3. Para diseñar el rizo de estas
montañas, es necesario
asegurarse que los carros
tengas la suficiente energía
para completar el rizo sin
que se salgan de los rieles
4. TRABAJO DE UNA FUERZA
Se estudiara el movimiento de una partícula teniendo en cuenta los conceptos de
Trabajo y Energía y se resolverán problemas que impliquen fuerza, velocidad
desplazamiento.
Trabajo de una fuerza.-
Una fuerza realizara trabajo sobre una partícula sólo cuando ésta sufra un
desplazamiento en la dirección de la fuerza aplicada.
dr ds
.
dU F d r
. cos
a b ab
d r : muy pequeño
cos
dU F dr
cos
dU F ds
5. 90
0
180
dU F ds
dU F ds
F
F
0
dU
F
Unidades:
( ) .
J Joule N m
cos
dU F ds
7. Trabajo de una fuerza variable
2
1
cos
S
S
dU F ds
F : variable
2
1
1 2 cos
S
S
U F ds
cos
dU F ds
El área bajo la curva representa el trabajo total de la fuerza
9. Trabajo de una fuerza constante a lo largo de un línea recta
2
1
1 2 cos
S
c
S
U F ds
C
F : constante
: constante
1 2 2 1
cos ( )
c
U F s s
El área bajo la recta
(rectángulo) representa el
trabajo de la fuerza
2
1
1 2 cos
S
S
U F ds
12. Trabajo del peso
W W j
dr dxi dy j dz k
.
U F dr
2
1
( ).( )
y
y
U W j dxi dy j dz k
2
1
y
y
U W dy
2 1
( )
U W y y
U W y
Se observa que el trabajo
es independiente de la
trayectoria de la
partícula. El trabajo es
negativo puesto que el
peso actúa hacia abajo y
la partícula va hacia
arriba
14. Trabajo Elástico
Cuando el resorte es estirado, éste
ejerce una fuerza sobre la partícula
en sentido contrario al
alargue(desplazamiento):
s
F k s
dU F ds
dU k s ds
2
1
s
s
dU k s ds
2 2
2 1
1 1
( )
2 2
U k s k s
El área bajo la recta,
representa el trabajo
de la fuerza elástica
(trabajo de la fuerza
de un resorte).
F
15. Para no cometer errores en el
signo, se debe comparar el
sentido de la fuerza que actúa
sobre la partícula con el
sentido del desplazamiento de
ésta.
Si los dos tienen el mismo
sentido el trabajo será
positivo, si tienen sentidos
opuestos el trabajo será
negativo.
F
17. 2cos30
2 30
sen
0.5m
P
U F d
400(2cos30 )
P
U
692.8
P
U J
Fuerza P:
2 2
2 1
1 1
( )
2 2
U k s k s
Fuerza del resorte:
2 2
1 1
(30)(2.5) (30)(0.5)
2 2
s
U
90
s J
U
Peso:
W
U W d
W
U mg d
(10)(9.81)(2 30 )
W sen
U
98.1
W
U J
18. 2cos30
2 30
sen
0.5m
Fuerza normal:
90
s J
U
98.1
W
U J
Esta fuerza no realiza trabajo por que actúa
perpendicular al desplazamiento
692.8
P
U J
692.8 90 98.1
U J J J
Trabajo total será:
505
U J
20. Principio de trabajo y energía
P 2
s
1
s
1
v
2
v
Partícula de masa: m
t
dv
a v
ds
t t
F ma
t
dv
F mv
ds
2 2
1 1
s v
t
s v
F ds mv dv
2
1
2 2
2 1
1 1
cos
2 2
s
s
F ds mv mv
2 2
1 2 2 1
1 1
2 2
U mv mv
Teorema del trabajo y energía
F
: Fuerza resultante de todas las fuerzas
externas que actúan sobre la partícula
21. P 2
s
1
s
1
v
2
v
Partícula de masa: m
2 2
1 2 2 1
1 1
2 2
U mv mv
1 2
U
Es el trabajo realizado por todas las
fuerzas externas que actúan sobre la
partícula
2
1 1
1
2
T mv
Energía cinética inicial (J)
2
2 2
1
2
T mv
Energía final (J)
1 1 2 2
T U T
Se resuelven situaciones que impliquen fuerza,
velocidad y desplazamiento
F
: Fuerza resultante de todas las fuerzas
externas que actúan sobre la partícula
22. Si un automóvil choca estos barriles de
protección, su energía cinética se
transformara en trabajo, lo que hace que
tanto los barriles y el automóvil se
deformen. Si se conoce la cantidad de
energía que puede absorber cada barril,
es posible diseñar un parachoques de este
tipo.
24. Principio de trabajo y energía para un sistema de partículas
1 1 2 2
T U T
Para una partícula
sometida a fuerzas
externas
i
F : fuerza resultante de la fuerzas externas
que actúan sobre la partícula
i
f : fuerza resultante de la fuerzas internas
que actúan sobre la partícula
Estas dos fuerzas realizan trabajo sobre
la i –esima partícula
1 1 2 2
T U T
Para todas las partículas
1 2
U
: trabajo realizado por todas las fuerzas internas
y externas que actúan sobre la partícula
Para un cuerpo rígido en traslación, el
trabajo de las fuerzas internas es cero
25. El trabajo realizado por la fricción
reduce la energía cinética del
neumático
Trabajo de fricción por deslizamiento
26. 1 1 2 2
T U T
W
N
k
F N
1 2
P F
T U U T
k
k
:coeficiente de rozamiento cinético
F
: fuerza de rozamiento
28. s
F
W
Cuando el bloque se suelta:
1
: 0
velocidad inicial del bloque v
2
: 0.6
posicion final del resorte s
2
: 0
velocidad final del bloque v
1 1 2 2
T U T
1 2
s W
T U U T
2 2
2 1
1 1
( )
2 2
U k s k s
1 1 2 2
T U T
0.3
:
elevacion del bloque h
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
( )
2 2 2 2
m v k s k s W y m v
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
( )
2 2 2 2
m v k s k s m g y m v
29. 1 0
v
2 0.6
s
2 0
v
0.3
y h
2 2
1 1 1 1
(0) (200)(0.6) (200)(0.7) 2(9.81) 0.3 (0)
2 2 2 2
( )
m h m
1 0.7
s 200 /
k N m
2
m kg
2
9.81 /
g m s
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
( )
2 2 2 2
m v k s k s m g y m v
0.963
h m
31. Potencia dU
P
dt
.
dU F d r
.
F d r
P
dt
.
P F v
Unidades:
/ . /
W J s N m s
550 . / 746
HP pies lb s W
Potencia, sirve para determinar el
tipo de motor o maquina
requerido para efectuar cierta
cantidad de trabajo en un tiempo
dado
Una bomba de determinada
potencia vaciará un deposito en
menor tiempo que otra bomba de
menor potencia
Potencia instantánea
m
U
P
t
Potencia media
32. Eficiencia (rendimiento)
.
.
Pot s
Pot e
Si la energía aplicada ocurre en el mismo
intervalo de tiempo en que es retirada,
entonces:
La potencia o energía de entrada, siempre es
mayor que la de salida, esto debido a que las
maquinas constan de una serie de partes móviles
y durante su funcionamiento las fuerzas de
rozamiento serán desarrolladas dentro de la
maquina perdiéndose en forma de calor
(potencia perdida), para vencer estas fuerzas es
necesario una energía o potencia adicional.
.
.
Energ s
Energ e
1
. . .
Pot e Pot s Pot p
( . )
Pot s
( . )
Pot p
( . )
Pot e
Indica el grado de perfección de una maquina
33. Fuerzas conservativas
Es aquella cuyo trabajo es independiente de l trayectoria y
solo depende de la posición inicial y final
El trabajo realizado por el peso solo
depende de su deslazamiento vertical
El trabajo realizado por una fuerza de
resorte solo depende del alargamiento o
compresión del resorte.
U W y
2 2
2 1
1 1
( )
2 2
U k s k s
34. Energía
Es la capacidad para realizar trabajo.
Energía cinética
Es la energía que proviene del movimiento de una partícula. Es la medida
del trabajo que debe realizarse sobre una partícula para llevarla del estado
de reposo hasta un estado de velocidad
Energía potencial
Es la energía que proviene de la posición de una partícula respecto a un
nivel de referencia. Es la medida del trabajo de una fuerza conservativa
cuando se mueve desde una posición dada hasta el nivel de referencia.
35. Energía potencial gravitatoria
Esta energía es debido al peso de la partícula.
W m g
g
V m g y
Dependiendo en que posición esté la
partícula respecto a un nivel de
referencia, la energía será positiva,
cero o negativa .
36. Energía potencial elástica
Es la que posee un resorte alargado o comprimido una distancia s desde suposición
no alargada o no comprimida.
2
1
2
e
V k s
En ambos casos la energía la positiva,
cuando la partícula se suelta la fuerza
del resorte tiende a regresar a la
partícula a su posición no alargada en
el mismo sentido del desplazamiento.
37. Función potencial
Si una partícula esta sometida a
fuerzas elásticas y gravitatorias , su
energía se puede expresar como una
función potencial:
g e
V V V
Si una partícula se mueve desde el punto
hasta el punto ,
la diferencia de esta función en cada punto
mide el trabajo realizado por las fuerzas
conservativas.
1 1 1
( , , )
x y z 2 2 2
( , , )
x y z
1 2 1 2
U V V
38. g e
V V V
2
1
2
V W s k s
(longitud no
alargada del resorte)
1
s
2
s
1 2 1 2
U V V
1 2 1 2
U V V
Si la partícula se mueve
desde hasta
1
s 2
s 2 2
1 2 1 1 2 2
1 1
( ) ( )
2 2
U W s k s W s k s
39. Relación entre una fuerza conservativa y su función potencial : F V
i j k
x y z
( )
F i j k V
x y z
V V V
F i j k
x y z
x
V
F
x
y
V
F
y
z
V
F
z
Si una fuerza es
conservativa debe
satisfacer estas
ecuaciones.
41. cons
F
no cons
F
1 2 1 2
U V V
1 1 2 2
T U T
1 1 2 1 2 2
( ) ( )
cons no cons
T U U T
Si sobre la partícula actúan fuerzas conservativas
y no conservativas:
1 2 1 2
( )cons
U V V
1 1 1 2 2 2
( )no cons
T V U T V
1 1 2 2
T V T V
Si solo actúan fuerzas conservativas:
Principio de conservación
de la energía mecánica
Se utiliza para resolver problemas que
impliquen solo fuerzas conservativas
43. Problema.- En el dispositivo de la fig. , el martillo de 40 kg se levanta a l posición 1 y se libera del reposo.
Cae y golpea una pieza de trabajo cuando esta en la posición 2. La constante del resorte k = 1500 N/m, y la
tensión en cada resorte es de 150 N cuando el martillo esta en la posición 2. Ignore la fricción.
a) ¿Cuál es la velocidad del martillo justamente antes de que golpee la piza de trabajo?
b) Si toda la energía cinética del martillo se transfiere a la pieza de trabajo ¿Qué potencia media se
transfiere si la duración del impacto es de 0.02 s? Solución
El peso del martillo y los resortes son los que realizan
trabajo sobre la pieza.
2 2
2 1
1 1
( )
2 2
U k s k s
U W y
0.4m
0.3m
Positivo
Positivo
1 :
s Alargamiento en la posición 1
2 :
s Alargamiento en la posición 2
Se aplicara el principio de trabajo y energía entre la
posición 1 y la posición 2
1 1 2 2
T U T
44. Posición 2:
F k s
150 1500(0.3 )
o
s
0.2
o
s m
Calculo de la longitud original del resorte :
o
s
Longitud del resorte en la posición 1 :
1
x
Posición 1: 2 2
1 0.4 0.3
x
1 0.5
x m
Estiramiento :
1
s
1 1 o
s x s
1 0.3
s m
45. Longitud del resorte en la posición 2 :
2
x
Calculo del trabajo de los resortes:
Estiramiento :
2
s
2 2 o
s x s
2 0.1
s m
2 0.3
x m
2 2
2 1
1 1
2 ( )
2 2
U k s k s
120 .
U N m
46. Trabajo del peso: peso
U W y
peso
U m g y
(40)(9.81)(0.4)
peso
U
156.96 .
peso
U N m
1 1 2 2
T U T
Principio del Trabajo y la energía:
2 2
1 2
1 1
2 2
resort peso
mv U U mv
1 0
v
2 3.72 /
v m s
47. Potencia media:
2 2
2 1
2 1
1 1
2 2
media
mv mv
P
t t
13.8
media
P kW
0.02
t s
