Durante los últimos años el análisis geométrico de las marcas de cantero se ha convertido en una de nuestras tareas principales. La importancia del conocimiento de la geometría para los artesanos y constructores medievales es bien conocida. Sirva como muestra el siguiente fragmento extraído del cuaderno de viajes de un maestro cantero inglés que vivió durante el siglo XIV. "No te extrañes si te digo que toda ciencia vive entera de la ciencia de la geometría. Porque no hay ni artificio ni herramienta que esté hecho por la mano del hombre sino que todos están hechos por geometría. Porque si un hombre trabaja con sus manos trabaja con algún tipo de herramienta y no hay ningún instrumento material en este mundo que no provenga de algún tipo de tierra y a la tierra volverá otra vez. Y no hay ningún instrumento, esto es, una herramienta para trabajar que no tenga alguna proporción más o menos. Y la proporción es medida, y la herramienta o instrumento es tierra. Y la geometría, se dice, es la medida de la tierra, por tanto puedo afirmar que todos los hombres viven por geometría."

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15 de mayo de 2014
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Jordi Aguadé Torrel y Rafael Fuster Ruíz
Marcas de Cantería y Geometría
“Geometría Fabrorum” en el arte de la
construcción en la edad media
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Durante los últimos años el análisis geométrico de las marcas de cantero se ha
convertido en una de nuestras tareas principales en el estudio de este campo. La importancia
del conocimiento de la geometría para el constructor medieval es bien conocida. Sirva como
muestra el siguiente fragmento, extraído del cuaderno de viajes de un maestro cantero inglés
que vivió durante el siglo XIV: «No te extrañes si te digo que toda ciencia vive entera de la ciencia de la
geometría. Porque no hay ni artificio ni herramienta que esté hecho por la mano del hombre sino que [todos]
están hechos por geometría. . . . Porque si un hombre trabaja con sus manos trabaja con algún tipo de
herramienta y no hay ningún instrumento material en este mundo que no provenga de algún tipo de tierra y a la
tierra volverá otra vez. Y no hay ningún instrumento, esto es, una herramienta para trabajar que no tenga
alguna proporción más o menos. Y la proporción es medida, [y] la herramienta o instrumento es tierra. Y la
geometría, se dice, es la medida de la tierra, por tanto puedo afirmar que todos los hombres viven por
geometría.» . Aunque los errores de lógica en el razonamiento son evidentes, podemos1
desprender del fragmento que la geometría no era tan sólo una dimensión importante en la
vida del maestro cantero, si no mas bien el eje principal que guiaba su forma de percibir y
entender el mundo.
De entre todo el abanico de formas con las que nos encontramos cuando nos
enfrentamos a las marcas de cantero, siempre hemos preferido realizar el estudio, en cuanto a
geometría se refiere, de aquellos ejemplares con cierta complejidad en su diseño. Esto ha sido
así porque considerábamos que una marca con una estructura simple en su diseño podía
“encajar” con múltiples modelos geométricos sin que en ello hubiera ninguna intencionalidad
por parte del cantero. Así pues, hemos venido estudiando las marcas en forma de ballesta, con
resultados interesantes, las lambdas, los pentagramas asimétricos, … dejando de lado todas
!1MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA
“Arcos, bóvedas y cúpulas (Geometría y equilibrio en el cálculo tradicional de estructuras de fábrica)” -1
Santiago Huerta

