Trabajo y Energía (Teórica-10c - Principio de los Trabajos Virtuales).pptx
1. Principio de los Trabajos
Virtuales (PTV)
El PTV y el Cálculo de Deformaciones
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
2. El PTV se expresa
diciendo:
Introducción
“Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en
equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno
de deformación”
Es conveniente considerar algunos términos de la definición:
• En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con
posterioridad se le provoca una deformación arbitraria, compatible con las
condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.
• Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el
trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Te.
• Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan
trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual
interno de deformación, Ti.
El PTV puede entonces expresarse sintéticamente como:
i
e T
T
3. Consideremos el caso de
una estructura sometida a
un sistema de cargas Pm
… siendo R las correspondientes reacciones de vínculo exteriores
Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos 𝑸, 𝑵, 𝑴 de tal manera que
existe equilibrio entre la acción interna y la externa.
Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las
cargas Pm y R, sufrirán desplazamientos δm y ΔR (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de
las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por:
R
m
m
e R
P
T
Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, (es decir el trabajo de los esfuerzos internos
𝑸, 𝑵, 𝑴) debido a la deformación virtual, consideramos un elemento de una barra dx de
altura h.
q
A
B
L
RA RB
RA
Ej.: RA y RB no
realizan trabajo
4. La deformación
virtual provocará…
…un desplazamiento relativo de las dos
secciones del elemento que podrá expresarse
por una traslación y una rotación d.
La traslación la podemos considerar compuesta
por dos componentes; una a lo largo del eje de
la barra dN y otra normal dc.
El trabajo diferencial de las fuerzas internas
que actúan sobre el elemento dx será:
dc
Q
dN
N
d
M
dTi
La integración de esta expresión a toda la estructura representa el
trabajo virtual de deformación Ti.
5. Las deformaciones
elásticas para una
barra son:
Resultando:
dx
F
G
Q
dc
dx
T
F
E
N
dN
dx
h
T
J
E
M
d
6. Donde:
dx
F
G
Q
dc
dx
T
F
E
N
dN
dx
h
T
J
E
M
d
• χ: Coeficiente de forma que tiene en
cuenta la distribución no uniforme del
corte en la sección transversal de la viga
• α: coeficiente de dilatación térmica
• F: Sección transversal de la barra
• J: Momento de Inercia
• E: Módulo de elasticidad
• G: Módulo de elasticidad transversal
y reemplazando en e integrando será:
dc
Q
dN
N
d
M
dTi
dx
F
G
Q
Q
dx
T
N
dx
F
E
N
N
dx
h
T
M
dx
J
E
M
M
Ti
… que es la expresión del PTV, para el caso general de estructuras planas.
7. Supongamos una viga
simplemente apoyada…
Aplicación al Cálculo
de Deformaciones
…con un estado de cargas cualquiera, que
genera el diagrama de momentos M
indicado en la figura.
Si queremos calcular la deformación de esa
viga (desplazamiento vertical) en el punto m,
aplicamos en dicho punto una carga
auxiliar (ficticia) unitaria, en la dirección que
se quiere calcular la deformación.
Si aplicamos ahora la ecuación del PTV y
admitimos que no hay descenso de apoyos,
ni variaciones de temperatura y
despreciando los efectos de N y Q, resulta:
i
m
e T
ds
J
E
M
M
T
1
8. Supongamos una viga
simplemente apoyada…
Análogamente, si queremos la deformación de esa
viga (giro) en el punto m, aplicamos una cupla
unitaria en dicho punto, en donde por aplicación
de la ecuación del PTV, resulta:
i
m
e T
ds
J
E
M
M
T
1
Aplicación al Cálculo
de Deformaciones
9. Veamos el
siguiente ejemplo:
Ejemplo
Calcular la flecha en el punto medio y el giro en
los extremos de la viga simplemente apoyada de la
figura cuando actúa sobre ella una carga uniforme
p.
La función de momentos flexores de la viga es:
8
2
2
2
2
2
l
p
l
l
l
p
x
M l
x
l
x
p
x
M
2
Si queremos calcular la deformación de la viga
(desplazamiento vertical) en el punto C, aplicamos en
dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en
la dirección que se quiere calcular la deformación.
10. Veamos el
siguiente ejemplo:
Los momentos generados por esta fuerza serán:
4
2
2
4
2
2
*
*
2 l
l
l
F
l
l
F
x
M l
l
x
l
x
l
x
l
F
l
x
x
x
F
x
M
2
2
2
2
0
2
2
*
*
11. Veamos el
siguiente ejemplo:
y planteando la ecuación de PTV (dado que
ambos momentos son simétricos, resolveremos la
integral de media viga y la multiplicaremos por 2):
2 2
2
2
L
C dx
x
l
x
p
x
J
E
L
C dx
J
E
x
M
x
M
J
E
l
p
C
4
384
5
12. Veamos el
siguiente ejemplo:
Análogamente, si queremos calcular el giro del
punto B, aplicamos una cupla auxiliar (ficticia)
unitaria en dicho punto, en la dirección que se
quiere calcular la deformación.
Los momentos generados por esta cupla serán:
l
x
l
x
M
x
M
*
y planteando la ecuación de PTV:
L
B dx
x
l
x
p
l
x
J
E 2
1
L
B dx
J
E
x
M
x
M
J
E
l
p
B
3
24
1
13. Veamos ahora el
método gráfico:
Si queremos calcular la
deformación de la viga,
será:
J
E
l
p
l
l
l
p
J
E
L
m
M
J
E
dx
J
E
x
M
x
M
L
C
4
2
2 384
5
2
4
8
12
5
2
2
12
5
2
2
J
E
l
p
l
l
p
J
E
L
m
M
J
E
dx
J
E
x
M
x
M
L
B
3
2
24
1
1
8
3
1
1
3
1
1
𝑴 𝒙 = 𝑴 =
𝒑 ∙ 𝒍𝟐
𝟖
𝑴 𝒙 = 𝒎 =
𝒍
𝟒
𝑴 𝒙 = 𝒎 = 𝟏
(flecha)
(giro)
14.
J
E
l
p
l
l
l
p
J
E
L
m
M
J
E
dx
J
E
x
M
x
M
L
C
4
2
2 384
5
2
4
8
12
5
2
2
12
5
2
2
Veamos ahora el
método gráfico:
J
E
l
p
l
l
p
J
E
L
m
M
J
E
dx
J
E
x
M
x
M
L
B
3
2
24
1
1
8
3
1
1
3
1
1
La flecha C también podemos
calcularla como sigue:
J
E
l
p
l
l
l
p
J
E
L
d
c
L
m
M
J
E
dx
J
E
x
M
x
M
L
C
4
2
2
384
5
4
1
1
4
8
3
1
1
1
3
1
1
con 𝒄 = 𝒅 = 𝑳
𝟐
Si queremos calcular la
deformación de la viga,
será:
𝑴 𝒙 = 𝑴 =
𝒑 ∙ 𝒍𝟐
𝟖
𝑴 𝒙 = 𝒎 =
𝒍
𝟒
𝑴 𝒙 = 𝒎 = 𝟏
(flecha)
(giro)
15. Bibliografía
Recomendada
(en orden alfabético)
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko
