1. Mecánica 1: Estática
Capítulo 3:
Cuerpos Rígidos: Sistemas
Equivalentes de Fuerzas
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el Ingeniero
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2. Momento de un “par”
• Dos fuerzas F y -F que tienen igual
magnitud, líneas paralelas de acción
y sentidos opuestos, forman lo que se
conoce como un par.
• El momento de un par es
independiente de la escogencia del
origen de los ejes de coordenadas,
es decir, es un vector libre que
puede aplicarse en cualquier punto,
produciendo el mismo efecto.
• Momento de un par,

M
 

r A F rB



r A rB
F
 
r F
M
rF sin
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
F
Fd
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3. Momento de un “par”
Dos pares tendrán igual momento si:
• F1 d 1 F2 d 2
• Los dos pares yacen en planos paralelos, y
• Los dos pares tienen la misma dirección,
o la tendencia a causar la rotación en la
misma dirección.
Pares equivalentes: ambos producen el mismo
Pares no-equivalentes: ambos producen el
momento y están en planos paralelos,
mismo momento pero no están en planos
Grupo tutor-el por el
produciendo una rotación en la misma dirección desarrollo integralporello que la rotación se da en ejes
paralelos, de
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diferentes.

4. Los pares pueden representarse
por vectores
• Un par puede representarse por un vector de magnitud y
dirección igual al momento del par.
• Los vectores par obedecen la ley de la suma de vectores
• Los vectores par son vectores libres, i.e., su punto de
aplicación no es importante.
• Los vectores par se pueden descomponer en sus
componentes vectoriales.
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5. Descomposición de una Fuerza en una
Fuerza en O y un Par
• El vector fuerza F puede moverse de A a O, pero al hacerlo hay que
considerar la forma en que afecta su acción sobre el cuerpo.
• Fijar vectores fuerza iguales y opuestos en O, no produce un efecto
neto sobre el cuerpo.
• Las 3 fuerzas pueden reemplazarse por un vector fuerza
equivalente y un vector par, es decir, un sistema fuerza-par.
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6. Descomposición de una Fuerza en una
Fuerza en O y un Par
Note que en general, crear un sistema FUERZA-PAR, partiendo de una
fuerza F, consiste en tomar las fuerzas y momentos existentes y
calcular:

R
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
F

MO

M
E X IST
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
r

F
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7. Aplicación de la descomp. de una Fuerza en
Sistemas Fuerza-Par
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8. Descomposición de una Fuerza en una
Fuerza en O y un Par
• Si moviéramos F de A hasta otro punto O’ , esto requiere
la suma de un vector par distinto MO’

M O'

r

F
• Los momentos de F en O y O’ se relacionan así,

M O'
 
 
r' F
r s

 
MO s F

F

r

F

s

F
• Mover el sistema fuerza-par de O hasta O’ requiere sumar el
Grupo en por sobre O’.
momento de la fuerzatutor-elO, el desarrollo integral de el
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9. Ejercicios
7.
(3.80) La fuerza P = 500 N se aplica en el punto A del elemento mostrado.
Reemplace P con: (a) un sistema equivalente fuerza–par en C, (b) un
sistema equivalente constituido por una fuerza vertical en B y una segunda
fuerza en D.
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10. Ejercicios
8.
(3.85) Los trabajadores tratan de
mover la caja de 1.2x1.2x1.2m
aplicando las fuerzas mostradas.
(a) Si P = 250 N, reemplace las 3
fuerzas con un sistema fuerza-par
equivalente en A. (b) Reemplace
el sistema fuerza-par de (a) por
una sola fuerza, indicando el
lugar del lado AB en donde se
debe aplicar. (c) Determine P tal
que las 3 fuerzas puedan
sustituirse por una sola fuerza
aplicada en B.
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11. Ejercicios
9.
La fuerza de tensión en el cable
AB es de 850 lb. Calcule el
sistema fuerza-par equivalente de
esta fuerza respecto al punto E.
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12. Sistemas de Fuerzas: Reducción a
Fuerza y Par
• Un sist. de fuerzas puede sustituirse por un grupo de
sistemas fuerza-par actuando en un punto dado O
• Los vectores fuerza y par pueden dar como resultante
un vector fuerza y un vector par, tal que:

R

F
 R
MO

r

F
• El sist. Fuerza-par en O puede moverse a O’ con la
suma del momento de R sobre O’ ,
 R
M O'
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 R
MO

s

R
Nota: 2 sistemas de fuerzas son equivalentes si
pueden reducirsetutor-elmismo sistema fuerza-par.
Grupo al por el desarrollo integral de el
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13. Reducción adicional de un
Sistema de Fuerzas
• Si la fuerza y el par resultantes en O son perpendiculares entre ellos, pueden
ser sustituidos por una fuerza sencilla actuando a lo largo de una nueva línea
de acción.
• ¿Y cómo saber si un sistema fuerza-par tiene sus componentes perpendiculares
entre ellos? Se cumplen algunas de las siguientes condiciones:
1) las fuerzas son concurrentes,
2) las fuerzas son coplanares, o
3) las fuerzas son paralelas.
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14. Reducción adicional de un Sistema
de Fuerzas
• Entonces, el sist. coplanar defuerzas se
R
reduce a un sist. Fuerza-par R y M O que
es mutuamente perpendicular.
• Este sistema puede reducirse a una
simple fuerza, al mover la línea de

