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Momento de inercia
I. INTRODUCCION
• El momento de inercia es la capacidad de resistencia
que tiene un cuerpo, a sufrir una transformación.
• Por ello podemos decir que el momento de inercia
sólo depende de la geometría del cuerpo y de la
posición del eje de giro; pero no depende de las
fuerzas que intervienen en el movimiento.
II. DETERMINACIÓN DEL
MOMENTO DE INERCIA DE
UN ÁREA POR INTEGRACIÓN
MOMENTO DE INERCIA PARA UNA AREA POR INTEGRACION:
Considere la Área dada en el plano 𝑥 − 𝑦, tomamos el diferencial de
área(𝑑𝐴)
1)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “X”
𝐼𝑥 = 𝑦2
𝑑𝐴
Se define los siguientes momentos de inercia:
2)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “y”
𝐼𝑦 = 𝑥2 𝑑𝐴
Determinar el momento de inercia con respecto a cada uno de sus
ejes coordenadas correspondientes, del área sombreada que se
muestra en la figura.
• Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la
torsión del objeto , en los objetos (o segmentos de los objetos)
con un invariante circular de sección transversal y sin
deformaciones importantes o fuera del plano de
deformaciones.
III. MOMENTO POLAR
DE INERCIA DE UNA
AREA
Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la
torsión en los objetos (o segmentos de los objetos) con un
invariante circular de sección transversal y sin deformaciones
importantes o fuera del plano de deformaciones.
El momento de inercia de un área en relación a un eje
perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se
representa por J.
El momento de dA con respecto al polo O o al eje z, es
denominado momento polar de inercia
Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el
elemento dA. Para toda el área el momento polar de inercia es:
𝐽 𝑜 = 𝑟2 𝑑𝐴 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2, lo que hace posible una relación entre 𝐼 𝑥, 𝐼 𝑦 y 𝐽 𝑜:
IV. RADIO DE GIRO
RADIO DE GIRO DE UN ÁREA
El radio de giro de un área plana tiene unidades de longitud y es una
cantidad usada a menudo en mecánica estructural para el diseño de
columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios
de giro se determinarán de la siguiente manera.
Tenemos un área A:
• Consideremos que el área A tiene un momento de inercia 𝐼 𝑥con
respecto al eje x. Imagine que se ha con centrado esta área en una
tira delgada paralela al eje x.
Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo
momento de inercia con respecto al eje x, la tira debe ser colocada a
una distancia 𝑘 𝑥 desde el eje x, donde 𝑘 𝑥 está definida por la
relación:
Y despejando 𝑘 𝑥 se obtiene:
• En forma similar se pueden definir los radios de giro 𝑘 𝑦 y 𝑘 𝑜:
• Y reescribiendo la ecuación del momento polar de inercia en
términos de radio de giro tenemos:
V. TEOREMA DE LOS EJES
PARALELOS PARA UN ÁREA
O TEOREMA DE STEINER
• Definición.- Considere el momento de inercia I de un área A con respecto a un eje AA´. Si
se representa con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA´, se escribe:
Ahora, en el centroide C del área un eje BB´ que es paralelo a AA´, dicho eje es llamado
eje centroidal. Representando con y´ la distancia desde el elemento dA hasta BB´, se
escribe y= y´+ d, donde d es la distancia entre los ejes AA´ y BB´. Sustituyendo por y en la
integral anterior, se escribe:
la primera integral representa el momento de inercia I del área con respecto al eje
centroidal BB´. La segunda integral representa el primer momento del área con respecto a
BB´; como el centroide C del área está localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe
ser igual a cero. Finalmente, se observa que la última integral es igual al área total A. Por
tanto, se tiene:
Determinar el momento de inercia del área mostrada:
Determinar el momento de inercia del área mostrada:
VI. MOMENTOS DE INERCIA
DE ÁREAS COMPUESTAS
ÁREA COMPUESTA: Es aquella
que esta divida en varias
áreas componentes, por
ejemplo el área A esta
dividida en varias áreas:
A1,A2 y A3
El momento de inercia de un área compuesta que consta de figuras conocidas
se hallará aplicando las formulas que se encontraran en las tablas, sin
embargo en algunas ocasiones antes de sumar los momentos de inercia será
necesario utilizar el teorema de los ejes paralelos estudiado anteriormente.