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aquellas marcas que no tuvieran una complejidad suficiente en su diseño que nos permitiera
extraer conclusiones.
Esta forma de trabajo nos ha reportado múltiples resultados, pero ha hecho que
dejemos de lado todo un grupo de marcas que, aunque su diseño sea muy simple, presentan
cierta asimetría implícita en su diseño, de la que debería ser posible extraer ciertas
conclusiones.
En estos últimos días nos hemos encontrado con una marca de este tipo. Dicha marca
nos la ha hecho llegar nuestro compañero “Armando Biendicho” y pertenece a la Cartuja de
Scala Dei, en la comarca del Priorato (Tarragona). Como podemos ver en la siguiente
imagen, resulta difícil encontrar una marca mas sencilla en estructura que la presente:
A primera vista se trata de una de las marcas mas sencillas con la que nos podemos
encontrar. Si una flecha suele sugerir “dirección”, una aspa acostumbra a indicar “posición”.
Por lo tanto, a priori, podríamos pensar que estamos ante una marca de posición o de
ensamblaje, utilizada por cantero para indicar alguna cuestión operativa relativa al tallado,
posición o ensambladura del sillar. Dicho sea de paso que, también a primera vista, resulta
poco probable que se trate de una marca de autoría, debido también a la extrema sencillez en
el diseño.
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De todos modos, aunque se tratara de una marca con función operativa, sorprende la
poca destreza por parte del cantero a la hora de ejecutarla. En primer lugar, vemos que el
punto de corte está muy desplazado hacia los extremos de los segmentos, y por otro lado
observamos que el ángulo de corte es excesivamente abierto. ¿Por qué estos defectos en la
ejecución de la marca?
Una posible respuesta podría ser que, dado la poca trascendencia de dicha marca, el
cantero no se esmeró demasiado a la hora de labrarla, y es por eso que aparece tan “mal
hecha”. Esto podría ser así y no habría mas que hablar al respecto. Lo sorprendente resulta
con qué nos encontramos cuando medimos estas asimetrías en la marca.
Por un lado, el ángulo de corte no es cualquier ángulo, si no que se trata, con una
exactitud sorprendente, del ángulo interior de un hexágono (120º). Por otro lado, el punto de
corte tampoco parece ser debido al azar, pues la relación entre la longitud de los segmentos y
el largo del fragmento mayor resultado del corte se corresponde con la “Raíz cuadrada de 2”.
Veamos en la siguiente imagen la correspondencia geométrica entre la marca y el hexágono:
De todos modos, y aún teniendo en cuenta las correspondencias geométricas que
hemos detectado, uno podría achacar este resultado al azar. De hecho, sería lo mas razonable,
pues como hemos dicho, la simplicidad en la estructura de una marca puede posibilitar que
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esta se acomode a múltiples modelos geométricos sin que en ello haya ningún tipo de
intencionalidad por parte del cantero que la labró, y por lo tanto, sin que podamos extraer
ninguna información al respecto. Ahora bien, el tema de complica si dicho modelo
geométrico no es un modelo cualquiera.
Es decir, uno puede ponerse a medir los ángulos y longitudes de segmentos de cualquier
marca y encontrar, casi con total seguridad, números y relaciones aparentemente interesantes.
Pero dichos resultados carecerán de cualquier valor si además no somos capaces de
contextualizar dichas relaciones encontradas con algún tipo de modelo geométrico conocido,
y que a su vez, tal vez nos permita contextualizar la marca en el mismo templo.
Pero en nuestro caso, tal como hemos dicho, no nos encontramos ante una relación
geométrica cualquiera, si no ante un modelo que relaciona las 2 proporciones mas estimadas
por el constructor medieval. A saber, la raíz de 2 y la proporción áurea. Para entender este
punto, fijémonos en el desarrollo geométrico siguiente:
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1. Partamos del hexágono inscrito en un círculo de radio (r=1), y dibujemos un
cuadrado en 2 lados contiguos del hexágono:
2. A continuación trazamos las diagonales de los cuadrados y las abatimos sobre los
lados del hexágono
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!4MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA

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3. Donde obtenemos la siguiente figura, coincidente con la estructura geométrica de la
marca de cantero.
4. Ahora, volvamos a levantar las dos diagonales, hasta que coincidan sus extremos:
!5MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA

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5. Lo que obtenemos es un triángulo donde se relacionan 1, raíz de 2 y Phi a través del
ángulo 60º. En otras palabras, estamos ante el método para encontrar la razón áurea a
partir del hexágono:
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Así pues, aunque sigue siendo factible achacar al azar el diseño de la marca, éste parece
coincidir con un desarrollo geométrico notable, y por lo tanto resulta lógico que aceptemos la
posibilidad que dicha marca y el modelo geométrico en cuestión estén relacionados.
Si aceptamos que dicha marca de corresponde con el modelo geométrico descrito, lo
mas lógico sería encontrar dicho modelo en marcas de otros templos. Así pues, el siguiente
paso fue buscar vestigios de esta relación geométrica en otros puntos de la geometría
española. Si éramos capaces de encontrarlos, estaríamos en condiciones de afirmar que, tal
vez, dicho modelo geométrico formara parte de los utilizados en el mundo de la construcción
de la edad media. Para ello nos servimos del trabajo de recopilación de Simón Hidalgo
Valencia .2
El primer resultado lo encontramos en Fítero. Tal como podemos ver en la siguiente
imagen, si bien es cierto que el segmento principal no coincide con el centro del hexágono, si
que encontramos una correspondencia exacta entre la punta de la flecha y el modelo
geométrico estudiado:
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!6MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA
“Canteros Románicos por los caminos de Navarra”, de Simón Hidalgo Valencia, tal vez sea el trabajo de2
recopilación de marcas de cantero mas riguroso que se haya hecho en nuestro país. Podéis encontrar
información al respecto en su blog “http://simeonhidalgo.over-blog.com/“