acción de R hasta que su momento
 R
sobre O sea M O
• En coordenadas rectangulares,
xR y
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yR x
M
R
O
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15. Problema resuelto 3.8
SOLUCIÓN:
a) Calcule la fuerza resultante de las
fuerzas mostrada, y el par
resultante para los momentos de las
fuerzas sobre A.
Para la viga mostrada, reduzca el
sistema de fuerzas mostrado en: (a) un
sistema equivalente fuerza-par en A,
(b) un sistema equivalente fuerza-par
en B, y (c) una fuerza sencilla, o
resultante.
b) Encontrar un sistema equivalente
fuerza-par en B basado en el
sistema fuerza-par en A.
c) Determinar el punto de aplicación
para la fuerza resultante, tal que
su momento sobre A sea igual al
par resultante en A.
Nota: Dado que las reacciones de
soporte no se incluyen, el sistema
dado no mantendrá la viga Grupo tutor-el por el desarrollo integral de el
en
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equilibrio.
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16. Problema resuelto 3.8
SOLUCIÓN:
a) Calcular la fuerza y par resultantes en A.

R

F

150 N j

600 N j

100 N j

R

M
R
A
 
r F

1 .6 i

4 .8 i

600 j

250 j

600 N j

2 .8 i

M
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
250 N j
R
A

100 j

1880 N m k
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17. Problema resuelto 3.8
b) Encontrar el sistema fuerza-par equivalente
en B basado en el sist. fuerza-par en A. Note
que la fuerza no cambia por el traslado del
sistema fuerza-par de A a B, por lo tanto:

R

600 N j
El par en B es igual al momento en B del
sistema fuerza-par encontrado en A.

M
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R
B

M
R
A

rB
A

R

1880 N m k

1880 N m k
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
4 .8 m i

600 N j

2880 N m k

 R
MB
1000 N m k
17

18. Problema resuelto 3.10
SOLUCIÓN:
• Determine los vectores de posición
relativos para los puntos de aplicación
de las fuerzas de los cables con
respecto a A.
• Descomponga las fuerzas en sus
componentes rectangulares.
• Calcule la fuerza equivalente,
Tres cables están sujetos a un
soporte. Reemplace las fuerzas con
un sistema fuerza-par equivalente
en A.
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
R

F
• Calcule el par equivalente,

M
R
A
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
r

F
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19. Problema resuelto 3.10
• Descomponiendo las fuerzas en sus
componentes rectangulares:

FB


700 N


rE B
75 i
rE
SOLUCIÓN:
• Determine los vectores de posición
relativos con respecto a A.

rB

rC

rD
A
A
A

0 . 075 i

0 . 075 i

0 . 100 i
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
FB

FC

150 j
175



0 . 429 i 0 . 857 j 0 . 289 k



300 i 600 j 200 k N
B

1000 N cos 45 i


707 i 707 j N

0 . 050 k m



FD
1200 N cos 60 i
0 . 050 k m



600 i
0 . 100 j mGrupo tutor-el por el desarrollo integral de el 1039 j N
Ingeniero

50 k

cos 45 j

cos 30 j
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20. Problema resuelto 3.10
• Calculando la fuerza equivalente, • Calculando el par equivalente,


R

600 i

600 1039 j

200 707 k
300

R

M
F

1607 i
707

439 j

507 k

rB
A

FB
N

rC

rD
A
A

F

i

j

k
0 . 075
0
0 . 050

r
R
A

Fc

FD
300

i
600

j
0 . 075
0
0 . 050
707

i
0
707
0 . 100
600
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 R


Grupo tutor-el por elM A
desarrollo integral de 17 . 68 j
30 i el
Ingeniero

45 k

30 i
200

k

j

k
0 . 100
0
1039

118 . 9 k

17 . 68 j

163 . 9 k
0
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21. Ejercicios
10. (3.102) Las masas de dos niños sentados en los extremos A y B de un
balancín son 38 y 29 kg respectivamente. ¿Dónde debe sentarse un 3er niño
para que la resultante de fuerzas de los pesos de los 3 niños pase por C, si la
masa del 3er niño es (a) 27 kg (b) 24 kg
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21

22. Ejercicios
11. (3.104) Al conducir un camión vacío sobre una báscula, se determina que
las cargas sobre los ejes delantero y trasero son de 18 y 12 kN,
respectivamente. Indique el peso y la ubicación de la carga Q más pesada
que puede transportar el camión si la carga para cada eje no debe
sobrepasar los 40 kN.
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22

23. Ejercicios
12. (3.108) Se tiene una elemento angular con las fuerzas y par aplicados.
Encuentre: (a) la resultante del este sistema de fuerzas, (b) los puntos donde
la línea de acción de la resultante interseca las líneas AB y BC.
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