1. 1. Introducción:
1.1 Motivación
¿Será posible predecir los sucesos que están por ocurrir en el futuro? Esta es una
pregunta que a través de los años se la han planteado varias personas y en respuesta han
hallado a varios profetas como lo son: Nosttradamus, San Malaquias, Rasputin, etc. Estos
profetas afirman conocer los sucesos que podrían ocurrir en un lugar determinado y en
una ubicación determinada, basando sus predicciones en inspiraciones divinas y
partiendo de la interpretación de señales. Muchas personas tienen la costumbre de
organizar su vida y sus días basándose en predicción y en señales.
Hoy día el estilo de vida es uno mucho mas cómodo ya que está llena de aparatos
tecnológicos, creo que no es algo desconocido el que las personas no hallan visto la
sección del tiempo en los medios noticiosos. Mas bien las noticias y la sección del tiempo
para las personas comunes es algo rutinario, se observa la sección del tiempo y se obtiene
una idea sobre como se podría planificar su día de trabajo o en mejores momentos el día
de sus vacaciones. El método utilizado por los meteorólogos para predecir un día lluvioso
o seco, además del sistema de satélites, son las cadenas de Markov y el hallar la matriz de
transición. Las cadenas de Markov tienen como misión hallar la probabilidad de que
ocurra un evento luego de haber ocurrido un evento anterior. Esto significa que los
meteorólogos buscan hallar la probabilidad de que un día este lluvioso o seco, dejándose
llevar de lo sucedido en el día anterior. Este es el mejor y más sencillo ejemplo a
aplicarse en las cadenas de Markov, ya que todo se puede hacer utilizando una matriz 2x2
e intervalos de tiempos cortos.
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2. 1.2 Limitaciones que presenta el estudio
Las cadenas de Markov se pueden aplicar también en casos de mercadeo,
demografía, agricultura y en muchas otras áreas de estudios. Este trabajo presenta un
estudio basado en la economía, específicamente en las clasificaciones de crédito
(excelente, bueno y deficiente). Estos niveles crediticios cambian de acuerdo al
comportamiento de las personas en su pagares de deudas a los acreedores. Las diferentes
compañías acreditadotas, rinden un informe sobre como se comporta nuestro crédito cada
6 meses, mientras que haciendo uso de las cadenas de Markov podríamos hallar lo que
ocurriría en un segundo o tercer periodo de tiempo luego de transcurrir los 6 meses. Al
comienzo de este trabajo la economía mundial ha ido en reseción, ya que la bolsa de
valores ha estado en descenso. Por lo tanto si se hace un estudio realístico sobre como
afecta esto a la vida social y económica de las personas se debe identificar una muestra
que represente a la población.
Toda esta distribución de estados crediticios y cambios en sus niveles de créditos
ocurren basados de una población normal y de igualdad de personas en los estados
crediticios. La misma cantidad de personas que corresponde al estado de crédito
excelente es la misma cantidad que corresponde al estado de bueno y deficiente. Esto
demuestra que en cada división de estados supone que la población tiene el mismo
comportamiento y que todos se dividen en sus estados de la misma manera. Esta
suposición tiene como resultado el que el estudio no sea uno de confiabilidad, ya que la
realidad económica de una población normal, la cual se clasifica en tres clases: ricos,
media y pobre, nos demuestra que los estados crediticios de la población tiende a estar
mas inclinada a los estados deficientes que a los estados excelentes. El fin de este estudio
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3. es basado en la economía actual, como afecta esto a la población y como no estaría
afectando en un segundo periodo de tiempo.
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4. 2. Definiciones
2.1 Matriz- Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados
elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada
una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas
verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito
m×n)
2.2 Matriz de transición- Una matriz de transición para una cadena de Markov de
n estados es una matriz de n x n con todos los registros no negativos y con la propiedad
adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1. Por ejemplo, las
siguientes son matrices de transición:
2.3 Crédito - Reputación, fama. Opinión de que alguien satisfará puntualmente
sus compromisos.
2.4 Economía - Es la ciencia social que estudia las relaciones sociales que tienen
que ver con los procesos de producción, intercambio, distribución y consumo de bienes y
servicios, entendidos estos como medios de satisfacción de necesidades humanas y
resultado individual y colectivo de la sociedad.
2.5 Quiebra - Una quiebra o bancarrota es una situación jurídica en la que una
persona (persona física), empresa o institución (personas jurídicas) no puede hacer frente
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5. a los pagos que debe realizar (pasivo exigible), porque éstos son superiores a sus recursos
económicos disponibles (activos).
2.6 Bolsa de valores - Es una organización privada que brinda las facilidades
necesarias para que sus miembros, atendiendo los mandatos de sus clientes, introduzcan
órdenes y realicen negociaciones de compra venta de valores, tales como acciones de
sociedades o compañías anónimas, bonos públicos y privados, certificados, títulos de
participación y una amplia variedad de instrumentos de inversión.
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6. 3. Marco teórico
Según Gustavo Mesa las cadenas de Markov son descritas como una forma
sencilla de encontrar probabilidades haciendo uso del álgebra matricial. Se le conoce
como un proceso sencillo, ya que una persona común en donde su especialidad no sean
las matemáticas o el algebra matricial podría resultarle sencillo el poder entender el
concepto de hallar probabilidades utilizando las cadenas de Markov. Lo esencial del
concepto de las Cadenas de Markov se basa en buscar la probabilidad que ocurra un
evento dependiendo del evento inmediato anterior. Un ejemplo a utilizarse para
comprobar lo dicho anteriormente lo es el sistema utilizado por los meteorólogos en los
centros climatológicos y en los centros informáticos contra desastres. Los meteorólogos
hacen uso de las cadenas de Markov y pueden hallar la probabilidad de lluvia o de sequía
dependiendo de lo que ocurre en días anteriores en una región de tierra específica.
Las cadenas de Markov no solo se utilizan para buscar probabilidades en
situaciones climatológicas, también se utilizan en el servicio de finanza sobre la Data –
Crédito. La Data-Crédito es un sistema que evalúa las acciones de las personas en cuanto
a pagos de deudas se refiere. La clasificación que se le da a las personas en base a su
crédito es una excelente, buena o deficiente, todo depende del comportamiento financiero
de la persona. Si mantiene sus deudas sin atrasos, su crédito es excelente, y si la persona
tiene un largo historial de atrasos en sus deudas entonces su crédito es deficiente. Se
puede pensar que si un cliente en cierto mes es clasificado como deficiente, lo más seguro
es que su crédito sea negado ya que se estima que para el mes siguiente lo mas probable
es que su comportamiento sea el mismo, lo que deja por entendido que la probabilidad de
estar en alguno de estos estados (excelente, bueno, deficiente), un mes cualquiera
6

7. depende de la clasificación del mes anterior, y que es razonable en el análisis del crédito
concluir que un manejo deficiente en cierto mes, asegura un mal manejo en el mes
siguiente. Se puede observar que en los dos casos, meteorología y Data-Crédito, se busca
la probabilidad de un evento basándose en los eventos anteriores.
Pero las cadenas de Markov también son utilizadas en la demografía o censo. Esto
tiene un gran significado en el momento de clasificar a las personas en tres clases
sociales. Las clases sociales se distinguen de acuerdo a los ingresos económicos de cada
familia, estas clases sociales son: rico, pobre y clase media. Según Juan Espinoza estas
clases sociales en una población determinada, se pude predecir de acuerdo a la
clasificación de la clase social anterior. Estos estudios ayudan grandemente al
movimiento de la sociedad ante los avances históricos y culturales, ya que si notamos
como la población se va comportando con el pasar del tiempo podemos mejorar la
calidad de vida de las poblaciones en general y hacer que las clases vayan mejorando por
el bien de la sociedad. La sociedad no solo mejora cambiando su nivel socioeconómico
también mejoramos la calidad de vida buscando los intereses de una población. Juan
Espinoza nos dice que las Cadenas de Markov nos explican como y cuando las personas
cambian sus gustos en cuanto a productos se refiere. Se puede determinar el cambio en
marcas de productos dependiendo del comportamiento en la compra de estos productos
en el periodo de tiempo anterior. De esta manera los expertos en mercadeo pueden
predecir cual será la marca de mayor venta e los periodos de tiempos subsiguientes.
