1. TORQUE O
MOMENTO

2. INTERPRETACIÓN DEL TORQUE O MOMENTO
τ
r F
El momento de una
fuerza con respecto a un
eje da a conocer en qué
medida existe capacidad
en una fuerza o sistema
de fuerzas para causar la
rotación del cuerpo
alrededor de un eje que
pase por dicho punto.

3. El momento tiende a provocar un giro en el
cuerpo sobre el cual se aplica y es una
magnitud característica en elementos que
trabajan sometidos a Torsión (como los
ejes de maquinaria) o a Flexión (como las
VIGAS)

4. MOMENTO DE UNA FUERZA
Se denomina
momento de una
fuerza (respecto a
un punto dado) al
efecto de giro o
rotación, que
produce una
fuerza que actúa
sobre un cuerpo
cuando su línea de
acción no pasa por
su centro de
•
C.G.
b
F
Momento en la forma
Escalar:
M b F

5. MOMENTO DE UNA FUERZA
Sabemos que la
fuerza es una
magnitud vectorial,
entonces la pregunta
es: ¿Qué tipo de
magnitud es el
momento?, Escalar o
vectorial.
•
C.G.
b
F
r
En el momento
importa donde actúa
la fuerza con
respecto al C.G., ese
punto lo definimos
con un radio vector.
θ
M b F r F Sen
C  A  F  AB Sen
M  r F r F Sen

6. MOMENTO DE UNA FUERZA
M b F r F Sen
C  A  B  AB Sen
M  r F r F Sen
C  A  B
M  r  F
Entonces el momento es una magnitud
vectorial, y la obtenemos multiplicando el
radio vector en producto vectorial con el
vector fuerza, nunca en sentido contrario.

7. MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de una fuerza aplicada en un
punto A con respecto de un punto O viene
dado por el PRODUCTO VECTORIAL del
vector de posición rOA por el vector fuerza
F; esto es:
M r F o OA  
Mo MO r F Sen  
Módulo:

8. DIRECCIÓN: Siempre perpendicular al
plano que contiene a r y F.
Sentido: Según la
regla de la mano
derecha.
Dado que las fuerzas tienen
carácter de vectores
deslizantes, el momento de
una fuerza es independiente
de su punto de aplicación
sobre su recta de acción o

9. M r F o OA  

10. COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO
O
Fz
r A
Fy
Fx
z
x
y
r  x i  y j  z k
F  Fx i  Fy j  Fz k

11. Si M r F o OA ,  
M Mx i  My j Mz k
i j k
x y z
Fx Fy Fz
M 
M  ( yFz  zFy) i  (zFx  xFz) j  (xFy  yFx) k

12. Ejemplo
 Determine el momento ejercido por el peso de
30 lbf con respecto a los puntos (a) E y (b) S

13. Ejemplo
Se aplica una fuerza vertical de 100
lb al extremo de una palanca que
está unida a un eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100
lb con respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal
que aplicada en A produce el mismo
momento produce el mismo
momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en
A produce el mismo momento
respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe
aplicarse una fuerza vertical de 750

14. Parte (a) En la forma
escalar el momento es:
 
M bF
O
M in lbf
O
(24 ) 100 cos60

 
M lbf in
O
1200

MO 1200 lb  in
SOLUCIÓN
La dirección de Mo es perpendicular al plano
que contiene F y d y su sentido se determina
mediante la regla. derecha
+
+

15. SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplicada en A
produce el mismo momento se
determina en la forma siguiente:
 
  
24 in. sin 60 20.8 in.
M Fd
 

1200 lbf in. 20.8 in.
1200 lbf 
in.
20.8 in.
 

F
F
d
O
F  57.7 lbf

16. SOLUCIÓN
Parte (c) Debido a que M = F d. el
mínimo valor de F corresponde
al máximo valor de d. Eligiendo
la fuerza perpendicular a OA se
encuentra que d = 24 in;
entonces
MO Fd
 

1200 lb in. 24 in.
1200 lb 
in.
24 in.
 

F
F
F  50 lbf

17. SOLUCIÓN
Parte (d). En este caso Mo =
Fd obteniendo:
 

1200 lbf in 240 lbf
1200 lbf in.
 
cos60 5 in.
5 in.
240 lbf
 



OB
d
d
M Fd O
OB 10 in.

18. Ejemplo:
La placa rectangular es soportada por dos
pernos en A y B y por un alambre CD.
Conociendo que la tensión en el alambre es 200
N. Determine el momento con respecto al punto A
de la fuerza ejercida por el alambre en C
SOLUCIÓN
El momento MA de la
fuerza F ejercida por el
alambre es obtenido
evaluando el producto
vectorial

19. SOLUCIÓN
(0; 0,24; 0,08)
(0; 0; 0,32)
(0,3; 0; 0,40)
  
M r F A C A
  
r  r 
r
C A C A
 
 
r  i  k
C A
 0.3 m  0.08 m

20.  
 
F F
200 N
  
 

r
C D
r
C D
  
     
i j k
  
0.3 m 0.24 m 0.32 m
0.5 m
  
200 N
 i   j  k
   
120 N 96 N 128 N

0.3 0 0.08
 
120 96 128

i j k
MA
  

SOLUCIÓN

21. Ejercicio:
La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la
tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos
alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por
los cables en el punto A es cero.

22. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN
EJE QUE PASA POR EL ORIGEN
 Sabemos que el momento de
la fuerza F respecto al punto
O.
El momento de la fuerza F con
respecto al eje OL es la
proyección ortogonal de Mo
sobre el eje OL.
r r r r
    0
ˆ. ˆ ˆ. . ˆ OL M   M    r F 
 
El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la
tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido
rotación alrededor del eje OL

23. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN
EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA
El momento de una
fuerza alrededor de
un eje cualquiera es:
r r r r
    /
     
M M r F
r r r
r r r
/
ˆ. ˆ ˆ. . ˆ OL B A B
A B A B
 
 
El resultado es
independiente del
punto B

24. Ejemplo
Sobre un cubo de arista a
actúa una fuerza P, como
se muestra en la figura.
Determine el momento de
P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la arista
AB.
(c) Con respecto a la
diagonal AG

25. SOLUCIÓN
  
• Moment of P about A,
 
    
 
M r P
A F A
r  ai  a j  a i 
j
    
   
F A
P  P 2 i  2 j  P 2
i 
j
    
M ai j  P i j 
A
   2

   
M  aP 2 i  j 
k  A
La magnitud del momento respecto a AB es
 
• Moment of P about AB,
M  i 
MAB A
   
i aP i j k 
  2
 
M aP 2 AB 

26. SOLUCIÓN
(c) La magnitud del momento respecto a AG es
  
 
1
AG A
   
ai aj ak
M M
A G
   
 
   
 
i j k
r
aP
  
2
1
     
3 2
1 1 1
6
3
3
  
  
 
 
aP
i j k
aP
M
A
M i j k
i j k
a
r
AG
A G
     

 


aP
6
MAG  

27. Ejercicio
Se aplica una tensión T
de intensidad 10 kN al
cable amarrado al
extremo superior A del
mástil rígido y se fija en
tierra en B. Hallar el
momento Mz de T
respecto del eje Z que
pasa por la base O del
mástil.

28. Ejercicio
La fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y está
dirigida de A hacia B.
Determine: (a) La
proyección FCD de La
fuerza F sobre la recta
CD (b) el ángulo que θ
que forma la fuerza F y
la recta CD y (c) si el
modulo del momento F
respecto a la recta CD es
de 50 N. m, halle el
módulo de la fuerza

29. Ejercicio
La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento
alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando
en A. Compare su resultado con el momento del peso
de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x.
¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando
en A alrededor de la línea OB

30. Ejemplo
 Una barra doblada está rígidamente fijada a una
pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud
F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea
de acción que pasa por el origen, como se
muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la
fuerza respecto al punto P, (b) el momento
respecto a la línea l que pasa por P con una
pendiente 5/12 en el plano yz.

31. PRINCIPIO DE MOMENTOS:
Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta
actuando sobre un cuerpo como se muestra
en la figura, el momento de la fuerza
resultante alrededor del punto puede ser
determinado mediante la suma de cada uno
de los momentos de las fueras individuales
respecto al mismo punto. Es decir:

32. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de
Varignon

33. CUPLA O PAR DE FUERZAS
La cupla o par de fuerzas es un
sistema formado por dos fuerzas F y
–F que tiene la misma magnitud,
líneas de acción paralelas pero de
se•nEtildmoosmoepnuteosdteosla. cupla es,
El vector momento de la cupla es un
vector independiente del origen o es
decir es un vector libre
perpendicular al plano que contiene

34. DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR
La cupla es un vector
libre perpendicular al
plano de la cupla y su
sentido se determina
mediante la regla de la
mano derecha

35. CUPLA O PAR DE FUERZAS
 Dos cuplas tendrán igual
momento si:
a)
b) Las dos cuplas se
encuentran ubicadas en
planos paralelos
c) La dos cuplas tienen el
mismo sentido o la misma
tendencia a causar rotación y
la misma dirección

36. Ejercicio de cupla
 Determine el momento de la cupla mostrada
en la figura y la distancia perpendicular
entre las dos fuerzas

37. Ejercicio de cupla
Una cupla compuesta por: F1 = (-70i - 120j -
80k)lbf, y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan
en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la
figura. Determine el momento de la cupla y la
distancia perpendicular entre las dos fuerzas