, y los
alumnos se quedan con la duda hasta la clase siguiente, aquí el objetivo es claro, ya que
lo típico es que los alumnos no estudien en sus casas, sin embargo si esto es realmente
importante para ellos, lo demostraran llevando algún otro análisis en la próxima clases.
Propuesta matemática:
El enunciado del problema sería:

4. Dado el cuadrado ABCD de lado k como muestra la figura, donde M es el punto de
intersección entre el lado DP y el lado AQ, utilizando semejanza de triángulos calcule el
área del triángulo DMQ en función de k.
(Sugerencia. Considere R perteneciente al lado AD tal que el lado RP sea paralelo al lado
DC)
Propuesta evaluativa:
Para evaluar el problema 5 se consideraran los siguientes criterios y sus respectivos
puntajes, tal que el puntaje total del problema es de 3 pts. Cabe mencionar que el último criterio
“Joker” se aplica si el problema es resuelto de una manera diferente, en este caso sin utilizar
semejanzas, llegando de igual modo al resultado.
(1) Reconoce datos necesarios: 0,4 pts.
(2) Construye rectas: 0,4 pts.
(3) Reconoce triángulos semejantes: 0,6 pts.
(4) Establece relaciones entre triángulos semejantes: 1,0 pts.
(5) Obtiene resultado de altura del triángulo pedido en función de k: 0,4 pts.
(6) Obtiene el área del triángulo pedido en función de k: 0,2 pts.
(7) Criterio “Joker”: Creatividad 0,8 pts.
VI. Conclusión
Gracias a la difusión de una de las obras de Viete en siglo XVI, algunos matemáticos
empezaban a comprobar que los métodos algebraicos eran una herramienta muy útil para
resolver problemas geométricos. Sin embargo, con una de las obras de Descartes, ya en el siglo
XVII, se llevó a cabo el proceso de algebrización de las matemáticas: un periodo en el que de

5. una manera de pensar matemática casi exclusivamente geométrica se pasó a un pensamiento
matemático más algebraico.
Y la pregunta que resulta de esta información es ¿Hemos superado realmente en la
educación chilena esta situación?
Talvez para algunos sectores de la educación sí y para otros no, lo importante es que
deben ser utilizadas las diferentes formas de representación para enseñar, y no solo en el
ámbito de las funciones, sino que en todo lo que pueda ser representado de diferentes
maneras, ya que los alumnos y las personas en general representamos en nuestra mente
de manera diferente los conceptos aprehendidos y así también comprendemos de manera
diferente las diferentes representaciones externas de la matemática (como en el caso de
las funciones: gráficos, algebrización, tablas de valores), pero si todas se fusionan en pro
de un objetivo se puede lograr mucho mejores resultados.
Patricia Faúndez Retamal
Pedagogía en Matemática y Computación
Talca 21/08/2014