df

1. Himar Alonso D´
ıaz
F´rmulas de oscilaciones y ondas
o
1. Oscilaciones
1.1. Movimiento Arm´nico Simple
o
d2 x k k
Ecuaci´n fundamental:
o 2
+ x=0 donde ω =
dt m m
1.1.1. Cinem´tica
a
Posici´n:
o x(t) = A sen (ωt + α)
dx
Velocidad: v(t) = = Aω cos (ωt + α)
dt
dv
Aceleraci´n:
o a(t) = = −Aω 2 sen (ωt + α) = −ω 2 x(t)
dt
1.1.2. Energ´ del M.A.S.
ıa
1 1 1
Ec = mv 2 = (· · · ) = kA2 cos2 (ωt + α) = k(A2 − x2 )
2 2 2
1 2 1 2
Ep = kx = kA sen2 (ωt + α)
2 2
1
E = Ec + Ep = kA2
2
1.2. Estudio del M.A.S. en algunos sistemas f´
ısicos
1.2.1. Masa sujeta a un muelle (vertical)
Sup´ngase una masa sujeta a un muelle vertical. La posici´n de equilibrio es y0 , y
o o
definiremos y = y − y0 . Entonces:
′
d2 y ′ k k
2
+ y ′ + y0 = g
dt m m
mg
Adem´s, por la segunda Ley de Newton, sabemos que y0 =
a k
, de manera que:
d2 y ′ k
2
+ y′ = 0
dt m
La soluci´n de esta ecuaci´n diferencial queda:
o o
k
y(t) = y0 + A sen (ωt + α) donde ω =
m
1

2. 1.2.2. P´ndulo simple
e
Ecuaci´n diferencial:
o
d2 θ g
2
+ θ=0
dt L
Soluci´n:
o
g
θ(t) = Θ sen (ωt + α) donde ω =
L
1.2.3. P´ndulo f´
e ısico
Ecuaci´n diferencial:
o
d2 θ mgd
+ θ=0
dt2 Io
Soluci´n:
o
mgd
θ(t) = Θ sen (ωt + α) donde ω =
Io
1.2.4. Circuito LC
Ecuaci´n diferencial:
o
d2 Q 1
+ Q=0
dt2 LC
Soluci´n:
o
1
Q(t) = Q0 sen (ωt + α) donde ω = √
LC
1.3. Movimiento oscilatorio amortiguado
d2 x γ dx k k γ
Ecuaci´n fundamental:
o 2
+ + x=0 donde ω = y β=
dt m dt m m 2m
La soluci´n de esta ecuaci´n diferencial depende de la relaci´n entre β y ω0 . En los
o o o
siguientes casos, supondremos que las condiciones iniciales que conocemos son la posici´n
o
inicial x0 y la velocidad inicial y0 , para el c´lculo de las constantes arbitrarias:
a
1.3.1. Amortiguamiento d´bil: β < ω0
e
La soluci´n es del tipo:
o
2
x(t) = Ae−βt sen (ωt + α) donde ω = ω0 − β 2
Constantes arbitrarias, conociendo x0 y v0 :
v0 + βx0 ωx0
A= + x2
0 α = arc tg
ω v0 + βx0
2

3. 1.3.2. Amortiguamiento cr´
ıtico: β = ω0
El amortiguamiento cr´ıtico alcanza la posici´n de equilibrio en el menor tiempo posible.
o
La soluci´n es del tipo:
o
x(t) = (A0 + A1 t)e−βt
Constantes arbitrarias, conociendo x0 y v0 :
A0 = x0 A1 = v0 + βx0
1.3.3. Sobreamortiguamiento: β > ω0
La soluci´n es del tipo:
o
x(t) = A1 e−Ω1 t + A2 e−Ω2 t donde Ω1 = β + 2
β 2 − ω0 y Ω2 = β − 2
β 2 − ω0
Constantes arbitrarias, conociendo x0 y v0 :
Ω2 x0 + v0 Ω1 x0 + v0
A1 = A2 =
Ω2 − Ω1 Ω1 − Ω2
1.4. Movimiento oscilatorio forzado
d2 x γ dx k F (t) k γ
Ecuaci´n fundamental:
o 2
+ + x= donde ω = y β=
dt m dt m m m 2m
Para que el forzamiento sea de tipo arm´nico, F (t) debe tener la siguiente forma:
o
F (t) = F0 sen (ωf t)
La soluci´n de esta ecuaci´n diferencial no homog´nea ser´ la suma de una soluci´n
o o e a o
general de la homog´nea m´s una soluci´n particular de la completa:
e a o
x(t) = xh (t) + xp (t)
donde xh (t) es la soluci´n correspondiente al tipo de amortiguamiento –d´bil, cr´
o e ıtico o
sobreamortiguado–, y representa el t´rmino transitorio, y xp (t) es de la forma:
e
F0 /m 2βωf
xp (t) = A sen (ωf t − δ) donde A = y δ = arc tg 2 2
2 2
(ω0 − ωf )2 + (2βωf )2 ω0 − ωf
y representa el t´rmino estacionario.
e
1.4.1. Resonancia en amplitud
Tendremos resonancia en amplitud –la amplitud ser´ m´xima– cuando la frecuencia
a a
de forzamiento cumpla:
2
ωf,A = ω0 − 2β 2
En cuyo caso la amplitud toma el siguiente valor:
F0 /m ω0
Amax = 2
que s´lo se cumple cuando β < √
o
2β ω0 − β 2 2
es decir, que la resonancia en amplitud s´lo podr´ darse en algunos casos de amortigua-
o a
miento d´bil.
e
3