• EL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA SIEMPRE ES
POSITIVO
sin importar la posición del eje respecto al cual se
realizará.
• PARA CALCULAR EL MOMENTO POLAR DE INERCIA se
pueden utilizar las formulas ya conocidas.
Jo = Jx + Jy
• Antes de realizar el procedimiento para hallar el momento
de inercia es posible hallar el centroide.
Hallar el momento de inercia del área sombreada:
VII.PRODUCTOS DE INERCIA
• El producto de inercia es importante para hallar el
momento de inercia máximo y mínimo para el área.
Estos valores máximos y mínimos son importantes
para diseñar elementos estructurales y mecánicos
como vigas y columnas.
El producto de inercia del área con respecto a la figura
mostrada con respecto a los ejes X y Y se define como:
Al igual que momento de inercia, el producto de inercia tiene
unidades de longitud a la cuarta potencia y pueden ser
positivos, negativos o cero, dependiendo de la ubicación y
orientación de los ejes coordenados. Ya que si el área
analizada es simétrico con el eje X o el eje Y el producto
inercial será cero.
De todo esto podemos inferir que el producto inercial
depende mucho de como este ubicada el área con respecto a
los ejes de coordenadas.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Determinar el producto de inercia del área de un cuarto de elipse con respecto a
los ejes X e Y.
VIII.EJES PRINCIPALES Y
MOMENTOS PRINCIPALES
DE INERCIA
Momento de inercia
Momento de inercia
IX. CIRCULO DE MOHR PARA
MOMENTOS Y PRODUCTOS
DE INERCIA
Momento de inercia
• demostramos :
• si elevamos y sumamos las
ecuaciones, se encuentra que:
• (𝐼 𝑢 −
𝐼 𝑥−𝐼 𝑦
2
)2
+ (𝐼 𝑢𝑣)2
= (
𝐼 𝑥+ 𝐼 𝑦
2
)2
+
(𝐼 𝑥𝑦)2
• Aquí 𝐼 𝑥 , 𝐼 𝑦 , 𝐼 𝑥𝑦 son
constantes conocidas (𝐼 𝑢 − 𝑎)2
+(𝐼 𝑢𝑣)2 = 𝑅2
• Entonces la gráfica resulta
representada un circulo de radio.
• 𝑅 = (
𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦
2
)2+(𝐼 𝑥𝑦)2
• Con su centro ubicado( a,0) donde :
a=
𝐼 𝑥+𝐼 𝑦
2
para la sección mostrada en la figura , se
sabe que los momentos y el producto de
inercia con respecto a los ejes x y y están
dados por: 𝐼 𝑥 = 7.20 x 106
mm4
𝐼 𝑦 = 2.59
x 106
mm 4
𝐼 𝑥𝑦 = -2.54 x 106
mm4
con
el uso del circulo de morh ,determine. a) los
ejes principales de la sección respecto a O,
b) los valores de los momentos principales
de inercia de la sección con respecto a O,
c) los momentos y el producto de inercia de
la sección con respecto a los x, y y, que
forman un ángulo de 600 con respecto a los
ejes X y Y .
X. MOMENTOS DE INERCIA DE
UNA MASA
La aceleración de un cuerpo que resulta de fuerzas que actúan sobre el, depende de su
masa.
La o rotacional provocada por esas fuerzas que actúan sobre el cuerpo, dependen
de las cantidades llamadas momentos de inercia de masa sobre el cuerpo
aq
Se muestra un cuerpo y una línea eje L sedefine como®o
A menudo el cuerpo gira alrededor del eje el valor de se precisa
Para hallar la aceleración angular o razón de cambio de la velocidad angular .
Lo
Io
2
dI r dm
2
m
I r dm 
Momento de inercia de
masa de cuerpo respecto
del eje ´
oo
Distancia perpendicular
del eje al elemento
diferencial
´
oo
Momento de inercia de
masa de cuerpo respecto
del eje ´
oo
2 2
2 2
2
2
, ,
.
exp
SI ML Kg m
unidad de medida US F L T y M FT L lb s ft
slb
ftwsi m se resa en slug
g
slug ft



  
    

        
Los momentos de inercia respecto a sus ejes de coordenada xyz
Considerando un elemento de masa como el de la fig.
 2 2 2
dI r dm y z dm    
análogamente
( )
( )
( )Z Z
ìïï = = +ïïïïïïï = = +í
ïïïïï = = +ïïïïî
ò ò
ò ò
ò ò
2 2 2
2 2 2
2 2 2
m m
m m
m m
m m
m m
m m
I r y z
I r z x
I r y z
d d
d d
d d
c c
g g
Ecuación dimensional
Determine el momento de inercia de masa del solido que se forma al girar el área sombreada (gris claro)
Alrededor del eje .La densidad del material es
z
I
z
El paraboloide se forma al girar el área sombreada (gris claro) alrededor del eje
Determine el momento de inercia de masa cuando la densidad es r = 100 mm
x
x
I
XI. TEOREMA DE EJES PARALELOS
PARA UNA MASA
Tenemos un cuerpo de masa m. Sea
Oxyz un sistema de coordenadas
rectangulares cuyo origen está
localizado en el punto O y sea Gx’y’z’
un sistemas de ejes centroidales
paralelos cuyo origen está en centro de
gravedad G del cuerpo y cuyos ejes x’,
y’ y z’ son paralelos a los ejes x, y y z.
Representamos con y son las
coordenadas de G, se escribe las
siguientes relaciones:
Aplicamos en las ecuaciones de la formula general:
La primera integral representa el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje centroidal x’ ,
la segunda y la tercera representan el primer momento del cuerpo con respecto a los planos z’x’ y
x’y’ y como ambos planos contienen a G las dos integrales son iguales a cero: y la última integral es
igual a la masa total del cuerpo. Por tanto:
Y en forma similar:
Representado con una distancia d
entre un eje arbitario AA’ y un eje
centroidal BB’ se puede escribir la
siguiente relacion general:
Determina el momento de inercia con respecto al eje z, para el prisma
rectangular homogéneo.
El cuarto de anillo de masa m se cortó de una placa delgada uniforme.
si se sabe que determine el momento de inercia de masa con
respecto al eje centroidal CC’ perpendicular a la placa.
XII.MOMENTOS DE INERCIA DE
PLACAS DELGADAS
Momento de inercia
Momento de inercia
Momento de inercia
Momento de inercia
XIII.MOMENTOS DE INERCIA
DE UN CUERPO
TRIDIMENCIONAL
El momento de inercia de un cuerpo tridimensional se obtiene evaluando
la integral
Si el cuerpo está hecho de material homogéneo de densidad , el elemento
de masa dm es igual a dV
Para la mayoría de casos ‘ρ’ será una constante, y la integración queda:
Por tanto, para calcular el momento de inercia de un cuerpo
tridimensional será necesario llevar a cabo una triple integración o,
cuando menos, una doble integración.
Sin embargo, si el cuerpo posee dos planos de simetría, es posible
determinar el momento de inercia del cuerpo con una sola integración
seleccionando como elemento de masa dm una placa delgada que es perpendicular a los
planos de simetría.
en el siguiente caso de cuerpo de revolución, el elemento
de masa será un disco delgado (figura 1).
Con la fórmula estudiada hallar el momento de inercia del
disco con respecto al eje de revolución que se puede
expresar como se indica en la fig 1.
Un sólido se genera al girar el área sombreada mostrada con respecto al eje Y. Si la densidad del material es de 5
slug/𝑝𝑖𝑒3
determine el momento de inercia de masa con respecto al eje Y.
XIV.MOMENTOS DE INERCIA DE
CUERPOS COMPUESTOS
Muchas veces, en la práctica, el cuerpo de interés puede
descomponerse en varias formas simples, tales como cilindros,
esferas, placas y varillas, para las cuales se ha calculado y
tabulado previamente los momentos de inercia. También si
tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que ``le
falta un trozo'' podemos calcular su momento como la suma del
cuerpo sencillo menos el trozo que le falta.
Momento de inercia
Momento de inercia
Momento de inercia
El elemento de la maquina mostrada en la fig. esta fabricado de acero.
Determine el momento de inercia de masa del ensamble con respecto a:
a) El eje X
b) El eje Y
c) El eje Z
XV.MOMENTO DE INERCIA DE
UN CUERPO CON
RESPECTO A UN EJE
ARBITRARIO QUE PASA
POR EL PUNTO O:
Producto de inercia de masa
MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO CON RESPECTO A UN
EJE ARBITRARIO QUE PASA POR EL PUNTO O.
• El momento de inercia IOL de x, y y z de r respecto al eje OL
es igual a 𝑝2
𝑑𝑚 , donde p representa la distancia
perpendicular desde el elemento de masa dm hasta el eje
OL. Si se representa mediante 𝜆 al vector unitario localizado
a lo largo de OL, y con r al vector de posición del elemento
dm, puede advertirse que la distancia perpendicular p es
igual a r sin 𝜃, que es la magnitud del producto vectorial 𝜆 ×
𝑟. Por tanto, se escribe:
PRODUCTOS DE INERCIA DE MASA
• los productos de inercia es una extensión de la definición del
producto de inercia de un área, se reducen a cero bajo las mismas
condiciones de simetría que lo hacen los productos de inercia de
áreas, y el teorema de los ejes paralelos para productos de inercia de
masa está expresado por relaciones similares a la fórmula derivada
para el producto de inercia de un área
Considere un prisma rectangular
de masa m y la dos a, b y c.
Determine:
a) los momentos y productos de
inercia del prisma con respecto
a los ejes coordenados
mostrados.
b) el momento de inercia de dicho
cuerpo con respecto a la
diagonal OB.
XVI.ELIPSOIDES DE INERCIA :
Determinación de los ejes y los momentos
principales de inercia de un cuerpo de forma
arbitraria
Considerando el elipsoide de inercia del cuerpo en un punto dado O,
Para obtener los puntos donde los ejes principales intersecan la superficie del
elipsoide de inercia se debe escribir que r y 𝛻𝑓 son colineales, esto es:
𝛻 𝑓 = 2𝐾 𝒓 (1)
Donde K es una constante, 𝒓 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 y
𝛻𝑓 =
ƌ𝑓
ƌ𝑥
𝑖 +
ƌ𝑓
ƌ𝑦
𝑖 +
ƌ𝑓
ƌ𝑧
𝑖
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐼 𝑥 𝑥2
+ 𝐼 𝑦 𝑦2
+ 𝐼𝑧 𝑧2
− 2𝐼 𝑥𝑦 𝑥𝑦 − 2𝐼 𝑦𝑧 𝑦𝑧 − 𝐼𝑧𝑥 𝑧𝑥 − 1
Recordando que:
Al sustituir a r y 𝛻 𝑓 en la ecuación (1) se escribe:
𝐼 𝑥 𝑥 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑦 − 𝐼𝑧𝑥 𝑧 = 𝑘𝑥
−𝐼 𝑥𝑦 𝑥 + 𝐼 𝑦 𝑦 − 𝐼 𝑦𝑧 𝑧 = 𝑘𝑦
−𝐼𝑧𝑥 𝑥 − 𝐼 𝑦𝑧 𝑦 + 𝐼𝑧 𝑧 = 𝑘𝑧
(2)
Al dividir cada uno de los términos entre la distancia r
𝐼 𝑥 𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑦 − 𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑧 = 𝑘𝜆 𝑥
−𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑥 + 𝐼 𝑦 𝜆 𝑦 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑧 = 𝑘𝜆 𝑦
−𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑦 + 𝐼𝑧 𝜆 𝑧 = 𝑘𝜆 𝑧
(𝐼 𝑥−𝐾)𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑦 − 𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑧 = 0
−𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑥 + (𝐼 𝑦 − 𝐾)𝜆 𝑦 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑧 = 0
−𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑦 + (𝐼𝑧 − 𝐾)𝜆 𝑧 = 0
Para que este sistema de ecuaciones tenga una solución
distinta de 𝜆 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 0, su discriminante debe ser
igual o cero:
𝐼 𝑥 − K – 𝐼 𝑥𝑦 −𝐼𝑧𝑥
−𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑦 − 𝐾 −𝐼 𝑦𝑧
−𝐼𝑧𝑥 −𝐼 𝑦𝑧 𝐼𝑧 − 𝐾
=0
𝐾3
− 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 + 𝐼𝑧 𝐾2
+ 𝐼 𝑥 𝐼 𝑌 + 𝐼 𝑦 𝐼 𝑍 + 𝐼𝑧 𝐼 𝑋 − 𝐼 𝑥𝑦
2
− 𝐼 𝑌𝑍
2
− 𝐼 𝑍𝑋
2
𝐾
− 𝐼 𝑥 𝐼 𝑌 𝐼 𝑍 − 𝐼 𝑥 𝐼 𝑦𝑧
2
− 𝐼 𝑦 𝐼 𝑥𝑧
2
− 𝐼𝑧 𝐼 𝑥𝑦
2
− 2𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑥 = 0
)𝐼 𝑥
2(𝜆 𝑥 1
2
+ 𝐼 𝑦
2(𝜆 𝑦 1
2
+ )𝐼𝑧
2(𝜆 𝑧 1
2
− 2𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑥 1 𝜆 𝑦 1
− 2𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑦 1
𝜆 𝑧 1
Ahora se demostrara que las raíces k1, k2 y k3 de la ecuación son los
momentos principales de inercia del cuerpo dado
Consideramos un prisma rectangular de masa m y de lados a, b, c. determinar los momentos y productos de
Inercia del prisma con respecto a los ejes coordenados mostrados , el momento de dicho cuerpo con respecto
A la diagonal OB.

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Momento de inercia

  • 3. • El momento de inercia es la capacidad de resistencia que tiene un cuerpo, a sufrir una transformación. • Por ello podemos decir que el momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
  • 4. II. DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA POR INTEGRACIÓN
  • 5. MOMENTO DE INERCIA PARA UNA AREA POR INTEGRACION: Considere la Área dada en el plano 𝑥 − 𝑦, tomamos el diferencial de área(𝑑𝐴)
  • 6. 1)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “X” 𝐼𝑥 = 𝑦2 𝑑𝐴 Se define los siguientes momentos de inercia:
  • 7. 2)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “y” 𝐼𝑦 = 𝑥2 𝑑𝐴
  • 8. Determinar el momento de inercia con respecto a cada uno de sus ejes coordenadas correspondientes, del área sombreada que se muestra en la figura.
  • 9. • Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión del objeto , en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. III. MOMENTO POLAR DE INERCIA DE UNA AREA
  • 10. Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se representa por J.
  • 11. El momento de dA con respecto al polo O o al eje z, es denominado momento polar de inercia Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda el área el momento polar de inercia es: 𝐽 𝑜 = 𝑟2 𝑑𝐴 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2, lo que hace posible una relación entre 𝐼 𝑥, 𝐼 𝑦 y 𝐽 𝑜:
  • 12. IV. RADIO DE GIRO
  • 13. RADIO DE GIRO DE UN ÁREA El radio de giro de un área plana tiene unidades de longitud y es una cantidad usada a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro se determinarán de la siguiente manera. Tenemos un área A:
  • 14. • Consideremos que el área A tiene un momento de inercia 𝐼 𝑥con respecto al eje x. Imagine que se ha con centrado esta área en una tira delgada paralela al eje x. Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto al eje x, la tira debe ser colocada a una distancia 𝑘 𝑥 desde el eje x, donde 𝑘 𝑥 está definida por la relación: Y despejando 𝑘 𝑥 se obtiene:
  • 15. • En forma similar se pueden definir los radios de giro 𝑘 𝑦 y 𝑘 𝑜: • Y reescribiendo la ecuación del momento polar de inercia en términos de radio de giro tenemos:
  • 16. V. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN ÁREA O TEOREMA DE STEINER
  • 17. • Definición.- Considere el momento de inercia I de un área A con respecto a un eje AA´. Si se representa con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA´, se escribe: Ahora, en el centroide C del área un eje BB´ que es paralelo a AA´, dicho eje es llamado eje centroidal. Representando con y´ la distancia desde el elemento dA hasta BB´, se escribe y= y´+ d, donde d es la distancia entre los ejes AA´ y BB´. Sustituyendo por y en la integral anterior, se escribe: la primera integral representa el momento de inercia I del área con respecto al eje centroidal BB´. La segunda integral representa el primer momento del área con respecto a BB´; como el centroide C del área está localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente, se observa que la última integral es igual al área total A. Por tanto, se tiene:
  • 18. Determinar el momento de inercia del área mostrada:
  • 19. Determinar el momento de inercia del área mostrada:
  • 20. VI. MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS
  • 21. ÁREA COMPUESTA: Es aquella que esta divida en varias áreas componentes, por ejemplo el área A esta dividida en varias áreas: A1,A2 y A3 El momento de inercia de un área compuesta que consta de figuras conocidas se hallará aplicando las formulas que se encontraran en las tablas, sin embargo en algunas ocasiones antes de sumar los momentos de inercia será necesario utilizar el teorema de los ejes paralelos estudiado anteriormente.
  • 22. • EL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA SIEMPRE ES POSITIVO sin importar la posición del eje respecto al cual se realizará. • PARA CALCULAR EL MOMENTO POLAR DE INERCIA se pueden utilizar las formulas ya conocidas. Jo = Jx + Jy • Antes de realizar el procedimiento para hallar el momento de inercia es posible hallar el centroide.
  • 23. Hallar el momento de inercia del área sombreada:
  • 25. • El producto de inercia es importante para hallar el momento de inercia máximo y mínimo para el área. Estos valores máximos y mínimos son importantes para diseñar elementos estructurales y mecánicos como vigas y columnas. El producto de inercia del área con respecto a la figura mostrada con respecto a los ejes X y Y se define como:
  • 26. Al igual que momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de la ubicación y orientación de los ejes coordenados. Ya que si el área analizada es simétrico con el eje X o el eje Y el producto inercial será cero. De todo esto podemos inferir que el producto inercial depende mucho de como este ubicada el área con respecto a los ejes de coordenadas.
  • 27. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
  • 28. Determinar el producto de inercia del área de un cuarto de elipse con respecto a los ejes X e Y.
  • 29. VIII.EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA
  • 32. IX. CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA
  • 34. • demostramos : • si elevamos y sumamos las ecuaciones, se encuentra que: • (𝐼 𝑢 − 𝐼 𝑥−𝐼 𝑦 2 )2 + (𝐼 𝑢𝑣)2 = ( 𝐼 𝑥+ 𝐼 𝑦 2 )2 + (𝐼 𝑥𝑦)2 • Aquí 𝐼 𝑥 , 𝐼 𝑦 , 𝐼 𝑥𝑦 son constantes conocidas (𝐼 𝑢 − 𝑎)2 +(𝐼 𝑢𝑣)2 = 𝑅2 • Entonces la gráfica resulta representada un circulo de radio. • 𝑅 = ( 𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦 2 )2+(𝐼 𝑥𝑦)2 • Con su centro ubicado( a,0) donde : a= 𝐼 𝑥+𝐼 𝑦 2
  • 35. para la sección mostrada en la figura , se sabe que los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes x y y están dados por: 𝐼 𝑥 = 7.20 x 106 mm4 𝐼 𝑦 = 2.59 x 106 mm 4 𝐼 𝑥𝑦 = -2.54 x 106 mm4 con el uso del circulo de morh ,determine. a) los ejes principales de la sección respecto a O, b) los valores de los momentos principales de inercia de la sección con respecto a O, c) los momentos y el producto de inercia de la sección con respecto a los x, y y, que forman un ángulo de 600 con respecto a los ejes X y Y .
  • 36. X. MOMENTOS DE INERCIA DE UNA MASA
  • 37. La aceleración de un cuerpo que resulta de fuerzas que actúan sobre el, depende de su masa. La o rotacional provocada por esas fuerzas que actúan sobre el cuerpo, dependen de las cantidades llamadas momentos de inercia de masa sobre el cuerpo aq Se muestra un cuerpo y una línea eje L sedefine como®o A menudo el cuerpo gira alrededor del eje el valor de se precisa Para hallar la aceleración angular o razón de cambio de la velocidad angular . Lo Io 2 dI r dm
  • 38. 2 m I r dm  Momento de inercia de masa de cuerpo respecto del eje ´ oo Distancia perpendicular del eje al elemento diferencial ´ oo Momento de inercia de masa de cuerpo respecto del eje ´ oo
  • 39. 2 2 2 2 2 2 , , . exp SI ML Kg m unidad de medida US F L T y M FT L lb s ft slb ftwsi m se resa en slug g slug ft                      Los momentos de inercia respecto a sus ejes de coordenada xyz Considerando un elemento de masa como el de la fig.  2 2 2 dI r dm y z dm     análogamente ( ) ( ) ( )Z Z ìïï = = +ïïïïïïï = = +í ïïïïï = = +ïïïïî ò ò ò ò ò ò 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m m m m m m m m m m m m I r y z I r z x I r y z d d d d d d c c g g Ecuación dimensional
  • 40. Determine el momento de inercia de masa del solido que se forma al girar el área sombreada (gris claro) Alrededor del eje .La densidad del material es z I z
  • 41. El paraboloide se forma al girar el área sombreada (gris claro) alrededor del eje Determine el momento de inercia de masa cuando la densidad es r = 100 mm x x I
  • 42. XI. TEOREMA DE EJES PARALELOS PARA UNA MASA
  • 43. Tenemos un cuerpo de masa m. Sea Oxyz un sistema de coordenadas rectangulares cuyo origen está localizado en el punto O y sea Gx’y’z’ un sistemas de ejes centroidales paralelos cuyo origen está en centro de gravedad G del cuerpo y cuyos ejes x’, y’ y z’ son paralelos a los ejes x, y y z. Representamos con y son las coordenadas de G, se escribe las siguientes relaciones:
  • 44. Aplicamos en las ecuaciones de la formula general: La primera integral representa el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje centroidal x’ , la segunda y la tercera representan el primer momento del cuerpo con respecto a los planos z’x’ y x’y’ y como ambos planos contienen a G las dos integrales son iguales a cero: y la última integral es igual a la masa total del cuerpo. Por tanto: Y en forma similar:
  • 45. Representado con una distancia d entre un eje arbitario AA’ y un eje centroidal BB’ se puede escribir la siguiente relacion general:
  • 46. Determina el momento de inercia con respecto al eje z, para el prisma rectangular homogéneo.