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Pero el resultado mas concluyente lo encontramos en la siguiente marca perteneciente a
San Pedro de Olite:
Esta marca está registrada en el catálogo de Simeon Hidalgo como “ángulo” o
“escuadra”. Si superponemos la marca sobre nuestro modelo geométrico podemos observar
una correspondencia exacta:
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!7MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA

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Si bien sigue siendo posible atribuir al azar las coincidencias entre el diseño de la marca
y el modelo geométrico, la acumulación de resultados nos hacen pensar que la hipótesis que
estemos ante una operación propia de la “geometría Fabrorum” empieza a tomar cuerpo. De
hecho, ¿Que probabilidad hay de dibujar un ángulo al azar y que el ángulo sea 82 y que la3
relación entre longitudes entre los segmentos sea raíz de 2? La respuesta es, realmente baja”.
De todos modos, podemos ir mas allá. Imaginemos que dicha “escuadra” hubiera sido
utilizada en el trazado de San Pedro de Olite. Por un lado, dicho “artefacto geométrico” nos
ofrece la relación entre la unidad, la raíz de 2 y la razón áurea. Por lo tanto, sería de esperar
que encontráramos, de alguna u otra manera, dichas relaciones en el templo.
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!8MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA
Las dimensiones y los ángulos del triángulo correspondiente al modelo geométrico estudiado son las siguientes:3
Lados: 1, raíz de 2 y Phi. Ángulos: 60ª, 82.2º y 37.8º

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Si nos fijamos en la proyección en planta de Olite los resultados no se hacen esperar. Si
empezamos a calcular las proporciones principales del templo, observamos que la razón Phi y
raíz de 2 aparecen con bastante facilidad. Pero tal vez la mas interesante es la relación entre la
longitud del templo, incluyendo la cabecera, respecto a la longitud de la nave principal.
Haciendo este cálculo nos aparece la proporción esperada:
De todas formas, el que tal vez sea el resultado mas interesante aparece cuando nos
fijamos en las proporciones del templo en sus dos etapas constructivas. Por un lado tenemos la
nave románica cuya planta tiene una proporción de raíz de 2. Por otro lado, la reconstrucción
gótica tiene una proporción de Phi:
Templo original románico con proporción Raíz de 2 Reconstrucción gótica con proporción áurea
!9MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA

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¿Qué conclusión podemos extraer de este hecho?
En primer lugar debemos ser consciente del terreno resbaladizo en el que nos movemos.
La ausencia de documentación escrita de la época hace que en el mundo de las marcas de
cantería sea muy peligroso sentar cátedra. De todos modos, y a tenor de los hechos citados,
consideramos como plausible la siguientes hipótesis:
• Existe una operación geométrica que relaciona las magnitudes Raíz de 2 y Phi a
través de la unidad y la geometría implícita del hexágono.
• La existencia de marcas coherentes con este modelo nos hace pensar que tal vez dicha
operación era conocida por los constructores medievales.
• La proporción principal del templo original románico en San Pedro de Olite es raíz de
dos.
• Por otro lado, la reconstrucción gótica modificó las proporciones de la nave principal
hasta convertirá en la razón áurea.
• Por lo tanto, es plausible pensar que la “escuadra” de San Pedro de Olite puede ser
una representación de la “herramienta geométrica” que se utilizó en la reconstrucción
gótica para, respetando el ancho de la nave principal, transformar la proporción principal
de templo de raíz de 2 a la proporción áurea.
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Y finalmente, ¿Se puede inferir alguna conclusión para Scala Dei?
A falta de datos mas concretos no podemos deducir muchas consecuencias, pero de bien
seguro, con el tiempo, dispondremos de la información necesaria para analizar el templo y
redactar la segunda parte de este trabajo. Tan sólo apuntar que un estudio superficial apunta
en la buena dirección, pues en el claustro interior observamos que también aparece la
“escuadra” de San Pedro de Olite.
Misma geometría, idénticos principios.
!10MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA