Cuaderno de Actividades: Física I1) Cinemática de unaPartículaMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 1
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Cuaderno de Actividades: Física IS1P) En la grafica mostrada dos móviles son lanzados simultáneamente, ychocan en el punto...
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Cuaderno de Actividades: Física I( ) ( ){ } ( )(0)4: 0 cos 4 0 50 4 1605x t x v tX xθ ≡ + → ≡ + × × ≡  ( ) ( ) ( ){ ...
Cuaderno de Actividades: Física I34H− ≡ 160×40540−2 4×221605×  ÷ 120 125 5 5H≡ − ≡ − → ≡Ahora, en el MP de 0Q, hallam...
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Cuaderno de Actividades: Física IS1P) Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los extremos de undiámetro AB y en lo...
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Cuaderno de Actividades: Física Ib) Encuentre el valor de β que nos permita irrigar el máximo número deandenes. ¿Cuál es e...
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Cap1 cinemática de una partícula

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I1) Cinemática de unaPartículaMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 1
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I1) Cinemática de una PartículaFenómeno → Movimiento… Teoría de la relatividad (TR)…A EinsteinEn la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar losiguiente,a) El observador, referencia, O→ Descriptor del movimiento“La trayectoria es función del estado del observador”, τ ≡ τ (O)Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, talcomo se muestra a continuación,Mg. Percy Víctor Cañote FajardoτO1°2°O (reposo)O’ (v=cte)ττ’2
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física IPor lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, elcual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa lacomponente trasnacional.Modelo de Partícula:Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimientousando las cantidades cinemáticas (cc):rr: vector posiciónvr: vector velocidadar: vector aceleración1,1) Cantidades Cinemáticas, cci) Vector Posición,rrDescribe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de lacinemática,( ) ( )τ≡ →r rr r t OVector desplazamiento, r∆r : Describe como cambia la rr,Mg. Percy Víctor Cañote FajardoMóvil P≡3
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I( ) ( )( ) ( )0f i f ir r r r t r tr t r∆ ≡ − ≡ −≡ −r r r r rr rti → tf : ∆t = tf - tiii) Vector velocidad,rvDescribe los cambios de la posición respecto del t,≡rr drvdtMg. Percy Víctor Cañote Fajardo( )iv trtanmvr( )ir trr∆r( )fv tr( )fr trτ sec4
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I}0limtmediarvtv∆ →∆ ≡  ∆ rrrDefinición de Vector velocidad media, mvr1mrv rt t∆  ≡ ≡ ∆ ∆ ∆ rr rDefinición de rapidez, vrvr: rapidez¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia deltiempo” de Stephen Hawking.¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de“Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico ypropalador de las ciencias.iii) Vector Aceleración, arDescribe los cambios de la velocidad respecto del t.22dv d radt dt≡ ≡r rr{0lim∆ → ∆ ¬ ≡  ∆  rrrmtavat //a v→ ∆r rMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 5
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física I¿? Será importante definirrdadt. Existirá alguna rama de la tecnologíadonde interese conocer esta cantidad.1,2) Tipos de Movimientosi) Movimiento Rectilíneo, MRDefinición: τ →  (ℜ)j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRUk) Condiciónˆ ˆ≡ ≡ ≡=rxv v i vi ctev ctekk) Ecuacionesl) =v cteII) ( )≡r rr r t:fit ttdrvdt=≡ →∫rr( ) ( ) ( )i ir r t r t v t t≡ ≡ + −r r r rMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 6
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física I( )v t r v dt→ ≡ ∫r r r( ) ( )0 0i fr t r vt t t t≡ + ¬ = ∧ =r r r( ) ( ) ˆr t ix t≡r( ) ( )0x t x vt≡ +kkk) Graficasl) v-tA(t)=x(t)ll) x-tMg. Percy Víctor Cañote FajardovA0 t7x(t)vx0A
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física INo da información cinemáticajj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)k) Condicionesˆ ˆxa a i ai ctea cteτ → ℜ∧ ≡ ≡ ≡=rkk) Ecuacionesl) a cte=II) ( )v v t≡r r:fittdvadt≡ →∫rr( ) ( ) ( )i iv v t v t a t t≡ ≡ + −r r r r( )v t v a dt→ ≡ ∫r r r( ) ( )0 0i fv t v a t t t t≡ + ¬ = ∧ =r r r( ) ( ) ˆv t iv t≡r( ) ( )0v t v at≡ +Mg. Percy Víctor Cañote FajardoxA0 t8
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física IIlI) ( )≡r rr r t:fittdrvdt≡ →∫rr( ) ( ) ( ) 21( ) ( )2i i i f ir r t r t v t t t a t t≡ ≡ + − + −r r r r r( )v t r v dt→ ≡ ∫r r r( ) ( ) ( ) 210 0 02i fr r t r v t a t t t t≡ ≡ + + ¬ = ∧ =r r r r r( ) ( ) ˆxr t it≡ →r( ) ( ) 2102x t x vt at≡ + +kkk) Gráficasl) a-tMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 9x(t)v(t)x0a(t)
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física IA(t)=v(t)ll) v-tA(t)=x(t)lll) x-tA: no proporciona información cinemática.jjj) Movimientos Generalesa ≡ a(t) → v ≡ v(t) → x ≡ x(t)Mg. Percy Víctor Cañote FajardoaA0 tvA0 txt10A
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física Idedvadt≡ → v ≡ adt∫→ a ≡ a(t) : “fácil”→ a ≡ a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta ocambio de variable→ a ≡ a(x) : Idemdedxvdt≡ → x vdt= ∫→x = x(t)¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidado posición.S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X estadada por x = t3- 12t2+ 36t + 30 con x en metros y t en segundos.Determine:a) La velocidad media entre 2 s ≤ t ≤ 6 s.b) La aceleración media entre 0 s ≤ t ≤ 4 s.c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado.d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado.Solución:x(t) = t3-12t2+36t + 30a) vm :2→ 6Mg. Percy Víctor Cañote FajardoP0 X(t) x11
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I( ) ( )6 26 2mx xxvt−∆≡ = =∆ −?b) am : 0→ 4( ) ( )4 04 0mv vvat−∆≡ = =∆ −?( )( )2223 8 123 23644123dtxt tdtttv−+−+≡−≡ −c) ∧ d)Movimientos acelerados:DEF: vr↑← vr↑↑arMovimientos desacelerados:DEF: vr↓ ← vr↑↓arMg. Percy Víctor Cañote Fajardov + a +0 xv− a−v - a +xv + a -12
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I( )6 24tddtava t≡ ≡≡ −v ≡ v(t) → Pc)0 24 6t→∆ →d)2 46t→∆ →Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoa →v→av + - - + t0 2 4 6v4t2 61213
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física Iii) Movimientos Planares o BidimensionalesLas trayectorias están contenidas en un plano.τ → ℜ2()j) Movimiento Parabólico, MPCaso a cte≡r.Los movimientos parabólicos con aceleración constante son determinadoscuando la v(0) no es paralela a la ar. El plano del movimiento es determinadopor los vectores velocidad inicial (0)vry aceleración ar. El eje de la parábola esparalelo a la a cte≡r. Estos movimientos también presentan simetría derapideces y tiempos a un mismo nivel.y→ar: simplifica la descripción:x : MRU → ax ≡ 0y : MRUV → ay = a ≡ g (por lo general)Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física → Cinemática.Mov Parab ≡ MRUx “+” MRUVyMRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección)Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoy a g≡r rZA A’ ( )0vr( )0vrta td P0 x 0 YX14
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física ISimetrías Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje Para todo nivelva ≡ vdta ≡ tdAplicación importante del MP: Movimiento de proyectilesComo ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superioresa 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectilesconstituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos deinvestigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos pormotivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales delsiglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2guerras mundiales así como en la conquista del espacio…El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros comotiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos lasiguiente geometría,Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoξa cte≡rP15
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física Ii) Tiempo de vuelo, tv2 (0) ( )vv sentgθ≡ii) Alcance o Rango, R2(0) (2 )v senRgθ≡iii) Altura máxima, H2 2(0) ( )2v senHgθ≡¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en lanaturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas.¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de arcte sedesarrollan en el universo.¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoy a g≡r rZa g≡r r( )0vr( )0vrθ θ0 x 0 YX16
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física I¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la coheteríacon la carrera espacial.¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería:Werner von Braun- Pedro Paulet.¿? 2009: Año internacional de la astronomía.¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción.S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con unarapidez inicial v0 directamente hacía una colina,cuyo ángulo de elevación es α ¿cuál será elángulo respecto de la horizontal al que deberáapuntarse el cañón, para obtener el mayoralcance R posible a lo largo de la colina?Solución:θ / Rmáx =?τ → x, y → P: y ≡ a + bx + cx2Mg. Percy Víctor Cañote FajardoRv0θαyPRθvr(0)α0 x17
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física Ix: MRUx(t) ≡ x(0) + vx (0) t → x ≡ 0 + v(0) cosθ t …. (1)y: MRUVy(t) ≡ y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2, gr= 10, → y ≡ 0 + v(0) senθ t2g− t2…. (2)De (1):( )0 cosxtv θ= …(1’)1’ → 2: ( )( ) ( )22 2100 cos 2 0 cosx xy v senv vθθ θ≡ −P: { }( )22 22 0 cosgy tg x xvθθ  ≡ −   P – P: xp ≡ Rcosαyp ≡ Rsenα→ Rsenα ≡ {tgθ} Rcosα - g R2cos2α2v2(0)cos2θ( )2 22 21 cos( ) coscos 2 0 cosgRRsen tg RR vαα θ αα θ  ≡ −   ( )2 2( )cos. ( )..2 0 cosgRt gvIg tθ αα θθ≡ −( )22 2cos:0 sec2 0( )cosd gdd Rdvθθ θαθθ   = −Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 18
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física I( )2cosdRRd ddθ θθ θ =  }{ }024cos 2 coscosR senθ θ θθ+( )22 3cos 20 sec2 0 cosg Rsenvα θθθ = −   ( )2cos0 10g tgvRα θ= −( )20...c)os(vg tIgR Iα θ≡II → Icosgtg tgαα θ≡ − 22 (0)v( )220cosvxθ cosg α tgθ2 2 2sec 2 sec2 2tgtg tgtg tgθ θ θα θθ θ−≡ − ≡221 122 21tgtg ctgtg tgtgθα θθ θθ−= ≡ − = −  ÷− 2tg ctgα θ− =22 4 2ctg ctgπ απθα θ + = ⇒ =÷+¿? Evalúe para v(0)= 50, 45º 30ºyθ α≡ ≡¿? Resuelva el problema asumiendo un sistema con eje x sobre la colina.¿? Es más simple.jj) Movimiento Circular, MCLa trayectoria será de una circunferencia.Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 19
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física IY tnR tsθx t=00La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o θ,esto es, usando variables lineales o angulares.k) Cantidades Cinemáticas del MCl) Posiciónm) Lineal: s= s(t)mm) Angular: θ =θ(t)mmm) Relación: s= Rθll) Velocidadm) Velocidad Lineal, v=vtLa llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidadescinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,tdsv v vdt= → =r r rmm) Velocidad Angular, ωDescribe los cambios de θ respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 20
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física Itdr vdtθω ω= → = ×r r ru[ω]= rad/smmm) Relación entre | v| y ωtv Rω=rlll) Aceleraciónm) Aceleración, aEl vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas,tales como la radial y la tangencial, resultando,2 22ˆ ˆ   = + = +     r r r tr t n tv d sa a a e eR dtA la componente radial de la aceleración se le denomina aceleracióncentrípeta, acp.mm) Aceleración Angular, αDescribe los cambios de la ω respecto del tiempo,ddtωα =rru[α]= rad/s2mmm) Relación entre at y αta Rα=kk) Tipos de movimientos CircularesMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 21
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física IAl igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales.¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.¿? Los planetas hacen MC.jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,θ)Este sistema se usa para describir movimientos planares (→ MC). En particulares usado para los movimientos planetarios.r, ˆreθ, ˆeθ{ }ˆ ˆ, , ,rr e eθθ ↔ { }ˆ ˆ, , ,x y i j ¿?( )( )cossr r tx rty r enθθ θθ≡= ≡= Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoyty ˆeθ ˆerrj θi x x22
  23. 23. Cuaderno de Actividades: Física I( )( )ˆ ˆˆ ˆ , ˆ ˆˆ cosˆ ˆˆˆ ˆ sˆ ˆ ,r rre e i j e i sen je en i cos je e i j θθ θθ θθ θ= ≡ +≡ − += k) Cantidades cinemáticas en (r,θ)l) rrˆ( , ) rr r r eθ =r ( )( )ˆ ˆr rr r te e t==ll) vrˆ( )ˆ ˆ( )rr rd redrv re r edt dt≡ ≡ ≡ +rr &&{ }ˆ ˆˆ ˆ( ) cosr rd de e i sen jdt dtθ θ≡ ≡ +&{ }ˆ ˆcossen i jθ θ θ≡ − +&.ˆ ˆre eθθ= &ˆ ˆ( , ) rv r r e r eθθ θ≡ +r &&iii) ar{ }ˆ ˆrdv da re r edt dtθθ≡ ≡ +rr &&{ { {ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )r rre r e r e r eθ θθ θ≡ + + +& & && &&& &2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr rre r e r e r e r eθ θ θθ θ θ θ≡ + + + −& & && &&& & &( ) { } { }2ˆ ˆ, 2ra r r r e r r eθθ θ θ θ≡ − + +r & && &&& &Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 23
  24. 24. Cuaderno de Actividades: Física I¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario.¿? En particular el movimiento de la Luna es problema CAOS. Leer “Elreloj de Newton”.kk) Movimiento Circular en (r,θ)r ≡ R ≡ cte!i) rr re r R cte≡ → ≡ ≡r rii) ( ) ˆ, ,tv r r e v R wθθ θ ω θ≡ → ≡ =r & &iii) ( ) 2ˆ ˆ, ra r r e r eθθ θ θ≡ − +r & &&{ }{ { { }{{ }{2ˆ ˆrR e R eθθ θ≡ + −&& &{ {ˆ ˆt nt n cpa T a Na a a≡ +≡r r rS1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada portyr r πθµ 2ˆ10 == , en donde r está en metros, θ en radianes y ten segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidaddtrdV /= por derivación directa de r , c) Como la distancia sobre latrayectoria es s = rθ, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismovalor que el módulo de V hallado en la parte (b)?, d) Halle el vectoraceleración a en función de los vectores unitarios θµµ ˆˆ yr .Solución:ˆ ˆ ˆ10 ,r r rr eµ µ≡ =rθ = 2πta) 10 10r R MC≡ → ≡ →b) { }ˆ ˆ ˆ10 10( ) 10r rdr dv v e e edt dtθθ= → = = =rr r & &Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 24
  25. 25. Cuaderno de Actividades: Física Iˆ20tv v eθπ≡ ≡r rc) MC: s, variable lineal!s → vt → atθ, variable angularθ, → ω → αMC ≡ MC (variables lineales, v angulares)s ≡ θ Rvt ≡ ωRat ≡ αR10 2 20dss R xdtθ π π≡ ≡ ≡ ≡&&d) ( ),a a r θ≡r r…( ) { } { }2ˆ ˆ, 2ra r r r e r r eθθ θ θ θ≡ − + +r & && &&& & , ˆ ˆ ˆ ˆr re y eθ θµ µ= =S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos velocidades constantesen modulo. La primera permanece siempre perpendicular al eje X y lasegunda perpendicular al radio vector. Halle la ecuación de latrayectoria si parte del punto (r0, θ0) y calcule la aceleración de M.Solución:Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoy ˆeθM reˆV2r V1θ0 x25