4. 1.4.2. Resonancia en energ´
ıa
Tendremos resonancia en energ´ –hay m´xima transferencia de energ´ cuando la
ıa a ıa–
frecuencia de forzamiento cumpla:
ωf,E = ω0
En cuyo caso la velocidad ser´:
a
F0
vmax = Aωf |ωf =ω0 =
2mβ
1.4.3. Potencia y ancho de banda
Expresiones para la potencia:
2 2
−γF0 ωf
Pamort = 2 2
2m2 (ω0 − ωf )2 + (2βωf )2
2 2 2
F0 ωf β/m F0
Pext = 2 2
Pext |ωf =ω0 =
(ω0 − ωf )2 + (2βωf )2 2mβ
Potencia media relativa:
Pext 4β 2 ωf
2
= 2 2
Pext |ωf =ω0 (ω0 − ωf )2 + (2βωf )2
Ancho de banda: se da cuando la potencia media relativa es mayor que el 50 %. Se
definen entonces las siguientes frecuencias, que delimitan el ancho de banda:
2 2
ω1 = −β + β 2 + ω0 ω2 = β + β 2 + ω0 ∆ω = 2β
1.5. Superposici´n de MM.AA.SS.
o
1.5.1. MM.AA.SS. de igual direcci´n y frecuencia
o
Queremos superponer x1 (t) = A1 sen (ωt + α1 ) y x2 (t) = A2 sen (ωt + α2 ). El resultado
es el:
x(t) = A sen (ωt + α)
donde:
A1 sen α1 + A2 sen α2
A= A2 + A2 + 2A1 A2 cos |α1 − α2 | y δ = arc tg
1 2
A1 cos α1 + A2 cos α2
Podemos distinguir los siguientes casos interesantes:
1. α1 = α2 , entonces hay una interferencia constructiva:
A = A1 + A2 α = α1 = α2
2. α1 − α2 = ±π , entonces hay una interferencia destructiva:
A1 > A2
A = A1 − A2 α = α1
4

5. A2 > A1
A = A2 − A1 α = α2
3. α1 − α2 = ±π/2 , entonces los MM.AA.SS. est´n en cuadratura:
a
A1
A= A2 + A2
1 2 α = α2 + arc tg
A2
1.5.2. MM.AA.SS. de igual direcci´n distinta frecuencia
o
La superposici´n de x1 (t) = A1 sen (ω1 t + α1 ) y x2 (t) = A2 sen (ω2 t + α2 ) en general
o
no es un MAS. S´lo se dar´ el caso cuando exista una relaci´n de conmensurabilidad entre
o a o
sus per´
ıodos:
T = n1 T1 = n2 T2
donde n1 y n2 son los menores n´ meros enteros que satisfacen la igualdad.
u
Tambi´n podemos estudiar el caso de las pulsaciones, que se dan cuando ω1 y ω2 son
e
diferentes, pero muy parecidas –supondremos A1 = A2 = A, por simplicidad–:
ω1 − ω2 α1 − α2 ω1 + ω2 α1 + α2
x(t) = 2A cos t+ sen t+
2 2 2 2
1.5.3. MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares e igual frecuencia
La superposici´n de x(t) = A1 sen (ωt) e y(t) = A2 sen (ωt − δ), donde δ es la diferencia
o
de fase entre ambas se˜ ales, depende del valor de este par´metro precisamente:
n a
1. δ = 0 , en este caso la polarizaci´n es lineal :
o
A1
y= x → r(t) = A2 + A2 sen (ωt)
1 2
A2
2. δ = π/2 , en este caso la polarizaci´n es el´
o ıptica:
x2 y2
+ 2 =1
A2 A2
1
Si adem´s A1 = A2 , la polarizaci´n ser´ circular.
a o ıa
3. δ = π , nuevamente tenemos polarizaci´n lineal, aunque la recta es de pendiente
o
negativa:
−A1
y= x
A2
4. δ = 3π/2 , en este caso la polarizaci´n es el´
o ıptica, pero gira el sentido de giro es
contrario:
x2 y2
+ 2 =1
A2 A2
1
5. δ ≡ arbitrario Resulta una elipse, cuyos ejes no tienen por qu´ ser los ejes coorde-
e
nados:
x2 y2 2xy
2
+ 2− cos δ = sen2 δ
A1 A2 A1 A2
5

6. 1.5.4. MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares y frecuencias diferen-
tes
La superposici´n de x(t) = A1 sen (ω1 t + α1 ) e y(t) = A2 sen (ω2 t + α2 ) en general
o
no es un MAS. S´lo se dar´ el caso cuando exista una relaci´n de conmensurabilidad
o a o
entre sus per´
ıodos:
T = n1 T1 = n2 T2
donde n1 y n2 son los menores n´ meros enteros que satisfacen la igualdad. En este
u
caso el MAS resultante determina una curva de Lissajous.
2. Ondas
2.1. Ecuaci´n de ondas
o
Ecuaci´n fundamental:
o
∂2Ψ 1 ∂2Ψ 1 ∂2Ψ
2
= 2 2 o tambi´n:
e ∇ Ψ= 2 2
∂x2 v ∂t v ∂t
2.2. Ondas arm´nicas. Magnitudes caracter´
o ısticas
Ecuaci´n de una onda arm´nica:
o o
x t
Ψ(x, t) = Ψ0 sen 2π − = Ψ0 sen (kx − ωt)
λ T
donde los par´metros son:
a
2π
λ= λ = vT
k
2.3. Ondas en dos y tres dimensiones. Frente de ondas
2.3.1. Ondas en dos dimensiones. Onda arm´nica plana
o
Ψ(x, t) = A sen (kx − ωt + φ)
2.3.2. Ondas en tres dimensiones. Onda arm´nica esf´rica
o e
A
Ψ(r, t) = sen (kr − ωt + φ)
r
2.4. Algunos fen´menos ondulatorios
o
2.4.1. Ondas transversales en una cuerda
∂2y T ∂2y T
= → v=
∂t2 µ ∂x2 µ
donde T es la tensi´n de la cuerda, y µ es la densidad lineal de masa.
o
6

7. 2.4.2. Ondas longitudinales en un fluido. Ondas sonoras
∂2S K ∂2S K
= → v=
∂t2 ρ0 ∂x2 ρ0
donde K es el coeficiente de compresibilidad adiab´tico del fluido, y ρ0 es la densidad
a
vol´ mica del mismo. K se obtiene:
u
dP
K = −v = γP
dV Q
Si un gas ideal es adiab´tico, la velocidad de propagaci´n viene dada por:
a o
γRT
v=
M
2.5. Energ´ en el movimiento ondulatorio
ıa
Densidad media de energ´
ıa:
1
µe = µω 2 A2
2
Flujo energ´tico:
e
x 1
P = Φ = µe = µω 2A2 v
t 2
Intensidad de un movimiento ondulatorio I en una superficie S de un frente de ondas:
P
I=
S
Si conocemos la intensidad de un frente de ondas I0 en un punto del espacio r0 , entonces:
2
I1 I2 I0 r0
2
= 2 → I(r) =
r2 r1 r2
Intensidad de una onda sonora:
P2
I=
2ρ0 v
Los l´
ımites de audici´n para el o´ humano son:
o ıdo
Sonido fuerte: I ≈ 1W/m2
Sonido d´bil: I ≈ 10−12 W/m2 (= I0 )
e
Con esto par´metros, se define el nivel de intensidad de la onda como:
a
I
β = 10 log ≡ dB
I0
En esta nueva escala, los l´
ımites humanos son:
Sonido fuerte: I = I0 = 0dB
Sonido d´bil: I = 120dB
e
7

8. 2.6. Ondas en medios absorbentes
2.6.1. Ondas planas
Sea β el coeficiente de absorci´n del medio. Entoces la intensidad viene dada por la
o
Ley de Lambert:
dI
= −βI o lo que es lo mismo: I(x) = I0 e−β(x−x0 )
dx
2.6.2. Ondas esf´ricas
e
La intensidad de una onda esf´rica en un medio absorbente viene dada por:
e
2
r0 I0 −β(r−r0 )
I(r) = e
r2
2.7. Efecto Doppler
La expresi´n del efecto Doppler es la siguiente:
o
νo νs
=
v − u(vo − vm ) v − u(vs − vm )
2.8. Onda de Mach
Este fen´meno se da cuando vs > v. Son par´metros importantes el ´ngulo de Mach
o a a
α, y el n´mero de Mach M:
u
v vs
sen α = M=
vs v
8