2. x x0 vt
r r0 v .t
r v .t
Para el caso en el que el
r0 móvil se acerque al
observador
Tiempo
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2
3. Velocidad
DESPLAZAMIENTO
Tiempo
v v0 a. t t 0
1 2
r r0 v0 .t .a. t t 0
2
v2 2
v0 2.a.s
Velocidad
v0
Tiempo
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3
4. x0
Tiempo
a g 9´8 j )
v0 0. j
a g 9´8 j )
v0 v0 . j
v 0
v v0 v0 . j
r 0. j
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4
5. Vertical (MRUA)
Horizontal (MRU)
vx v0 x vx v0 cos .i
vy v0 y gt vy v0 sen . gt .i
x v0 x t x v0 t cos .i
1 2 1 2
y v0 y t gt y v0 tsen gt j
2 2
v (v x , v y )
v v
vy
arctg
vx
vy 0j
y 0j
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5
6. Horizontal (MRU)
v0 x v x .i
Vertical (MRUA)
v0 y 0. j
vx v0 x v0 x i
v v0 x , gt
vy v0 y gt gtj
x v x .t v x .t.i
1 2 1 2
y y0 v0 y t gt y0 j gt j
2 2
1 2
v x t, y0 j gt
2
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6
7. v v0 x , gt
vy gt
arctg arctg
vx v0 x
y y0
Vertical (MRU) v
vy
vx
Horizontal (MRU)
x v x t.i
r vxt, v y t
y v y t. j
360 º 2.
Δθ θ
ω ω
Δt
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7
8. Puede establecerse una relación entre la velocidad angular y la velocidad
lineal, considerando que:
Δs
v r.Δ.
Δt v r.ω v ω.r
Δt
Δs r.Δ.
Vectorialm ente : v ω r
En cuanto a las ecuaciones que describen este movimiento, el siguiente cuadro
las recoge:
Δθ
ω
Δt
v ω.r
θ θ 0 ω.t
Debido al carácter periódico del movimiento, pueden utilizarse magnitudes
como:
: Es el tiempo empleado por el móvil en dar una vuelta
completa. La unidad, evidentemente es el segundo (s-1)
ν : Equivalente al número de vueltas realizadas por el móvil
en la unidad de tiempo. La unidad es el hertzio (Hz ó s-1)
La relación entre ambas magnitudes es muy simple:
1
(Uno es el inverso del otro)
T
A su vez, están relacionadas con la velocidad angular:
2.
2. .
T
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8
9. Por último, analizaremos esa aceleración centrípeta existente. Como sabemos:
v2
ac
r
, y, además : v .r
2 22
.r .r 2
Por tanto : ac ac ac .r
r r
Que, en función de período y frecuencia , adoptan la forma :
2 2 2
ac 2 .r 4 r
2
2 4 2r
ac .r
T T2
En este caso se trata de un movimiento circular dotado de aceleración
tangencial. Además, puesto que su velocidad angular no es constate, puede
establecerse una magnitud que mida la rapidez de ese cambio: la
α), definida como:
2
Unidad : rad/s
t
Existe una relación entre las aceleraciones angular y lineal:
dv d ω.r dr d d
a tg ω. r. r. a tg r.α
dt dt dt dt dt
Por último, las ecuaciones que describen este movimiento son:
1 2
0 .t .t
2
0 .t
2 2
0 2 .
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9
10. Cuestiones:
1. Un movimiento que transcurre con velocidad constante puede ser:
a. Solamente MRU
b. MRU o MCU
Razona la respuesta
2. Demuestra gráficamente la validez del teorema de la velocidad media sobre un diagrama velocidad -tiempo para
un MRUA
3. ¿Qué representa la pendiente de la gráfica posición-tiempo de un movimiento con velocidad constante?
4. ¿Qué representa el área encerrada bajo la gráfica de aceleración-tiempo?
a. El espacio recorrido
b. La velocidad
c. La variación de la velocidad
5. ¿Cómo determinarías la velocidad en cada instante a partir de la gráfica posición-tiempo de un MRUA?
6. Tres objetos (A,B,C) de masas 10, 3 y 5 kg respectivamente son lanzados horizontalmente con la misma
velocidad. Ordénalos según su alcance. Razona la respuesta
7. Tres objetos (A,B,C) de masas 10, 3 y 5 kg respectivamente son lanzados verticalmente hacia arriba con la misma
velocidad. Ordénalos según la altura alcanzada. Razona la respuesta
8. Tres objetos (A,B,C) de masas 10, 3 y 5 kg respectivamente son lanzados verticalmente hacia abajo con la misma
velocidad. Ordénalos por orden de llegada al suelo. Razona la respuesta
9. En un disco que gira, ¿tienen todos sus puntos la misma velocidad angular? ¿y lineal?
10. Una persona que está a cierta altura sobre el suelo tira una pelota hacia arriba con una velocidad v 0 y arroja otra
hacia abajo con velocidad –v0. ¿cuál de las dos pelotas tendrá mayor velocidad al llegar al suelo?
11. Un avión en vuelo horizontal con una velocidad lanza un objeto hacia atrás con una velocidad horizontal .
Explica el movimiento de dicho observador que viaje en el avión y por otro que se halle en reposo en tierra
12. ¿Con qué ángulo deberíamos saltar para que la altura y el alcance fueran iguales?
13. Un niño sentado en un vagón de tren que viaja a velocidad constante lanza una pelotita hacia arriba. ¿Cuál de las
tres escenas tendrá lugar?:
a. La pelotita cae sobre los ocupantes del asiento de delante
b. G olpea en el periódico del viajero de atrás
c. Vuelve a caer en las manos del pequeño, para alivio de los demás pasajeros
14. ¿Qué ocurrirá en el caso anterior si el tren frena en el instante del lanzamiento? ¿Y si decelera? ¿Y si girara a la
izquierda?
15. ¿A partir de las soluciones aportadas en los dos ejercicios anteriores, qué puedes concluir?
16. Cuál de las siguientes gráficas puede representar mejor la velocidad de una piedra que se lanza verticalmente
hacia arriba y cae cuando alcanza su altura máxima?
17. Interpreta las gráficas y calcula la velocidad, el espacio y la aceleración de cada etapa, así como el espacio total
recorrido; representa la correspondiente gráfica de aceleración en cada caso:
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10
11. Problemas:
18. ¿Cuál es la profundidad de un pozo si el impacto de una piedra se escucha al cabo de 1´5 sg después de haberla
dejado caer? (vsonido= 340 m.s-1)
(SOL: 10´58 m)
19. Un electrón con una velocidad inicial de 4.10 6m/ s entra en una zona donde sufre una aceleración contraria
constante de 2´2.1014 m.sg-2. ¿Qué distancia recorre hasta que se detiene?
(SOL: 3´6 cm)
20. Una persona está a punto de perder su tren. En un desesperado intento, corre a una velocidad constante de 6 m/ s.
Cuando está a 32 metros de la última puerta del vagón de cola, el tren arranca con una velocidad constante de 0´5
m.s-2. ¿Logrará nuestro viajero aprovechar su billete o el intento no prosperará?
(SOL: Lo logrará, a los 8 segundos)
21. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba y se recibe a los 3´5 segundos,
a. ¿qué velocidad se le comunicó?
b. ¿a qué altura ascendió?
(SOL: a) 17´15 m/ s b)15 m)
22. ¿Qué velocidad comunica la pértiga a un saltador de altura que bate una marca de 6´04 m, si el ángulo de
despegue es de 82º?
(SOL: 10´98 m/ s)
23. Un motorista pretende saltar una fila de camiones dispuestos a lo largo de 45 m. La rampa de despegue es de 20º,
y aterriza en otra rampa similar y de la misma altura. Si en el momento del despegue su velocidad era de 90
Km/ h, ¿Lo logrará o tendrá que comprarse dientes nuevos?
(SOL: Se los compra; se parte la cara a los 41 m
24. Un futbolista se prepara para lanzar una falta directa, a una distancia de 20 metros de la portería contraria. La
barrera de los jugadores contrarios se coloca a 9 m de distancia, y su altura media es de 180 cm. La velocidad de
salida del balón es de 90 km/ h, formando un ángulo de 15º con respecto a la horizontal, y en dirección a puerta
a. ¿Será gol?
b. ¿Y si los de la barrera se agacharan? (NOTA: la altura de una portería es de 2´44 m)
(SOL: a) Choca con la barrera a 1´72 m ;b) Si, entraría a 1´99 m de altura)
25. Viajando en coche a 54 km/ h , bajo la lluvia y sin viento, se observa cómo las gotas de lluvia dejan unas trazas de
4 cm de largo que forman 60º con la vertical en las ventanillas laterales. ¿cuál es la velocidad de caída de las gotas
de agua? (SOL: 31´17 km/ h)
26. Un paracaidista salta en caída libre desde un helicóptero que vuela a 90 km/ h y a 30 m de altitud. Debe caer sobre
unas colchonetas a bordo de un barco que viaja a 54 km/ h en su mismo sentido. ¿a qué distancia horizontal debe
estar el barco en el momento del salto?
(SOL: 24´74 m)
27. Una partícula inicialmente en el orígen tienen una aceleración de 3 j ms-2 y una velocidad de 5i m/ sg
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11
12. a. ¿qué tipo de movimiento describe?
b. Expresa los vectores de posición y velocidad en función del tiempo
c. Calcula el desplazamiento y el módulo de su velocidad a los 2 sg
2
(SOL: a)Parabólico; b) r 5ti 1´5t j m ; v 5i 3tj m/ s; 11´66 m; 7´81 m/ s)
28. Un tractor tiene unas ruedas delanteras de 30 cm de radio, mientras que el radio de las traseras es de 1 m.
¿Cuántas vueltas habrán dado las ruedas traseras cuando las delanteras hayan completado 15 vueltas?
(SOL: 4´5 vueltas)
29. Una cinta magnetofónica de 90 min de duración total tiene al inicio una rueda libre cuyo radio es de 1´2 cm y otra
que con toda la cinta arrollada tiene un radio de 2´5 cm. Al comenzar la audición, la rueda pequeña da 7 vueltas
en 10 sg. ¿Cuál es su velocidad angular? ¿y su velocidad lineal? ¿cuál habrá sido la velocidad angular de la grande?
¿cuántas vueltas habrá dado en los 10 segundos iniciales? ¿qué valor de magnitud permanece constante a lo largo
de la audición? ¿Cuánto mide la cinta de 90 min?
(SOL: 4´39 rad/ sg; 5´27 cm/ sg; 2´11 rad/ sg; 3´35 vueltas; la velocidad lineal; 142´3 m)
30. Una rueda de 0´5 m de radio tiene una aceleración centrípeta de 20 m/ sg 2. Determina el período de dicha rueda y
las vueltas que habrá dado en 1 minuto.
(SOL: 0´993 sg; 60´42 vueltas)
31. Por la periferia de una pista circular parten a la vez y del mismo punto en direcciones opuestas dos móviles con
velocidades de 4 y 1´5 rpm, respectivamente. ¿en qué punto se encontrarán y qué tiempo habrá transcurrido?
(SOL: Cuando el primero describe 4´57 rad: 10´9 sg)
32. Un cuerpo que describe círculos de 10 cm de radio está sometido a una aceleración centrípeta cuyo módulo
constante, en cm/ sg2, es, numéricamente el doble del módulo de la velocidad lineal (en cm/ sg). Determinar los
módulos, direcciones y sentidos de ac , v , w , y el número de vueltas que dará el móvil en 1 minuto
SOL :
ac 40cm.sg 2 , radial hacia el centro; v 20 cm/sg, tan gencial;
ω 2 rad/sg, perpendicular al plano; 19 vueltas)
33. Un disco de vinilo gira a 33 rpm. Al desconectar el tocadiscos, el disco tarda 5 sg en pararse. ¿Cuál ha sido la
aceleración angular de frenado? ¿cuántas vueltas ha dado hasta pararse?
(SOL: -0´69 rad/ sg; 1´37 vueltas)
34. Una máquina de equilibrado de ruedas de coche hace que estas giren a 900 rpm. Cuando se desconecta, la rueda
sigue girando durante medio minuto más, hasta que se para. ¿Cuál es la aceleración angular de frenado? ¿Qué
velocidad angular tendrá la rueda a los 20 sg de la desconexión?
(SOL: -3´14 rad/ sg2; 31´4 rad/ sg)
35. Un disco gira a 45 rpm. Calcular:
a. La velocidad angular y lineal de todos los puntos del disco que disten 1 cm del eje de rotación
b. La velocidad angular y lineal de todos los puntos del disco que disten 5 cm del eje de rotación
c. ¿Cuál tiene mayor aceleración normal?
d. El período y la frecuencia del movimiento
e. La velocidad angular y lineal de todos los puntos del disco que disten 1 cm del eje de rotación
(SOL: a) 4´71 rad/ sg; 0´0471 m/ sg; b) 4´71 rad/ sg; 0´2355 m/ sg; c) el segundo caso; d) 1´3 sg; 0´75 sg-1)
36. Una barca animada de velocidad v b= 1´5 m/ s trata de cruzar un río de 20 m de ancho con una corriente de
velocidad vc= 2 m/ s, partiendo desde un punto A. Indicar el tiempo que tarda en cruzar, así como el punto de la
otra orilla a la que llega.
(SOL: 13´33 sg; 26´66 m)
37. Un cañón forma un ángulo de 30º con la horizontal. Dispara un proyectil con una velocidad de 600 m/ s. Calcular
la velocidad del proyectil 1 segundo después del lanzamiento; el vector de posición del móvil en t= 4 s; la altura y
el alcance máximos del proyectil.
(SOL: 519´61 i+ 290´2 j ; 2078´46 i + 1121´60 j; 31813´17 m; 4591´83 m)
38. Desde la cornisa de un edificio de 60m de altura se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una
velocidad de 10m.sg-1. Hallar:
a. Velocidad en el suelo (35´72 msg-1)
b. Tiempo que tarda en llegar al suelo (2´62sg)
c. Velocidad en la mitad del recorrido (26´23 msg-1)
d. Tiempo del apartado anterior (1´65 sg)
39. Desde un balcón situado a 14´1 m de altura sobre el suelo de una calle se lanza un cuerpo verticalmente hacia
arriba con una velocidad de 10 m/ s ¿Qué tiempo tardará en llegar al suelo?
(SOL: 3 sg)
40. (*) Desde lo alto de una torre de 100 m se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 15 m/ s una piedra.
La piedra llega a una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de la torre. Tomando como
origen de coordenadas el punto de lanzamiento, determinar la posición y la velocidad de la piedra al cabo de 1 y 4
segundos de su salida. ¿Cuál es la altura alcanzada y el tiempo invertido en ello? Calcular la velocidad cuando se
halla a 8 m por encima del punto de partida. ¿Cuánto tiempo transcurrirá desde que se lanzó hasta que pase de
nuevo por el mismo punto? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿qué velocidad llevará en ese momento?
(SOL: 11´48 m; 5´2m/ s y 110´1m; 24´21m/ s y 78´4 m; 0´69s y2´37 s; 3´06 s; 46´74m/ s y 6´9 s)
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13. 41. Un automóvil arranca de un punto, y transcurridos 5 s alcanza los 108 km/ h, a partir de cuyo instante conserva
tal velocidad, hasta que, a los dos minutos de alcanzarla frena y se para, con deceleración de 10m/ s2. Determinar
el tiempo invertido y el espacio recorrido hasta que se para.
(SOL: 75m; 3 s; 128dg y 3720 m)
42. Se deja caer una piedra desde un globo que asciende con una velocidad constante de 3m/ s. Si llega al suelo a los 3
sg, calcular:
a. Altura a la que se encontraba el globo cuando se soltó la piedra (SOL: 35´1 m)
b. Distancia globo-piedra a los dos segundos del lanzamiento (SOL: 19´6 m)
43. (*) Dos proyectiles se lanzan verticalmente de abajo a arriba. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/ s, y
el 2º de 30 m/ s. ¿Qué intervalo de tiempo debe haber entre dos lanzamientos para que los dos lleguen a la vez al
suelo?
(SOL: t1 10´2 sg ; t 2 6´12sg ; t 4´1sg )
44. Dos proyectiles se lanzan verticalmente de abajo a arriba con dos sg de intervalo; el primero con velocidad inicial
de 50m/ s y el segundo de 80 m/ s. ¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se hallen a la misma altura?
¿A qué altura sucederá? ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese momento?
(SOL: 3´62 sg; 116´8 m; 14´51 y 64´12 m/ s)
45. ¿Cuál será la velocidad angular de cualquier punto de la Tierra en su movimiento de rotación alrededor del eje
terrestre?
46. Determinar la velocidad tangencial y la aceleración normal de un punto sobre la superficie terrestre situado en un
lugar cuya latitud es 60º. (Radio Tierra= 6300 Km)
(SOL: rds / h;216 Km / h 2 )
12
47. Un volante parte del reposo, y en 5 sg, adquiere una velocidad de 40 rds/ sg. Determinar su aceleración angular,
considerada constante, así como el número de vueltas efectuado.
50
(SOL: 8 rds/ s; vueltas )
48. Un volante de 2 dm de diámetro gira en torno a su eje a 3000 rpm. Un freno lo detiene en 20 sg. Calcular:
a. La aceleración angular (considerada constante) (SOL: 5 rds/ sg2)
b. Número de vueltas hasta detenerse (SOL: 500 vueltas)
c. Módulo de la aceleración tangencial, aceleración normal, y aceleración de un punto de la
2 2
periferia, una vez realizadas 100 vueltas. (SO: 0´5 rds / sg ;7895´7 m / sg )
49. La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 900 a 800 rpm en 5 segundos. Encontrar:
a. Aceleración angular (SOL: -2´10 rds/ sg2)
b. Revoluciones cumplidas en ese tiempo (SOL: 70´8 vueltas)
c. ¿cuántos segundos más serán necesarios para que el volante se detenga? (SOL: 40 sg)
50. (*) Una partícula posee un MCU de radio 1 m, y da una vuelta cada 10 segundos. Hallar:
a. El vector de posición referido al centro de la trayectoria como origen, si la partículas se hallaba
inicialmente en P 0(0,1) m
.t .t
(SOL: r ( sen , cos ) )
5 5
b. El vector velocidad y aceleración a los 5 segundos de iniciado el movimiento
2
(SOL: v5 ,0 m / s; a 0, m / sg 2 )
5 25
c. La velocidad media en el intervalo de 5 segundos comprendido entre los segundos 5 y 10
.t
(SOL: vm m / sg )
5
51. (*) El vector de posición de una partícula que se mueve en trayectoria plana es:
r (5. cos t 1)i (5.sen t 2 ) j (S.I)
a. Demostrar que se trata de un MCU
b. Calcular el radio de la circunferencia
c. Determinar la frecuencia de giro
(SOL: a) Demostrar que las v y a N con constantes; b) R= 5m; 0´5 sg-1)
52. Un nadador recorre una piscina de 100 m en 120 sg. Va a nadar a un río, y observa que un trozo de madera que
flota en él recorre 20 en 1 minuto, arrastrado por la corriente. Calcular el tiempo que tardará el nadador en
recorrer 100 m, según nada a favor o en contra de la corriente.
(SOL: A favor:1 min 26 sg; En contra: 3 min 20sg)
53. La velocidad que provocan unos remeros a una barca es de 8 Km/ h. La velocidad del agua de un río es de
6Km/ h. Si su anchura es de 100m, y suponiendo que la posición de la proa es perpendicular a las orillas,
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14. determinar el tiempo que tardará la barca en cruzar el río, y la distancia a la que es arrastrada, aguas abajo, por la
corriente.
(SOL: 75m)
54. Una canoa de 2,5 metros de largo está junto a la orilla de un río, y perpendicular a ella. Se pone en marcha con
una velocidad de 5 m/ s, y al llegar a la orilla opuesta ha avanzado 23´4 metros, en el sentido de la corriente.
a) Calcular la velocidad del agua, si la anchura del río es de 100 metros (SOL: 1´2 m/ sg)
b) Si la canoa marcha a lo largo del río, determinar el camino recorrido en 1 minuto, a favor y en
contra de la corriente (SOL: A favor: 372 m; En contra: 228 m)
55. Un avión de bombardeo, en vuelo horizontal a 360 Km/ h y a 1000 m de altitud lanza una bomba contra su
objetivo.
a) ¿A qué distancia del objeto inmóvil, contada horizontalmente, debe proceder al lanzamiento?
(SOL: 1428´6 m)
b) (*)Si el objetivo es un camión que marcha en una carretera horizontal a 72 Km/ h en la misma
dirección que el bombardero, ¿a qué distancia del objetivo debe efectuar el lanzamiento, si el
objetivo se acerca/ se aleja del avión?
(SOL: 1714 m; 1143 m)
56. Se dispara un cañón con un ángulo de 15º respecto a la horizontal, saliendo la bala con una velocidad de 200
m/ sg. Determinar:
a) Distancia teórica que alcanzará la bala (SOL: 2040´6 m)
b) Velocidad, en módulo y dirección, con la que la bala llegará a tierra (SOL: 200m/ sg; 15º)
c) ¿Tropezará con una colina que se halla a mitad de su alcance de 300 m de altura? (SI)
57. Se dispara un cañón desde un acantilado de 50 metros d altura, con un ángulo de 45º por encima de la horizontal,
y con una velocidad de salida de 490 m/ sg. Calcular:
a) Tiempo que tarda en llegar a la superficie del mar (SOL: 70´85 sg)
b) Posición del impacto (SOL: 24548´3 m)
c) Velocidad en ese instante (SOL: (346´48,-347´85) m)
58. Una pelota resbala por un tejado de 30º de inclinación, y al llegar a su extremo queda en libertad con una
velocidad de 10 m/ sg. La altura del edificio es de 60 m, y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30
m. Calcular:
a) Ecuaciones del movimiento de la pelota al quedar en liberta; ecuación de la trayectoria
(SOL: (8´66t,5t+ 4´9t 2); y= 0´58x+ 0´065x2)
b) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes contra la pared? (SOL: Cae al suelo, a 26´24m)
c) Tiempo y velocidad en el suelo (SOL: 3´03 sg y 35´76 m/ sg)
d) Posición en la que se halla cuando su velocidad forma un ángulo de 45º con la horizontal
(SOL: r (3´23,2´55)m)
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15. SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS
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