  26. 26. Cuaderno de Actividades: Física Ia) Ecτ / t ≡ 0 : (r0, θ0)?b) aM ≡ ?--------------------------------a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemos( ) { }1 1 2ˆ ˆ, cosM rv v r v sen e v v eθθ θ θ≡ ≡ − − +r rAhora, comparando componentes,( ) ˆ ˆ, rv r re r eθθ θ≡ +r &&r : 1r v senθ≡ −& … (I)1 2: cosr v vθ θ θ≡ − −& …(II)En I aplicando regla de la cadena: ( )dr dr d drrdt d dt dθθθ θ≡ ≡ ≡ &&Despejando θ& de II y reemplazando,Mg. Percy Víctor Cañote FajardoyˆeθˆreMV1r θ v1θV2V1θx26
  27. 27. Cuaderno de Actividades: Física I1 21cosv vdrr v send rθθθ− − ≡ ≡ − ÷ &Separando variables para poder integrar,{ } 11 21lncosv sendr drr d d v vθθ θ θ≡ ≡+{ } 11 2: lncosv sendr d dd v vθθ θθ θ  ≡    +   ∫ ∫ ∫{ }1 2ln( ) ln cos v cr v θ= − + +Aplicando ci para determinar c:{ }{ }0 1 0 20 1 0 2ln( ) ln cosln coscvcr vr v vθθ+ + == +  ( )1 0 201 2cos,cosv vr r rv vτθθθ +≡ → → ÷+ b) Para la a de M,( ) { } { }2ˆ ˆ, 2ra r r r e r r eθθ θ θ θ≡ − + +r & && &&& &( )1 2? ,cos( ) ?ccr r c ev vr fθθθ θ θ≡ → ≡ ≡+≡ → ≡%& %& &&De II,{ }1 0 20 1 21 2coscoscos( ) ( ) ( ) ( )( ), ( )( )v vr r v vv vg r f g rr ra aθθ θ θθθ θ θ θ θθ θ θ θθ +≡ ≡ − + + ≡ → ≡ ≡≡ ≡≡& && & &&& &&&& &&r rMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 27
  28. 28. Cuaderno de Actividades: Física Iiii) Movimientos Espaciales: Caso GeneralLos casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio.Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio deSuperposición, expresarlo en función de movimientos mas sencillos, de ello yahemos revisado algunos casos, por ejemplo,MP → {MRU}x + {MRUV}yM Helicoidal → {MRU}z + {MC}xyM Cicloidal → {MRU}xy + {MC}xy¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría.La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema decoordenadas que comparta la simetría del movimiento.→ x, y, z Rectangulares→ r, θ Polares→ ρ, φ, z Cilíndricas→ r, θ, φ Esféricas→ s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal ybinormal.De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito,( )a a t v adt r vdt≡ → ≡ → =∫ ∫r r r r r r( )( )a a vtécnicas dea a r≡≡ ∫r r rr r r Regla de la cadena Diferencial exacta Cambio de variableSistema de coordenadas sobre la curvaEs el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por lallamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, ˆT , tangente unitario, ˆN ,normal principal, y ˆB , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares.Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 28
  29. 29. Cuaderno de Actividades: Física Ii) ( )r r t≡r rii) ˆv vT≡r, ˆ ˆ:T u en la dirección de vriii) ?a ≡r{ }ˆ ˆ ˆdv da vT vT vTdt dt≡ ≡ ≡ +rr &&ˆ ?T ≡r&{ˆˆˆvdTddTsdsTdt dt≡ ≡&ˆ :T tangente unitarioˆT = 12ˆ 1T =ˆ ˆ. 1T T = ← derivando respecto a sˆˆ 0dTTds× =Mg. Percy Víctor Cañote FajardoPO R = ρ ˆT ˆT1kρ≡ : curvatura29
  30. 30. Cuaderno de Actividades: Física I{ˆˆˆkNdTa vT v vds    ≡ +       r&2ˆ ˆva vT NR≡ +r& ; ρ ≡ R: radio de curvatura¿? Que información da la binormal.¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura.Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 30
  31. 31. Cuaderno de Actividades: Física IS1P21) Un muchacho en A arroja una pelotadirectamente a una ardilla paradasobre una rama en B. Si la rapidezinicial de la pelota es de 16 m/s y laardilla, en vez de asustarse, se dejacaer del reposo en el instante en quese lanzo la pelota, demuestre que laardilla puede atrapar la pelota ydetermine la longitud h que la ardillacae antes de hacer la captura.Solución:t ≡ 0: Pelota en A y Ardilla en B( )0vr“directamente” hacia B:2 1H HtgDθ−≡ →[ ]{ }1/ 2222 1cosDD H Hθ ≡+ −Mg. Percy Víctor Cañote FajardoBhA 5.5 m1.5 m10 mBh gH2 - H1v(0) Cy A θH2xH1A’ D31
  32. 32. Cuaderno de Actividades: Física ISea t: Pelota en C y ardilla en CUsando xy en A:Para la pelota, ( ) ( ) ( ){ }0 0 0 cosxp px t v t v t Dθ≡ + ≡ ≡( )0 cosDtv θ→ ≡( ) ( ) ( )21 10 02p pygy t H v t t H v≡ + − ≡ +{ } ( )0Dsenvθ ×( )22 0 coscosg Dv θθ  −    ( )( )( ){ }2 21 1 2 1 22 221/ 22 0 cos2 0gD gDH Dtg H H Hv Dvθθ≡ + − ≡ + − −  ×    ( )[ ]{ }( )222 12 22 0pg D H Hy t Hv+ −≡ −Para la Ardilla, ( ) { } 22102Ay t H t gt≡ + −( )22 21 12 0 cos 2D DH g H gv θ  ≡ − × ≡ −   ( )0Dv ×[ ]{ }21/ 2221 2D H H            + −    ( )[ ]{ }( )222 12 22 0Ag D H Hy t Hv+ −≡ −a) Como en t ( ) ( )p Ay t y t≡ →la ardilla puede coger la pelota!Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 32
  33. 33. Cuaderno de Actividades: Física Ib) ( )[ ]{ }( ){ }22 2 22 12 2 210 10 42,32 0 2 16Ag D H Hh H y tv+ − × +≡ − ≡ ≡ ≡×2,3h ≡¿? Será posible resolverlo rápidamente usando la Ecde la parábola.S1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por:a(x) = 3x – 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) suvelocidad cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad esmáxima, (c) la aceleración para esta velocidad máxima.Solución:( ) 33 2 , 0: 0 0a x x x t x v≡ − ≡ ≡ ∧ ≡a) ( )0,5v v x≡ ≡ b) max/x v ∧ c) max/a v ?23 1( )23 2dv dv vddv dv dxa x x xx dxdt dx dt≡ ≡ ≡ ≡ − ≡  . .2 2 4 2 2 4 21 3 1:2 2332c icv x x v v xx xx→ ≡ − + → ≡ ±→ ≡ −−∫a)21 1 1 1132 2 2 4v x   ≡ ≡ ± − ≡ ± ÷  ÷   b)3 232 2*3 2 3 2: 2 6 4 03 332d dv dv x x xv x xxdx dx dx x x x− −≡ − → ≡ ≡ ≡ →−≡±±± −Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 33
  34. 34. Cuaderno de Actividades: Física IAparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta 3x ≡ +regresando a 0x ≡ y permaneciendo allí ∀ t posterior. Este problema esinconsistente desde su planeamiento: t ≡ 0, a ≡ 0, v ≡ 0 ∧ x ≡0?! Si se le dacierta (0) 0v ≠ ,3 32 2MAXx→ ≡ + ∨ −* ¿? La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la derecha(+)s ∨ hacia la izquierda (-)s.** ¿? Analizar mediante gráficos.c)3 33 22 2a x ≡ ≡ × − ÷ 3 32 2× × 00 a≡ → ≡S1P) Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana deun dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a unblanco a 8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja lapelota en dirección horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?, (b)¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, conun ángulo de 29º con respecto a la horizontal?, (c) ¿Cuánto tiempopermanece la pelota volando en el caso (b)?SOLUCION:{ }( )22 22 0:cosgy tvY x xX gθθ≡ −Mg. Percy Víctor Cañote FajardoYg, g ≡ 10v(0)0 =A θX10B(8,-10)834
  35. 35. Cuaderno de Actividades: Física Ia) ( )8, 10 :B en− Ρ − 10 { } { }0 8≡ × −10( ) { }( )22282 0 10 4 2vv× → ≡× ×b) ( ) { } { }( ) { }222108, 10 : 10 29º 8 82 0 cos29ºB en tgv− Ρ − ≡ − ×× ×( )( ){ }1/ 22 2 20320 16010 8 29º 0cos 29º cos 29º 5 4 29ºtg vv tg  → ≡ + → ≡  +  ( )0 5,4v→ ≡c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }: , 0 0 8 0 5,4 cos29ºxX MRU x t x v t t≡ + → ≡ +1,7t→ ≡S1P) Se lanza un objeto (Mov. Parabólico) de forma que pasa justamentesobre dos obstáculos cada uno de 11,35 m de altura y que están separados porla distancia horizontal de 52 m. Calcule el alcance horizontal total (R=X) y lavelocidad inicial (V0) de lanzamiento sabiendo que el tiempo empleado enrecorrer el espacio entre los 2 obstáculos es de 2,6 segundos. (g=9,8 m/s2)SOLUCION:Yg= 9,8H v’0y v’0 D’d B’ C’11,35v0v0yX0 b B C b A520 (0)2,6; ? ?B Ct R v v→ ≡ ≡ ∧ ≡ ≡Del MP de B’ a C’: Como 2,6 1,3B C B C B Dt t t→ → →≡ ≡ → ≡Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 35
  36. 36. Cuaderno de Actividades: Física IY: 0 (9,8) (1,3 1 ,74) 2y yvv ≡≡ − × →Del MP de 0 a B’:Y: ( ) ( ) ( )22 2 2(0) (0) 2 12,74 2 9,8 11,35y y yv v g y v≡ + ×∆ → ≡ + − ×(0) 19,62yv ≡→Del MP de B a C: Asumiendo “0” en B,X: (0) 52 0 (0) 2,6( ) (0) x xtx t x v v→ ≡ + ×≡ +(0) 20xv→ ≡a) De la ecuación del rango,2(0) (2 ) (0) (0)2 ( ) ( )v sen v v sen cosRg gθ θ θ≡ ≡{ } { }2 (0) ( ) (0) ( )v cos v sengθ θ≡{ } { }2 20 1802 ( 9,629,8,10) (0)x yvRgRv→ ≡≡ ≡b)2 2 2 2(0) (0) (0) (20) (19,62)x yv v v≡ + ≡ +(0) 28v ≡Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 36
  37. 37. Cuaderno de Actividades: Física IS1P) En la grafica mostrada dos móviles son lanzados simultáneamente, ychocan en el punto “M”. Si el que sale de A lo hace con una velocidad de 50m/s y un ángulo de 37°, ¿Cuál debe ser el ángulo y velocidad de lanzamientodel móvil que sale de B? (9,8 m/s2)SOLUCION:Como el movimiento de los móviles es simultaneo, A Bt t t≡ ≡ , y usando elsistema 0XY mostrado,YXPara el móvil A,( )480 0 5052A t t tx ≡ ≡ + × → ≡Para el móvil B,{ }(0) (0)( ) 80 1 .40 cos 2 6 00 cos 3 ..B B Bx B Bx t vx v t v αθ θ≡ + → ≡ + ≡− × ≡ →Usando ( ) ( )A By t y t≡Mg. Percy Víctor Cañote FajardoMva vb37° θA 80 m 60 m BM gva vb37° θA 80 m 60 m B37
  38. 38. Cuaderno de Actividades: Física I( )30 50 25Ay t ≡ + × ×  212gt− ( ) { }0 s 2B By t v enθ≡ ≡ + × 212gt−3 ..s 0.Bv enθ β≡→a) De 45: 1 ºtgα β θ θ∧ ≡ ≡→b) De la ecuación α{12cos 30 30 2BB vv θ ≡≡ →S1P) Una bola es lanzada del origen de coordenadas con una velocidad inicial de v0= 50 m/s. Si transcurridos 3 s alcanza su altura máxima, halle el punto delplano (x,y) donde se encuentra la bola transcurridos 4 s después de sulanzamiento.SOLUCION:Describamos el problema mediante el siguiente grafico,Del vt calculamos el ángulo θ: como alcanza su altura máxima e 3 s, el 6vt s≡,( )2 06v vv sent tgθ≡ → ≡32≡50×510senθ× 3537ºsenθ θ→ ≡ → ≡Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoyv (0) t=3 t ≡ 4?Qt≡0 θ0 x38
  39. 39. Cuaderno de Actividades: Física I( ) ( ){ } ( )(0)4: 0 cos 4 0 50 4 1605x t x v tX xθ ≡ + → ≡ + × × ≡  ( ) ( ) ( ){ } ( )2 3: 0 0 s 5 4 0 50 4 5 16 405Y y t y v en t t yθ ≡ + − → ≡ + × × − × ≡  → ( )160,40Q ≡S1P) ¿Cuál es el ángulo de elevación del lanzamiento de un proyectil para quesu alcance sea el doble que su altura máxima?SOLUCION:( )20?/ 2 MAXvR H Rθ ≡ ≡ → ≡(2 )sengα 2≡( )20v 22sen αg2 sen→ 2cos senα α ≡ { }2 2Arc tgtg αα α ≡→ −→ ≡S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez de 40 m/s, haciendo un ángulo de 37º,desde la azotea de un edificio de altura H, impactando en el suelo a unadistancia de 160 m, medida desde la base del edificio. Halle la altura máximaalcanzada por el cuerpo con respecto al piso.SOLUCION:De la grafica adjunta, representando al punto de impacto con el piso, P=P(160,-H), y reemplazarlo en la ecuación de la parábola para hallar H,( ) { }( )22 205cosy x tg x xvθθ≡ −Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoyv(0)37º h0Q160XHpiso P(160,-H)-H39
  40. 40. Cuaderno de Actividades: Física I34H− ≡ 160×40540−2 4×221605×  ÷ 120 125 5 5H≡ − ≡ − → ≡Ahora, en el MP de 0Q, hallamos la altura máxima,( )22 20 402v senhgθ≡ ≡( )8023/520× 80≡16925×28,8 8,52 8h≡ → ≡33,8MAXH H h≡ + ≡∴S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez v(0)=20 m/s, haciendo un ángulo de 53º,desde la azotea de un edificio de altura 20 m, impactando en el suelo a unadistancia d, medida desde la base del edificio. Halle la distancia d y la alturamáxima alcanzada por el cuerpo con respecto al suelo.SOLUCION:a) Usando el eje Y para calcular el tiempo de movimiento, t,( ) ( ) ( ) 20 0 5yy t y v t t≡ + −( ) ( )40 0 53º 20 165yv v sen≡ ≡ × ≡220 0 16 5t t− ≡ + −23,2 4 0t t− − ≡ ,Mg. Percy Víctor Cañote Fajardoyv(0)vy(0)t=0 53° h% d0 Xd P(d,-20)-20 t=t40
  41. 41. Cuaderno de Actividades: Física I( )21,2( 3,2) 3,2 4 1 ( 4) 3,2 10,2 164,22 2t− − ± − − × × ++−≡ ≡ ≡ 4,2t ≡Ahora usando X para hallar d,( ) ( ) ( )30 0 0 20 (4,2) 50,4550,4x dx t x v t d ≡ + → ≡ + × ≡ → ≡ b) Ahora, en el tramo de ascenso, usamos,( ) ( )2 20 2y yv t v g y≡ + ×∆20 16 2 ( 10) ( ) 20 12,8 32,, 812 8hh H≡ + × − × + ≡→ → ≡ + ≡% %32,8H ≡S1P) Europa, la Luna de Júpiter, tiene un radio orbital de 6,67 x 108m y unperiodo de 85,2 h. Calcule la magnitud de a) la velocidad orbital, b) lavelocidad angular y c) la aceleración centrípeta de Europa.SOLUCION:8) )6,67 10)85,2t cpa v c aR mb wT h∧≡ × ≡ b)52 22,0 10 /85,2 85,2 6023 0rawTd shπ ππ −≡ ≡ ××≡ ≡a)5 8 32,0 10 6,67 10 13,3 120 /v w sR RTmτπ −≡ × × × ≡ ×≡ ≡ ×  c)2 10 8 24 10 6,67 10 26,7 10 /cp ma R sw − −≡ × × × ≡ ×≡Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 41
  42. 42. Cuaderno de Actividades: Física IS1P) Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los extremos de undiámetro AB y en los sentidos indicados en la figura. Si giran con periodos TA =25 segundos y TB = 30 segundos respectivamente, calcular al cabo de quetiempo logran cruzarse por segunda vez.SOLUCION:25 2 / 2 / 25A A AT w Tπ π≡ → ≡ ≡30 2 / 2 /30B B BT w Tπ π≡ → ≡ ≡13t t≡1 1: At w tα ≡1Bw tβ ≡π ( ) 12A Bw w tπα β≡ + ≡ + ≡225π+ 130t  ÷ 125525 30≡×51 11525t t  → ≡   1555×1 6,811t→ ≡20,5t→ ≡S1P) En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas en un minuto y otrosólo 2 vueltas en un minuto. Si ambos parten de dos puntos diametralmenteopuestos y avanzan uno al encuentro del otro ¿en qué tiempo s encontraran yque porción de circunferencia habrá recorrido cada uno?Mg. Percy Víctor Cañote FajardoABAα ABβB1° t1Bβα ABAt1AB BβαAt142
  43. 43. Cuaderno de Actividades: Física ISOLUCION:A:3 11min 20A Hzνν ≡ ≡B:2 11min 30B Hzνν ≡ ≡a) 2A B wtθ θ π θ π+ ≡ ¬ →≡1220t π × +  1 130 2t tπ × ≡ → ≡  20×3050×6t ≡b) 0,6 0,3A Afθ π≡ → ≡0,4 0,2B Bfθ π≡ → ≡¿? Completar el siguiente problema…S1P51) La figura adjunta representa a un campesino irrigando unsistema de andenes, indicados por rayas horizontales, separados 3 m; lapendiente del cerro esta dado por α = 30º :a) El campesino desea averiguar cuantos andenes podrá irrigar con v0 = 15m/s y β variando de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m de“0”.Mg. Percy Víctor Cañote FajardoABB t≡0θBθA0Ay-gsenαα0vgxPARβα0 x43
  44. 44. Cuaderno de Actividades: Física Ib) Encuentre el valor de β que nos permita irrigar el máximo número deandenes. ¿Cuál es ese número máximo?. Tomeg = -10 j m/s2.SOLUCION:{ }( )22 20:2 cosgP y tg x xvθ θ βθ≡ − ¬ ≡{ }: cos ,y y tg x x k y ksenα α α≡ → →≡ ≡: :P P L R≡ { } ( )( )2 20cos2 cosgsen tg R Rvα β αβ≡ − ( )2cosRα Rcos cossensenβ α βα ≡2cos ( )22 2cos2 0 cosgRvαββ−( )22 2cos2 0 cosgvα cos coscossen senRβ α β αββ−≡ { }sen β α≡ −( ){ }222 0coscosvR sengβ β αα  ≡ −   ..…(ρ){ } { }{ }cos coscos 2sen sendRCdβ β α β β αβ β α − − + − → ≡  −  { }cos 2 0 2 60º4 3dRdπ πβ α β αβ≡ − ≡ → − ≡ ≡ ≡b) de lo anterior β ≡ 60ºEn (ρ) :2R ≡215510×34×12×12×15≡1515×15R→ ≡∴ Podrá irrigar 5 ANDERESa) En (ρ) usando β ≡ 45ºMg. Percy Víctor Cañote Fajardo 44
  45. 45. Cuaderno de Actividades: Física I22 15 10,26 11,1 11,13 2104R R×≡ × × ≡ → ≡×∴ Solo podrá irrigar 3 ANDERES* Hacer la variante de calcular R con x’Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 45

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