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8. 4. Reseña histórica
Márkov nació en Riazán, Rusia. Antes de los 10 años su padre, un funcionario
estatal, fue trasladado a San Petersburgo donde Andréi entró a estudiar en un instituto de
la ciudad. Desde el principio mostró cierto talento para las matemáticas y cuando se
graduó en 1874 ya conocía a varios matemáticos de la Universidad de San Petersburgo,
donde ingresó tras su graduación. El nombre de cadenas de Markov se definió por
primera vez en un artículo de 1906 que trataba la ley de los grandes números y
posteriormente demostró muchos resultados estándar sobre ellas. Su interés en estás
sucesiones se originó en las necesidades de la teoría de la probabilidad; Markov nunca
trató sus aplicaciones a las ciencias. Los únicos ejemplos reales que utilizó eran de textos
literarios, donde los dos estados posibles eran vocales y consonantes. Para ilustrar sus
resultados, hizo un estudio estadístico de la alternancia de las vocales y las consonantes
en el libro de Pushkin Eugene Onegin. Andrei Markov dio clase en la universidad de San
Petersburgo de 1880 a 1905, y se retiró para dar paso a matemáticos más jóvenes.
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9. 5. Parte creativa aplicada: Data-Crédito
5.1 Descripción general del estudio
Hoy día la sociedad en que vivimos nos clasifica de acuerdo a nuestro
comportamiento y forma de actuar en la vida cotidiana. En el momento en que se prepara
un censo se clasifica a las personas de acuerdo a sus ingresos económicos en tres clases,
clase rica, pobre y clase media. Pero estas clasificaciones se mantienen siempre en
constante cambio ya que la economía en la bolsa de valores de un país o en una nación
tiene sus altas y bajas en sus precios. Todas estas condiciones tienen un efecto grande en
la vida económica de las personas en general y esto hace que el mercado de valores
clasifique a las personas de acuerdo a su crédito. Las clasificaciones consisten en tres
etapas: obtener un crédito excelente, bueno o deficiente. En la vida económica y
financiera se entiende por crédito, la confianza que tenemos en la capacidad de cumplir,
en la posibilidad, voluntad y solvencia de un individuo, por lo que se refiere al
cumplimiento de una obligación contraída.
Las cadenas de Markov surgen de manera natural en biología, psicología,
economía, demografía y en muchas otras áreas de estudio, por lo que son una aplicación
importante del álgebra lineal y de la probabilidad. El registro ij t en una matriz de
transición T se conoce como la probabilidad de pasar del estado j al estado i en un
período de tiempo. Haciendo uso de las cadenas de Markov se podrá hallar la
probabilidad de que el estado crediticio de una persona cambie para bien o para mal en un
tiempo determinado, basado en su comportamiento en años anteriores.
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10. Supongamos que tenemos una población distribuida en partes iguales en tres estados
distintos, los cuales están clasificados de acuerdo a los niveles de crédito existentes:
Estado 1: Excelente
Estado 2: Bueno
Estado 3: Deficiente
Supongamos que en 6 meses la población cambia de diferentes estados crediticios de
acuerdo a su trasiego económico:
De la gente que tiene el crédito excelente, el 19% paso al crédito bueno y el 1%
paso a crédito deficiente. De la gente con el crédito bueno, el 15% paso al crédito
excelente y el 10% paso al crédito deficiente. De la gente con el crédito deficiente, el 5%
paso al crédito excelente y el 30% al crédito bueno.
En el momento de crear la matriz de transición se debe identificar cuales de los
estados estarían representados en cada columna. La columna 1 de la matriz de transición
estará representada por el estado excelente, la columna 2 estará representada por el estado
bueno y la columna 3 estará representada por el estado deficiente. El 19% de las personas
que tienen el crédito excelente (estado 1) pasará a un crédito bueno (estado 2), del mismo
modo el 1% de la gente del estado 1 (excelente) pasa al estado 3 (deficiente). Esto
significa que el 80% no tiene ningún cambio en su vida económica o estado crediticio y
después de 6 meses lo que tiene como resultado que se mantiene en el mismo estado
excelente. Asimismo, el proceso de repartición de por ciento se repite para las personas
que tiene el crédito bueno, en donde el 15% logra superar su crédito y pasar a su vez al
estado excelente, mientras que el 10% llevó su estado hasta uno deficiente. Lo mismo
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11. ocurre entre la población que tiene su estado crediticio categorizado como deficiente, en
donde luego de transcurrir 6 meses se dice que el 5% logra llevar su estado hasta
excelente y el 30% logra superar su estado hasta uno bueno.
De esta forma la matriz de transición, al transcurrir 6 meses, es la siguiente:
En esta matriz se puede observar lo siguiente:
1) Los datos o por cientos que se encuentran en la diagonal representan la
población que no sufrió ningún cambio entre los tres estados, luego de
transcurrir un periodo de 6 meses.
2) La suma de las columnas de la matriz de transición suman a 1, esto representa
el 100% de la población.
Supongamos que la población esta de igual forma distribuida en cada uno de los estados
crediticios, esto explica que de una población desconocida la misma cantidad de personas
que tiene el crédito excelente, es la misma cantidad que tiene el crédito bueno o
deficiente; no las mismas personas pero si la misma cantidad en tamaño. Haciendo uso de
la matriz de transición y de la forma en que esta distribuída la población podemos hallar
la distribución de la población por estados crediticios:
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12. Estos nuevos datos que se han hallado nos explican el como se encuentra la
población distribuida luego de transcurrir 6 meses. Si se compara la proporción de la
población al comenzar el estudio, con la nueva proporción de la población, obtenemos
que la distribución en sus estados crediticios han cambiado. La proporción de la
población que permanece en el estado 1 (estados excelente), luego de 6 meses, es 1/3; es
decir no hubo cambio en este estado. El estado crediticio bueno aumentó de un 33,3% a
un 41,3% en un periodo de 6 meses. El estado crediticio deficiente disminuyó de un
33,3% a un 25,3%.
Toda la información que aparece anteriormente nos demuestra lo que ocurría con
una población igual distribuida en tres estados crediticios, luego de haber transcurrido 6
meses. Pero estas ocurrencias no solo se detienen en 6 meses, también es posible el poder
hallar el comportamiento de la población al transcurrir 1 año. Esta es la base de las
cadenas de Markov el poder hallar la ocurrencia de un evento luego de un evento
inmediato ya ocurrido, esto tiene como consecuencia el poder predecir los hecho que
están por ocurrir o mejor aun la probabilidad de que ocurran estos hecho.
Si nos proponemos encontrar el estado en que la población estuviera distribuida
en los respectivos estados crediticios, luego de transcurrir 1 año, debemos hallar la matriz
de transición consiguiente. Esto significa que el tamaño de la matriz en el primer estado,
primer periodo de tiempo, será el mismo tamaño de la matriz en el segundo estado,
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13. segundo periodo de tiempo. Esto significa que las columnas estarán clasificadas según los
mismos estados crediticios que en el primer periodo de tiempo. Esto tiene como
significado que el segundo periodo de tiempo los datos estarán clasificados de la
siguiente manera:
el 80% de los (.80) en el estado 1 permanecerá en el mismo estado
el 15% de los (.19) en el estado 2 harán una transición al estado 1
el 5% de los (.01) en el estado 3 harán una transición al estado 1
Luego para hallar el número que le pertenecería al estado 1 al transcurrir 1 año debemos
multiplicar la fila con la columna de la siguiente manera:
(.80)(.80) + (.15)(.19) + (.5)(.01) = .6690
El numero .6690 es el por ciento en cantidad de personas que pertenecen al estado 1
(excelente) luego de transcurrir dos periodos de tiempo (1 año). Esto nos da como
resultado una segunda matriz de transición:
Se puede observar que los datos de esta nueva matriz se le asignan nuevos números a las
categorías de excelente, bueno o deficiente. Si se compara la matriz hace 6 meses con la
matriz luego de 1 año, se puede notar claramente que el nivel crediticio ha mejorado
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14. mientras pasa el tiempo. El por ciento en el estado de excelente ha ido en aumento,
mientras que el por ciento en el estado de deficiente ha ido en descenso. El significado de
estos resultado es que la economía va mejorando al pasar el tiempo, ya que si el nivel
crediticio de excelencia aumenta, significa que las personas en su vida común pueden
pagar las deudas a su nombre y si pueden pagar las deudas es por que tienen algún tipo
de empleo y si hay empleos disponibles la razón es que la economía está en un buen
estado o mejorando con el tiempo.
5.2 Descripción, análisis y presentación de los datos
Al comienzo de este análisis se estuvo presentando una serie de datos que
realmente no representan la realidad económica en la que se está viviendo hoy día (2010).
Según estudios estadísticos a nivel mundial se vive una recesión económica en donde la
bolsa de valores ha estado en descenso y a perdido su valor día tras día. Esto ha tenido
como resultado que la tasa de desempleo creciera en las diferentes naciones que sufren
esta reseción. El desempleo lamentablemente afecta a la mayoría de las personas en una
población, haciendo que esto a su vez afecte a la familia en su clasificación de niveles
sociales: clase rica, pobre y clase media. Todas las naciones, a nivel mundial, se han
estado ayudando para poner fin a esta recesión y poder mejorar la calidad de vida de las
personas que habitan en sus respectivos lugares.
Si repetimos el análisis de Data – Crédito que se efectuó al comienzo de este
trabajo podremos realizar un estudio a tono con lo sucedido en la vida diaria. Los datos a
utilizarse deben ser más realísticos que la vez anterior. Se utilizarán los mismos estados
de niveles crediticios:
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15. Estado 1: Excelente
Estado 2: Bueno
Estado 3: Deficiente
Pero al utilizar nuevos datos, significa que el cambio e la población al transcurrir 6 meses
se obtiene que:
De la gente que tiene el crédito excelente, el 10% paso al crédito bueno y el 21%
paso a crédito deficiente. De la gente con el crédito bueno, el 5% paso al crédito
excelente y el 20% paso al crédito deficiente. De la gente con el crédito deficiente, el 1%
paso al crédito excelente y el 32% al crédito bueno.
La matriz que se obtiene es la siguiente:
Luego de transcurrir 1 año (segundo periodo de tiempo), la matriz que
corresponde es la siguiente:
Estos datos tiene como significado que dado a las circunstancias de lo que ocurre
en la economía tiene un efecto negativo sobre el comportamiento de las personas y a su
vez sobre como responden a sus deudas al pasar seis meses. Eso hace que sea más fácil
entrar al estado de deficiencia que al de excelencia.
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16. 6. Conclusiones
Las cadenas de Markov se pueden considerar como una de las grandes
aportaciones de las matemáticas. No necesariamente tienes que ser un experto en la
materia para poder entender sobre en que consisten y el uso que se le puede dar en las
diferentes situaciones de la vida diaria. Se ha demostrado que las cadenas de Markov
tienen un gran valor en la economía, ya que mientras nos predice lo que podría ocurrir en
un segundo periodo de tiempo, los mercados lo utilizan a su favor para mejorar sus
propios intereses. Por ejemplo, este estudio que se ha realizado anteriormente, les explica
a las grandes corporaciones bancarias cual seria la mejor decisión a tomar en el momento
de aprobar o rechazar un préstamo a alguna persona en particular.
Se demuestra que si una persona tiene el crédito deficiente en un periodo de
tiempo, lo más probable es que esta misma persona siga con el crédito deficiente en el
segundo periodo de tiempo. Las entidades bancarias utilizan estos estados crediticios para
tomar sus decisiones y de esa forma no perder sus inversiones de préstamos a personas
que quizás no cumplirían con sus deudas. Este es el significado de los estados crediticios,
un estado crediticio excelente corresponde a una persona que paga sus deudas, mientras
que un estado crediticio deficiente corresponde a una persona con problemas económicos
que quizás no podría pagar sus deudas a tiempo.
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17. 7. Bibliografía
Matthew T. Jones () Estimating Markov Transition Matrices Using Proportions
Data: An Application to Credit Risk
http://ideas.repec.org/p/imf/imfwpa/05-219.html accessed 2010-03-06
GUSTAVO MESA () CADENAS DE MARKOV, UNA SENCILLA
APLICACION
http://www.revistamemorias.com/articulos9/cadenasdemarkov.pdf accessed
2010-03-06
JUAN ESPINOZA () MATRICES DE TRANSICION Y CADENAS DE
MARKOV
http://www.ciencia-ahora.cl/Revista20/15MatricesTransicion.pdf
accessed 2010-03-06
http://www.definicion.org/credito
accessed 2010-03-06
http://www.nedap.org/hotline/pidiendo.html
accessed 2010-03-06
http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada
accessed 2010-03-06
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