1. Mecánica 1: Estática.
.
.
Capítulo 3:
Cuerpos Rígidos: Sistemas Equivalentes
de Fuerzas
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el Ingeniero
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2. Fuerzas Externas e Internas
• Hay 2 grupos de fuerzas que
actúan en los cuerpos rígidos:
- Externas
- Internas
• Fuerzas Externas se muestran en
el diagrama de cuerpo libre
(DCL)
• Cada fuerza externa puede transmitir movimientos de traslación, de
rotación, o ambos.
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3. Principio de Transmisibilidad:
Fuerzas Equivalentes
• Principio de Transmisibilidad Las condiciones de equilibrio o
movimiento no varían por la
transmisión de una fuerza a lo largo de
su línea de acción.
Nota: F y F’ son fuerzas equivalentes.
• Mover el punto de aplicación de F
a la parte posterior del camión, no
afecta el movimiento o las otras
fuerzas actuando en el camión.
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4. Producto Vectorial de 2 vectores
• El producto vectorial de 2 vectores P y Q se define
como el vector V que satisface:
1. La línea de acción de V es perpendicular al
plano que contiene P y Q.
2. La magnitud de V:
V  P Q sin 
3. La dirección de V: Regla de la mano derecha.
El pulgar determina el signo
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5. Producto vectorial: Componentes
Rectangulares
• Producto vectorial de vectores unitarios,
 
i i  0

 
i  j  k
 

i k   j

 
j  i  k
 
j j 0
  
jk  i
 
k i 
 
k j 
 
k k 
• Producto vectorial en términos de
coordenadas rectangulares:

j

i
0


V  Px i  P y


i
j





j  Pz k  Q x i  Q y j  Q z k

k
V  Px
Py
Pz 
Qx
Qy
Qz

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 

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6. Producto vectorial: momento de
una fuerza en un punto
• El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido depende del punto de aplicación.
M O  rF sin   Fd
• La magnitud de MO indica la tendencia de la fuerza a causar rotación de un
cuerpo rígido sobre el eje que pasa a lo largo de MO.
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7. Momento de una Fuerza sobre
un Punto
• El momento de una fuerza sobre un punto equivale a
realizar el producto vectorial o producto cruz entre 2
vectores.
• El momento de F en el punto O
está definido por:
MO  rF
• El vector momento MO es perpendicular
al plano que contiene O y la fuerza F.
• El vector de posición r siempre
inicia en el punto donde se
quiere calcular MO y finaliza
en cualquier punto a lo largo
del eje de la fuerza F.
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8. Momento de una Fuerza sobre
un Punto
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9. Momento de una fuerza en un
punto: 2 interpretaciones
CONCLUSION:
2 formas de calcular momento de F respecto a punto A.
Trabajando en forma escalar,
usando el concepto de brazo de
palanca, es decir:
M O  rF sin   Fd
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Mejor en 2D
Trabajando en forma vectorial,
usando el concepto Vector posición
del pto.de giro x su fuerza aplicadas
MO  rF
decir:
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Mejor en 3D
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10. Ejemplo resuelto 3.1
Una fuerza vertical de 100-lbf se aplica al final de la
palanca, la cual está fija por medio de un pasador
el punto O.
Determine:
a) Momento en O,
b) La fuerza horizontal en A que produciría el mismo
momento.
c) La fuerza mínima en A que produciría el mismo
momento.
d) Ubicación de una fuerza vertical de 240-lbf que
produciría el mismo momento.
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11. Ejemplo resuelto 3.1
a)
M O  Fd
d   24 in.  cos 60 
 12 in.
M O  100 lb 12 in. 
b)
c)
d   24 in.  sin 60 
 20 . 8 in.
M O  Fd
1200  F  20 . 8 in. 
F 
1200 lb  in.
20 . 8 in.
M O  1200 lb  in
d)
M O  Fd
M O  Fd
1200  F  2 4 in. 
F 
1200 lb  in.
2 4 in.
F  50 lb
F  57 . 7 lb
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1200 lb   240 lb   d
d 
1200 lb  in.
2 40 lb
 5 in.
OB cos60   5 in.
OB  10 in.
11

12. Ejemplo resuelto 3.1
b)
a)
c)
d)
Cabe indicar que aunque todas las fuerzas en b), c), y d)
producen el mismo momento que en a), ninguna tiene la
misma magnitud y dirección, o están en la misma línea
de acción. Por lo tanto ninguna de las fuerzas es
equivalente a la de 100 lb.
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13. Ejercicios
1.
Calcule la menor fuerza posible P que produce un momento en
sentido horario de 250 lb.in, si se aplica sobre el punto B.
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14. Ejercicios
2.
Calcule el valor de la fuerza F necesaria
para prevenir que el poste de 5 metros se
mueva. Distancias en metros.
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15. Ejercicios
3.
La fuerza de tensión en el cable
AB es de 400lb. Calcule el
momento que se genera en E
debido a esta fuerza.
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16. Ejercicios
4.
Calcule el momento sobre el
punto D debido a una fuerza
de 150 N que transmite el
cable AB. Las dimensiones
están dadas en metros.
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17. Teorema de Varignon
• El momento sobre un punto dado O, de la
resultante de fuerzas concurrentes, es igual a
la suma de los momentos de cada fuerza
concurrente sobre el mismo punto O.



 
 
r  F1  F 2     r  F1  r  F 2  
• Este teorema permite reemplazar el cálculo
directo del momento de una fuerza F por los
momentos de 2 o más fuerzas, componentes
de F.
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18. Componentes Rectangulares del
Momento de una fuerza
El momento de F sobre O,




r  xi  yj  zk




F  Fx i  F y j  Fz k

 
MO  r  F,




M O  M xi  M y j  M zk



i
j
k
 x
y
Fx
Fy
z
Fz



  yF z  zF y  i   zF x  xF z  j   xF y  yF x  k
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19. Componentes Rectangulares del
Momento de una fuerza
El momento de F, aplicada en el punto A, sobre cualquier punto B,

M
B


 rA / B  F
donde:

 
r A / B  r A  rB



 x A  xB i   y A  yB  j  z A  zB k




F  Fx i  F y j  Fz k
Finalmente:

M

i
B
 x A  xB 
Fx
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
j

k
 y A  yB  z A  zB 
Fy
Fz
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20. Ejemplo resuelto 3.4
SOLUCIÓN:
El momento MA de la fuerza F ejercida
por el cable, se obtiene evaluando el
producto vectorial,

M
A

 rC
A

F
El plato rectangular está soportado
por ménsulas en A y B y un cable CD.
Si este tiene una tensión de 200 N,
calcule el momento en A, debido a la
fuerza ejercida por el cable en C.
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21. Ejemplo resuelto 3.4
SOLUCIÓN:

M
A

 rC
A

F




 rC  rA  0 . 3 m i  0 . 08 m k
A



rC D
F  F    200 N 
rC D



 0 . 3 m i  0.24 m  j  0 . 32 m k
  200 N 
0 .5 m



  120 N  i  9 6 N  j  128 N k

rC

M
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A
A


j

k
0 .3
0
0 . 08
 120

M

i
96
 128



   7 . 68 N  m  i   2 8.8 N  m  j   2 8.8 N  m k
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22. Cuadro resumen:
Producto vectorial, M y F
Concepto
matemático
Fórmula
Producto vectorial
V  P Q sin 
Producto vectorial

 
V  PQ
Componentes
rectrangulares de un
vector
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Concepto en
MECÁNICA
Fórmula en MECÁNICA
Momento de F sobre un
punto O, en 2D
M O  rF sin   Fd
Momento de F sobre un
punto O, en 3D
  

MO  rF




F  Fx i  F y j  Fz k Componentes rectang. de
Fuerza y Momento
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



F  Fx i  F y j  Fz k



M O  M xi  M y j  M zk
22
22

23. Ejercicios
4.
(3.4) Se aplica una fuerza P a la palanca, tal como se indica. Calcule la
magnitud y dirección mínima de P para generar un momento de 25.0
lb·in en sentido anti-horario respecto al punto A.
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24. Ejercicios
5.
(3.11) Para tensar el cable al poste CD, hay que aplicar una fuerza
que produzca un momento de 1152 N·m respecto a D. Si el
malacate AB tiene una capacidad de 2880 N, indique el valor
mínimo de d para lograr ese momento, suponiendo que a = 0.24 m
y b = 1.05 m
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25. Ejercicios
6.
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(3.26) El puntal de madera AB
sostiene temporalmente el techo
mostrado. Si ejerce una fuerza
de 250 N dirigida a lo largo de
BA, determine el momento de
esta fuerza respecto a D.
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