Este documento presenta 8 ejercicios de matemática relacionados con ecuaciones diferenciales y su resolución utilizando métodos como la transformada de Laplace, series de potencias, separación de variables y sistemas de ecuaciones diferenciales. Los ejercicios incluyen resolver ecuaciones diferenciales específicas, hallar fórmulas de recurrencia, determinar soluciones generales y aplicar conceptos a problemas de circuitos RC y ondas.

1. Universidad Nacional de Ingenier´
ıa
Facultad de Ingenier´ Geol´gica Minera y Metal´ rgica
ıa o u
Semestre acad´mico 2012-II
e
[ Curso: Matem´tica IV
a ]
EJERCICIOS
1. Resolver usando transformada de Laplace
ty ′′ + (1 − 2t)y ′ − 2y = 0
y(0) = 1, y ′ (0) = 2
√
1 s+ s2 +1
2. si L [J0 (at)] = √ , calcule L −1 ln 2s
s2 +a2
3. Resolver en torno de x=0, la siguiente ecuaci´n diferencial
o
x2 y ′′ + xy ′ + y = 0
4. Utilice una serie de potencias en torno de x0 = 0 en la ecuaci´n diferencial
o
(2 + x2 )y ′′ + 5xy ′ + 4y = 0
Halle:
a) La f´rmula de recurrencia
o (1.pt)
b) La primera y segunda soluci´n
o (4.pt)
5. La corriente i(t) en un circuito RC en serie se puede determinar de la ecuaci´n integral
o
t
1
Ri + i(r)dr = E(t)
C 0
donde E(t) es el voltaje aplicado. Determine i(t) usando transformada de Laplace R = 10Ω,
C = 0,5f y E(t) = 2(t2 + t)
6. Resuelva la siguiente ecuaci´n de la onda
o
uxx = utt
u(0, t) = u(π, t), 0≤t
u(x, 0) = sen2x, 0≤x≤π
ut (x, 0) = 0 0≤x≤π
utilice el m´todo de separaci´n de variables
e o

2. 7. Sean las ecuaciones diferenciales
x′′ = 2x′ + 5y
y ′ = −x′ − 2y
8. Determine la soluci´n general de la ecuaci´n
o o
   
6 0 1
X′ =  X +  
0 −4 t
a) Exprese el sistema mostrado como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
(1.5pt)
b) Halle la soluci´n del sistema hallado en a)
o (3.5pt)
Lunes, 13 de Diciembre del 2012