  • 47. El cuarto de anillo de masa m se cortó de una placa delgada uniforme. si se sabe que determine el momento de inercia de masa con respecto al eje centroidal CC’ perpendicular a la placa.
  • 48. XII.MOMENTOS DE INERCIA DE PLACAS DELGADAS
  • 53. XIII.MOMENTOS DE INERCIA DE UN CUERPO TRIDIMENCIONAL
  • 54. El momento de inercia de un cuerpo tridimensional se obtiene evaluando la integral Si el cuerpo está hecho de material homogéneo de densidad , el elemento de masa dm es igual a dV Para la mayoría de casos ‘ρ’ será una constante, y la integración queda:
  • 55. Por tanto, para calcular el momento de inercia de un cuerpo tridimensional será necesario llevar a cabo una triple integración o, cuando menos, una doble integración. Sin embargo, si el cuerpo posee dos planos de simetría, es posible determinar el momento de inercia del cuerpo con una sola integración seleccionando como elemento de masa dm una placa delgada que es perpendicular a los planos de simetría. en el siguiente caso de cuerpo de revolución, el elemento de masa será un disco delgado (figura 1). Con la fórmula estudiada hallar el momento de inercia del disco con respecto al eje de revolución que se puede expresar como se indica en la fig 1.
  • 56. Un sólido se genera al girar el área sombreada mostrada con respecto al eje Y. Si la densidad del material es de 5 slug/𝑝𝑖𝑒3 determine el momento de inercia de masa con respecto al eje Y.
  • 57. XIV.MOMENTOS DE INERCIA DE CUERPOS COMPUESTOS
  • 58. Muchas veces, en la práctica, el cuerpo de interés puede descomponerse en varias formas simples, tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las cuales se ha calculado y tabulado previamente los momentos de inercia. También si tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que ``le falta un trozo'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el trozo que le falta.
  • 62. El elemento de la maquina mostrada en la fig. esta fabricado de acero. Determine el momento de inercia de masa del ensamble con respecto a: a) El eje X b) El eje Y c) El eje Z
  • 63. XV.MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO CON RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO QUE PASA POR EL PUNTO O: Producto de inercia de masa
  • 64. MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO CON RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO QUE PASA POR EL PUNTO O. • El momento de inercia IOL de x, y y z de r respecto al eje OL es igual a 𝑝2 𝑑𝑚 , donde p representa la distancia perpendicular desde el elemento de masa dm hasta el eje OL. Si se representa mediante 𝜆 al vector unitario localizado a lo largo de OL, y con r al vector de posición del elemento dm, puede advertirse que la distancia perpendicular p es igual a r sin 𝜃, que es la magnitud del producto vectorial 𝜆 × 𝑟. Por tanto, se escribe:
  • 65. PRODUCTOS DE INERCIA DE MASA • los productos de inercia es una extensión de la definición del producto de inercia de un área, se reducen a cero bajo las mismas condiciones de simetría que lo hacen los productos de inercia de áreas, y el teorema de los ejes paralelos para productos de inercia de masa está expresado por relaciones similares a la fórmula derivada para el producto de inercia de un área
  • 66. Considere un prisma rectangular de masa m y la dos a, b y c. Determine: a) los momentos y productos de inercia del prisma con respecto a los ejes coordenados mostrados. b) el momento de inercia de dicho cuerpo con respecto a la diagonal OB.
  • 68. Determinación de los ejes y los momentos principales de inercia de un cuerpo de forma arbitraria Considerando el elipsoide de inercia del cuerpo en un punto dado O, Para obtener los puntos donde los ejes principales intersecan la superficie del elipsoide de inercia se debe escribir que r y 𝛻𝑓 son colineales, esto es: 𝛻 𝑓 = 2𝐾 𝒓 (1) Donde K es una constante, 𝒓 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 y 𝛻𝑓 = ƌ𝑓 ƌ𝑥 𝑖 + ƌ𝑓 ƌ𝑦 𝑖 + ƌ𝑓 ƌ𝑧 𝑖
  • 69. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐼 𝑥 𝑥2 + 𝐼 𝑦 𝑦2 + 𝐼𝑧 𝑧2 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑥𝑦 − 2𝐼 𝑦𝑧 𝑦𝑧 − 𝐼𝑧𝑥 𝑧𝑥 − 1 Recordando que: Al sustituir a r y 𝛻 𝑓 en la ecuación (1) se escribe: 𝐼 𝑥 𝑥 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑦 − 𝐼𝑧𝑥 𝑧 = 𝑘𝑥 −𝐼 𝑥𝑦 𝑥 + 𝐼 𝑦 𝑦 − 𝐼 𝑦𝑧 𝑧 = 𝑘𝑦 −𝐼𝑧𝑥 𝑥 − 𝐼 𝑦𝑧 𝑦 + 𝐼𝑧 𝑧 = 𝑘𝑧 (2) Al dividir cada uno de los términos entre la distancia r 𝐼 𝑥 𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑦 − 𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑧 = 𝑘𝜆 𝑥 −𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑥 + 𝐼 𝑦 𝜆 𝑦 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑧 = 𝑘𝜆 𝑦 −𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑦 + 𝐼𝑧 𝜆 𝑧 = 𝑘𝜆 𝑧 (𝐼 𝑥−𝐾)𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑦 − 𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑧 = 0 −𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑥 + (𝐼 𝑦 − 𝐾)𝜆 𝑦 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑧 = 0 −𝐼𝑧𝑥 𝜆 𝑥 − 𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑦 + (𝐼𝑧 − 𝐾)𝜆 𝑧 = 0
  • 70. Para que este sistema de ecuaciones tenga una solución distinta de 𝜆 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 0, su discriminante debe ser igual o cero: 𝐼 𝑥 − K – 𝐼 𝑥𝑦 −𝐼𝑧𝑥 −𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑦 − 𝐾 −𝐼 𝑦𝑧 −𝐼𝑧𝑥 −𝐼 𝑦𝑧 𝐼𝑧 − 𝐾 =0 𝐾3 − 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 + 𝐼𝑧 𝐾2 + 𝐼 𝑥 𝐼 𝑌 + 𝐼 𝑦 𝐼 𝑍 + 𝐼𝑧 𝐼 𝑋 − 𝐼 𝑥𝑦 2 − 𝐼 𝑌𝑍 2 − 𝐼 𝑍𝑋 2 𝐾 − 𝐼 𝑥 𝐼 𝑌 𝐼 𝑍 − 𝐼 𝑥 𝐼 𝑦𝑧 2 − 𝐼 𝑦 𝐼 𝑥𝑧 2 − 𝐼𝑧 𝐼 𝑥𝑦 2 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑥 = 0 )𝐼 𝑥 2(𝜆 𝑥 1 2 + 𝐼 𝑦 2(𝜆 𝑦 1 2 + )𝐼𝑧 2(𝜆 𝑧 1 2 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝜆 𝑥 1 𝜆 𝑦 1 − 2𝐼 𝑦𝑧 𝜆 𝑦 1 𝜆 𝑧 1 Ahora se demostrara que las raíces k1, k2 y k3 de la ecuación son los momentos principales de inercia del cuerpo dado
  • 71. Consideramos un prisma rectangular de masa m y de lados a, b, c. determinar los momentos y productos de Inercia del prisma con respecto a los ejes coordenados mostrados , el momento de dicho cuerpo con respecto A la diagonal OB.